余弦定理

1.1.2 余弦定理
余弦定理定义及公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理
是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

余弦定理的10种证明方法一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2DBACβα图3DBAC即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.xy图4BA(O)C即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C e 交于点,D E ,延长AB 交C e 于F ,延长AC 交C e 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.bcosA absinAc-bcosAac-bcosAbsinA图7-2图7-1DE DABCC B余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.bac2bcosA-cb-a bb图5GDE FCAB c b aa 图6F EDCBA。

余弦函数及余弦定理余弦函数及余弦定理是什么余弦定理，其实就是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

下面小编给大家整理了关于余弦函数及余弦定理的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ(k为整数)时，该函数有极大值1;在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。

余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

正余弦定理的应用1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角;②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。

3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。

4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。

5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。

正余弦函数的性质余弦定理多种证明方法余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形。

余弦定理含义
余弦定理是在三角形中，描述了三个边和内夹角之间的关系。

它的含义可以总结如下：
在一个三角形ABC中，假设a、b、c分别表示边BC、AC和AB的长度，而角A、角B和角C分别表示对应的内夹角。

那么余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos(C)。

其中的cos(C)是角C的余弦值。

余弦定理的含义是：对于任意一个三角形，如果我们知道了三个边的长度，那么可以通过余弦定理计算出对应的三个内夹角的余弦值。

反之，如果我们已知三个边的长度以及其中两个夹角的度数，也可以利用余弦定理求解第三个角的度数。

余弦定理在解决三角形相关问题时非常有用，例如计算未知边长或角度、判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。

它是解决三角学问题的重要工具之一。

三角函数余弦定理公式三角函数余弦定理公式大全余弦定理对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC也可表示为：cosC=(a^2 +b^2 -c^2)/ 2abcosB=(a^2 +c^2 -b^2)/ 2accosA=(c^2 +b^2 -a^2)/ 2bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。

要小心余弦定理的这种歧义情况。

延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A三角函数正弦定理公式正弦定理对于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。

在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A, B和C三点的圆的直径的倒数。

正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。

余弦定理总结知识点首先，我们来看一下余弦定理的数学表达式。

对于一个三角形ABC，余弦定理可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a、b、c分别表示三角形的三个边的长度，A、B、C分别表示三角形的三个内角的大小，cosA、cosB、cosC分别表示三角形的三个内角的余弦值。

通过这个数学表达式，我们可以看出余弦定理的基本思想是通过三角形中的边长和角度的关系来求解各种三角形问题。

余弦定理的优点是不仅可以用于等腰三角形和等边三角形，还可以适用于一般三角形，因此在实际应用中具有非常广泛的适用性。

余弦定理的应用场景非常广泛，比如在测量地理距离、建筑设计、航海、航空等领域都有着重要的作用。

下面我们来分别介绍一下余弦定理的几种常见应用。

1、求解三角形的边长余弦定理可以通过已知三角形的一个角和两个边长来求解第三条边的长度。

比如，已知三角形的两边长分别为3和4，并且夹角为60度，就可以通过余弦定理来求解第三条边的长度。

根据余弦定理的数学表达式，我们可以得到：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2*3*4*cos60°= 9 + 16 - 24*0.5= 25 - 12= 13因此，第三条边的长度为√13。

2、求解三角形的角度余弦定理也可以通过已知三角形的三条边的长度来求解三角形的夹角。

比如，已知三角形的三条边长分别为3、4、5，就可以通过余弦定理来求解各个角的大小。

根据余弦定理的数学表达式，我们可以得到：cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)= (4^2 + 5^2 - 3^2)/(2*4*5)= (16 + 25 - 9)/40= 32/40= 0.8因此，∠A的余弦值为0.8，所以∠A的大小为cos⁻¹(0.8)≈36.87°。

余弦定理【知识要点】1、余弦定理：在△ABC 中2222222222cos , 2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-2、余弦定理的变形：222222222cos ,cos ,cos ,222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===3、余弦定理的应用（1）已知△ABC 的两角及夹边，求第三边； （2）已知△ABC 的三边，求角. 【例题分析】1、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，求∠C 。

