第十九讲 解直角三角形

第十九讲 解直角三角形1．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ，如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( A )A ．(43＋1.6)mB ．(123＋1.6)mC ．(42＋1.6)mD ．4 3 m,(第1题图)),(第2题图))2．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( B ) A.12 B.55 C.1010 D.2553．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D ) A ．2 B.255 C.55 D.12,(第3题图)) ,(第4题图))4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A.11－sin αB.11＋sin αC.11－cos α D.11＋cos α6．计算sin 245°＋cos30°·tan60°，其结果是( A )A ．2B ．1 C.52 D.547．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点且AE∶EB＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33 B.233 C.533D. 3,(第7题图)) ,(第8题图))8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A 处发现海面上一块疑似漂浮目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，已知飞行高度AC ＝1 500 m ，tan α＝35，则飞机距疑似目标B 的水平距离BC 为( D )A ．2 400 5 mB ．2 400 3 mC ．2 500 5 mD ．2 500 3 m9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝__10__．10．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx ·cosy ＋cosx ·siny.据此判断下列等式成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号)①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sinx ·cosx ；④sin(x －y)＝sinx ·cosy－cosx ·siny.11．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，则cosC 的值为__45__．,(第11题图)) ,(第12题图))12．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，连结AC ，且∠ACD＝30°，tan ∠BAC ＝233，CD ＝3，则AC ＝．13．计算：(1)tan45°＋2sin45°－2cos60°； 解：原式＝1＋2×22－2×12＝1＋2－1 ＝2；(2)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°.解：设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°①， ∴S ＝cos 289°＋cos 288°＋cos 287°＋…＋cos 22°＋cos 21° ∴S ＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 288°＋cos 289°②，①＋②得2S ＝89， S ＝892.14．如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M(点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点，如果MC ＝n ，∠CMN ＝α，那么P 点与B 点的距离为__m －n·tan αtan α__．15．如图，“中海海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B ，C 两地相距150海里．(1)求出此时点A 到岛礁C 的距离；(2)若“中海海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A′时，测得点B 在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)解：(1)如图所示：延长BA ，过点C 作CD⊥BA 延长线与点D.由题意可得：∠CBD＝30°，BC ＝150海里，则DC ＝75海里，∴cos30°＝DC AC ＝75AC ＝32， 解得AC ＝50 3.答：点A 到岛礁C 的距离为503海里；(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC 于点N ，可得∠1＝30°，∠BA ′A ＝45°，则∠2＝∠ABA′＝15°，即A′B 平分∠CBA.∴A ′E ＝AN.又∵A′E ⊥BA ，A ′N ⊥BC ， 设AA′＝x ，则A′E＝A′N＝32x ， ∴CA ′＝2A′N＝2×32x ＝3x. ∵3x ＋x ＝503， 解得x ＝75－253，答：此时“中国海监50”的航行距离为(75－253)海里．16．(2019潍坊中考)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD 的高度．该楼底层为车库，高2.5 m ；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m ，在A 处测得五楼顶部点D 的仰角为60°，在B 处测得四楼顶部点E 的仰角为30°，AB ＝14 m ．求居民楼的高度．(结果精确到0.1 m ，参考数据：3≈1.73)解：设每层高为x m.由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，则DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°.∴C′A′＝DC′tan60°＝33(5x＋1)．在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°.∴C′B′＝EC′tan30°＝3(4x＋1)．∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14.解得x＝23－27.∴居民楼高为：5×(23－27)＋2.5≈18.4(m)．17．AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE∶CF＝3∶2，则sin∠BAC∶sin∠ACB等于( B )A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶92019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A.0.96a元B.0.972a元C.1.08a元D.a元2x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．如图，点A所表示的数的绝对值是（）A.3B.﹣3C.13D.13-4．若关于x的方程3x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．55．数据1、10、6、4、7、4的中位数是（）．A.9B.6C.5D.46．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A.94B.95分C.95.5分D.96分7．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为6，正方形ABCD的面积等于100，l2与l3的距离为（）A．8 B．