三个空间角公式

空间角和空间距离一、空间角:（1）异面直线所成的角：过空间任一点分别引两异面直线的平行线，则此两相交直线所成的锐角（或直角）叫做两异面直线所成的角．异面直线所成角的范围 ．（2）直线与平面所成的角：①当α//l 或α⊂l 时，l 与α所成的角为 0；②当α⊥l 时， l 与α所成的角为 90；③当l 与α斜交时，l 与α所成的角是指l 与l 在面α上的射影'l 所成的锐角．线面角的范围： ．（3）二面角的平面角须具有以下三个特点：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内； ③角的两边与棱都垂直．二面角的范围： ．方法总结：1、求异面直线所成角的方法：主要通过平移转化法来作出异面直线所成的角，然后利用三角形的边角关系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范围．2、求线面角的一般过程是：（1）在斜线上找到一个合适的点P ，过P 作面α的垂线（注意垂足/P 的确定），垂足/P 和斜足A 的连线即为斜线PA 在平面α上的射影，则/PAP ∠即为所求；（2）将/PAP ∠放到/PAP ∆或其它包含此角的三角形中去求． 说明：关于线线角和线面角，下面的结论经常用到：①“爪角定理”：如图9-4-1，已知,AB AO 分别是面α在面α内过斜足O 任意引一直线OC ，设12,AOB BOC θθ∠=∠=，AOC θ∠=，则：21cos cos cos θθθ⋅=；② 经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线．说明：在解题过程中，我们会发现求角问题难在作角，其中又难在过平面外一点，作平面的垂线后，垂足位置的确定．复习过程中应注意对常用的找垂足的方法进行归纳总结． 上面的②及下面的几个结论是找垂足的有力工具：（ⅰ）若P 为ABC ∆所在平面 外一点, O 是点P 在 内的射影，则：①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ∆的外心；②若P 到ABC ∆的三边的距离相等, 则O 为ABC ∆△ABC 的内心；③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ∆的垂心．（ⅱ）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；（ⅲ）三垂线定理及其逆定理．3、求二面角的平面角的一般方法：如何作出（或找出）二面角的平面角是解题的关键，常用以下方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时应认真观察图形的特性；②三垂线法（比较常用）：已知二面角其中一个面内一点P 到另一个面的垂线（垂足为/P ），则只需过P （或/P ）作棱的垂线（垂足为O ），由三垂线定理或其逆定理知/POP ∠即为所求（关键是从题中找到适当的点P ）；③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角（由此知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直）；④面积投影法：此法最大的优点在于不用作出平面角θ，常用于“无棱二面角”（即在图中没有画出棱）；如果α上某一平面图形的面积为斜S ，它在β上的射影的面积为射S ，则射斜S S =θcos 。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

三维空间三角形求边长公式
c=a/sin(45)=a/(sqrt(2)/2)=sqrt(2)*a约=1.*a。

定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

认定定理：在同一三角形中，如果两个角成正比，那么这两个角所对的边也成正比（缩写：等角对等边）。

除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
1.在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的'中线重合，那么这个三角形就是等腰三角形，且该角为顶角。

