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数与式 （2）整式【知识回顾】一、代数式1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
2. 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值。
二、整式的有关概念：1. 整式： 和 统称为整式。
2. 单项式：表示数与字母的 的式子叫做单项式，其中单项式中的数字叫做单项式的 ，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的 ，单独的一个 或 也是单项式。
3. 多项式：几个单项式的 叫做多项式。
（项、次数）4. 同类项：所含字母相同，且相同字母的 也相同的项叫做同类项。
三、整式的运算1. 幂的运算性质：（1）同底数幂的乘法 （2）同底数幂的除法（3）幂的乘方 （4）积的乘方2. 整式的加减运算：（1）合并同类项法则：（2）去括号法则：3. 整式的乘除：（1）整式的乘法①单项式与单项式相乘，如：()=-∙abc b a 4242 ②单项式与多项式相乘：()=++c b a m ③多项式与多项式相乘：()()=++d c b a（2）整式的除法①单项式与单项式相除，如：()()=÷-y x y x 22336 ②多项式除以单项式，如：()()=÷+-a a a a 361527234. 乘法公式：平方差公式： 完全平方公式： 四、因式分解1. 定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式叫做把这个多项式因式分解。
2. 方法：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法3. 步骤：【基础训练】1. 单项式525ba -的系数是 ，次数是 。
2. 多项式3425223-+-y y x x 是 次 项式。
3. 若142-m b a 与323b a n -是同类项，则=m ，=n 。
4. 某校有a 间宿舍，每间住10人，最后一间只住6人，该校有 名学生。
5. 在下列各式的括号内填上适当的项（1）-=--x z y x （ ） （2）-=-+-12122y xy x （）6. =∙26a a ()=23ab =÷23m m7. ()=-ac c ab b a 23422 ()=-22x ()()=---11x x8. 若310,210==n m ，则._________1023=+n m9. 20052004125.08⨯=_______10. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______11. 直接写出下列多项式分解因式的结果：（1）=-+-3322963y x y x xy（2）()()=-+-a m a m 223（3）()++2b a （ ）()2b a -=【例题讲解】例1. 求()()b a ab ab b a 22223435+-+的值，其中3,31-==b a例2. （1）若代数式7322++x x 的值为8，求代数式9642-+x x 的值；（2）若x 为实数，说明代数式8632+-x x 的值大于0.例3. （1) ()()4322232y x y x xy -÷∙- (2)()()()212113+---+-a a a例4. 因式分解（1）y xy y x 8822+-（2） 22)2(4)2(25x y y x ---例5.计算图中阴影部分的面积。
第一部分 数与代数第一章 数与式第1讲 有理数A 级 基础题1．(易错题)在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．计算：－2＋3＝( C )A ．5B ．－5C ．1D ．－13．计算(－1)2 011的结果是( A )A ．－1B ．1C ．－2 011 D. 2 011 4．|－3|的相反数是( B ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－135．下列各式，运算结果为负数的是( D )A ．－(－2)－(－3)B ．(－2)×(－3)C ．(－2)2D ．(－3)－36．－3是( A )A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数7．某天最低气温是－5℃，最高气温比最低气温高8 ℃，则这天的最高气温是3℃. 8．如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x <y (填“＜”或“＞”)． 9．(中考改编)实数a 、b 在数轴上位置如图X1－1－1，则图X1－1－1(1)a ＋b <0； (2)|a |>|b |.10．(2011年江苏无锡)我市去年约有50 000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为5×104人．11．(2011年山东东营)北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震．本次地震导致地球当天自转快了0.000 001 6秒.0.000 001 6秒用科学记数法可以表示1.6×10－6秒.12．计算：(－2)2－(3－5)－4＋2×(－3)． 答案：－2B 级 中等题13．(2011年贵州安顺)－4的倒数的相反数是( D ) A ．－4B ．4C ．－14D.1414．一个数的绝对值是正数，则这个数是( C ) A ．有理数 B ．正数 C ．正数或负数 D ．正整数15．