2、在△ABC 中，求证：)cos cos (aAb Bc a b b a -=-3、已知(a 2+bc )x 2+2b 2+c 2x +1 = 0是关于x 的二次方程，其中a 、b 、c 是三角形的三边， （1）若∠A 为钝角，试判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实根，求∠A 的度数.一、选择题1、在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是 （ ）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、不能确定D 、等腰三角形 2、在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A =( )A 、090 B 、060 C 、0135 D 、0150BACabc3、在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是 （ ） A 、51- B 、61- C 、71- D 、81-4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A 、090 B 、0120 C 、0135 D 、0150 5、在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222（ ）A 、120°B 、60°C 、45°D 、30° 6、在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则（ ）A 、4B 、2C 、3D 、347、在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是( )A 、B 、(5,23)C 、(3,13)D 、(3,28、在△ABC 中，a ＝，b ＝1，c ＝2，则A 等于 ( )A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sinA －sinB)sinB ，则角C 等于( )A 、π6B 、π3 C 、5π6D 、2π310、在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为 ( )A 、30°B 、45°C 、135°D 、45°或135°11、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝ ( ) A 、1B 、2C 、3－1D 、 312、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是 ( )A 、⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B 、⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C 、⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4D 、⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π313、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( )A 、a ＞bB 、a ＜bC 、a ＝bD 、a 与b 的大小关系不能确定14、在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sinC ＝23sinB ，则A ＝ ( )A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°15、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tanB ＝3ac ，则角B 的值为 ( )A 、π6B 、π3 C 、π6或5π6D 、π3或2π316、已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为 ( )A 、1＋ 3B 、3＋ 3C 、3＋33D 、2＋ 317、在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为 ( )A 、直角三角形B 、正三角形C 、等腰三角形D 、等腰三角形或直角三角形18、在△ABC 中，tanA ＝12，cosB ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为 ( )A 、455B 、355 C 、255D 、55二、填空题19、若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠==则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。

正弦余弦定理公式
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。

余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则称关系式，a^2=b^2+c^2-2bc*cosa。

正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。

余弦定理：设立三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则表示关系式
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
c^2=a^2+b^2-2ab*cosc。

证明：
任意三角形abc，作abc的外接圆o。

并作直径bd交⊙o于d，相连接da.
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度，
因为同弧所对的圆周角成正比，所以∠d等同于∠c。

所以c/sinc=c/sind=bd=2r。

相似可以证其余两个等式。

余弦定理余弦定理（第二余弦定理）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其他知识，则使用起来更为方便、灵活.直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫做这个锐角的余弦值.余弦定理性质三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，若三角形三边分别为a ，b ，c ，三角分别为A ，B ，C ，则满足性质：a 2=b 2+c 2-2bccosA ，b 2=c 2+ a 2-2cacosB ，c 2= a 2+b 2-2abcosC ，推论：2222cos b c a bc A +-= 2222cos c a b ca B +-= 2222cos a b c ab C +-=（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）.第一余弦定理（任意三角形射影定理）.设△ABC 的三边是a ，b ，c ，它们所对的角分别是A ，B ，C ，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A .余弦定理证明平面向量证法∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）.∴|c2|=(a+b)·(a+b)，∴|c2|=a·a+2a·b+b·b.∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ).（以上粗体字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-cosθ，∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ，（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2·a·b·cosC，即222 cos2+-=a b cCab同理可证其他.平面几何证法在任意△ABC中，∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a，作AD⊥BC.则有BD=cosB·c，AD=sinB·c，DC=BC-BD=a-cosB·c，根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB·c)2+(a-cosB·c)2，b2=(sinB·c)2+a2-2ac·cosB+(cosB)2·c2，b2=(sin2B+cos2B)·c2-2ac·cosB+a2，b2=c2+a2-2ac·cosB，222Bcos+-=c a b作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角.(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边.(见解三角形公式，推导过程略)判定定理一(两根判别法)：若记m(c1,c2)为c的值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值，①若m(c1,c2)=2,则有两解；②若m(c1,c2)=1,则有一解；③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解).注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算第二种情况，即有一解.判定定理二(角边判别法):（1）当a>bsinA时，①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解；②当b>a且cosA≤0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解；④当b=a且cosA≤0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；⑤当b<a时，则有一解.（2）当a=bsinA时，①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；②当cosA≤0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解).（3）当a<bsinA时,则有零解(即无解)，其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形的形状.同时，还可以用余弦定理求三角形边长的取值范围.解三角形时，除了用到余弦定理外还常用到正弦定理.。