2.在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

3.在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形就是等腰三角形，且该边为底边。

似乎，以上三条定理就是“三线合一”的逆定理。

4.有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。

立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。

它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。

立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。

基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。

三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。

立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。

1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。

2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。

3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。

4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。

5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。

立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。

比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。

在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。

总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。

学立体几何是中学数学的主要内容之一，而空间角的求解则是立体几何中对空间思维和运算能力要求较高的内容，也是每年高考的必考内容．立体几何中的空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三大类．本文就这三类空间角的具体求法进行简单分析，供同学们复习时参考．一、异面直线所成的角的求法１．平移法例１如图１所示，ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１是直三棱柱，∠ＢＣＡ＝π２，点Ｄ１，Ｆ１分别是Ａ１Ｂ１和Ａ１Ｃ１的中点，若ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１，则ＢＤ１与ＡＦ１所成角的余弦值是（Ａ）３０"１０（Ｂ）１２（Ｃ）３０"１５（Ｄ）１５"１０解析：构建平行线将异面直线所成的角转化成平面角．∵Ｄ１，Ｆ１分别是Ａ１Ｂ１和Ａ１Ｃ１的中点，∴Ｄ１Ｆ１∥Ｂ１Ｃ１，Ｄ１Ｆ１＝１２Ｂ１Ｃ１．取ＢＣ的中点Ｍ，连接ＢＤ１，ＭＦ１．∵Ｄ１Ｆ１平行且等于１２Ｂ１Ｃ１，ＢＭ平行且等于１２Ｂ１Ｃ１，∴ＢＭ平行且等于Ｄ１Ｆ１，∴ＢＭＦ１Ｄ１是平行四边形，ＭＦ１∥ＢＤ１．连接ＭＡ，显然∠ＭＦ１Ａ是异面直线ＢＤ１和ＡＦ１所成的角．设ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１＝１，则ＡＭ２＝１＋１４＝５４，ＭＦ１２＝ＢＤ１２＝１＋２%２&’２＝３２，ＡＦ１２＝１＋１４＝５４，∴ｃｏｓ∠ＭＦ１Ａ＝江山中学王陆军空间角的法求图１Ａ１Ｆ１Ｃ１Ｄ１Ｂ１ＢＡＭＣ５４＋３２－５４２×３２!×５４!＝３０!１０．∴答案选Ａ．２．补形法例２同例１．解析：如图２所示，将三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１补成四棱柱ＡＢＥＣ—Ａ１Ｂ１Ｅ１Ｃ１．取Ｂ１Ｅ１的中点Ｍ，连接ＢＭ，Ｄ１Ｍ，Ｄ１Ｂ，显然ＭＢ∥ＡＦ１，∴∠ＭＢＤ１是异面直线ＢＤ１和ＡＦ１所成的角．解△ＭＢＤ１即可解决本题．３．向量法例３同例１．解析：同例１，以Ｃ为原点，ＣＡ为ｘ轴，ＣＢ为ｙ轴，ＣＣ１为ｚ轴，建立空间直角坐标系，如图３所示．则点Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｄ１１２，１２，%&１，Ｆ１１２，０，%&１，∴ＢＤ１＝１２，－１２，%&１，ＡＦ１＝－１２，０，%&１，∴ｃｏｓ〈ＢＤ１，ＡＦ１〉＝－１４＋０＋１５!