2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第二十五讲 平面向量的数量积

2019-2020年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积测一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝ 【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝ 【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(xx·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(xx·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则·的值为【解析】如图所示，＝＋.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以＝12，＝12＋14＝34，所以＝12＋34.又＝－，则·＝12＋34 ·(－)＝12·－122＋342－34·＝342－122－14·.又||＝||＝1，∠BAC ＝60°，故·＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R ，若·＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．【解析】设＝λ＋μ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.＝＋12＝12＋.所以·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋ ·(λ＋μ)＝λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2·＋μ2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤·≤9，所以当λ＝μ＝1时，·有最大值9，此时，N 位于C 点． 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且·(－)＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵·(－)＝18， ∴·＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。

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课堂达标(二十五）平面向量的数量积与平面向量应用举例[A基础巩固练］1．(2018·衡水模拟)已知｜a｜＝1，｜b｜＝2,a与b的夹角为错误!,那么|4a－b｜等于( )A．2 B．6C．2错误!D．12[解析]|4a－b｜2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos 错误!＝12。

∴|4a－b|＝2错误!.［答案］C2．(2018·江西重点高中模拟考试)在△ABC中,D，E分别为BC，AB的中点,F为AD的中点，若错误!·错误!＝－1，AB＝2AC＝2，则错误!·错误!的值为（)A.错误!B。

错误!C.18D.错误![解析]因为错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!),错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!，所以错误!·错误!＝错误!（错误!＋错误!）错误!＝错误!错误!2－错误!错误!·错误!－错误!错误!2＝错误!×4－错误!×（－1）－错误!＝错误!,应选答案B。

[答案]B3．（2018·郑州市质检）在△ABC中，若错误!2＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!，则△ABC是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形［解析］依题意得错误!2＝错误!·(错误!＋错误!）＋错误!·错误!＝错误! 2＋错误!·错误!，所以错误!·错误!＝0，错误!⊥错误!，△ABC是直角三角形，故选D.［答案］D4．（2018·吉大附中第七次模拟）设单位向量e1,e2的夹角为错误!，a＝e1＋2e2，b＝－3e2，则a在b方向上的投影为（）A．－错误!B．－错误!C.错误!D。