(2011年贵州安顺)已知地球距离月球表面约为383 900千米，那么这个距离用科学记数法表示为(保留三个有效数字)( B )A ．3.84×104千米B ．3.84×105千米C ．3.84×106千米D ．38.4×104千米16．(2011年重庆潼南)如图X1－1－2，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则a 、b 的大小关系为a ＜b .图X1－1－217．已知－3的相反数是a ，－2的倒数是b ，－1的绝对值是c ，则a ＋2b ＋3c ＝5. 18．(2010年江苏南通)计算：(－4)2＋(π－3)0－23－|－5|. 答案：4C 级 拔尖题19．若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( B ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．420．(2010年河北)如图X1－1－3，矩形ABCD 的顶点A 、B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为－1，则点B 所对应的数为5.图X1－1－32012年预测21．定义a ※b ＝a 2－b ，则(1※2)※3＝－2. 22．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数．如：2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数是11－－＝12.已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数……依此类推，则a 2 012＝34. 解析：a 1＝－13，a 2＝34，a 3＝4，a 4＝－13，a 5＝34循环节是3,2 012除以3余2，∴a 2 012＝34. 23．(2010年江苏盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是( D )A ．38B ．52C ．66D ．74第2讲 实数A 级 基础题1．在－3，－3，－1,0这四个实数中，最大的是( D ) A ．－3 B ．－ 3 C ．－1 D.0 2．下列计算正确的是( C )A ．20＝0B ．3－1＝－3C.9＝3D.2＋3＝ 53．计算()－12＋()－13＝( C )A ．－2B ．－1C ．0D ．24．(易错题)(2010年山东青岛)由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是( C )A.精确到十分位，有2个有效数字 B ．精确到个位，有2个有效数字 C.精确到百位，有2个有效数字 D.精确到千位，有4个有效数字5．(2010年福建德化)下列计算正确的是( B )A.20＝210B.2·3＝ 6C.4－2＝ 2D.－2＝－3 6．计算13－12的结果是( D ) A ．－73 3 B.33－3 2C. 3 D ．－5337．如图X1－2－1，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( A )图X1－2－1A ．－2－ 3B ．－1－ 3C ．－2＋ 3D ．1＋ 38．(2011年广东梅州模拟)已知3a ＋1＋b －1＝0，则－a 2－b 2 011＝－109.9．已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是494.10．(2010年河南)若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图X1－2－2图X1－2－211．(2011年浙江台州)计算：|－1|＋(2－1)0＋32. 解：原式＝1＋1＋9＝11.12．(2011年山东东营)计算： (－1)2 011－|－7|＋9×(7－π)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1.解：原式＝－1－7＋3×1＋5＝0.B 级 中等题13．(2011年贵州贵阳)如图X1－2－3，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( D )图X1－2－3A ．2.5B ．2 2 C. 3 D. 514．(2011年湖南湘潭)规定一种新的运算：a ⊗b ＝1a ＋1b ，则1⊗2＝112.15．(2010年浙江杭州)先化简23－⎝ ⎛⎭⎪⎫16 24－32 12，再求得它的近似值为5.20(精确到0.01，2≈1.414，3≈1.732)．16．(2011年江苏盐城)将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,7)表示的两数之积是1 第1排2 3第2排 6 1 2第3排 3 6 1 2第4排 3 6 1 2 3第5排 …… ……17.(2011年四川内江)计算：3tan30°－(π－2011)0＋8－|1－2|.解：原式＝3×33－1＋2 2－2＋1＝2＋1. C 级 拔尖题18．(2011年四川凉山州)计算：(sin30°)－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35－20－|3－18|＋83×(－0.125)3.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋1－(3 2－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－183＝4＋1－3 2＋3－1＝7－3 2.19．