２×６!２＝３０!１０．４．三垂线定理法例４正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＶＣ，ＶＡ，ＡＣ的中点，Ｐ为ＶＢ上的一点，如图４所示，则直线ＤＥ与ＰＦ所成角的大小是（Ａ）π６（Ｂ）π３（Ｃ）π２（Ｄ）π解析：当用平移法和补形法求解异面直线所成的角有困难时，可以考虑用三垂线定理法．如果一条异面直线在另一条异面直线所在平面的射影与该异面直线垂直，则问题就可迎刃而解．对于正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ，显然ＰＦ在底面的射影总在ＢＦ上，由于ＢＦ⊥ＡＣ，因此ＰＦ⊥ＡＣ．又∵ＤＥ∥ＡＣ，∴ＰＦ⊥ＤＥ．故答案选Ｃ．图２图４Ａ１ＥＭＡＦ１Ｄ１Ｅ１ＢＢ１ＡＣＣ１ＥＢＦＤＶＰＣ学图３ＡＦ１Ｃ１Ｂ１Ｄ１Ａ１ＣｚｘｙＢ!’&#&"&&&!&#*()"二、直线与平面所成的角的求法１．定义法例５在正三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知ＡＢ＝１，Ｄ在棱ＢＢ１上，且ＢＤ＝１，若ＡＤ与平面ＡＣ１所成的角为α，则α等于（Ａ）π３（Ｂ）π４（Ｃ）ａｒｃｓｉｎ１０!４（Ｄ）ａｒｃｓｉｎ６!４解析：如图５所示，分别取ＡＣ，Ａ１Ｃ１的中点Ｎ，Ｍ，连接ＭＮ，ＢＮ．在ＭＮ上取一点Ｅ，使ＮＥ＝１．∵ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１为正三棱柱，∴ＢＮ⊥平面ＡＣ１．连接ＡＥ，ＥＤ．∵ＥＤ∥ＢＮ，∴ＥＤ⊥平面ＡＣ１，∴ＥＡ为ＡＤ在平面ＡＣ１上的射影，∴∠ＤＡＥ为ＤＡ与平面ＡＣ１所成的角，即为α．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ｓｉｎα＝６!４，∴α＝ａｒｃｓｉｎ６!４，∴答案选Ｄ．２．特殊公式法例６正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ的棱长都相等，Ｍ是ＡＢ中点，如图６所示．则ＰＡ与ＣＭ所成的角是（Ａ）ａｒｃｃｏｓ３!６（Ｂ）ａｒｃｃｏｓ３!４（Ｃ）ａｒｃｃｏｓ３!３（Ｄ）３０°解析：设正三棱锥的棱长为ａ，过点Ａ作ＡＤ∥ＣＭ，∴ＰＡ与ＣＭ所成的角即为ＰＡ与ＡＤ所成的角∠ＤＡＰ，且有∠ＤＡＭ＝９０°．再取ＢＣ中点Ｅ，连接ＡＥ，ＰＥ．显然∠ＰＡＥ是ＡＰ与底面ＡＢＣ所成的角．在△ＰＡＥ中，ｃｏｓ∠ＰＡＥ＝ＡＰ２＋ＡＥ２－ＰＥ２２ＡＰ·ＡＥ＝３!３，∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ＋∠ＣＡＥ＝３０°＋３０°＝６０°．由ｃｏｓ∠ＤＡＰ＝ｃｏｓ∠ＰＡＥ·ｃｏｓ∠ＤＡＥ，得ｃｏｓ∠ＤＡＰ＝３!３×ｃｏｓ６０°＝３!３×１２＝３!６，故∠ＤＡＰ＝ａｒｃｃｏｓ３!６．答案选Ａ．３．向量法例７如图７所示，在棱长为１的图５图６ＡＭＤＣ１Ａ１Ｂ１ＢＭＡＣＤＰＥＢＣＮＥ&#""!!$!!!!&#$(’"学#%’正方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ是侧棱上的一点，ＣＰ＝ｍ．（１）试确定ｍ，使直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成角的正切值为３２!；（２）在线段Ａ１Ｃ１上是否存在一定点Ｑ，使得对任意的ｍ，Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，并加以证明．解析：（１）以Ｄ为原点，建立如图８所示的空间直角坐标系，连接Ｄ１Ｐ，Ｄ１Ａ，ＡＰ，ＡＣ，ＤＢ．则点Ａ（１，０，０），Ｂ（１，１，０），Ｐ（０，１，ｍ），Ｃ（０，１，０），Ｄ（０，０，０），Ｂ１（１，１，１），Ｄ１（０，０，１）．∴ＢＤ＝（－１，－１，０），ＢＢ１＝（０，０，１），ＡＰ＝（－１，１，ｍ），ＡＣ＝（－１，１，０）．又∵ＡＣ·ＢＤ＝０，ＡＣ·ＢＢ１＝０，∴ＡＣ为平面ＢＤＤ１Ｂ１的一个法向量．再设ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角为θ，则ｓｉｎθ＝ｃｏｓπ２－"θ由题意得２２!·２＋ｍ２!＝ｔａｎθ１＋（ｔａｎθ）２!＝３２!１＋（３２!）２!，解得ｍ＝１３．∴当ｍ＝１３时，直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角的正切值为３２!．（２）若在Ａ１Ｃ１上存在这样的点Ｑ，设此点的横坐标为ｘ，则Ｑ（ｘ，１－ｘ，１），Ｄ１Ｑ＝（ｘ，１－ｘ，０）．依题意，若对任意的ｍ要使Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，则由三垂线定理可知其等价于Ｄ１Ｑ⊥ＡＰ，∴ＡＰ·Ｄ１Ｑ＝０，∴－ｘ＋（１－ｘ）＝０，∴ｘ＝１２，即存在定点Ｑ，且当其为Ａ１Ｃ１的中点时，满足题设要求．三、二面角的求法１．