10 C．9 D．78．如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在AB边中点E处,点C落在点Q处,折痕为FH,则线段AF的长是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9．若a b ，则实数a ，b 的大小关系为（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a≥b10．若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2019的值为（ ） A ．﹣13B ．﹣2C ．3D ．411．如图，一段抛物线293y x x =-+（-3≤≤）为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为12D D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象.垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()P x y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，且1x ，2x ，3x 均为正数，设123t x x x =++，则t 的最大值是（ ）A ．15B ．18C ．21D ．2412．若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数是（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14二、填空题13．用48m 长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，则其面积为______2m14．将点P （﹣3，y ）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，﹣1），则x+y ＝_____．15x 的取值范围是_______. 16．如图，AB ∥CD ，∠DCE=118°，∠AEC 的角平分线EF 与GF 相交于点F ，∠BGF=132°，则∠F 的度数是__．17．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．18．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．三、解答题19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上．已知纸板的两条边DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，测得AC ＝78m ，BD ＝9m ，求树高AB ．20．在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA 和折线OBCD 所示．(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案) (2)起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．21．先化简：2222111211x x x x x x +-⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭然后解答下列问题： （1）当x ＝2时，求代数式的值（2）原代数式的值能等于0吗？为什么？22．水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚，对市场最为关注的产量和产量的稳定性进行了抽样调查，过程如下:收集数据从甲、乙两个大棚中分别随机收集了相同生产周期内25株秧苗生长出的小西红柿的个数：甲：26，32，40，51，44，74，44，63，73，74，81，54，62，41，33，54，43，34，51，63，64，73，64，54，33乙：27，35，46，55，48，36，47，68，82，48，57，66，75，27，36，57，57，66，58，61，71，38，47，46，71整理数据按如下分组整理样本数据：（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45≤x＜65个为产量良好，65≤x＜85个为产量优秀）分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：得出结论（1）补全上述表格；（2）可以推断出大棚的小西红柿秩苗品种更适应市场需求，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）估计乙大棚的300株小西红柿秧苗中产量优秀的有多少株？23．（111|2|2cos453-︒⎛⎫-+-⎪⎝⎭；（2）解分式方程：2133xx x=++24．为顺利通过“国家文明城市”验收，市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？25．某市在地铁施工期间，交管部门计划在施工路段设高为3米的矩形路况警示牌BCEF（如图所示BC＝3米）警示牌用立杆AB 支撑，从侧面D 点测到路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求立杆AB 的长度（结果精确到整数，≈1.41）【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13． 14．﹣3． 15．x≤2且x≠0 16．11°． 17．a （x+a ）218．12 三、解答题19．203232+【解析】 【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解． 【详解】解：在直角△DEF 中，DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，则由勾股定理得到DF ==在△DEF 和△DBC 中，∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ， ∴△DEF ∽△DCB ，∴DF EFDB BC=， 又∵EF ＝30cm ，BD ＝9m ，∴BC ＝EF DB DF ⋅==（m ） ∵78AC m =，∴AB ＝AC+BC ＝7203858232++=，即树高203232+m ． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．20．(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；(2)小梅在起跑后5407秒时被追及． 【解析】 【分析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间． 【详解】(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米； (2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先， 小莹的速度为：800401809= (米/秒)， 故线段OA 的解析式为：y ＝409x ， 设线段BC 的解析式为：y ＝kx+b ，根据题意得：60300180600k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2.5b 150=⎧⎨=⎩， ∴线段BC 的解析式为y ＝2.5x+150， 解方程40 2.51509x x =+，得5407x =， 故小梅在起跑后5407秒时被追及． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．21．(1)11x x +-;(2)见解析. 【解析】【分析】（1）将x ＝2代入化简后的式子即可解答本题；（2）先判断，然后令化简的结果等于0，求出x 的值，再将所得的x 的值代入化简后的式子，看是否使得原分式有意义即可解答本题．