(2010年山东莱芜)已知： C 23＝3×21×2＝3，C 35＝5×4×31×2×3＝10，C 46＝6×5×4×31×2×3×4＝15，….观察上面的计算过程，寻找规律并计算C 610＝210. 解析：C 610＝10×9×8×7×6×51×2×3×4×5×6＝210.2012年预测20．设a ＝20，b ＝(－3)2，c ＝3－27，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 －1，则a 、b 、c 、d 按由小到大的顺序排列，正确的是( A )A ．c <a <d <bB ．b <d <a <cC ．a <c <d <bD ．b <c <a <d21．使12n 是整数的最小正整数n ＝3.22．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－(π＋3)0－cos30°＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－1.解：原式＝2－1－32＋2 3＋1－32＝2＋ 3.第3讲 代数式A 级 基础题1．某省初中毕业学业考试的同学约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有( B ) A ．(15＋a )万人 B ．(15－a )万人 C ．15a 万人 D.15a万人2．若x ＝m －n ，y ＝m ＋n ，则xy 的值是( D ) A ．2 m B ．2 n C ．m ＋n D ．m －n3．(2010年湖南怀化)若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( B )A ．2B ．4 C.32 D.124．(2011年湖北襄阳)若x 、y 为实数，且||x ＋1＋y －1＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 011的值是( C )A ．0B ．1C ．－1D ．－20115．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．56．(易错题)(2010年浙江嘉兴)用代数式表示“a 、b 两数的平方和”，结果为a 2＋b 2. 7．(2011年河北)若||x －3＋||y ＋2＝0，则x ＋y 的值为1.8．一筐苹果总重x 千克，筐本身重2千克，若将苹果平均分成5份，则每份重x －25千克.9．(2010年江苏苏州)若代数式2x ＋5的值为－2，则x ＝－72.10．已知代数式2a 3b n ＋1与－3a m ＋2b 2是同类项，2m ＋3n ＝5.11．(2010年湖北黄冈)通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟是1.25b ＋a 元.12．(2011年浙江宁波)先化简，再求值． (a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5.解：原式＝a 2－4＋a －a 2＝a －4， 当a ＝5时，原式＝5－4＝1.13．(2011年浙江丽水)已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 解：由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7 ＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2， ∴当x ＝2时，原式＝14.B 级 中等题 14．(2010年山东济宁)若代数式x 2－6x ＋b 可化为(x －a )2－1，则b －a 的值是5. 15．如图X1－3－1，点A 、B 在数轴上对应的实数分别为m 、n ，则A 、B 间的距离是 n －m (用含m 、n 的式子表示)．图X1－3－116．(2011年山东枣庄)若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3.17．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2； ②ab ＋bc ＋ca ； ③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的是( D )A ．①② B．①③ C．②③ D．①②③18．(2011年江苏宿迁)已知实数a 、b 满足ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式a 2b ＋ab 2的值． 答案：2C 级 拔尖题19．(2010年四川凉山州)已知：x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y )的值等于12.解析：x 2－4x ＋4＋|y －1|＝(x －2)2＋|y －1|＝0，∴x ＝2，y ＝1，再把x 、y 的值代入式子即可．20．(2010年浙江杭州)已知直四棱柱的底面是边长为a 的正方形，高为h ，体积为V ，表面积等于S .(1)当a ＝2，h ＝3时，分别求V 和S ；(2)当V ＝12，S ＝32时，求2a ＋1h的值.解：(1)V ＝a 2h ＝12，S ＝4ah ＋2a 2＝32.(2)V ＝a 2h ＝12，S ＝4ah ＋2a 2＝32.∵S V ＝4a ＋2h ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1h ＝3212， ∴2a ＋1h ＝43. 2012年预测21．