空间余弦定理公式

向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。

向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。

如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。

空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。

余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。

即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。

积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。

向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。

以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。

空间余弦定理公式推导空间余弦定理是三维空间中的一个关于向量的定理，主要用于求取两个向量之间的夹角。

在此次推导中，我们将从向量定义出发，经过矢量积和标量积的推导，最终得到空间余弦定理的公式。

1. 向量定义在三维空间中，向量（也称矢量）通常表示为一个有序三元组，表示为$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$。

向量具有加法和数乘运算。

向量的模长表示为$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$，也称为向量的长度。

向量之间有一些重要的定义，如平行、垂直等等。

两个向量平行表示它们的方向相同或相反，即$\vec{a}\parallel\vec{b}$。

两个向量垂直表示它们的内积为0，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。

2. 矢量积矢量积（又称向量积或外积）是定义在三维空间两个向量上的一个重要的运算，它的结果是一个新的向量。

假设有两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的矢量积表示为$\vec{a}\times\vec{b}$。

矢量积的结果满足以下几个性质：（1）反对称性：$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$（2）分配律：$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\t imes\vec{c}$（3）数乘结合律：$(\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})=\ vec{a}\times(\lambda\vec{b})$（4）计算公式：$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$其中，$\lambda$表示一个实数。

3. 标量积标量积（又称点积或内积）是定义在两个向量上的一个重要的运算，它的结果是一个标量（实数）。

空间中余弦定理的证明在数学中，余弦定理是三角形中的一个重要定理。

对于任意三角形ABC，余弦定理可以表示为：c = a + b - 2ab * cos C。

其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，C 表示夹在 a 和 b 之间的角度。

证明：我们可以通过向量的几何性质来证明余弦定理。

假设我们有三个向量 A，B，C，它们分别表示三角形 ABC 的三条边。

则向量 C 是从向量 A 到向量 B 的差向量，即 C = B - A。

现在我们来计算向量 C 的长度的平方。

根据向量的长度公式，我们可以得到|C| = C·C，其中 |C| 表示向量 C 的长度，C·C 表示向量 C 的点积。

我们可以将向量 C 表示为 A 和 B 的线性组合，即 C = B - A = -A + B。

因此，C·C = (-A + B) · (-A + B)。

利用向量点积的性质和二次方程的展开公式，我们可以得到C·C = A·A + B·B - 2AB cos C。

其中，A·A 和B·B 分别表示向量 A 和向量 B 的长度的平方，AB 表示向量 A 和向量 B 的点积。

由于向量 A 和向量 B 分别对应三角形的两条边，因此我们可以将 AB 和 cosC 分别表示为三角形的边长和夹角的函数。

即 AB = ab，cosC = (a + b - c) / 2ab。

将 AB 和 cosC 代入上式，我们可以得到C·C = a + b - 2abcosC。

因此，|C| = c = a + b - 2ab cosC，即余弦定理成立。

三个空间角公式1.三余弦定理的基础知识三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值公式为：cosX=cosαcosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链接即可。

在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么来的，图示如下图所示：从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，我们求得就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定斜线和平面内的直线夹角为90°。

2.三余弦定理在求直线夹角中的应用这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接中的这个典型题目：例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦值解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影均为O'A1,此时发现AM和O'A1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM 所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。

三面角余弦定理公式
三面角是空间几何中的一种特殊图形，由四个面所围成。

在计算三面角各个面之间的角度时，我们需要用到三面角余弦定理公式。

这个公式的表达式很简单，即：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2 - d^2) / 2bc，其中A表示三面角中A面所对的角度，a、b、c、d 分别表示三面角的四个面的边长。

