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一类半线性退化抛物方程在无界区域上全局吸引子的存在性齐渊【摘要】讨论了一类带有退化算子的抛物方程当非线性项满足多项式增长条件时,在无界区域上的全局吸引子的存在性问题.【期刊名称】《陇东学院学报》【年(卷),期】2018(029)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】退化算子;无界区域;全局吸引子;尾估计方法;渐进先验估计【作者】齐渊【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O19现代数学物理的一个重要分支是探讨动力系统的长时间渐进行为，而研究这个问题的方式之一就是考虑耗散动力系统的全局吸引子。
一大类非退化偏微分方程的全局吸引子的存在性已经被证明[1-3]。
尤其是近些年来，含有Grushin型算子：Gku=Δxu+|x|2kΔyu,k≥0的半线性抛物方程的解的长时间行为在自治和非自治的情况下都有被研究[4-8]。
该算子首次由Grushin在[9]中讨论过，注意到G0=Δ，是Laplacian算子，而当k>0时，算子Gk在与面x=0相交的区域内不再是椭圆的。
Anh,C.T.等人在文献《Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator》中，讨论了非线性项满足次临界增长条件和任意多项式增长条件下，含有Grushin型算子的抛物方程在有界区域上的全局吸引子的存在性问题。
在本文中，我们考虑了下列含有G算子的半线性退化抛物方程解的长时间渐进行为：(1)在这里，λ>0,u0∈L2(RN)，非线性项f和外力项g满足以下条件：(F)f:RN×R→R是连续函数，并且，f(X,u)u≥α1|u|p-C1(X)(2)|f(X,u)u|≤α2|u|p-1+C2(X)(3)fu(X,u)≥α3(4)其中，α1,α2,α3是正常数，C1(·)∈L1(RN)∩L2(RN)，C2(·)∈Lq(RN)是非负函数，且记F(X,s)=f(X,τ)dτ，并假定F满足：-C4(X)+α4|u|p≤F(X,u)≤α5|u|p+C3(X)(5)式子中的α4,α5是正常数，且C3(·),C4(·)∈L1(RN)均为非负函数。
随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。
格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。
吸引子(包括全局吸引子，随机吸引子)是无穷维动力系统研究的中心内容之一。
对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。
本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的Klein-Gordon-Schr(?)dinger(KGS)无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。
首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。
第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H(?)lder不等式，Gronwall不等式。
本文的研究工作由两部分组成。
第一部分内容由第三、四章构成。
第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。
得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。
而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。
也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。
第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。
通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程所对应线性算子的正性的分解，对由此方程生成的随机吸引子Hausdorff维数进行估计，得到了这个随机吸引子的Hausdorff维数的上界的一个估计。
特别值得一提的是，此时得到的随机吸引子的Hausdorff维数上界恰好等于它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff维数的上界，也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
某些非线性发展方程的整体吸引子本文研究了长短波方程组、Hasegawa-Mima方程和Hirota方程等非线性发展方程的周期边值问题或初值问题的动力学行为，得到了相应问题整体解的存在性、整体吸引子的存在性及其分形维数的有限性估计，构造了相应问题的近似惯性流形。
全文内容共分五章。