(经典)最全余弦定理的10种证明方法——王彦文青铜峡一中一、余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即在ABC中，已知AB c5 BC a, CA b,则有a2 b2 c2 2bc cos A,b2 c2 a2 2ca cos B ,c2 a2 b2 2ab cos C・二、定理证明为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可：在ABC 中，已知AB c, AC b,及角A,求证：a2 b2 c2 2bc cos A・uuur uuur uuur证法一：如图1,在ABC中，由CB AB AC可得：uuur uuuruuur uuur uuur uuurCBCB (AB AC) (AB AC)uuur2uuur2 uuur uuurAB AC 2AB AC22b c 2bccosA即，a2 b2 c2 2bccosA.证法二:本方法要注意对A进行讨论.⑴当A是直角时，由b2 c2 2bccos A b2 c2 2bccos90 b2 c2 a?知结论成立.⑵当A是锐角时，如图2・1,过点C作CDAB,交AB于点D,贝U在Rt ACD 中，AD bcosA , CD bsi nA.从而，BD AB AD c bcosA.在Rt BCD中，由勾股定理可得：2型2BC乙BD' CD'c 22 门(c bcosA)2 (bsin A)222c2 2cbcosA b2即，a2 b2 c2 2bccosA.说明：图中只对B是锐角时符合，而B还可以是直角或钝角•若B是直角，图中的点D就与点B重合；若B是钝角，图中的点D就在AB的延长线上•(3)当A是钝角时，如图2-2,31点C作CDAB,交BA延长线于点D,则在Rt ACD中，ADbcos( A) bcosA, CD bsin( A) bsin A.从而，BD AB AD c bcosA.在Rt BCD中，由勾股定理可得：BC2 BD2 CD2(c bcosA)2 (bsi nA)222c 2cb cos A b即，a2 b2 c2 2bccosA.综上⑴,(2),(3)可知，均有a2 b2 c2 2bccos A成立.证法三：过点A作AD BC,交BC于点D,贝U在Rt ABD 中，sin 托ACD cb sin BD.1cCDb*cos.cosADcADbcos A cos( ) cos cos sin s in可得AD AD BD CD AD2BD CDCOA Ac b c b be由222222AD 2BD CDcBDb CD 2BD CD2bc 2bc2 222 2 2b2 c2 (BD CD)2 b2 c2 a22bc 2bc整理可得a2 b2 c2 2bc cos A.证法四：在ABC中，由正弦定理可得3»sin A sin B si nC sin(A B)从而有bsinA asin B ,csi nA a si n(A B) a si nAcosB a cos Asi nB.将①带入②，整理可得acosB c bcosA.将①，③平方相加可得a2 (c bcosA)2 (bsin A)2 b2 c2 2bc cos A .即，a2 b2 c2 2bc cos A .证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0) , B(c,0),C(bcosA,bsinA), QQ 0 0 Q 再由两点间距离公式可得a2 (c bcosA)2 (bsin A)2 c2 2cb cos A b2. 即,b2 c2 2bc cosA .证法六：在ABC中，由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rsi nB,c 2Rsi nC.于是，a2 4R2sin2 A 4R2sin2(B C)4R2(sin2 Bcos2C cos2 Bsin2C 2sin BsinCcosBcosC)222224R (sin B sin C 2sin Bsin C 2sin BsinC cosBcosC)4R々sin' B sin2C?sin B sin C cos(B C))2 2 24R (sin B sin C 2sin BsinCcosA)(2RsinB)? (2 R sin C)2 2(2Rsin B)(2Rsin B)cos A22 b c 2bc cos A即，结论成立・证法七:在ABC中，由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rsi nB,c 2Rsi nC.于是,a2 b2 c2 2bc cos A2222222 c C o o4R夕sin' A 4R2sin2 B 4R2sin2C 8R2 sin B sin C cos A2sin 2赏2sin2 B 2sin 2 C 4sin BsinC cos A22sin 2 A 2 cos2B cos2C 4sin B sin C cos A2 2cos2 A 2 2cos( B C)cos( B C) 4sin BsinC cosA由于cos(B C) cos( A) cosA,因此2cos A cos(B C)cos( B C) 2sin BsinCcosAcosA cos(B C) 2sin BsinC cosA cosBcosC sinBsinC cos(B C).这，显然成立・即，结论成立.心，以CA b为半径作eC,直线BC与eC交于点D,E，延长证法八：如图5,以点C为AB交eC于F，延长AC交eC于G .则由作图过程知AF 2bcosA ,故BF 2b cosA c .由相交弦定理可得:BA BF BD BE ,即，c (2b cos A c) (b a) (b a),整理可得：a2 b2 c2 2bc cos A.证法九：如图6,过C作CD// AB,交ABC的外接圆于D,则AD BC a, BD AC b.分别过C,D作AB的垂线，垂足分别为E,F,则AE BF bcosA,故CD c 2bcosA.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ,艮卩,a a c (c 2bcos A) b b ・整理可得：a2 b2 c2 2bc cosA・证法十:由图7-1和图7-2可得a2 (c bcos A)2 (bsin A)2,整理可得：a2 b2 c2 2bc cosA・余弦定理的证明方法还有很多，比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等•感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询。