理解这个公式需要先了解一些基本概念。

在三面角中，我们可以定义四个面的法向量，使得它们成为一个右手系。

这样，我们就可以用向量的夹角来表示三面角的各个面之间的角度。

对于三面角中的任意一个面，我们可以把它看成是由其余三个面所围成的一个三角形和一个三棱锥组成的。

这个三角形的三条边分别是三面角中其余三个面的法向量，而三棱锥的底面则是这个三角形，其顶点则是三面角中的另一个面。

根据余弦定理，我们可以用三角形的边长来计算三角形内角的余弦值。

而三棱锥的底面和顶点处的角度则可以通过向量的点积来计算。

将这些值代入三面角余弦定理公式中，就可以计算出三面角中任意一个面所对的角度了。

三面角余弦定理公式在计算三维空间中的各种几何问题时非常有用。

例如，在计算立体角时，我们需要知道三维空间中某个点所对应的
立体角大小。

这个立体角就可以用多个三面角所对应的角度来计算得到。

在实际的应用中，我们通常会用计算机程序来实现三面角余弦定理公式的计算。

这样可以大大提高计算的精度和效率，同时也方便了我们对各种三维几何问题进行求解。

三面角余弦定理公式是三维几何中非常重要的一种计算方法，它可以帮助我们计算出各种三面角中的角度大小，从而为解决各种三维几何问题提供了有力的工具。

余弦定理公式平方余弦定理是三角学中的一个重要定理，用于计算三角形的边长和角度。

它是根据三角形中的余弦关系推导出来的，并且可以用于解决各种与三角形相关的问题。

在一个三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。

那么根据余弦定理，可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2ab cosC这个公式可以用来计算三角形的边长c，当已知两边的长度a和b 以及它们之间的夹角C时，可以通过代入公式计算出第三边的长度c。

同样地，如果已知三个边长a、b、c，想要计算出对应的角度A、B、C，也可以利用余弦定理。

cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)根据这个公式，可以计算出角C的余弦值，然后通过反余弦函数（或者查表）求得角度C的值。

余弦定理的应用非常广泛。

例如，在实际生活中，我们经常会遇到需要测量无法直接测量的距离的情况。

这时候，我们可以利用余弦定理来间接测量出这个距离。

比如，我们可以利用三角测量法来测量山顶的高度、测量河流的宽度等。

在工程学中，余弦定理也有着重要的应用。

比如，在建筑设计中，我们需要计算出某个斜坡的倾斜角度，以便合理设计楼梯的坡度。

这时候，可以通过测量斜坡上的两个已知长度的边，然后应用余弦定理来计算出斜坡的倾斜角度。

除了计算边长和角度外，余弦定理还可以用于解决三角形的面积问题。

根据海伦公式，三角形的面积可以通过三边的边长来计算。

而余弦定理可以用于计算出这些边长，从而进一步计算出三角形的面积。

余弦定理还可以推广到高维空间中的三角形。

在高维空间中，三角形不再是平面中的图形，而是由线段组成的多面体。

通过推广余弦定理，我们可以计算出高维空间中三角形的边长和角度。

余弦定理是三角学中非常重要的一个定理，它可以用于计算三角形的边长和角度，解决实际问题中的测量和计算需求。

无论是在实际生活中还是在工程学中，余弦定理都具有广泛的应用。

空间线线所成角的余弦公式空间线所成角的余弦公式：1、定义：空间线所成角的余弦公式是指三个空间线构成的任意三角形，用余弦定理可以表达任意角度的大小。

其形式为：cos α = (a² + b² - c²) / 2ab其中，α 为三线构成的任意角的大小，a、b、c 为三线构成三角形的三边长度。

2、推导：以空间线ABC 所成角α 为例，设A 点为原点，BA 为x 轴，AB 为y 轴，C 点在坐标原点外任意一点，则有：(1) BC 的x 坐标和y 坐标分别为：x = c cosα 、y = c sinα(2) 已知BC = c，根据勾股定理，有：a² + b² = c²(3) 用余弦定理可求得：cosα = (a² + b² - c²) / 2ab3、用途：该余弦公式在几何计算中广泛应用，可以利用它计算任意三角形的角的大小或求多边形的面积等。

