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第九节ꢀ函数模型及其应用内容索引【教材·知识梳理】1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogx+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)a幂函数模型f(x)=ax n+b (a,b为常数,a≠0)2.三种函数模型的性质ꢀꢀ函数性质ꢀꢀy=a x (a>1)y=log a x(a>1)y=x n (n>0)在(0,+∞)上的增减性递增递增单调_____单调_____单调递增相对平稳增长速度越来越快越来越慢随x 的增大,逐渐表随x 的增大,逐渐表y 轴x 轴现为与____平行现为与____平行图象的变化随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x ,当x>x 时,有log x<x n <a x 00a【常用结论】“对勾”函数：形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(-∞，-]和[，+∞)上单调递增，在[-，0)和(0，]上单调递减.(2)当x>0时，x=时取最小值2，当x<0时，x=-时取最大值-2.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(ꢀꢀ)(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(ꢀꢀ)(3)幂函数增长比直线增长更快.(ꢀꢀ),使(ꢀꢀ)(4)不存在x提示:(1)×.当x=-1时,2-1<(-1)2.(2)×.“指数爆炸”是针对b>1,a>0的指数型函数y=a·b x+c.(3)×.幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有任何条件限制.(4)×.当a∈(0,1)时存在x,使【易错点索引】序号易错警示典题索引1 2 3 4 5忽略图象的横纵坐标的意义忽略图象的变化趋势考点一、T1考点一、T2、4考点二、T3忽略函数的表示方法(列表)忽略自变量的取值考点三、角度1考点三、角度2忽略基本不等式成立的条件【教材·基础自测】1.(必修1P67例4改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(ꢀꢀ)A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元【解析】选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.2.(必修1P69习题2-3AT7改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件.ꢀ【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120巩固与提高T9改编)某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年繁殖到________只.ꢀy=alog3【解析】依题设知alog3=100,a=100.当x=8时,y=100log9=200.33答案:200考点一ꢀ利用图象刻画实际问题ꢀ【题组练透】1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是(ꢀꢀ)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【解析】选A.由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.2.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图【解析】选C.设BC=x m,则DC=(16-x)m,由得a≤x≤12.矩形面积S=x(16-x)≤=64.当x=8时取等号.当0<a≤8时,u=f(a)=64;当a>8时,由于函数在[a,12]上为减函数,=f(a)=a(16-a).所以当x=a时,矩形面积取最大值Smax3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是(ꢀꢀ)【解析】选A.若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10℃,所以当t=12时,平均气温应该为10℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.4.(2020·广州模拟)某罐头加工厂库存芒果m(kg),今年又购进n(kg)新芒果后,欲将芒果总量的三分之一用于加工芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为f(kg),最少为f(kg),则下列选项中最能准确描述f,f分别与n的关系的是1212世纪金榜导学号(ꢀꢀ)【解析】选A.要使得被加工为罐头的新芒果最少,尽量使用库存芒果,即当≤m,n≤2m时,f=0,当n>2m时,f=-m=>0,对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多,则尽量使用新芒果,即当≤n,n≥时f 1=>n,n<时f1=n,因为<2m,所以A符合题意.,当22【规律方法】ꢀ判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.考点二ꢀ已知函数模型求解实际问题ꢀ【典例】1.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+ 20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.100台C.150台B.120台D.180台2.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表:月份用气量4 m3煤气费4元一月份二月份三月份25 m335 m314元19元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元(ꢀꢀ)3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下:x1234f(x) 4.00 5.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.则你认为最适合的函数模型的序号是________.ꢀ【解题导思】序号联想解题1 2 3由销售收入不小于总成本,想到销售收入≥总成本由f(x)的解析式考虑用待定系数法求A,B,C的值由三个模拟函数选择,想到逐个验证求解【解析】1.选C.设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+ 5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量是150台.2.选A. 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.3.若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10, f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b =3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此时,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据表中数据得解得a=,经检验是最适合的函数模型.答案:①【规律方法】ꢀ求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【变式训练】1.(2020·中山模拟)据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=(A,c为常数).已知某工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是(ꢀꢀ)A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由题意可知4<A,则2.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用P=lg n来记录A菌个数的资料,其中n为A菌的个数,现A A A有以下几种说法:≥1;①PA②若今天的P值比昨天的P值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;A A③假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<P<5.5(注:lg 2≈0.3).A则正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)【解析】当n=1时,P=0,故①错误;若P=1,则n=10,若P=2,则n=100,故②错误;A A A A A AB菌的个数为n=5×104,所以n==2×105,所以P=lg n=lg 2+5.又因为B A A Alg 2≈0.3,所以5<P<5.5,故③正确.A答案:③考点三建立数学模型解决实际问题考什么:(1)阅读语言文字的能力,实际问题与数学问题之间的转化能力,命常见的初等函数,对勾函数,分段函数的性质等问题.题(2)考查数学运算、数学抽象、数学建模等核心素养.精怎么考:三种题型都有可能考查,考查学生的数学素养、数学建模思想、解转化与化归思想等.读新趋势:以现实问题为载体,函数与实际问题、数与形、函数性质与最值交汇考查.形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函学数模型的单调区间及最值如下霸(1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]好上单调递减.(2)当x>0时,x=当x<0时,x=-方法时取最小值2,时取最大值-2.命题角度1初等函数模型及其应用【典例】(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年C.2022年B.2021年D.2023年【解析】选C.若2019年是第1年,则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C.【解后反思】每年投入的科研经费比上一年增长12%,说明每年经费是上一年的多少倍?提示:说明每年经费是上一年的1.12倍.命题角度2 对勾函数模型及其应用【典例】为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C=8,所以k=40,所以C(x)=(0≤x≤10),所以f(x)=6x+(0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.令3x+5=t,t∈[5,35],则y=2t+-10≥2-10=70(当且仅当2t=,即t=20时等号成立),此时x=5,因此f(x)的最小值为70.所以隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.【解后反思】对勾函数求最值应注意什么?提示:对勾函数求最值一定要注意该函数的单调性,然后再求最值.命题角度3分段函数模型及其应用【典例】(2020·潍坊模拟)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低,当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变.设地面气温为22℃,大约每上升1 km大气温度降低6℃,则y关于x的函数关系式为________.世纪金榜导学号【解析】由题意知,y是关于x的分段函数,x=11为分界点,易得其解析式为y=答案:y=【解后反思】实际问题中分段函数的适用条件是什么?提示:实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.【题组通关】【变式巩固·练】1.要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.【解析】设长方体容器底面矩形的长、宽分别为x m,y m,则y=,所以容器的总造价为z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,由基本不等式得, z=20+20×16≥40+320=480,当且仅当x=y=4,即底面是边长为4 m的正方形时,总造价最低.答案:4802.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.【解析】①价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.②设促销前总价为a元,a≥120,李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值为=15,所以x最大值为15.答案:①130②15【综合创新·练】1.(2019·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【解析】选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y=m+4a,乙食堂的营业额y=m×(1+x)4=,12因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.2.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资).。
一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。
