高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质

高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下： 图形标准 方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点 坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线 方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径 ｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何 意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析 设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析 设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式 将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析 只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一 如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ， 则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定 二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。