此外，也可以利用它平行投影，即把一个三维空间的线、面投影线、面到二维空间上，便于分析求解三维空间中坐标变换、投影变换以及旋转变换的问题。

4、实例：例1：计算ABC 所成的ABC 角的度数α ：根据余弦公式可得：cosα = (a² + b² - c²) / 2ab已知：a = 3、b = 4、c = 5则cosα = (3² + 4² - 5²) / 2*3*4= (-1) / 24计算：α = cos⁻¹ (-1/24) = 118.45°例2：ABC 的ABC 角α 为45°，求a、b、c：根据余弦定理：cosα = (a² + b² - c²) / 2ab已知：α = 45°，计算：cosα = (a² + b² - c²) / 2abcos45° = (a² + b² - c²) / 2ab化简：a² + b² = c² + 2ab设a = 3，求b和c，则有：b² = c² + 6b - 9由一次方程求得：b = (-3 ± √13)/2，c = b + 3解得：b = 5，c = 8；或者b = -1，c = 2。

5 空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC AD ABAC AD AC ABcos cos AC AD CAD AC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD 2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥A BCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（）A.【示例3】 如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD 平面PDC ，//AD BC ，PDPB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值.(2)(3)略.方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.1 C.1【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD.（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.（2）略.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD中，15BD AC，AB CD，20 AD BC，则AB与CD所成角的大小为.337秒杀训练【试题1】如图，正方体ABCD A B C D中，E为AB的中点，则异面直线D B与EC所成角的余弦值是（）1A.【试题2】如图，已知正三棱锥P ABC的侧棱与底面的边长相等，M，N分别为PB，PC的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为 .【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【试题4】 如图,三棱柱111OABO A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB ，且12OB OO ，3OA，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为.【试题5】 如图,四边形中ABCD ，2AB BDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角ABD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A.522,88 B. 252,88 C. 20,8 D. 520,8真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知ABAC ，SBSC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A. 110B.25D.2【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为.【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCDA B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AM B N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是.【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD ，1BC CD ，3AC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为.【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD 的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCDEFGH ，则异面直线PA 与CF 所成角的余弦值为 .5 空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC AD ABAC AD AC ABcos cos AC AD CAD AC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD 2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD ，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥ABCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .由已知AN ，CM 看成是空间四边形ANCM 的对角线.由已知条件AN BC ，DNBC .易求得22AN，22CM ，7MN，即可应用空间余弦定理速解. 【秒杀方法】 由公式得2222cos2AM NC AC NM AN CM11977822222. 故异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为78.【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（）A.如图，选取空间四边形11AB C B . 由已知得7AC，则122AC ，12BC ，15AB ，即可利用空间余弦定理速解.【秒杀方法】 22211211810cos ,5225BC AB .故选择C. 【示例3】如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .本题利用公式推论，即可转化为不等式问题.【秒杀方法】 由推论：222232ADCBAB CDAC BD ，即22246a b c ，则222222cabab，即221c ab .故21c ab 的最小值为2.【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD 平面PDC ，//AD BC ，PD PB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值.(2)(3)略.这是一道解答题（1）问，看空间四边形PABC 即可，只需依条件求出各边的长度.由题意可求得5PA，17AC ，25PC ，29PB ，25AB ，3BC .【秒杀方法】 由公式得:2222202029175cos ,52532PC AB PB AC PA BCPA BC. 故异面直线AP 与BC . 但做为解答题在设计具体步骤方面应先给出公式的说明（证明）.其规范过程设计如下：【解题过程】（1）连接BD ，则22435BD.∴22229PB PD BD ，即29PB .