根据图X1－3－2的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为4.图X1－3－222．已知A ＝2x ，B 是多项式，在计算B ＋A 时，“小马虎”同学把B ＋A 看成了B ÷A ，结果得x 2＋12x ，则B ＋A ＝2x 3＋x 2＋2x .23．一组按一定规律排列的式子(a ≠0)： －a 2，a 52，－a 83，a 114，…则第n 个式子是(－1)na 3n －1n(n 为正整数)．第4讲 整式与分式第1课时 整式A 级 基础题1．计算(2x )3÷x 的结果正确的是( A )A ．8x 2B ．6x 2C ．8x 3D ．6x 32．(2011年湖北宜昌)下列计算正确的是( D )A ．3a －a ＝3B ．2a ·a 3＝a 6C ．(3a 3)2＝2a 6D ．2a ÷a ＝23．(2010年四川宜宾)下列运算中，不正确的是( B )A ．x 3＋x 3＝2x 3B ．(－x 2)3＝－x 5C ．x 2·x 4＝x 6D ．2x 3÷x 2＝2x4．(2011年山东泰安)下列运算正确的是( B )A ．3a 3＋4a 3＝7a 6B ．3a 2－4a 2＝－a 2C ．3a 2·4a 3＝12a 3D ．(3a 3)2÷4a 3＝34a 25．(2011年山东日照)下列等式一定成立的是( D )A ．a 2＋a 3＝a 5B ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2C ．(2ab 2)3＝6a 3b 6D ．(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab6．(2011年浙江金华)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是( D )A ．x 2＋1B ．x 2＋2x －1C ．x 2＋x ＋1D ．x 2＋4x ＋47．(2010年辽宁丹东)图X1－4－1(1)是一个边长为(m ＋n )的正方形，小颖将图X1－4－1(1)中的阴影部分拼成图1(2)的形状，由图能验证的式子是( B )图X1－4－1A ．(m ＋n )2－(m －n )2＝4mnB ．(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝2mnC ．(m －n )2＋2mn ＝m 2＋n 2D ．(m ＋n )(m －n )＝m 2－n 28．(2011年湖北荆州)将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( C )A ．(x －2)2＋3B ．(x ＋2)2－4C ．(x ＋2)2－5D ．(x ＋2)2＋4 9．计算：(1)(3＋1)(3－1)＝2；(2)(a 2b )2÷a ＝a 3b 2；(3)(－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 3－1＝－12a 4＋2a . 10．(a ＋b )2＋a (a －2b ) .解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋a 2－2ab ＝2a 2＋b 2.11．(2010年湖南益阳)已知x －1＝3，求代数式(x ＋1)2－4(x ＋1)＋4的值．解：原式＝[(x ＋1)－2]2＝(x －1)2， 又x －1＝3，∴(x －1)2＝(3)2＝3. 12．化简：(a ＋2b )(a －2b )－12b (a －8b )．解：(a ＋2b )(a －2b )－12b (a －8b )＝a 2－4b 2－12ab ＋4b 2＝a 2－12ab .B 级 中等题13．已知一个多项式与3x 2＋9x 的和等于3x 2＋4x －1，则这个多项式是( A ) A ．－5x －1 B ．5x ＋1 C ．13x －1 D ．13x ＋114．(2011年安徽芜湖)如图X1－4－2，从边长为(a ＋4)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()a ＋1cm 的正方形(a >0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( D )图X1－4－2A ．(2a 2＋5a )cm 2B ．(3a ＋15)cm 2C ．(6a ＋9)cm 2D ．(6a ＋15)cm 215．(2011年湖南衡阳)先化简，再求值．()x ＋12＋x ()x －2，其中x ＝－12. 解：原式＝x 2＋2x ＋1＋x 2－2x ＝2x 2＋1，当x ＝－12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝12＋1＝32.16．先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b )(2a ＋b )－3a 2，其中a ＝－2－3，b ＝3－2.解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋2a 2－ab －b 2－3a 2＝ab .当a ＝－2－3，b ＝3－2时，原式＝(－2－3)(3－2)＝(－2)2－(3)2＝1.17．(2011年江苏南通)先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b ) (2a －b )，其中a ＝2，b ＝1.解：原式＝2a (2a －b )，当a ＝2，b ＝1时，原式＝12.C 级 拔尖题 18．