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多元微分学的计算与应用典型复习题

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多元微分学的计算与应用典型复习题(A 类)一、选择题：1． 函数(,)z f x y =各偏导存在是该函数可微的-------------------------------------------------（B ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 注1：二元函数可偏导、可微的关系与一元函数可导、可微的关系不一样！ 注2：(,)z z x y =连续是该函数可微的必要非充分条件.注3：(,)z z x y =各偏导连续是该函数可微的充分非必要条件.2．22220(,)()tan()f x y x y y x x y =+-+，则00(,)x f x x =-------------------------（C ）（A ）30x （B ）40x （C ）302x （D ）304x注：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的附值先代入，在对该变量求导.3．上半球面z =在点(1,2,2)处的法向量可选为----------------------------------（D ）（A ）(12,1,1)-- （B ）(12,1,1)- （C ）(12,1,1)- （D ）(12,1,1) 注：曲面(,)z f x y =法向量为(,,1)x y f f ''--，曲面(,,)0F x y z =法向量为(,,)x y z F F F '''.4．z y e u x -+=ln 在点)1,1,0(-处的梯度为-----------------------------------------------------（B ） （A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1( 注1：0(0,1,1)(,,)(1,1,1)x y z gradu u u u i j k -==-=+-，该题选项也可编制成：（A ）j k - （B ）i j k +- （C ）j k + （D ）i k +二、填空题：1．设1(2,2)f x y x y xy -+-=-， 则(3,1)f -=1-.注1：令23,21x y x y +=-=-.注2：设(2,2),f x y x y x y +-=+求(,)f x y 与(,)f y x .2．z =(1,2)d (d 2d )6z x y =+. 注：222222221d(1)d d d d ln(1)22(1)1x y x x y y z x y x y x y +++=++==++++. 3．曲线21,1,2x t y t z t =+=-=在点(1,1,0)-处的切线方程为11102x y z -+==. 注：曲线(),(),()x x t y y t z z t ===在点0M 处的切向量为0((),(),())x t y t z t '''.4. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处方向(0,1,1)- 注：(,,)u u x y z =在点0M 处沿梯度0()gradu M 方向的方向导数达到最大值0()gradu M .三、计算题：1．设2tan(23)z x y t =-+，而1,x t y -==z 关于t 的全导数()z t '.解：2tan(23)z t t -=，则311222()(423)sec (23)z t t t t t ----'=--+ . 2．设(,)z f x y y x =，其中(,)f u v 可微，求x z ' ，y z '，x y xz yz ''+，d z . 解：12x u v z y f x yf --'''=-，21y u v z xy f x f --'''=-+，则0x y xz yz ''+=，d d d x y z z x z y ''=+.注：若设(cos ,sin )z f x y x y =，求（1）cos sin x y u xz y z y xf '''--；（2）u v x uf vf xz '''+-. 解：（1）cos sin x u v z yf yf '''=+，sin cos y u v z x yf x yf '''=-+， 则cos sin x y u xz y z y xf '''-=，故cos sin 0x y u xz y z y xf '''--=；（2）因cos sin x u v u v xz x yf x yf uf vf '''''=+=+，则0u v x uf vf xz '''+-=.四、计算证明题： 求曲面2223414x y z ++=上点()2,1,2P --处的切平面I 的方程，并证明直线 1:352x y L z -==+与切平面I 相互平行. 解：记()222,,3414x y z F x y z =++-，则2x x F '=，2y F y '=，2z z F '=， 于是曲面在点P 处的法线向量为()()()(,,)(1,2,1)x y z n F P F P F P '''==--，则切平面方程为()()()22120x y z --+-+=，即260x y z ---=，直线L 的方向向量为(5,2,1)s =，由0n s ∙=，知n s ⊥，又直线L 上的点(1,0,3)-∉I ，则L I .注1：在该题中，也可编制所求的切平面与已知直线垂直的证明题.注2：设3(,,)ln xy F x y z e y z -=+-，（1）求(,,)F x y z 在点(0,1,1)P 处的梯度()gradF P ；（2）求空间曲面(,,)0F x y z =在点(0,1,1)P 处的切平面的方程.解： xy x F ye -'=-，1y F y '=，23z F z '=-，则()(,,)(1,1,3)x y z p gradF P F F F '''==-，（2）所求曲面在(0,1,1)P 处的法向量()(1,1,3)n gradF P ==-，则切平面方程为()()()01310x y z -+---=，即320x y z +-+=.五、应用题：一变压器铁芯截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字应具有254cm 的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆周长最短，可使绕在铁芯上的铜线最节省．解：外接圆直径D 满足222D x y =+，本题即求2D在条件22xy x -=构造拉氏函数222(2L x y xy x λ=++--，令 0,0x y L L ''==得12y x +=，将其代入22xy x -=2,1x y == 由其实际意义知，十字型宽取2,cm长取(1cm 为最优设计．注：现将一根长为2p 的硬质金属细杆截为三段，组装成一个三角形构件,问怎样截法可使该三角形构件的面积S 最大? (设p 为∆半周长，则其面积S 解: 设细杆截为三段的长分别为 z y x ,,，则S =我们需求))()((),,(z p y p x p z y x f ---=在条件下的最大值， 因 y x p z --=2 ，其化为))()((),(p y x y p x p y x h -+--=的普通极值问题，由 (,)()(22)0,(,)()(22)0x y h x y p y p x y h x y p x p x y ''=---==---=，得在 0,0>>y x 时只有一个解23,2x p y p ==， 但由问题知，最大值存在，而判别点唯一，得2x y z p ===时，三角形面积最大．多元微分学的计算与应用典型复习题(B 类)一、选择题：1．设1(2,2),f x yx y x y -+-=- 则(3,1)f -=----------------------------------- (A)(A) 1- (B) 12- (C) 13- (D) 14- 注1：令23,21x y x y +=-=-.注2：设(2,2),f x y x y x y +-=+求(,)f x y 与(,)f y x .2． 函数(,)z f x y =各偏导存在是该函数可微的-------------------------------------------------（B ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 注1：二元函数可偏导、可微的关系与一元函数可导、可微的关系不一样！ 注2：(,)z z x y =连续是该函数可微的必要非充分条件.注3：(,)z z x y =各偏导连续是该函数可微的充分非必要条件.3．22220(,)()tan()f x y x y y x x y =+-+，则00(,)x f x x =-------------------------（C ）（A ）30x （B ）40x （C ）302x （D ）304x注：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的附值先代入，在对该变量求导.二、填空题：1．设2tan(23)z x y t =-+，而1,x t y t -==，则322()(42)sec (22)z t t t t --'=-++.注：2tan(23)z t t -=.2．z =(1,2)d (d 2d )6z x y =+. 注：222222221d(1)d d d d ln(1)22(1)1x y x x y y z x y x y x y +++=++==++++. 三、计算题： 设(,)z f x y y x =，其中(,)f u v 可微，求x z ' ，y z '，x y xz yz ''+，d z . 解：12x u v z y f x yf --'''=-，21y u v z xy f x f --'''=-+，则0x y xz yz ''+=，d d d x y z z x z y ''=+. 四、证明题：设(,)z z x y =由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定,求证：235x y z z +=.证：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+--，则535,,205353x y z F F F y z y z =-==-≠--， 则23x y z z +(23)x y z F F F =-+ =5.（掌握多元隐函数求偏导的公式法） 注：设(,)z z x y =由 sin(2)23y z x z -=+ 所确定, 求证：32y x z z -=.（自证）四、应用题：为处理含某种杂质的污水，要制造一个底部宽为2米的无顶盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数M 与ab 成反比，比例系数k 为正常数，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ 解：本题为求1()M k ab -=在条件24260a b ab ++=即230a b ab ++=下的最小值问题. 构造拉氏函数(230)L ab a b ab λ=+++-，(1)0,(2)0x y L b b L a a λλ=++==++= ， 得2a b =代入条件，得唯一解6a =，则3b =，由问题的客观性知，此解即为所求． 注：“蒙古包”是满族对蒙古族住房的称谓，“包”是家的意思．蒙古包的侧面是圆柱形，其包顶是半球形，包顶的单位面积造价是其侧面的1.5倍，在搭建时若要求蒙古包容纳的体积π45一定，问怎样搭建才能使总造价最低？（自已完成）。