易求得5PA ，17AC ，25AB ，25PC.∵AP BC AP BP CP AP BP AP CP 2222222222222AP BP AB AP CP AC AC BP CP AB ∴2222291720205cos ,52532AC BP CP AB AP BCAP BC. 故异面直线AP 与BC. 方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.1 C.1FEC 就是异面直线∵ABC 为等边三角形，则AB ，易得3，同理3CF ，故CF . ∵OEOF ，∴COEF ，又1124EOEF BD 1，3DE ， 2BCCD.由公式得cos ,CE BD 222212313623223.故选择3263ED FEC CE.故选择【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD.（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值. （2）略.AD ，于点E .平面ABCD AE ，AA AD .如图，以1,,AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz .2AD，13AA ，120BAD ，0,0,0，3,1,0B ，0,2,0D ，3,0,0E ，0,0,3，13,1,3C ， 13,1,3A B，13,1,3AC ，111111cos ,A B AC A B AC A B AC 3,1,33,1,3177. 7，7AC ，2，17BC ，2AB.由公式得： 221122731,7277A B AC . 故异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD 中，15AB CD ，20BD AC ，337AD BC ，则AB 与CD 所成角的大小为.HCGD ，x ，BF y ，BG z .222222225400337x y y zzx 解得91216xyzAB 与CD 所成角等于由余弦定理得夹角为2220203373377,2151525AB CD，AB 与CD 所成角大小为7arccos25. 秒杀训练【试题1】 如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E 为AB 的中点，则异面直线1D B 与EC 所成角的余弦值是（ ）A.【解析】设正方体棱长为2.在空间四边形1D EBC 中易得各棱长为：1EB ，2BC ，5EC，123D B ，122D C ，13D E.由空间余弦定理得：221813215cos ,152235D B EC.选择D. 【试题2】如图，已知正三棱锥P ABC 的侧棱与底面的边长相等，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为 .【解析】设棱长为2，则3AM BN ,3AN ,1MN .由空间余弦定理得：22213211cos ,6233AM BN. 即AM 与BN 所成角的余弦值为16. 【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【解析】设1AC BC ,则2AB ，63DA263BD ，153CD ， ∴2282113033cos ,1015223AB CD. 故异面直线AB 与CD 30. 【试题4】 如图,三棱柱111OABO A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB ，且12OB OO ，3OA，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为 .【解析】由题可知：12O B，7AB ，17AO ，17A B，则221137221cos ,7277A B AO ， 故1A B 与1AO 所成角的余弦值为17. 【试题5】 如图,四边形中ABCD ，2AB BDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角A BD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A.522,88 B. 252,88 C. 20,8 D. 520,8【解析】由空间余弦定理，得： 2222224242cos222242AD BC AC BD AC AC AB CD.如图，取BD 中点O ，二面角A BD C 的平面角即AOC ，且33cos ,22AOC .∵3AO ，1CO .由余弦定理得：2222cos AC AO CO AO CO AOC423cos 1,7AOC ，从而220,5AC ，则有52cos0,8.故选择 D. 真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知AB AC ，SB SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【解析】设ABACa ，SBSCb . 则由空间余弦定理得：2222cos ,02a b a b SA BCSA BC，即,2SA BC.故SA 与BC 所成角的大小为2.【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA ，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A. 110B.25【解析】设12BC CACC ，5AN ，6BM ，1MN ，6AM ，3BN .由空间余弦定理得：22186330cos ,10265BM AN . 故选择C.【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为.【解析】由空间余弦定理，得：'2222'''59912cos2266AD CB AB CD AC BD BDBD.易知，当'D 在平面ABC 内时，'BD 最短，从而cos 最大. 6cos 6ACD，223636cos 6263ACB . 因此翻折下来可知点'D 恰好落在线段CB 上时，'BD 最短，长为312，所以cos . 【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AMB N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是 .【解析】设棱长为a ，1AM B N t . 则112A C a ，221(0)A Na t t a . 221C Na t ，2212()MC a at ，221A Ma t ，22()MNat .由空间余弦定理得：11cos ,A M C N 222222222()2()2()2()at a a t a at a t 221at a t at t a.∵2a t ta，∴111cos ,2A M C N，即11,32A M C N，故异面直线1A M 与1C N 所成角的取值范围为32，.【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD，1BCCD，3AC，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为 .【解析】由已知得1BC DC，90BCD，∴2BD ，∴22BE ，2AB .由3AC知90ABC，∴1322BF AC ，32AF.又FE BD，∴2221 4EF BF BE，即12EF ，62AE.又空间余弦定理得：31122424cos,363222AE BF.故直线AE与BF.【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCD EFGH，则异面直线PA与CF所成角的余弦值为 .【解析】设正四棱锥棱长为1，则易求得222PF ，2FC，2AC ，2AF，1PA PC.由空间余弦定理得：2222122cos,4212PA CF.故异面直线PA与CF所成角的余弦值为224.。