(2010年四川巴中)若2x －y ＋|y ＋2|＝0，求代数式[(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x 的值．解：由2x －y ＋|y ＋2|＝0， 得2x －y ＝0，y ＋2＝0， ∴x ＝－1，y ＝－2.又[(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x＝(x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2)÷2x ＝x －y ， ∴x －y ＝－1－(－2)＝1.19．(2011年湖南益阳)观察下列算式：① 1 × 3－22＝3－4＝－1；② 2 × 4－32＝8－9＝－1；③ 3 × 5－42＝15－16＝－1； ④ __________________________； ……(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)成立，因为n ()n ＋2－()n ＋12＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1 ＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1.2012年预测20．先化简，再求值：a (a －3)＋(2－a )(2＋a )，其中a ＝1.解：原式＝a 2－3a ＋4－a 2＝－3a ＋4， 当a ＝1时，原式＝1.21．如图X1－4－3，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i ＝1,2,3，…，j ＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a 53＝7. 则：(1)(a 23－a 22)＋(a 52－a 53)＝0；(2)此数表中的四个数a np 、a nk 、a mp 、a mk 满足(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝0.图X1－4－3第2课时 因式分解A 级 基础题 1．(2011年山东滨州)分解因式：x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．2．(2011年浙江台州)因式分解：a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2.3．(2011年浙江绍兴)分解因式：x 2＋x ＝x ()x ＋1 .4．(2011年安徽)因式分解：a 2b ＋2ab ＋b ＝b (a ＋1)2.5．(2011年江西)因式分解：x 3－x ＝x (x ＋1)(x －1)．6．(2011年安徽芜湖)因式分解 x 3－2x 2y ＋xy 2＝x (x －y )2. 7．若非零实数a 、b 满足4a 2＋b 2＝4ab ，则b a＝2.8．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b )[如图X1－4－4(1)]，把余下的部分拼成一个矩形[如图X1－4－4(2)]，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( C )图X1－4－4A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ＋2b )(a －b )＝a 2＋ab －2b 29．(易错题)(2010年北京)把a 3－4ab 2因式分解，结果正确的是( C )A ．a (a ＋4b )(a －4b )B ．a (a 2－4b 2)C ．a (a ＋2b )(a －2b )D ．a (a －2b )210．(2010年福建龙岩)给出三个单项式：a 2、b 2、2ab . (1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；(2)当a ＝2 010，b ＝2 009时，求代数式a 2＋b 2－2ab 的值． 解：(1)答案不唯一，例如，若选a 2、b 2，则a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．若选a 2、2ab ，则a 2－2ab ＝a (a －2b )． (2)当a ＝2010，b ＝2009时， a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝1.B 级 中等题11．(2010年山东莱芜)因式分解： －x 3＋2x 2－x ＝－x (x －1)2. 12．因式分解：x (x －1)－3x ＋4＝(x －2)2.13．(2011年山东潍坊)分解因式：a 3＋a 2－a －1＝(a ＋1)2(a －1)．14．(2010年浙江舟山)如图X1－4－5，边长为(m ＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( A )图X1－4－5A.2m ＋3 B ．2m ＋6C ．m ＋3D ．m ＋6 解析：m ＋2－m23＝2m ＋3.15．(2011年河北)下列分解因式正确的是( D )A ．－a ＋a 3＝－a (1＋a 2) B ．2a －4b ＋2＝2(a －2b )C ．a 2－4＝(a －2)2D ．a 2－2a ＋1＝(a －1)2C 级 拔尖题16．(2011年四川凉山州)分解因式：－a 3＋a 2b －14ab 2＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2.17．对于任意自然数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除，为什么？