当前位置：文档之家 › 六年级+分数裂项

六年级+分数裂项

  • 格式：doc
  • 大小：934.50 KB
  • 文档页数：14

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小分数裂项计算

教学目标

知识点拨 的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11abababababba （2）2222ababababababba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】 111111223344556 。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

【解析】 原式111111115122356166

提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779，计算过程就要变为： 例题精讲 111111113355779192．

【答案】56

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012

【答案】112

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式111111112910894534112310715

【答案】715

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】

本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122，112(12)212232，……，

原式22221200992(1)1122334100101101101101

【答案】991101

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【答案】50101

【巩固】 计算：1111251335572325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

【解析】 原式1111112512335232511251225252422512

【答案】12

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】 原式2511111116122334500501501502 【答案】211532

【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式111111111111125577111116162222292912

【答案】12

【例 2】 计算：11111111()1288244880120168224288

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，101中学

【解析】 原式11111282446681618（）

【答案】4289

【巩固】 11111111612203042567290_______

【考点】分数裂项 【难度】2星

【题型】计算

【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级

【解析】 根据裂项性质进行拆分为：

【答案】25

【考点】分数裂项

【难度】6星 【题型】计算

【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式111111212312341234567

【答案】74

【巩固】 计算：1111111112612203042567290＝

【考点】分数裂项

【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式111111111()223344556677889910

【答案】110

【巩固】 11111104088154238 。

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式11111255881111141417

【答案】534

【例 3】 计算：1111135357579200120032005

【考点】分数裂项 【难度】3星

【题型】计算

【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】 原式11111114133535572001200320032005

【答案】100400312048045

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2007年，仁华学校

【解析】 原式791611111182901133557791331.2540.83

【答案】2336

【例 4】 计算：11111123420261220420

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】第五届，小数报，初赛

【解析】 原式1111112320261220420

【答案】2021021

【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270= 。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518

【答案】51005054

【巩固】 计算：1122426153577 ____。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】原式132537511726153577

【答案】1011 【巩固】 计算：1111111315356399143195

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113，2154135，……，21951411315，

所以原式11111111335577991111131315

【答案】715

【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900 ．

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2008年，四中

【解析】 原式1111111126129900

【答案】198100

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 首先分析出11111111211211nnnnnnnnnnnn

原式11111111121223233467787889

【答案】35144

【巩固】 计算：1111232349899100

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式11111111()21223233434989999100

【答案】494919800

【巩固】 计算：1111135246357202224

【考点】分数裂项 【难度】3星

【题型】计算

【解析】 原式＝1135＋1357＋…+1192123+1246+…+1202224

＝14(113－12123)＋14(124－12224)

＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032

合集下载

六年级奥数第三讲：分数计算技巧--分数裂项(二)

六年级奥数第三讲：分数计算技巧--分数裂项(二)

六年级奥数第三讲：分数运算技巧--分数裂项（二）

【专题精析】

在计算分子相同、分母为三个连续自然数乘积的一列分数求和时，根据裂项公式)2()1(1)1(121211＋＋－＋＝）＋（）＋（nnnnnnn，将每个加数分解成个分数之差，使前一个数的减数与后一个数的被减数能够抵消，达到化繁为简的目的。

多个分母的裂项和上讲所讲的分母裂项一样，只不过分母变多了，要特别注意的是，多分母裂项，每次只能“降一阶”，比如分母有四项，那么裂项后变成两个三分母的项，然后再依次抵消。

基本公式：))2()(1)(1(21)2()(1knknknnkknknn

例如：4321＋5431＋……＋2120191

8406921201321212120120191541431431321212120120191215414312143132121）（））（）（）（）（

练习：（1）5049481543143213211

（2）

10982765265425432很多时候，等差数列求和和分数裂项是可以相互转换，再进行计算的。

比如： ，就转换成了分数裂项。

例如：

5164511314511501413145150454443425050122441223312）（）（）（）（）（

练习：36211432113211211

【基础练习】

1、3212＋4322＋5432＋……＋4039382。

2、21＋322＋4323＋54324＋654325＋7654326。

六年级奥数培优 计算专题分数裂项

六年级奥数培优 计算专题分数裂项

六年级奥数培优 分数裂项

【分数的拆分（1）】

前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如1a×(a+1) 的分数可以拆成1a －1a+1 。