空间形式的余弦定理及其应用
余弦定理是一个古老的数学定理，它的历史可以追溯到古埃及、古希腊时期。

它的定义是：如果一个三角形的两条边长之和大于第三条边，则这三边构成的三角形是可以存在的，并且对应角的 cosθ绝对值是一定的：
cosθ=（两边长度之差的平方）/（两边长度之和的平方 - 三角形最长边的平方）
空间形式的余弦定理就是把余弦定理用在三维空间的情况下。

如果一个三角锥有三条边，那么空间形式的余弦定理就说：
cosθ=（两边长度之差的平方）/（两边长度之和的平方 - 三角锥最长边的平方）
空间形式的余弦定理的实际应用有很多，其中最著名的就是它被用来计算流体的流动率。

施加在一个物体上的力和物体的运动状态有关，而余弦定理就让我们可以有效地计算出这种关系。

此外，空间形式的余弦定理也被用来计算几何形状的形状特征，例如一个多面体的边长和角度。

另外，空间形式的余弦定理还被用来计算视觉图像的失真程度。

此外，它也被用来分析太空噪声来研究太空环境中的信号。

实际上，空间形式的余弦定理应用于几乎所有研究领域，它可以用来计算椭圆形交汇点、空间坐标轴以及固定直角三角形的外积等等。

因此，我们可以说余弦定理在许多数学问题中都有重要应用。

以上就是空间形式的余弦定理以及它的应用，可以看出，这个定
理非常有用，并且可以在多个不同的学科领域中使用。

它的应用范围十分广泛，可以提供无穷的研究和发现机会。

因此，未来这个定理将继续为人类提供无穷的可能性和智慧。

空间形式的余弦定理及其应用
余弦定理，它是数学中最有用的定理之一，它能够帮助我们解决许多有关三角形的问题，尤其是当讨论空间三角形时显得更加重要与有用。

空间形式的余弦定理，也就是余弦定理的三维版本，定义如下：空间里三条边分别为c、a、b，对角线为d，则有着d^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(C)其中，C为两边a
和b之间的夹角。

在科学和工程应用中，空间形式的余弦定理发挥了巨大的作用，它不仅可以简化许多计算，而且提供了一种长度的估计精度。

例如，在飞行控制系统中，它可以用来估算空中物体之间两个点之间的最短路径，有助于提高空中搜索效率；在航天系统中，它可以用来计算火箭航摆参数优化，作为飞行精度分析的一种重要工具；在机械工程中，它可以用来比较实际和拟合三维模型，用于仿真机械装置；此外，它还经常用来计算面积，并可用于面积计算和容积计算，以及物体和空间相对位置的确定。

综上所述，空间形式的余弦定理无疑是现代工程应用中最重要的数学工具之一，一个理解和掌握它的人，一定具备着自助搞定各种空间问题的能力，也可谓尤其珍贵。

余弦及其衍生公式围绕着三角函数，数学家们总是勤奋地探索更多的新知识，其中最有名的就是余弦及其衍生公式。

余弦(cosine)是最基础的三角函数之一，它与正弦（sine）、正切（tangent）并列。

对于任意向量和其在三维空间中的顺时针旋转所形成的角度，均可用余弦来表示他们之间的内积关系。

这样我们就可以将三角函数中的基本概念，以及三角函数在实际工程中的重要用途，表述得更加清楚明白。

要让余弦更加有用，我们首先得弄清楚它的定义，即角度对应的余弦为：cos =应的边的长度/对边的长度。

这就是常见的“等腰三角形余弦定理”或“余弦定理”。

另外，余弦也可以用下面的几何公式来表示：cos = a b/|a||b|，其中a和b分别表示角度所对应的不同边的长度，|a|和|b|分别表示它们的绝对值。

此外，在微积分领域，余弦也可以写成如下形式：cos = dθ/dα，其中θ和α表示两个不同的自变量，而dθ和dα分别表示它们的微分值。

除了余弦定理，其他衍生的定理也非常重要。

其中最流行的是余弦反余弦定理，它强调了两个等腰三角形两个相较边的反余弦相等，即cos A、cos B、cos C是相等的；另一个推导是余弦定理，它说明了三角形的两条相较边的余弦乘积等于第三边的余弦，即cos A cos B = cos C。