课时作业(二十五)A [第25讲 平面向量嘚数量积][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a·b＝( )A ．1B ．－1C ．－5D ．52． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．123． 已知向量|a|＝10，且|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a 与b 嘚夹角为( )A ．60° B．120° C．135° D．150°4．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上嘚投影为( ) A.655B.65C.135D.13能力提升5． 平面向量a 与b 嘚夹角为60°，a ＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝( ) A.12 B ．1 C.32 D. 3 6． 半圆嘚直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 嘚任意一点，若P 为半径OC嘚中点，则(PA →＋PB →)·PC →嘚值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关7．设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(xa ＋b)·(a－xb)嘚图象是一条直线，则必有( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a|＝|b|D ．|a|≠|b|8．已知两不共线向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确．．．嘚是( ) A ．(a ＋b)⊥(a －b)B ．a 与b 嘚夹角等于α－βC ．|a ＋b|＋|a －b|>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上嘚投影相等9． 已知向量a ，b 均为单位向量，若它们嘚夹角是60°，则|a －3b|等于________．10． 已知a 、b 、c 都是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 嘚值为________．11． △ABO 三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x ，y)是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →嘚最小值为________．12．(13分)已知|a|＝2，|b|＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa＋b 嘚夹角为钝角时，λ嘚取值范围．难点突破13．(12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应嘚边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，求c 嘚值．课时作业(二十五)A【基础热身】1．C [解析] a·b＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.2．D [解析] a·(2a－b)＝2a 2－a·b＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选D.3．B [解析] 由a·b＝|a||b|cosθ＝－60⇒cosθ＝－12，故θ＝120°. 4．A [解析] ∵cosθ＝a·b |a|·|b|＝2×－4＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a 在b 方向上嘚投影|a|cosθ＝22＋32×55＝655. 【能力提升】5．B [解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×12＝1. 6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．A [解析] 由题意知函数f(x)＝xa 2－x 2a·b＋a·b－xb 2，又因为函数f(x)嘚图象是一条直线，所以a·b＝0，即a ⊥b.所以选A.8．B [解析] a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，则|a|＝|b|＝1，设a ，b 嘚夹角是θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝cosαcosβ＋si nαsinβ＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等． 9.7 [解析] ∵|a －3b|2＝a 2－6a·b＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b|＝7. 10.12 [解析] b ＝c －a ，两边平方，并结合单位向量，得a·c＝12. 11．3 [解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y)·(1,0)＝x －1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y)·(－1,2)＝2y －x≥3.12．[解答] 由条件知，cos45°＝a·b|a|·|b|，∴a·b＝3， 设a ＋λb 与λa＋b 嘚夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝a ＋λb ·λa＋b|a ＋λb|·|λa＋b|<0，∴(a ＋λb)(λa＋b)<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856.若θ＝180°时，a ＋λb 与λa＋b 共线且方向相反，∴存在k<0，使a ＋λb＝k(λa＋b)，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1，λ＝k.∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 【难点突破】13．[解答] 如图，取AB 嘚中点E ，连接CE ， 则CE →＝12(CA →＋CB →)． 由AB →·AC →＝BA →·BC →，得AB →·(AC →＋BC →)＝0， 所以AB →·CE →＝0，即AB ⊥CE.又E 为AB 嘚中点，所以CA ＝CB ，即b ＝a.在Rt △AEC 中，|AC →|cosA ＝|AE →|，即bcosA ＝c2，① AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cosA ＝cbcosA ＝2.②将②代入①，得c 22＝2，解得c ＝2.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．【必会结论】1．设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ；2．当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝a 2或|a |＝a 2； 3．a ·b ≤|a ||b |.高频考点一 平面向量数量积的运算例1、[2017·北京高考]已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝x ＋2＋y 2，cos θ＝AQ AP＝x ＋2x ＋2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.【举一反三】(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 (1)C (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)， D (0,1)，方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP→＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.高频考点二 用数量积求向量的模、夹角例2、已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6 D ．π 答案 B解析 由题意，得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝a ＋b2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a a ＋b |a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3.故选B.【举一反三】(1)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2；③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【变式探究】 (1)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.答案 (1)A (2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223(2)C(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三 平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A高频考点四 向量在平面几何中的应用例4、[2017·天津高考]在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析 解法一：由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4， 所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案311【感悟提升】向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. (2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．高频考点五、 向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即yx＝± 3. 【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．12答案 BHE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.高频考点六 向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 D解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2， 知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →， ∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.高频考点七 向量运算的最值或取值范围例7、平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则PA →·PB →的取值范围是( )A ．[－1,8]B ．[－1，＋∞)C ．[0,8]D ．[－1,0]答案A【方法技巧】求向量的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．【变式探究】 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [2,5]解析 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，即AM →·AN →的取值范围是[2,5]．1. （2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2− 【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，，，，. 若点E为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A 选项.3. （2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D4. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知向量，，．若，则________．【答案】 【解析】由题可得,即故答案为1．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2, |b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 解法一：|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3.解法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.2.[2017·北京高考]已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．解法二：如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．3.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.4.[2017·山东高考]已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解得λ＝33. 5.[2017·天津高考]在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析 解法一：由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案3111.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==， 2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】如图，【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ． 15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)， 所以11PB t -=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t=-+， 因为11444t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号． 【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =， 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA1．（2014·北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．【答案】 52．（2014·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 【答案】±3【解析】因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3．（2014·江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．【答案】2 234．（2014·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22【答案】B【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1. 6．（2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【答案】16【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC→|sin A ＝12×23×sin π6＝16.7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 【答案】C8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A9．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c |＝ x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤ 12＋12＋1，即2－1≤|c |≤ 2＋1.答案：A10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求 x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.11．(2013年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.。