例1 11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100

【举一反三】

14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 12 +16 +112 +120 + 130 +142

例2 12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50

考点归纳

学习思考

【举一反三】

13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 14 +128 +170 +1130 +1208

例3 201520132752532312

例4 656221182852522

【举一反三】

201520142015432015322015212015

615841074744414

81764161141164614

（1）1－16 +142 +156 +172 （2）373321392952512

自我检测

（3）4201201213612211

（4）（4）161312152017301942111561137211590117

641321161814121

六年级数学专题复习_分数的裂项

六年级数学专题复习_分数的裂项

分数的巧算：裂项

知识点分析：

特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。它们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：

①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以直接运用这些公式使计算简便。

②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。

例题精讲

例1：1091...431321211

分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公式：annanna11，先裂项，再求和。

解答：

举一反三①

（1）21201...871761651

（2）53494...1394954514

（3）47425...171251275725

109101110191...413131212111091...431321211原式注重：必须弄懂第一种裂项公式：

annanna11 例2：100981...861641421

分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。

解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。

方法二：直接运用另一个裂项公式dnnddnn1111

举一反三②

（1）36331...1291961631

（2）36331...1291961631

（3）43371...191311371711

200492110049211001981...81616141412121100982...862642422原式2004910049211001981...81616141412121100198121...816121614121412121原式方法一：先将分数变形，再利用第一种裂项公式：annanna11进行计算。

六年级分数计算技巧一 裂项

六年级分数计算技巧一 裂项

小学数学六年级数学分数计算技巧1

目录

1.分数的计算技巧--裂项法

1.11

nn+1=1

n-1

n+1分母是两个数乘积，分子为这两个数的差

1.2d

n(n+d)=1

n-1

n+d分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差

1.31

nn+d=1

d1

n-1

n+d分母是两个数的乘积，分子=1

1.41

nn+1n+2=1

21

nn+1-1

n+1n+2

分子为1，分母是三个连续自然数乘积

1.51

nn+1n+2(n+3)

=1

3⋅[1

nn+1n+2-1

n+1n+2n+3

1.6a+b

a×b=a

a×b+b

a×b=1

b+1

a=1

a+1

b

例题1.1

2+1

6+1

12+⋅⋅⋅+1

9900

分母是两个数乘积，分子为这两个数的差

=1-1

2+1

2-1

3+1

3-1

4+⋅⋅⋅+1

99-1

100

=1-1

2+1

2-1

3+1

3-1

4+⋅⋅⋅+1

98-1

99+1

99-1

100(

通过裂项，除了首位中间的所有项都消去了)

=1-1

100

=99

100

例题2.3

1×4+3

4×7+3

7×10+⋅⋅⋅+3

97×100

分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差

=1-1

4+(1

4-1

7)+(1

7-1

10)+∙∙∙+(1

94-1

97)+(1

97-1

100)

=1-1

4+(1

4-1

7)+(1

7-1

10)+∙∙∙+(1

94-1

97)+(1

97-1

100)

=1-1

100

=99

100

例题3.2

15+2

35+2

63+⋅⋅⋅+2

143

有些时候分母不会直接给出两个数相乘，需要你去仔细观察

=2

3×5+2

5×7+2

7×9+⋅⋅⋅+2

11×13

=1

3-1

5+1

5-1

7+1

7-1

9+⋅⋅⋅+1

9-1

11+1

11-1

13

=1

3-15+1

5-1

7+17-1

9+⋅⋅⋅+1

9-1

11+1

11-1

13

=1

3-1

13

=13-3

39=10

39

例题4.1