另外还有余弦奇异定理，它将角的余弦值与比例角的余弦值联系起来，即cos A/cos B = cos C/cos D。

重要的是，上述各种定理可以利用坐标系、三角形、四边形等几何图形来求出更多实际应用中的数学问题。

比如通过余弦定理，就可以求出未知边的长度；而余弦奇异定理则可以帮助求出相似图形的比例。

本文所介绍的余弦及其衍生公式就是三角函数领域要探索的重要内容，有所了解可以帮助我们解决更多实际生活中的问题，从而改善我们的生活。

希望本文能够激发读者的学习兴趣，让他们更加热爱数学。

空间中余弦定理的证明余弦定理是三角形中的基本定理之一，它可以用来求解三角形中的各种角度和边长。

在平面上，余弦定理的表达式为c²=a²+b²-2abcosC，其中a、b、c分别为三角形的三条边，C为夹在a和b之间的角度。

在空间中，余弦定理的表达式为c²=a²+b²-2abcos\gamma，其中a、b、c分别为空间中的三条线段，\gamma 为夹在a和b之间的角度。

下面我们来证明空间中余弦定理的正确性。

假设有一个三角形ABC，其中AB=c，AC=b，BC=a，\angle BAC=\gamma。

我们可以将三角形ABC放置在一个三维坐标系中，使得点A位于原点，点B位于x 轴正方向上，点C位于xy平面上。

此时，点B的坐标为(a,0,0)，点C的坐标为(bcos\gamma,bsin\gamma,0)。

根据勾股定理，我们可以得到：AC²=b²+c²-2bc\cos\angle BAC将b、c、\angle BAC分别代入，得到：AC²=b²+c²-2bc\cos\gamma将AC的坐标代入，得到：AC²=(bcos\gamma)^2+(bsin\gamma)^2化简得到：AC²=b²+c²-2bc\cos\gamma这就是空间中的余弦定理。

同理，我们可以得到其他两个版本的余弦定理。

通过上述证明，我们可以看出，空间中的余弦定理与平面上的余弦定理本质上是相同的，只是在坐标系的表示上有所不同。

因此，我们可以将平面上的余弦定理推广到空间中，从而更加方便地求解三角形中的各种角度和边长。

空间向量夹角余弦值计算公式在数学中，空间向量夹角余弦值是一种用于描述空间向量之间夹角大小的计算公式。

它表示两个空间向量a、b夹角的余弦值，符号为a·b。

其求值公式为：a·b=|a|·|b|·cosθ其中|a|、|b|表示两个空间向量的模长，θ表示两个向量之间的夹角（单位：弧度或角度）。

由余弦定理可得，只要知道这两个向量的模长和夹角，就可以使用空间向量夹角余弦值来求出夹角余弦值。

例子1：计算空间向量 a = (1,1,1) 与 b = (1,2,3) 夹角的余弦值由定义可知，此时|a|=√3，|b|=√14。

从四边形几何图可知，a点到b点的距离是13，该距离即为两点连线的模长，故|a-b| = 13；根据余弦定理求得，cosθ=|a-b|/|a|·|b|，即θ≈0.824。

最终求得，a·b的余弦值为a·b =13/√3·√14≈0.824。

例子2：计算空间向量 a = (-2,2,2) 与 b = (2,-2,2) 夹角的余弦值由定义可知，此时|a|=2√3，|b|=2√3。

从四边形几何图可知，a点到b点的距离是8，该距离即为两点连线的模长，故|a-b| = 8；根据余弦定理求得，cosθ=|a-b|/|a|·|b|，即θ≈π/2。

最终求得，a·b的余弦值为a·b = 8/2√3·2√3 ≈ 0.000。

以上就是空间向量夹角余弦值计算的求值公式和应用实例，空间向量夹角余弦值的求取过程比较繁琐，但是可以从中体会到数学的精妙之处，以及空间向量在研究自然界现象中的重要性。

