(小学奥数)分数裂项

本講知識點屬於計算大板塊內容，其實分數裂項很大程度上是發現規律、利用公式的過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。很多時候裂項的方式不易找到，需要進行適當的變形，或者先進行一部分運算，使其變得更加簡單明瞭。

本講是整個奧數知識體系中的一個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所以先找通項是裂項的前提，是能力的體現，對學生要求較高。

分數裂項

一、“裂差”型運算

將算式中的項進行拆分，使拆分後的項可前後抵消，這種拆項計算稱為裂項法.裂項分為分數裂項和整數裂項，常見的裂項方法是將數字分拆成兩個或多個數字單位的和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細的觀察每項的分子和分母，找出每項分子分母之間具有的相同的關係，找出共有部分，裂項的題目無需複雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對於分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即1ab形式的，這裏我們把較小的數寫在前面，即ab，那麼有1111()abbaab 知識點撥 教學目標

分數裂項計算 (2)對於分母上為3個或4個連續自然數乘積形式的分數，即：

1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我們有：

1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn

1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn

裂差型裂項的三大關鍵特徵：

（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，複雜形式可為都是x(x為任意自然數)的，但是只要將x提取出來即可轉化為分子都是1的運算。

（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，並且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”

（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。

二、“裂和”型運算：

常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：

（1）11abababababba （2）2222ababababababba

裂和型運算與裂差型運算的對比：

裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。

【例 1】 111111223344556 。

例題精講 【巩固】 111......101111125960

【巩固】 2222109985443

【例 2】 111111212312100

【例 3】 111113355799101

【巩固】 計算：1111251335572325

【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

【巩固】 計算：3245671255771111161622222929

【例 4】 計算：11111111()1288244880120168224288

【巩固】 11111111612203042567290_______

【巩固】 11111113610152128

【巩固】 計算：1111111112612203042567290＝

【巩固】 11111104088154238 。

【例 5】 計算：1111135357579200120032005

【例 6】 74.50.1611111813153563133.753.23

【例 7】 計算：11111123420261220420

【巩固】 計算：11111200820092010201120121854108180270= 。

【巩固】 計算：1122426153577 ____。

【巩固】 計算：1111111315356399143195

【巩固】 計算：15111929970198992612203097029900 ．

【例 8】 111123234789

【巩固】 計算：1111232349899100

【巩固】 計算：1111135246357202224

【巩固】 4444......135357939597959799

【巩固】 999897112323434599100101

【例 9】 11111123423453456678978910

【巩固】 333......1234234517181920

【例 10】 計算：57191232348910

．

【巩固】 計算：5717191155234345891091011（）

【巩固】 計算：3451212452356346710111314

【例 11】 12349223234234523410

【例 12】 123456121231234123451234561234567

【巩固】 計算：23993!4!100! .

【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)

【巩固】 2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)

【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)（）

【例 14】 22222211111131517191111131 .

【巩固】 計算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849

【巩固】 計算：222222223571512233478

【巩固】 計算：222222222231517119931199513151711993119951 ．

【巩固】 計算：22222222222213243598100213141991 ．

【巩固】 計算：22221235013355799101 ．

【例 15】 5667788991056677889910

【巩固】 36579111357612203042

【鞏固】計算：1325791011193457820212435

【巩固】 123791117253571220283042

【巩固】 1111120102638272330314151119120123124

【巩固】 35496377911053116122030425688

【巩固】 計算：57911131517191612203042567290

【巩固】 11798175451220153012