数字信号处理实验
题目：离散傅里叶变换的性质及应用
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学生姓名：班级/学号
指导老师：
一、实验目的
1．了解DFT的性质及其应用
2．熟悉MATLAB编程特点
二、实验仪器及材料
计算机，MATLAB软件
三、实验内容及要求
1．用三种不同的DFT 程序计算8()()x n R n =的256点离散傅里叶变换()X k ，并比较三种程序计算机运行时间。
（1）编制用for loop 语句的M 函数文件dft1.m ，用循环变量逐点计算()X k ； （2）编写用MATLAB 矩阵运算的M 函数文件dft2.m ，完成下列矩阵运算：
000
0121
012(1)
(1)(1) (0)(0) (1)(1)
(1)(1) N N
N N
N N N N
N
N N N N N N
N N X x W W W W X x W W W W x N X N W W W W -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（3）调用fft 库函数，直接计算()X k ；
（4）分别调用上述三种不同方式编写的DFT 程序计算序列()x n 的离散傅里叶变换
()X k ，并画出相应的幅频和相频特性，再比较各个程序的计算机运行时
间。
M 函数文件如下： dft1.m:
function[Am,pha]=dft1(x) N=length(x); w=exp(-j*2*pi/N); for k=1:N sum=0; for n=1:N
sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1)); end
Am(k)=abs(sum); pha(k)=angle(sum); end dft2.m:
function[Am,pha]=dft2(x) N=length(x); n=[0:N-1];
k=[0:N-1];
w=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
wnk=w.^(nk);
Xk=x*wnk;
Am=abs(Xk);
pha=angle(Xk);
dft3.m:
function[Am,pha]=dft3(x)
Xk=fft(x);
Am=abs(Xk);
pha=angle(Xk);
源程序、运行结果及结论
1、源程序
<1>function[Am,pha] = dft1(x)
N = length(x);
w = exp(-j*2*pi/N);
for k=1:N
sum = 0;
for n = 1:N
sum = sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1));
end
Am(k) = abs(sum);
pha(k) = angle(sum);
end
end
<2> function[Am,pha] = dft2(x)
N = length(x);
n = [0:N-1];k = [0:N-1];
w = exp(-j*2*pi/N);nk = n'*k;
wnk = w.^(nk);
Xk = x*wnk;
Am = abs(Xk); pha = angle(Xk);
end
<3> function[Am,pha] = dft3(x)
Xk = fft(x);
Am = abs(Xk); pha = angle(Xk);
end
<4> clear all;
clc;
x = [ones(1,8),zeros(1,256-8)];
t = cputime;
[Am1,pha1] = dft1(x);
t1 = cputime-t;
t = cputime;
[Am2,pha2] = dft2(x);
t2 = cputime-t;
t = cputime;
[Am3,pha3] = dft3(x);
t3 = cputime-t;
subplot(6,1,1);stem(Am1);title('幅频特性1'); subplot(6,1,2);stem(pha1);title('相频特性1'); subplot(6,1,3);stem(Am2);title('幅频特性2'); subplot(6,1,4);stem(pha2);title('相频特性2'); subplot(6,1,5);stem(Am3);title('幅频特性3'); subplot(6,1,6);stem(pha3);title('相频特性3');
2、运行结果
3、 结论
从以上运行结果可以看出，调用FFT 库函数直接计算X(k)速度最快，所
用时间趋于0，矩阵运算次之，用循环变量逐点计算运行速度最慢。因此FF T 算法大大提高了DFT 的实用性。
2．利用DFT 实现两序列的卷积运算，并研究DFT 点数与混叠的关系。
（1）已知两序列： ⎩⎨⎧>≤≤=3;0
3
0;)5/3()(n n n h n ，用MATLAB 生成随机输入
信号x(n)，n 的取值为0～2；
（2）用直接法（即用线性卷积的定义计算，见下式）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果，并以图形方式表示结果；
20),()()(1
-+≤≤-⨯=
∑-=M N n m n h m x n y N m
其中：序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤
（3）用MATLAB 编制利用DFT 计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序；分别令圆周卷积的点数为L=5，6，8，10，以图形方式表示结果。 （4）对比直接法和圆周卷积法所得的结果。 源程序如下：
用直接法和MATLAB 编制利用DFT 分别计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序： N=0:3; M=3;
x=rand(1,M); h=(3/5).^N; y1=conv(h,x);
Xk2=fft(x,10); %做10点fft Hk2=fft(h,10); Yk2=Xk2.*Hk2; y2=ifft(Yk2);
Xk3=fft(x,8); %做点8点fft Hk3=fft(h,8);