解：能．理由如下：因为(n ＋11)2－n 2＝(n ＋11＋n )·(n ＋11－n ) ＝(2n ＋11)·11， 所以能被11整除．2012年预测18．分解因式：a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．19．已知实数a 、b 满足xy ＝5，x ＋y ＝7，求代数式x 2y ＋xy 2的值． 答案：3520．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．解：对a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4进行变形． ∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4， ∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)． ∴c 2＝a 2＋b 2或a 2－b 2＝0.∴△ABC 是直角三角形或等腰三角形． 第3课时 分式A 级 基础题1．计算1a －1－a a －1的结果为( C ) A.1＋a a －1 B ．－aa －1C ．－1D ．1－a 2．若分式x －1x －x －有意义，则x 应满足的条件是( C )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．以上结果都不对3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立： (1)2ab＝xab2xa 2b2； (2)a 3－ab 2a －b 2＝a a ＋b a －b. 4．(2011年北京)若分式x －8x的值为0，则x 的值等于8. 5．约分：56x 3yz 448x 5y 2z ＝7z36x 2y；x 2－9x －2x －3＝x ＋3x ＋1.6．已知a －b a ＋b ＝15，则a b ＝32. 7．当x ＝－1_时，分式x 2－2x －3x －3的值为零.8．(2011年江苏泰州)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b ＋b 2a ＋b ·a ＋b a . 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b ＋b 2a ＋b ·a ＋b a＝a 2－b 2＋b 2a ＋b ·a ＋b a ＝a 2a ＋b ·a ＋ba＝a .9．(2011年湖南株洲)当x ＝－2时，求x 2x ＋1＋2x ＋1x ＋1的值． 解：原式＝x 2＋2x ＋1x ＋1＝x ＋2x ＋1＝x ＋1.当x ＝－2时，原式＝x ＋1＝－2＋1＝－1. 10．(2011年湖南邵阳)已知1x －1＝1，求2x －1＋x －1的值． 解：∵1x －1＝1，∴x －1＝1. 故原式＝2＋1＝3.11．(2011年广东珠海模拟)先化简，再求值．x 2＋4x ＋4x ＋2÷()x 2＋2x ，其中x ＝ 2 .答案：22B 级 中等题12．(2010年湖北黄冈)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3－x ＋1x 2－1·(x －3)的结果是( B )A ．2 B.2x －1C.2x －3 D.x －4x －113．(2010年广东清远)先化简，再求值．x 2＋y 2x －y ＋2xy y －x，其中x ＝3＋2，y ＝3－ 2. 解：原式＝x 2＋y 2－2xy x －y ＝x －y2x －y＝x －y .当x ＝3＋2，y ＝3－2时，原式＝2 2.14．(2010年福建晋江)先化简，再求值．⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－1x ，其中x ＝2－2. 解法一：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x ＋x －x ＋－x x －x －x ＋·x 2－1x＝3x 2＋3x －x 2＋x x －x ＋·x 2－1x＝2x 2＋4x x －x ＋·x 2－1x＝2x x ＋x －x ＋·x ＋x －x＝2(x ＋2)，当x ＝2－2时，原式＝2(2－2＋2)＝2 2.解法二：原式＝3x x －1·x 2－1x －x x ＋1·x 2－1x＝3xx －1·x －x ＋x－x x ＋1·x －x ＋x＝3(x ＋1)－(x －1)＝3x ＋3－x ＋1＝2x ＋4， 当x ＝2－2时，原式＝2(2－2)＋4＝2 2. 15．(2011年湖南常德)先化简，再求值.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1x ＋1，其中x ＝2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x －2x ＋x －·x ＋1x －1＝xx ＋1·x ＋1x －1 ＝x x －1.当x ＝2时，原式＝2.16．(2011年四川重庆)先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x－1＝0.解：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1＝x －x ＋－x x －x x ＋÷2x 2－x x 2＋2x ＋1＝2x －1x x ＋×x ＋2x x －＝x ＋1x 2. 当x 2－x －1＝0时，即x 2＝x ＋1，原式＝1.C 级 拔尖题 17．已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x2的值．解：由x 2－3x －1＝0知x ≠0， 两边同除以x 得x －1x＝3，原式＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＝32＋2＝11.2012年预测18．当x ＝1时，分式3x －1无意义. 19．先化简，再求值： (a ＋2a 2－2a ＋84－a 2)÷a －2a(a 取你喜欢的一个值)． 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2a a －－8aa a －a ＋×a a －2＝a ＋2a －2－8a a －2a ＋＝1a ＋2. 取a ＝0，则原式＝12.。