虽然空间向量夹角余弦值是一种抽象概念，但它可以用于更加直观地理解复杂的自然现象。

空间余弦定理在《立体几何》试题中的应用中学数学杂志(高中)2000年第5期空间余弦定理在《立体几何》试题中的应用山东省临沭县第一中学276700李守明王通忠胡文涛空问余弦定理:如图1,设,PB,PC是端点为P的三条射线,且APC=.,13PC=,APB=.二面角A—PC—B的平面角为口则cosO=cosOlcosO2+出1s.m以∞s口..利用勾股定理和余弦定理容易证明上式结论,证明略.推论:当二面角A—PC—B是直二面角时,口=90*,公式即为础=c∞casO2(a2印为与面P虻所成的B图1角)即为《立体几何)教材第122页第3题结论.定理给出了二面角内面面角,线面角,和线线角之间的关系.应用其解决一些高考题和竞赛题尤其方便,本文就结合近几年高考题和竞赛题倒说如下: 1求角和角的有关同题.由于定理给出了二面角内面面角,线面角,线线角之问的关系,因此利用其能解决求角及与角有关的问题.倒1己知斜三棱柱ABC—ABC的侧面A.AGc.与底面ABC垂直,ABC=90”,日C=2,AC=243且sa,呼=譬×譬+譬×辱一,所以.:,所以.=60”.所以棚面A1ABB与底面ABC所成二面角大小为.倒2设E,F,G分别是正四面体的棱AB,日c,cD的中点,则二面角C一只;一E的大小是()(A)an譬(B)号+一譬(c)号一arct(D)一a嗍譬(1998年全国高中联赛试题)解如图3.由已知可得cFG=60”,CFE=120,EF上FG即EFG=90”,设所求二面角C一E大小为口.则由空间余弦定理得eosZ傩=C图3∞saeosZ slnZB?EFB哪即oosl20~=cc~O’cosgo+5iI0.si】口∞s口.所以㈣:一.所以=一a一等=～—譬,选’●一(D)2求距离利用空间余弦定理还可以解决求距离及与距离有关的问题(见”3求面积和体积”),在此仅举一例先刺用空问余弦定理导出直二面角内两异面直线的距离公式重要结论,井由此解决高考中涉及捌臣D中学数学杂志(高中)2000年第5期离的试题.结论:如图4,在直二面角积为1.-f2,所以∞一=寺asinaIsina2又回一肝S△衄?d={×1×1×si~CAD×d=要nc1加,所以号血cAD=号血所以d:asSna1n√1一CAD一一——旦璺型塑生—一一_二T=一!磐!堂!一a(1+ct)(1+cc2)一口Ict2 :——=:::::::::::=一.~/1+口I+c2倒3条件阿倒i.求硬点C到侧面A.ABB1的距离.(1998年高考(理)23题Ⅲ小题)解由于∞∥面A】ABB】,故点c与侧面AABB1的距离等于直线∞1与侧面AA船的距离,也即等于0与AB两异面直线间的距离.由AAj-AC及AA】:A】C得ACC】=135.,在RtAABC中,BC:2,AC=2√3,所以ctg.dCAB=√2因为二面角B—AC—C是直二面角,etgz2AOC1=一1,删1≠惫面_冁点~,+(一1)+”2)C到侧面AAN3】的距离为,3.3求面积和体积综合1,2可利用空同余弦定理解决《立体几何》中计算方面[标签:快照]。