定义法例８如图９所示，正三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面边长为３，侧棱ＡＡ１＝３３!２，Ｄ是ＣＢ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＢＣ，求二面角Ｂ１－ＡＤ－ＢＡ１ＢＣＰＡＣ１Ｄ１Ｂ１ＤｙＡ１ＢＣＤＡＣ１Ｄ１Ｂ１学图７ｚ图８!!"#$!#!$!"!!!"#%!#!$!"!$,*ZP的大小．解析：在棱ＡＤ上任取一点Ｅ，使得ＤＥ＝１．作ＥＦ⊥ＡＤ，ＥＨ⊥ＡＤ，分别交ＤＢ１，ＤＢ于点Ｆ，Ｈ，则∠ＦＥＨ为二面角Ｂ１－ＡＤ－Ｂ的平面角，连接ＦＨ．由题设条件可知∠ＡＤＢ＝３０°，∠ＤＡＣ＝９０°，∴ＥＨ＝３#３．∵ＤＢ１＝ＡＢ１＝ＡＢ２＋ＢＢ１２#＝３７#２，ＡＤ＝３３#，∴ＥＦ＝ＤＥ·ｔａｎ∠ＡＤＢ１＝２３#３，ＤＨ＝ＥＨ２＋ＥＤ２#＝２３#３，ＤＦ＝ＤＥ２＋ＥＦ２#＝２１#３，ｃｏｓ∠ＢＤＢ１＝ＢＤＢ１Ｄ＝２７#７．∴ＨＦ＝ＤＨ２＋ＤＦ２－２ＤＨ·ＤＦ·ｃｏｓ∠ＢＤＢ１#＝１，ｃｏｓ∠ＨＥＦ＝ＥＦ２＋ＥＨ２－ＨＦ２２ＥＦ·ＥＨ＝１２．故二面角Ｂ１－ＡＤ－Ｂ的大小为６０°．２．三垂线法例９三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，侧面ＰＡＣ与底面ＡＢＣ垂直，ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝３，如图１０所示．（１）求证ＡＢ⊥ＢＣ；（２）如果ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，求侧面ＰＢＣ与侧面ＰＡＣ所成二面角的大小．解析：（１）取ＡＣ的中点Ｄ，连接ＰＤ，ＢＤ．∵ＰＡ＝ＰＣ，∴ＰＤ⊥ＡＣ．又已知平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣ，∴ＰＤ⊥平面ＡＢＣ，Ｄ为垂足．∵ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，∴ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，故可得ＡＣ为△ＡＢＣ外接圆的直径，∴ＡＢ⊥ＢＣ．（２）∵ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，Ｄ为ＡＣ中点，∴ＢＤ⊥ＡＣ．又∵平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣ，∴ＢＤ⊥平面ＰＡＣ，Ｄ为垂足．作ＢＥ⊥ＰＣ于Ｅ，连接ＤＥ．∵ＤＥ为ＢＥ在平面ＰＡＣ内的射影，∴ＤＥ⊥ＰＣ，∴∠ＢＥＤ为所求二面角的平面角．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，∴ＢＤ＝６#．在Ｒｔ△ＰＤＣ中，ＰＣ＝３，ＤＣ＝６#，ＰＤ＝３#，∴ＤＥ＝ＰＤ·ＤＣＰＣ＝３#×６#３＝２#．∴在Ｒｔ△ＢＤＥ９Ａ１ＢＣＦＡＣ１Ｂ１ＨＥＰＡＢＣＤＥ学图１０图)!"&($!("&"%#D)!&("#中，ｔａｎ∠ＢＥＤ＝６"２"＝３"，∴∠ＢＥＤ＝６０°，即侧面ＰＢＣ与侧面ＰＡＣ所成的二面角为６０°．３．垂面法在已知的二面角α－ｌ－β中，作棱ｌ的垂面γ，设γ∩α＝ＯＡ，γ∩β＝ＯＢ，则∠ＡＯＢ为二面角α－ｌ－β的平面角．例１０如图１１所示，已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是正方形，ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ，ＡＥ⊥ＰＤ，ＥＦ∥ＣＤ，ＡＭ＝ＥＦ．（１）证明：ＭＦ是异面直线ＡＢ与ＰＣ的公垂线；（２）若ＰＡ＝３ＡＢ，求二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的平面角的正弦值．解析：（１）∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，∴ＰＡ⊥ＡＢ．又∵ＡＢ⊥ＡＤ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，故可得ＡＢ⊥ＡＥ．∵ＡＭ∥ＣＤ∥ＥＦ，且ＡＭ＝ＥＦ，ＡＭ⊥ＡＥ，∴四边形ＡＥＦＭ为矩形，∴ＡＭ⊥ＭＦ．又∵ＡＥ⊥ＥＦ，ＡＥ⊥ＰＤ，∴ＡＥ⊥平面ＰＥＦ．而ＡＥ∥ＭＦ，∴ＭＦ⊥平面ＰＥＦ，∴ＭＦ⊥ＰＣ，∴ＭＦ是ＡＢ与ＰＣ的公垂线．（２）由（１）可知平面ＰＡＤ垂直于二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的棱ＡＢ，且平面ＭＥ∩平面ＰＡＤ＝ＡＥ，平面ＡＣ∩平面ＰＡＤ＝ＡＤ，则∠ＥＡＤ为二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的平面角．设ＡＢ＝ａ，则ＡＰ＝３ａ．由Ｒｔ△ＡＥＤ∽Ｒｔ△ＰＡＤ，可得∠ＥＡＤ＝∠ＡＰＤ．