余弦定理编辑
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广模式。

余玄定理
表达式
cos A=(b²+c²-a²)/2bc[1]
欧几里得
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

当已知三角形的三边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。

求边
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

求角
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果已知三角形的三条边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。

证明编辑
三角函数证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
使用同样的方式能够得到：
将两式相加：
向量证明
中，
，
，
：。

课题 余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，∴x＝3，或x＝5，∴AB＝21，或AB＝35.在△ABD中，AD＝AB sin B＝437AB，∴AD＝123，或AD＝20 3.例5：设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[正解]∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a＋1>0，a>0，2a－1>0，解得a>12，此时2a＋1最大．∵2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.设最长边所对角为θ，则cosθ＝a2＋(2a－1)2－(2a＋1)22a(2a－1)＝a(a－8)2a(2a－1)<0，解得12<a<8.∴a的取值范围是2<a<8.【课后巩固】1．在ABC∆中，已知Bac cos2=，试判断ABC∆的形状．2．在ABC∆中，已知cba+=2，CBA sinsinsin2=，试判断ABC∆的形状．3．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知ACD∆为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得︒=∠45CDB，︒=∠75BCD，试求炮击目标的距离AB．ACBD。

余弦定理定义及公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a2=b2+c2-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理
是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

《余弦定理》讲义一、引入在三角形中，我们常常需要求解边和角的关系。

除了大家熟悉的正弦定理，余弦定理也是一个非常重要的工具。

它能够帮助我们在已知三角形的某些边和角的情况下，求出其他未知的边和角。

二、余弦定理的内容对于任意三角形，若三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）这就是余弦定理的表达式。

三、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。

假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，对应的向量分别为\（＼overrightarrow{AB}＼）、＼（＼overrightarrow{AC}＼）。

＼（＼overrightarrow{AB}＼）＝＼（＼overrightarrow{B} ＼overrightarrow{A}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{A}＼）＼（＼vert ＼overrightarrow{AB} ＼vert\）＝ c，＼（＼vert ＼overrightarrow{AC} ＼vert\）＝ b＼（＼overrightarrow{AB} ＼cdot ＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼vert ＼overrightarrow{AB} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{AC} ＼vert ＼cos A\）＼＼begin{align}＼overrightarrow{AB} ＼cdot ＼overrightarrow{AC} ＆＝（＼overrightarrow{B} ＼overrightarrow{A}）＼cdot （＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{A}）＼＼＆＝＼overrightarrow{B} ＼cdot ＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{A} ＼cdot ＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{B} ＼cdot ＼overrightarrow{A} ＋＼overrightarrow{A} ＼cdot ＼overrightarrow{A}＼＼＆＝＼vert ＼overrightarrow{B} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{C}＼vert ＼cos （＼pi A) ＼vert ＼overrightarrow{A} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{C} ＼vert ＼cos C ＼vert ＼overrightarrow{B} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{A} ＼vert ＼cos B ＋＼vert ＼overrightarrow{A}＼vert^2\＼＼end{align}＼因为\（＼vert ＼overrightarrow{A} ＼vert^2 ＝ a^2\），＼（＼vert＼overrightarrow{B} ＼vert^2 ＝ b^2\），＼（＼vert ＼overrightarrow{C} ＼vert^2 ＝ c^2\）所以\（bc ＼cos A ＝＼frac{b^2 ＋ c^2 a^2}｛2}＼）即\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）同理可证\（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋b^2 2ab ＼cos C\）四、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角，求第三边例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 5，b ＝ 7，角 C ＝ 60°，求 c。