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第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案

第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案


C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
第 4 页
共计 10 页
C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
第9章多元函数微分法及其应用近年试题

第9章多元函数微分法及其应用近年试题

0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （ Ａ ）（A ）不存在 （B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（ Ａ ）（A ）只有一条； （B ） 只有两条； （C ）至少有3条； （D ） 不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（ Ｂ ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对 分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零， 得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或 二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的 （ Ａ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂． 解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分 设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分 故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为 （ Ｃ ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解 方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）

多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）

多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

多元函数的微分法及其应用试题(1)讲解

多元函数的微分法及其应用试题(1)讲解


C 、 df (x0 , y0 ) 0
D、
f x
( x0 ,
y0 )
f y
( x0 ,
y0 )
f 8. 若 Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且 (x, y) K (常数) ，则 xy
f y(x, y) （ ）
k2
A、
2
B、Ky
9. 下列结论不正确的是（
C、 ）
ky (x)
A、函数 z 4x2 9 y2 在点(0 0)处有极小值
， z y
18、设 u xye yz ，其中 x sin t, y t3, z t ，则 du dt
四、证明题
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1.
若11 zx
f
1 y
1 x
,
证明：
x2
z x
y2
z y
z2 .
方程为
9. 设 z u ln v cost ，其中 u et , v cos t ，则 dz dt
10. 若 z ex cos y ，则 z x
, z y
11. 若 z arctan(x2 y2 ) ，则 z x
12. 若 z
1 x2
y2
，则
z x
2
2
z y
13. 若 z y sin x 则 2 z 在点 ( , 2) 处的值为 y xy
（ ）10. 若二元函数 zf(x y)的全微分 dz xdx ydy ，则 (0, 0) 不是 zf(x y)的连续点.
（ ）11. 二元函数的驻点一定是极值点.
（ ）12. 设 z x4 y4 ，则 dz (0,0) 0
4. 曲面 x2 2y2 3z2 21, z 0 上某点的切平面平行于已知平面 x 4y 6z 0