第一章，给出了长短波方程组、Hasegawa-Mima方程和Hirota方程等非线性发展方程的物理背景，回顾了已有的部分重要成果，简述了本文主要的研究结论。
第二章，考虑了一类一维广义的长短波方程组的周期边值问题。
第二节，利用一致先验估计和Galerkin方法，证明了具有周期边值问题的整体吸引子的存在性，估计了吸引子的维数。
第三节，构造了两种具有周期边值问题的近似惯性流形，并得到了其逼近整体吸引子的阶数。
第三章，研究了一类一维广义的长短波方程组的初值问题。
第二节，应用Kato关于拟线性演化方程的初值问题的理论，讨论了初值问题解的存在性。
第三节，通过引入加权空间，在加权空间进行先验估计，利用加权函数在加权空间上的插值不等式，得到了无界区域上的整体吸引子的存在性。
第四章，考虑了Hasegawa-Mima方程的周期边值问题。
第二节，利用一致先验估计和Galerkin方法，得到了二维Hasegawa-Mima 方程的周期边值问题的整体光滑解的存在性。
第三节，证明了一类二维广义Hasegawa-Mima方程整体光滑解的存在性以及在某种特殊情形下，Hasegawa-Mima方程的解趋近于相应的准地转风方程的弱解。
在第二节的基础上，第四节讨论了二维Hasegawa-Mima方程的整体吸引子的存在性，并给出了整体吸引子的维数估计。
第五节，通过建立与时间t无关的一致先验估计，证明了三维广义Hasegawa-Mima方程组整体光滑解、整体吸引子的存在性。
第五章，研究了一类具耗散的Hirota方程的周期边值问题。
第二节，利用一致先验估计，得到了整体解的存在唯一性。
一类具粘性阻尼项的非线性波动方程的整体吸引子及其维数本文研究如下的具粘性阻尼项的非线性波动方程初边值问题的解的长时间行为:其中x∈Ω,t∈R<sup>+</sup>,σ（s）=s（?）,s≥0,m≥1,Ω是R<sup>N</sup>中具有光滑边界的区域,v是（?）Ω的外法向.g（u）和h（u<sub>t</sub>）是给定的非线性函数,f是自由项.本文分七章:第一章为引言;第二章研究问题（1）-（3）在C（R<sup>+</sup>V<sub>2</sub>）∩C<sup>1</sup>（R<sup>+</sup>;H）中的整体解的存在性和唯一性;第三章研究问题（1）-（3）在相空间X<sub>1</sub>=V<sub>2</sub>×H中整体吸引子的存在性及其维数;第四章研究问题（1）-（3）在C(R<sup>+</sup>;V<sub>2+α</sub>)∩C<sup>1</sup>（R<sup>+</sup>;V<sub>α</sub>）（0＜α≤1）空间中解的正则性;第五章研究问题（1）-（3）在相空间X<sub>2</sub>=V<sub>2+α</sub>×V<sub>α</sub>中整体吸引子的存在性及其维数;第六章研究问题（1）-（3）在相空间X<sub>3</sub>=V<sub>3</sub>×V<sub>1</sub>中整体吸引子的存在性及其维数;第七章对抽象条件加以验证并给出具体实例.主要结果如下:定理1假定（H<sub>1</sub>）g:V<sub>2</sub>→V<sub>-2</sub>,其中0＜ρ＜2,G（s）=（?）,1≤m≤（?）（m＜∞）,（a）<sup>+</sup>=max{0,a},及对任意的,u,v ∈V<sub>2</sub>,||u||<sub>V<sub>2</sub></sub>+||v||<sub>V<sub>2</sub></ sub>≤R,有（H<sub>2</sub>）h=h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>,h<sub>i</sub>:V<sub>1</sub>→V<sub>-1</sub>（i=1,2）且存在常数0＜δ<sub>1</sub>＜1,θ<sub>1</sub>∈（0,1/2）,β<sub>1</sub>＞0使得（H<sub>3</sub>）f∈V<sub>-1</sub>,（u<sub>0</sub>,u<sub>1</sub>）∈X<sub>1</sub>.则问题（1）-（3）存在唯一解u∈C（R<sup>+</sup>;V<sub>2</sub>）∩C<sup>1</sup>（R<sup>+</sup>;H）,且（u,u<sub>t</sub>）在空间X<sub>1</sub>中连续依赖于初值.注1 （H<sub>1</sub>）意味着对任意的η＞0,存在常数C<sub>η</sub>及（?）使得注2定理1中的解（u,u<sub>t</sub>）我们用S（t）（u<sub>0</sub>,u<sub>1</sub>）=（u,u<sub>t</sub>）表示.则算子族{S （t）}<sub>t≥0</sub>是空间X<sub>1</sub>中的C<sub>0</sub>-半群.定理2在定理1的假定下,如果存在常数0＜δ<sub>2</sub>＜1/2及σ<sub>1</sub>:0＜σ<sub>1</sub>＜＜1使得对任意的v∈V<sub>1</sub>,有（H<sub>4</sub>）（H<sub>5</sub>）f∈V<sub>4σ<sub>1</sub>-1</sub>及对任意的（u,v）∈V<sub>1</sub>,||（u,v）||<sub>X<sub>1</sub></sub>≤R,有则连续半群S（t）（见注2）在X<sub>1</sub>中存在整体吸引子A,A是连通的并有有限的分形维数和Hausdorff维数.