平面向量的数量积【考点讲解】一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a、b，它们的夹角为θ，则a·b=θcos.若a=(1x,1y),b=(2x,2y)，则a·b=.2.向量的模：若a=(,)x y，则|a.3.两向量的夹角余弦值：a ba b×.4.向量垂直的等价条件：a⊥b⇔0a b?⇔.二）主要知识点：1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA＝，OB＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ叫做与的数量积，记作⋅，即⋅a b ＝，其中θ是a 与b 的夹角．规定0=⋅.当⊥时，θ＝90°，这时0a b ?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）a a =⋅，.（2）a b a b×(θ为与的夹角).（3）.4.数量积的运算律 （1）交换律：.（2）分配律：（3）对.5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：（1）.（2）a ⊥b ⇔0a b ?⇔.（3）（4）(θ为与的夹角).【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中， 已知,则⋅的值为（ ）A.-15 B .-9 C.-6 D. 0【答案】C2.【2017北京，理6】设n m ,为非零向量，则“存在负数λ，使得n m λ=”是“0<⋅n m ”的A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】如果存在负数λ，使得λ=，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：成立.如果0<⋅，此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数λ，使得λ=成立，所以是充分不必要条件. 【答案】A3.【2014山东.理12】 在ABC ∆中，已知，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【答案】164. 【2016高考浙江理数】已知向量ba ,,，若对任意单位向量，均有,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知，即最大值为12. 【答案】125.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且则AE AF ⋅的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,得,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以=【答案】29186.【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．则【答案】787.【2017课标1，理13】已知向量,的夹角为602=1==+ .【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用， 法一：由题意可知所以.【答案】法二：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为【答案】8.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【模拟考场】1.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ）， 则实数t 的值为（ ） A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n =，可设，又，所以.所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =，BC b =，∴，，，∴，故选B.【答案】B4.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【答案】A 5.设向量，，且a b ⊥，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥，所以有0a b ?，可以得到，则，应填答案2.【答案】26.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：，，=，所以可得113=λ.【答案】113 7.已知3a =， 4b =， 0a b ⋅=，若向量c 满足，则c 的取值范围是__________．【答案】[]0,58.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ，且，x 为正实数．(1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以. 所以，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)＝故当x ＝36时，x -取最小值为12，此时＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量与x -垂直.。

第二十五讲 平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12D ．不存在解析：由题设知：a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)， ∴a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)．∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m (m ＋2)＋(m －4)(－m －2)＝0， 解之得m ＝－2. 故应选A. 答案：A2．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线， 即f (x )的表达式是关于x 的一次函数．而(xa ＋b )·(a －xb )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a ·b －x |b |2， 故a ·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量， ∴a ⊥b ，故应选A. 答案：A3．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B．(－1,1) C ．(－1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：∵a 与a ＋2b 同向， ∴可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则有b ＝λ－12a ，又∵|a |＝12＋12＝2，∴a ·b ＝λ－12·|a |2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴a ·b 的范围是(－1，＋∞)，故应选C. 答案：C4．已知△ABC 中，,,AB a AC b == a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( ) A ．30° B ．－150° C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a ||b |sin∠BAC ＝154，∴sin∠BAC ＝12，又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角， ∴∠BAC ＝150°. 答案：C5．(2010·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设,,OA a OB b ==则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |，sin∠AOB ＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2，所以S △OAB ＝12|a ||b |sin∠AOB ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.答案：C6．(2010·湖南)在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC 等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8D ．16解析：解法一：因为cos A ＝AC AB， 故||||AB AC AB AC =cos A ＝AC 2＝16，故选D.解法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |， 故||||AB AC AC AB =cos A ＝AC 2＝16，故选D. 答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．(2010·江西)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1. 答案：18．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________. 解析：由λb －a 与a 垂直，(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝0，所以λ＝2. 答案：210．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC +)的最小值是________．解析：令|OM |＝x 且0≤x ≤2，则|OA |＝2－x .()2OA OB OC OA OM +=＝－2(2－x )x ＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2≥－2.∴()OA OB OC +的最小值为－2. 答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°， 则a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1. 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a ·b ＋λ2a ·b －3λb 2＝λ2＋λ－6. 设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ， 则cos θ＝(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1，∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，∴λ2＋λ－6>0， ∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k λ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23.故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角． 评析：由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b|a ||b |去判断θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ， (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－ka ＋tb 满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值．解：(1)证明：∵a ·b ＝cos(－θ)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin(－θ)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0. ∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0， ∴k ＝t 3＋3t ，∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t＝t 2＋t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋114. 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.。