∴ｓｉｎ∠ＥＡＤ＝ｓｉｎ∠ＡＰＤ＝ＡＤＰＤ＝ａａ２＋（３ａ）２"＝１０"１０．４．公式法例１１如图１２所示，在正方体ＡＣ１中，Ｅ是ＢＣ中点，求二面角Ｄ１－Ｂ１Ｅ－Ｃ１的大小．解析：Ｄ１在平面Ｂ１ＥＣＣ１的射影为Ｃ１，则△Ｄ１Ｂ１Ｅ在平面Ｂ１ＢＣＣ１上的射影为△Ｂ１ＥＣ１．若设正方体棱长为２，则可得Ｂ１Ｅ＝５"，Ｄ１Ｂ１＝２２"，Ｄ１Ｅ＝３，Ｓ△ＢＣＥ＝２，Ｓ△ＤＢＥ＝３，∴ｃｏｓθ＝Ｓ△ＢＣＥＳ△ＤＢＥ＝图１２学ＢＣ１１ＰＥＤＡＦＭ-’图))%"$(./-’$’)-)(()$)"图１３Ｃ１ＣＢＦＢ１ＡＡ１Ｄ１ＥＤｙｘｚ"２３，∴θ＝ａｒｃｃｏｓ２３．５．向量法例１２如图１３所示，在长方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ１＝２．Ｅ，Ｆ分别是线段ＡＢ，ＢＣ上的点，且ＥＢ＝ＦＢ＝１．求二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１的正切值．解析：以Ａ为原点，ＡＢ，ＡＤ和ＡＡ１分别为ｘ轴，ｙ轴和ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系，则有点Ｄ（０，３，０），Ｄ１（０，３，２），Ｅ（３，０，０），Ｆ（４，１，０），Ｃ１（４，３，２）．于是可得ＤＥ＝（３，－３，０），ＥＣ１＝（１，３，２），ＦＤ１＝（－４，２，２）．若设向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）与平面Ｃ１ＤＥ垂直，则可得：ｎ⊥ｎ⊥$%３ｘ－３ｙ＝０ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝$０%ｘ＝ｙ＝－１２ｚ．∴ｎ＝－ｚ２，－ｚ２，&’ｚ＝ｚ２（－１，－１，２），其中ｚ＞０．若取ｎ０＝（－１，－１，２），则ｎ０是与平面Ｃ１ＤＥ垂直的向量．∵向量ＡＡ１与平面ＣＤＥ垂直，∴ｎ０与ＡＡ１所成的角θ就是二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１．∵ｃｏｓθ＝ｎ０·｜ｎ｜·｜｜＝－１×０－１×０＋２×２１＋１＋４(×０＋０＋４(＝６(３，∴ｔａｎθ＝２(２，∴二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１的正切值为２(２．ＤＥＥＣ１ＡＡ１ＡＡ１!!!"#"!$$!%!&%学’()"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!"放下松一散步一位胖太太在街上散步，有个陌生的小男孩紧紧地跟着她。

张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。

典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形 ∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中， 易得A ′C =3a ，C P =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515 故A ′C 与DE 所成角为另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cosADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则 (0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，B故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DEOEOD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为(0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD aAA AB AA AD AB AD AA AB b aab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=1111112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α (1)求证 MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与角，∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC ===整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去 ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°。