定理3在定理1中（H<sub>1</sub>）-（H<sub>2</sub>）成立的条件下,如果（H<sub>6</sub>）映射G（见（4））:V<sub>2</sub>→L<sup>1</sup>且存在常数δ<sub>3</sub>∈（0,1）,使得对任意的u∈V<sub>2+α</sub>,v∈V<sub>1+α</sub>,||v||≤R,||u||<sub>V<sub>2</sub></sub>≤R,有（H<sub>7</sub>）f∈V<sub>a-1</sub>,（u<sub>0</sub>,u<sub>1</sub>）∈V<sub>2+α</sub>×V<sub>α</sub>其中0＜α≤1.则问题（1）-（3）存在唯一解u∈C(R<sup>+</sup>;V<sub>2+α</sub>)∩C<sup>1</sup>（R<sup>+</sup>;V<sub>α</sub>）且（u,u<sub>t</sub>）在空间X<sub>2</sub>中连续依赖于（u<sub>0</sub>,u<sub>1</sub>）.定理4在定理3假定成立的条件下,取0＜α＜1,如果存在一常数σ<sub>2</sub>:0＜σ<sub>2</sub>＜1-α使得（H<sub>8</sub>）f∈V<sub>-1+α+σ<sub>2</sub></sub>和对任意的（u,v）∈V<sub>2+α</sub>×V<sub>α</sub>,||（u,v）||<sub>X<sub>2</sub></sub>≤R,有则C<sub>0</sub>-半群S（t）（见注2）在X<sub>2</sub>中存在整体吸引子A,A是连通的并有有限的分形维数和Hausdorff维数.定理5在定理3中我们取α=1,m≥2,如果存在δ:0＜δ＜＜1使得任取u∈V<sub>3+δ</sub>,||u||<sub>V<sub>3</sub></sub>≤R,u∈V<sub>1+δ</sub>,||v||<sub>V<sub>1</sub></sub>≤R,都有（H<sub>9</sub>）则注2中定义的C<sub>0</sub>-半群S（t）在X<sub>3</sub>中存在整体吸引子A,A是连通的并有有限的fractal维数和Hausdorff维数.注3由（H<sub>1</sub>）的假定我们可推得m≥2意味着N≤4,特别地,当m=2时N=4.。
一类非局部微分方程在Orlicz空间中吸引子的存在性作者：***来源：《江苏理工学院学报》2022年第02期摘要：為了刻画带有无上增长限制非线性项的非局部微分方程解的长时间行为，在Orlicz 空间中研究了全局吸引子的存在性。
首先，证明这类方程在Orlicz空间中解的适定性;其次，得到（L2（Ω），L∞（Ω））-有界吸收集的存在性;最后，通过证明半群的渐近紧性，在任意给定的Orlicz空间中得到了吸引子的存在性。
关键词：Orlicz空间;全局吸引子;非局部微分方程中图分类号：O19文献标识码：A文章编号：2095-7394（2022）02-0042-07设Ω是ℝn中的有界光滑区域。
本文主要考虑非局部反应扩散方程在Orlicz空间中全局吸引子的存在性：这里u0∈L2（Ω），0<σ<2。
假设g满足自然的耗散条件：这里q>1，C0和k0是正常数。
经典的反应扩散方程（σ=2）常应用于物理学、化学及生物学等领域，一直是无穷维动力系统的重要研究对象，并产生了许多研究成果[1-6]。
这些成果对吸引子问题的研究主要集中在L2（Ω）、Lp（Ω）和H（Ω）空间中。
近年来，由于非局部耗散的微分方程，特别是带有分数次Laplace算子的微分方程，能够更有效地解释物理学、金融学、生态学及地球物理学等学科领域的问题，因而受到广泛关注[5，7-11]。
但是，这些成果对吸引子的研究也大多集中在Lp（Ω）空间、Sobolev空间及分数次Sobolev空间中，对于Orlicz空间中吸引子的研究相对较少。
本文主要研究在条件（2）下非局部微分方程（1）的长时间动力学行为。
首先，由非线性项确定一个Orlic空间;其次，在该Orlicz空间中证明弱解的存在性;再次，通过L2-L∞估计，得到当t>0时，弱解也在L∞（Ω）空间中;然后，通过证明解在L∞范数下的一致有界性，得到了L∞（Ω）-有界吸收集的存在性，进一步得到在任意给定的Orlicz空间中有界吸收集的存在性;最后，在Orlicz空间中建立了半群{S（t）}t≥0的渐近紧性，进而得到了全局吸引子在Orlicz 空间中的存在性。
整体吸引子存在性的一个重要定理作者：高军来源：《科技创新导报》2011年第12期摘要:本文研究了一类四阶非线性波动方程初边值问题,首先得到空间中的有界吸收集,再证明满足条件,关键是检验前面的条件。
关键词:初边值问题吸引子吸收集中图分类号:O175.4 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0138-01我们研究如下一类四阶方程的初边值问题。
定理:对于任意有界集,都存在时间,使当时,在中存在一个有界集,满足。
