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离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
![[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质](https://img.taocdn.com/s1/m/57c9df85dc88d0d233d4b14e852458fb770b3865.png)
[数字信号处理]离散傅⾥叶变换及其性质DFT定义
离散傅⾥叶变换的公式如下
X(k)=N−1
∑
n=0x(n)W nk N
其中W n是单位根,定义如下
W N=e−j 2πN
逆变换如下
x(n)=1
N
N−1
∑
k=0X(k)W−nk
N
性质
线性
如果有x1(n)和x2(n)两个有限长序列,长度分别为N1和N2,且
y(n)=ax1(n)+bx2(n),(a,b为常数)取变换区间长度N=[N1,N2]max
X1(k)=DFT[x1(n)]N;X2(k)=DFT[x2(n)]N 则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)循环移位性质
设x(n)为有限长序列,长度为M,则x(n)的循环移位定义为
y(n)=x((n+m))N R N(n)
如果⼀个序列移位之后,⼀些样值被移到了起始点前⾯,那他实际上会在后⾯再补回来,实际的顺序并没有变.
频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N
Y(k)=X((k+l))N R N(k)
则y(n)=IDFT[Y(k)]N=W nl N x(n)
循环卷积定理
如果x_1(n)和x_2(n)是两个有限长序列,长度分别为M1和M2,且取循环卷积区间长度L≥max[M1,M2]
X1(k)是x1(n)的L点DFT
X2(k)是x2(n)的L点DFT
如果y(n)=x1(n)∗x2(n)=[∑L−1
m=0
x1(m)x2((n−m))L]R L(n),
那么他的的DFT为Y(k)=X1(k)X2(k)
Processing math: 100%。
![[第7章]离散傅里叶变换的特性及应用](https://img.taocdn.com/s1/m/e66ad3e4561252d381eb6e14.png)
实验名：离散傅里叶变换及其特性验证一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT ）的计算方法和编程技术。
2、掌握离散傅立叶变换（DFT ）的计算方法和编程技术。
3、理解离散傅立叶变换（DFT ）的性质并用MA TLAB 进行验证。
二、实验原理与计算方法1、离散时间傅立叶变换如果序列x (n )满足绝对可和的条件，即∞<∑∞-∞=n n x |)(|，则其离散时间傅立叶变换定义为： ∑∞-∞=-==n nj j en x n x F e X ωω)()]([)( （1）假设序列x (n )在N n n n ≤≤1(即不一定在[0, N -1])有N 个样本，要估计下列各点上的X (e j ω)：M k k Mk ...,2,1,0==， πω它们是[0,π]之间的(M +1)个等间隔频点，则（1）式可写成： M k n x ee X Nl l kn Mjj l...,2,1,0)()(1==∑=-， πω（2）将{x (n l )}和{X (e j ωk)}分别排列成向量x 和X ，则有：X=Wx （3） 其中W 是一个(M +1)×N 维矩阵：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤=-M k n n n e N kn M j ...,2,1,0;1， πW将{k }和{n }排成列向量，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k W T M j πexp 在MA TLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k n x X T T T M j πexp其中n T k 是一个N ×(M +1)维矩阵。
用MATLAB 实现如下：k=[0:M]; n=[n1:n2];X=x*(exp(-j*pi/M)).^(n ’*k); 2、离散傅立叶变换一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：10,)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nk N （4）10,)(1)(1-≤≤=∑-=-N n Wk X Nn x N k kn N （5）以列向量x 和X 形式排列x (n )和X (k )，则式（4）、（5）可写成： X =W N x可由下面的MA TLAB 函数dft 和idft 实现离散傅立叶变换运算。
离散傅⾥叶变换及其性质1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换以周期对函数 f(t) 采样可表⽰为，对采样函数进⾏傅⾥叶变换得，整理得。
由于对函数 f(t) 的采样周期为，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为，同样的，也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为，带⼊公式得，其中，为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值，为取样函数的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，整理公式得（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为，。
2 傅⾥叶变换的性质1）傅⾥叶变换平移特性，⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到处，使⽤负指数乘以使得反傅⾥叶变换后原点移动到处，证明如下：，使⽤替换得，因此有，类似推导可得。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在区间内，有限频率导致必然具有周期性，连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为。
观察公式 或，发现频率取值在之间，⽽⼀个完整的频率应该在之间，如下图：如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下： 原函数平移 M/2 得 ，由于 x 为⾮负整数，,最终得到。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对的傅⾥叶变换可表⽰为，对 旋转⼀定⾓度可表⽰为，其中 R 为旋转矩阵，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，由 得 ，并将其带⼊上式得，由于，因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
实验名：离散傅里叶变换及其特性验证
一、实验目的
1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT ）的计算方法和编程技术。
2、掌握离散傅立叶变换（DFT ）的计算方法和编程技术。
3、理解离散傅立叶变换（DFT ）的性质并用MA TLAB 进行验证。
二、实验原理与计算方法
1、离散时间傅立叶变换
如果序列x (n )满足绝对可和的条件，即
∞<∑∞
-∞
=n n x |)(|，
则其离散时间傅立叶变换定义为： ∑∞
-∞
=-=
=n n
j j e
n x n x F e X ωω)()]([)( （1）
假设序列x (n )在N n n n ≤≤1(即不一定在[0, N -1])有N 个样本，要估计下列各点上的X (e j ω)：
M k k M
k ...,2,1,0==
， π
ω