2017中考数学知识点【代数式】一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时，是从外形来看。
如，=x, =│x│等。
4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。
7.算术平方根⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);⑵算术平方根与绝对值①联系：都是非负数， =│a│②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数⑴ ( —幂，乘方运算)① a>0时， >0;②a0(n是偶数)， 0)(正用、逆用)10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：a. ;b. ;c. .11.科学记数法： (1≤a<10,n是整数。
2017届中考数学第一单元数与式第3讲分式知识梳理（冀教版）第3讲分式一、知识清单梳理知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念（1）分式：形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;③;④，其中是分式是②③④；最简分式③.2.分式的意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.例：当的值为0时，则x＝-1.3.基本性质(1)基本性质：(C≠0)．（2）由基本性质可推理出变号法则为：；.由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：=.知识点三：分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即；(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式和的最简公分母为.5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即ac±bc＝a±bc；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即ab±cd＝ad±bcbd. 例：＝－1.6.分式的乘除法(1)乘法：ab•cd＝acbd；(2)除法：＝；(3)乘方：＝(n为正整数).例：＝；＝2y；＝.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.。
第一部分 考点研究第一章 数与式第4课时 分式 江苏近4年中考真题精选(2013~2016)命题点1 分式及其性质(2016年5次，2015年3次，2014年2次，2013年3次)1. (2014无锡3题3分)分式22x -可变形为( ) A. 2x x + B. －22x + C. 22x - D. －2x －22. (2016淮安9题3分)若分式51-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．3. (2016盐城10题3分)当x ＝________时，分式132x x -+的值为0.命题点2 分式化简及求值(2016年9次，2015年10次，2014年9次，2013年11次)4. (2014南通6题3分)化简21x x -＋1xx -的结果是( )A. x ＋1B. x －1C. －xD. x5. (2016扬州11题3分)当a ＝2016时，分式242a a --的值是________．6. (2016南京18题7分)计算：1a a -－311a a --.7. (2016徐州19(2)题5分)计算：211x x -+÷2221x x x x -+-.8. (2014徐州19(2)题5分)计算：(a ＋12a -)÷(1＋12a -)．9. (2013淮安19(2)题4分)计算：3a ＋(1＋12a -)·221a aa --.10. (2015南京19题7分)计算：(222a b -－21a ab -)÷a a b +.11. (2015盐城20题8分)先化简，再求值：(1＋211a -)÷()31a a +，其中a ＝4.12. (2016盐城20题8分)先化简，再求：(2x x -＋22444x x x --+)×12x +的值，其中x ＝3.13. (2013泰州17(2)题6分)先化简，再求值：32x x --÷(x ＋2－52x -)，其中x ＝5－3.14. (2015淮安20题6分)先化简(1＋12x -)÷2144x x x --+，再从1，2，3三个数中选择一个合适．．的数作为x 的值，代入求值．