证明设,得:将与上式两边做内积得设:得:其中:由上式及Sobolev嵌入定理[1]得:这里是不依赖,,的正常数。
令:当当其中:得:从而,得:≤E(0)对,使得:令:其中:所以是t≥0的有界集[2]。
参考文献[1] Azer Khanmamedov.Global attractors for wave equations with nonlinear interior damping and critical exponents[J].Journal of Differential Equations, 2006,230:702～719.[2] Daniel Toundykov.Optimal decay rates for solutions of a nonlinear wave equation with localized nonlinear dissipation of unrestricted growth and critical exponent source terms under mixed boundary conditions[J].Nonlinear Analysis,2007,67:512～544.“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
一类非线性发展方程的整体吸引子刘俊;刘曦;高显文;吴波【期刊名称】《曲靖师范学院学报》【年(卷),期】2012(031)006【摘要】研究了一类非线性蜕化方程，引入带权L^2空间，证明了方程初边值问题整体解和（E0，E）型整体吸引子的存在性．%This paper studies a class of nonlinear changing - type evolution equations. Weighted L^2 (Ω) space has been introduced, existence and uniqueness of global solution with initial -boundary value problem have been proved. In particular, we have proved that there exists (E0,E) global attractor.【总页数】4页(P79-82)【作者】刘俊;刘曦;高显文;吴波【作者单位】曲靖师范学院数学与信息科学学院,云南曲靖655011云南大学信息学院,云南昆明650091；3．昭通学院数学系,云南昭通657000；4．普洱学院数学系,云南普洱665000;云南大学信息学院,云南昆明650091;昭通学院数学系,云南昭通657000;普洱学院数学系,云南普洱665000【正文语种】中文【中图分类】O175.14【相关文献】1.一类非线性发展方程的整体吸引子 [J], 张媛媛2.一类非线性发展方程的整体吸引子 [J], 张媛媛3.一类非线性发展方程的整体吸引子 [J], 孙晶晶;张建文4.一类具记忆项和非线性阻尼项的双曲型方程的整体吸引子 [J], 张素丽;张建文;王海燕5.一类具记忆项拟线性波动方程的整体吸引子 [J], 张素丽;张建文;王海燕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《具有分数阶阻尼的非线性热弹耦合方程解的整体吸引子》篇一一、引言在物理学和工程学中，非线性热弹耦合现象广泛存在于各种材料和结构中，其动态行为的研究对于理解和控制材料的力学性能至关重要。
近年来，分数阶阻尼的非线性热弹耦合问题逐渐成为研究的热点。
本文旨在探讨具有分数阶阻尼的非线性热弹耦合方程解的整体吸引子问题，通过理论分析和数值模拟，为相关领域的实际工程问题提供理论依据。
二、问题描述与数学模型在非线性热弹耦合问题中，材料或结构的温度场和位移场是相互影响的。
考虑具有分数阶阻尼的非线性因素，数学模型可以描述为如下形式：其中，u表示位移场，T表示温度场，ρ为密度，C为比热容，κ为热传导系数，f为外部载荷等非线性因素。
三、理论分析针对上述数学模型，本文首先分析解的整体吸引子的存在性。
利用非线性分析理论、分数阶微分方程理论以及热弹耦合理论，结合实际问题中的边界条件和初始条件，推导出整体吸引子的存在条件。
四、数值模拟为了验证理论分析的正确性，本文采用数值模拟方法对数学模型进行求解。
利用有限元法或有限差分法等数值方法，对具有分数阶阻尼的非线性热弹耦合方程进行离散化处理，通过迭代求解得到解的整体吸引子。
同时，结合实际工程问题中的参数和边界条件，对数值模拟结果进行验证和优化。
五、结果与讨论通过理论分析和数值模拟，本文得到了具有分数阶阻尼的非线性热弹耦合方程解的整体吸引子。
结果表明，在一定的参数和边界条件下，整体吸引子存在且具有较好的稳定性。
此外，本文还探讨了分数阶阻尼对解的整体吸引子的影响，发现分数阶阻尼的存在可以有效地减小解的振幅和波动性，提高系统的稳定性。
六、结论本文通过理论分析和数值模拟方法，研究了具有分数阶阻尼的非线性热弹耦合方程解的整体吸引子问题。
通过分析整体吸引子的存在性以及分数阶阻尼对解的影响，为相关领域的实际工程问题提供了理论依据。
然而，本文仍存在一些局限性，如只考虑了理想情况下的数学模型和边界条件等。