三角形的余弦定理三角形的余弦定理，也称作Cosine定理，是解决三角形问题时常用的重要定理之一。

它可以用来计算三角形中缺失的一边长度，或者计算三个角中的某一个角的大小。

通过余弦定理，我们可以更加灵活地处理三角形相关的计算和分析。

余弦定理可以用于任意一个三角形，不仅限于直角三角形。

该定理的表达方式如下：在一个三角形中，设边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表述为：c² = a² + b² - 2ab * cosC （1）a² = b² + c² - 2bc * cosA （2）b² = a² + c² - 2ac * cosB （3）在这三个表达式中，c是第三边的长度，A、B、C是三个角的大小，a、b、c是对应的边长。

通过这三个方程，我们可以互相推导计算。

通过余弦定理，我们可以解决各种与三角形相关的问题。

首先，我们可以计算三角形的某个边的长度，只要已知其他两边的长度和夹角的大小即可。

其次，我们也可以计算三角形中某个角的大小，只要已知其他两条边的长度和这个角的对边即可。

在实际问题中，余弦定理经常被用来解决测量和计算问题。

例如，当我们需要测量一个不规则的三角形中的一条边时，可以利用余弦定理进行计算。

又或者，当我们需要计算两个天线之间的距离时，如果我们知道了两个天线之间的夹角，以及与这个夹角对应的两边长度，就可以利用余弦定理进行计算。

此外，余弦定理也常常与正弦定理结合使用。

这两个定理配合使用可以解决更为复杂的三角形问题，例如计算一个三角形的面积。

正弦定理可以用来计算三角形的面积，而余弦定理则可以用来计算三角形的边长和角度。

总结而言，余弦定理是解决三角形问题时非常有用的工具之一。

它可以应用于各种类型的三角形，并且可以计算三角形的边长和角度。

通过掌握和应用这个定理，我们可以更加方便地解决与三角形相关的计算和分析问题。

余弦定理变形公式余弦定理是三角形中的重要定理之一，可用于求解三角形的边长和角度。

在求解问题时，我们经常需要将余弦定理进行变形，以便更方便地利用该定理解决问题。

余弦定理的一般形式为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c为三角形的边长，C为夹在边a和边b之间的角。

将其作为变形的基础，我们可以推导出一些常用的余弦定理的变形公式。

1.求解角度公式由余弦定理可知：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)通过对该公式进行反余弦函数的运算，可以求得角度C的值：C = arccos((a² + b² - c²) / (2ab))类似地，还可以得到求解其他角度的公式：A = arccos((b² + c² - a²) / (2bc))B = arccos((a² + c² - b²) / (2ac))这些公式使我们能够通过三角形的边长来求解其对应的角度，从而进一步分析和计算问题。

2.求解边长公式余弦定理也可用于求解三角形的边长。

如果我们已知三角形的两条边和夹角，我们可以利用余弦定理将求解边长的问题转化为求解方程的问题。

例如，假设我们已知边a、边b和夹角C，我们可以将余弦定理的公式重组为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)从而求解边c的值。

同样地，也可以通过变换公式求解其他边的长度：b² = a² + c² - 2ac*cos(B)a² = b² + c² - 2bc*cos(A)这些公式为我们在已知夹角和至少两条边长的情况下，求解另一边长提供了便利。

3.应用于求解直角三角形余弦定理的典型应用是在直角三角形中。

由于直角三角形的一个角度为90度，其对应边的长度可以直接得到，从而使得利用余弦定理简化为通过两个未知量的方程求解一个未知量的问题。