15. (2013连云港19题6分)先化简，再求值：(1m －1n )÷222m mn n mn-+，其中m ＝－3，n ＝5.16. (2013盐城20题8分)先化简，再求值：(x －1)÷(22x +－1)，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．答案1. D 【解析】22)2(222--=--=-x x x . 2. x ≠5 【解析】∵分式有意义的条件为分式的分母不能为0，∴x －5≠0，即x ≠5.3. 1 【解析】本题考查了分式值为0的条件，当一个分式的分子为0而分母不为0时，分式的值为0.当x －1＝0，即x ＝1时，3x ＋2＝5≠0，所以当x ＝1时，132x x -+的值为0.4. D 【解析】原式＝21x x -－1-x x ＝21x x x --＝()11x x x --＝x . 5. 2018 【解析】当a ＝2016时，2)2)(2(242--+=--a a a a a ＝a ＋2＝2018. 6. 解：原式＝=+-+-+=+---+=+----)1)(1(13)1)(1()13()1()1)(1(1312a a a a a a a a a a a a a a a .11)1)(1(12+-=+--a a a a a ）（ 7. 解：原式＝()()111x x x +-+÷()()211x x x --＝()()111x x x +-+×()()211x x x --＝x . 8. 解：原式＝.1122)1(21211)2(2-=--⋅--=-+-÷-+-a a a a a a a a a a 9. 解：原式＝.431)2(2123a a a a a a a a a =+=--⋅-+-+10. 解：原式＝[2（a ＋b ）（a －b ）－1a （a －b ）]·a ＋b a ＝2a －（a ＋b ）a （a ＋b ）（a －b ）·a ＋b a ＝a －b a （a ＋b ）（a －b ）·a ＋b a ＝21a. 11. 解：原式＝a 2－1＋1（a ＋1）（a －1）·3（a ＋1）a ＝a 2（a ＋1）（a －1）·3（a ＋1）a＝3a a －1， 当a ＝4时，原式＝3×44－1＝4. 12. 解：原式＝[x x －2＋2（x －2）（x －2）2]×1x ＋2＝(x x －2＋2x －2)×1x ＋2＝x ＋2x －2×1x ＋2＝1x －2. 当x ＝3时，原式＝1x －2＝1. 13. 解：原式＝x －3x －2÷x 2－4－5x －2＝x －3x －2÷（x －3）（x ＋3）x －2＝x －3x －2·x －2（x －3）（x ＋3）＝1x ＋3. 当x ＝5－3时，原式＝15－3＋3＝15＝55， 14. 解：原式＝(x －2x －2＋1x －2)÷x －1（x －2）2＝x －1x －2·（x －2）2x －1＝x －2，∵x ＝1，2都使分式没有意义，∴只有3适合代入求值．当x ＝3时，原式＝3－2＝1.15. 解：原式＝n －m mn ÷（m －n ）2mn＝n －m mn ·mn（m －n ）2＝n －m mn ·mn （n －m ）2＝1n m ，当m ＝－3，n ＝5时，原式＝15－（－3）＝18.16. 解：原式＝(x －1)÷112+--x x＝(x －1)÷11+-x x＝(x －1)·x x -+11＝－x －1，由x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根，解得x ＝－1或x ＝－2. 当x ＝－1时，x ＋1＝0，原分式无意义，所以x ＝－1舍去； 当x ＝－2时，原式＝－(－2)－1＝2－1＝1.。
专题2：代数式和因式分解一、选择题1.(2017北京第2题)若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠ 【答案】D. 【解析】试题分析：由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0,解得x ≠4.故选D. 考点：分式有意义的条件2,(2017北京第7题)如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的值是（ ）A ． -3B ． -1 C. 1 D ．3 【答案】C. 【解析】试题分析：原式=2224(2)22a a a a a a a a -⋅=+=+- ，当2210a a +-= 时，221a a += .故选C. 考点：代数式求值3.(2017天津第6题)估计38的值在（ ）A ．4和5之间B ．5和6之间 C. 6和7之间 D ．7和8之间 【答案】C. 【解析】试题分析：由36＜38＜49，即可得6＜38＜7，故选C.4. (2017天津第7题)计算111+++a a a 的结果为（ ） A ．1 B ．a C. 1+a D ．11+a【答案】A. 【解析】试题分析：根据同分母的分式相加减的法则可得，原式=111a a +=+，故选A. 5.(2017福建第4题)化简2(2)x 的结果是（ ）A ．4xB ．22xC ． 24x D ．4x 【答案】C【解析】（2x ）2=4x 2；故选C.6.（2017湖南长沙第2题）下列计算正确的是（ ） A ．532=+ B ．222a a a =+ C ．xy x y x +=+)1( D ．632)(mn mn =【答案】C考点：1、同类项，2、同类二次根式，3、单项式乘以多项式，4、积的乘方 7.（2017广东广州第4题）下列运算正确的是（ ） A ．362a b a b ++= B ．2233a b a b++⨯= C. 2a a = D ．()0a a a =≥ 【答案】D 【解析】 试题分析：因为3626a b a b +=+，故A 错，又22233a b a b++⨯=，B 错， 因为2||a a =，所以，C 也错，只有D 是正确的。