空间第二余弦定理及其应用一、定理概念空间第二余弦定理：四面体的任意一组对棱所成的角的余弦值等于其它两对对棱平方和之差的绝对值与这对对棱乘积的二倍之比，如图，四面体ABCD 中，设异面直线AD 与BC 所成的角为θ，那么BC AD CD AB BD AC ⋅+-+=2)(cos 2222θ证明：=⋅+⋅=⋅CD CB CD AC CD AB +><⋅CD AC CD AC ,cos ><⋅CD CB CD CB ,cos 22222222BD CD BC AD CD AC -++-+-=2)(2222BD AC BC AD +-+=所以CD AB BD AC BC AD CD AB CDAB ⋅+-+=⋅=2)(cos 2222θ记忆方法：所求棱对的乘积对棱平方和对棱平方和2cos -=θ由空间余弦定理可知，要求两异面直线所成的角，只需求出两异面直线相关的四点所构成的四面体的每条棱长，然后棱长代入公式即可求出两异面直线所成的角二、应用例1.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2π=∠BAC ，21===AA AC AB ，点E G ,分别为线段111,CC B A 的中点，点F D ,分别为AB AC ,上的动点，且EF GD ⊥，求线段DF 长度的最小值解法1：（向量法）分别以1,,AA AC AB 为z y x ,,轴建立空间直线坐标系，则)1,2,0(),2,0,1(E G ，设)0,,0(),0,0,(b D a F ，则)1,2,(),2,,1(a FE b GD -=--=EF GD ⊥022=-+=⋅⇒b a FE GD 22=+⇒b a 所以552)2(51)21)((512222222=+≥++=+=b a b a b a DF ，当且仅当21b a =即54,52==b a 时等号成立，所以线段DF 长度的最小值为552解法2：（空间第二余弦定理）因为EF GD ⊥，由空间余弦定理知2222DFGE DE FG +=+设b AF a AE ==,，则222222222121)2(1)1(2b a a b ++++=-++-+22=+⇒b a 所以552)2(51)21)((512222222=+≥++=+=b a b a b a DF ，当且仅当21b a =即54,52==b a 时等号成立，所以线段DF 长度的最小值为552例2.如图，三棱锥BCD A -中，2,3======BC AD CD BD AC AB ，点N M ,分别为BC AD ,的中点，则异面直线CM AN ,所成角的余弦值为解法1：（向量法）由勾股定理可知22==CM AN )(21)()(212AC AM AC AC AB AM AB AC AM AC AB CM AN -⋅+⋅-⋅=-⋅+=⋅)93113332233333113(21222-⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯=7-=所以87222227,cos -=⨯⨯-=>=<CMAN CM AN 所以异面直线CM AN ,所成角的余弦值为87解法2：（空间第二余弦定理）在ABN Rt ∆和AMC Rt ∆中，由勾股定理知22==CM AN ，在等腰三角形BMC 中，由勾股定理得71)22(2222=-=-=NC CM MN 设异面直线CM AN ,所成角为θ，则872222211792cos 2222=⨯⨯--+=⋅--+=CM AN NC AM MN AC θ，即异面直线CM AN ,所成角的余弦值为87例3.易知在直三棱柱111C B A ABC -中，32π=∠ABC ，2=AB ，11==CC BC ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为解法1：（向量法）51=AB，21=BC ,)()(1111BC BB BA BB BC AB +⋅-=⋅BC BA BB BA BC BB BB ⋅-⋅-⋅+=1121232cos 21001=⨯⨯--+=π所以510252,cos 111111=⨯=⋅>=<BC AB BC AB BC AB 所以1AB 与1BC 所成的角的余弦值为510解法2：（空间第二余弦定理）在ABC ∆中，由余弦定理得732cos2122122=⨯⨯⨯-+=πAC 由勾股定理得22171=+=AC ，51=AB ，21=BC 所以1AB 与1BC 所成角余弦值为51025281122cos 2221121212112=⨯⨯--+=⋅--+=BC AB AC BB C B AB θ例4.在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，31=AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成的角的余弦值为解法1：（向量法）分别以1,,DD DC DA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则)3,1,1(),3,0,0(),0,0,1(11B D A )3,1,1(),3,0,1(11=-=DB AD 5552301,cos 111111=⨯++-=⋅>=<DB AD DB AD DB AD 解法2：（空间第二余弦定理）由勾股定理得2,5)3(11,21122211==++==D B DB AD ，3,2,111===DD AB AD所以5552234122cos 1121212211=⨯⨯--+=⋅--+=DB AD DD AB AD D B θ。