它们是[0,π]之间的(M +1)个等间隔频点，则（1）式可写成： M k n x e
e X N
l l kn M
j
j l
...,2,1,0)()(1==∑=-， πω
（2）
将{x (n l )}和{X (e j ωk
)}分别排列成向量x 和X ，则有：
X=Wx （3） 其中W 是一个(M +1)×N 维矩阵：
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=≤≤=-M k n n n e N kn M j ...,2,1,0;1， πW
将{k }和{n }排成列向量，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=n k W T M j πexp 在MA TLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k n x X T T T M j πexp
其中n T k 是一个N ×(M +1)维矩阵。
用MATLAB 实现如下：
k=[0:M]; n=[n1:n2];
X=x*(exp(-j*pi/M)).^(n ’*k); 2、离散傅立叶变换
一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：
10,)()(1
0-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nk N （4）
10,)(1
)(1
-≤≤=∑-=-N n W
k X N
n x N k kn N
（5）
以列向量x 和X 形式排列x (n )和X (k )，则式（4）、（5）可写成： X =W N x
可由下面的MA TLAB 函数dft 和idft 实现离散傅立叶变换运算。
function [Xk] = dft(xn,N)
% Computes Discrete Fourier Transform % ----------------------------------- % [Xk] = dft(xn,N)
% Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1 % xn = N-point finite-duration sequence % N = Length of DFT %
n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row vecor for k WN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factor
nk = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN .^ nk; % DFT matrix
Xk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficients function [xn] = idft(Xk,N)
% Computes Inverse Discrete Transform % ----------------------------------- % [xn] = idft(Xk,N)
% xn = N-point sequence over 0 <= n <= N-1 % Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1 % N = length of DFT %
n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row vecor for k WN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factor
nk = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN .^ (-nk); % IDFT matrix
xn = (Xk * WNnk)/N; % row vector for IDFT values
3、离散傅立叶变换的性质
（1）线性性质：)]([)]([)]()([2121n x bDFT n x aDFT n bx n ax DFT +=+
注意：若x 1(n )和x 2(n )分别是N 1点和N 2点的序列，则选择N 3= max (N 1, N 2)，将它们作N 3点DFT 处理。
（2） 周期性：离散傅立叶变换(DFT)是周期序列DFS 取主值区间形成的，因此序列)(n x 及其DFT )(k X 具有特性)()(n x n N x -=-和)()(k X k N X -=-。
通常将结果1~12/-+N N 间的)(k X 量值表示在k 的负值区间。
（3）对称性：实序列)(n x 的离散傅立叶变换可以表示为)()()(k jX k X k X i r +=，其中实部为偶对称，虚部为奇对称，幅值)()()(22k X k X k X i r +=为偶对称，相位)
()
(arctan )(k X k X k r i =ϕ为奇对称。
根据上述关系，对于实序列)(n x ，则有)()(k X k N X =-*；对于纯虚序列)(n x ，则有
)()(k X k N X -=-*。
三、实验内容
（1）将实指数函数)(t u e t
抽样，取抽样周期为1/64，作64点DFT ，并作出实部、虚部和幅频、相频特性曲线。
DFT 函数代码：
function [Xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk;
主函数代码：
n=[0:1:63]; N=64; Ts=1./N; t=n.*Ts; xn=exp(-t); Xk=dft(xn,N) s=imag(Xk) c=real(Xk) f=abs(Xk) h=angle(Xk)
subplot(5,1,1);stem(c,'.','b');title('实部特性曲线') subplot(5,1,2);stem(s,'.','b');title('虚部特性曲线') subplot(5,1,3);stem(f,'.','b');title('幅频特性曲线') subplot(5,1,4);stem(h,'.','b');title('相频特性曲线') subplot(5,1,5);stem(n,xn,'.','b');title('xn 曲线')
试验截图：
（2）将图3-2中的两个连续函数抽样，取抽样周期为1/32，作64点DFT ，验证前述的四种奇偶特性，并作出幅频和相频特性曲线。
A ．
主函数为： n=[0:32] N=64 Ts=1./N t=n.*Ts xn=t
Xk=dft(xn,33)
subplot(4,1,1);stem(real(Xk),'.','b');title('实部特性曲线') subplot(4,1,2);stem(imag(Xk),'.','b');title('虚部特性曲线') subplot(4,1,3);stem(abs(Xk),'.','b');title('幅度特性曲线') subplot(4,1,4);stem(angle(Xk),'.','b');title('相位特性曲线')
试验截图为：
B ．
主函数为： n=[0:32] N=64 Ts=1./N t=n.*Ts xn1=-t xn2=-t+2
Xk1=dft(xn1,33)
0 1 2 t x (t )
图3-2 两个有限时间连续函数
1
0 1 2 t
x (t )
1
-1
(a )
(b )
0 1 t
e -t u (t )
图3-1连续时间函数
Xk2=dft(xn2,33)
f=[Xk1,Xk2]
subplot(4,1,1);stem(real(f),'.');title('实部特性曲线') subplot(4,1,2);stem(imag(f),'.');title('虚部特性曲线') subplot(4,1,3);stem(abs(f),'.');title('幅度特性曲线') subplot(4,1,4);stem(angle(f),'.');title('相位特性曲线') 试验截图为：。