【详解】 解：2222111211x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ 22(1)11(1)(1)(1)1x x x x x x ⎡⎤+-+=-⋅⎢⎥+--⎣⎦ 21(1)11x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭ 1(1)1x x =⋅+- 11x x +=- （1）当x ＝2时，原式＝2121+-＝3； （2）原代数式的值不等等于0， 理由：令11x x +-＝0，得x ＝﹣1， 当x ＝﹣1时，原分式无意义，故原代数式的值不等等于0．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（1）5，5，6，54；（2）乙，乙的方差较小，众数比较大；（3）84株【解析】【分析】（1）利用划计法统计即可．（2）从平均数，众数，方差三个方面分析即可．（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】（1）甲：35≤x＜45时，小西红柿的株数为5，55≤x＜65时，小西红柿的株数为5．甲的众数为54，乙：45≤＜55时，小西红柿的株数为6．故答案为：5，5，6，54．（2）选：乙．理由：乙的方差较小，众数比较大．故答案为：乙，乙的方差较小，众数比较大．（3）300725⨯=84（株）答：估计乙大棚的300株小西红柿秧苗中产量优秀的有84株．【点睛】本题考查了方差，众数，平均数，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（11；（2）23x=.【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式＝23212-+-⨯=；（2）去分母得：3x＝2，解得：23x=，经检验23x=是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．15,30.【解析】【分析】等量关系为：甲工效+乙工效=110，甲（乙）的工效×甲（乙）的工作时间=甲（乙）的工作量；【详解】设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此工程需2x天．由题意，得10×（112x x+）＝1 解得：x ＝15． 经检验，x ＝15是原方程的根．∴2x ＝30．答：甲、乙两个工程队单独完成此项工程分别需15天和30天．【点睛】考查了工程问题，题目相对复杂．分析题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间.25．立杆AB 的长度约为4米．【解析】【分析】设AB ＝x 米，由∠BDA ＝45°知AB ＝AD ＝x 米，再根据tan ∠ADC ＝AC AD 建立关于x 的方程，解之可得答案．【详解】设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∵∠BDA ＝45°，∴AD ＝AB ＝x 米，在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝60°，∴tan ∠ADC ＝AC AD ，即3x x +=解得：x ≈4（米）， 答：立杆AB 的长度约为4米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，仰角俯角问题，解题关键在于求出∠ADC ＝60°2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则∠1的度数是（ ）A.30oB.45oC.75oD.105o2．如图，已知∠ABC=∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A.∠C=∠DB.∠CAB=∠DBAC.AC=BDD.BC=AD3．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）A.（，0）B.（0）C.（40352，2） D.（0） 4．如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝﹣5x 上，顶点C 在反比例函数y ＝7x上，则平行四边形OABC 的面积是( )A ．8B ．10C ．12D ．312 5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A.B. C. D.6．下列运算正确的是（ ）A ．22321a a -=B ．22122a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()()3223a b a b b -÷=-7．如图，⊙O 的半径OA ＝8，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B ，C 点，则BC ＝（ ）A. B. C. D.8．下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（ ）A ．34B ．36C ．38D ．489．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%10．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝35°，则∠C 的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．65°D ．55°11．已知点（﹣2，y 1），（﹣3，y 2），（2，y 3）在函数y ＝﹣8x 的图象上，则（ ） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 1＞y 2＞y 3 C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 3＞y 2 12．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．23D ．14二、填空题13．解方程：3x 2﹣6x+1＝2．14．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.15．双曲线y=在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________．16．如图，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为________．17．因式分解______________________.18．若m 、n 互为倒数，则mn 2﹣（n ﹣1）的值为_____．三、解答题19．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A ，B 重合的动点，PC ∥AB ，点M 是OP 中点．（1）求证：四边形OBCP 是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP ＝ 时，四边形AOCP 是菱形；②连接BP ，当∠ABP ＝ 时，PC 是⊙O 的切线．20．已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣12）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．21．计算：（1）（a+2）（a﹣3）﹣a（a﹣1）（2）224972 6926a aa a a--÷-+++22．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，2），C（2，0）．（1）将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点（﹣1，﹣1）旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着平面直角坐标系中某一点逆时针旋转得到，直接写出旋转中心的坐标为．23．校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生1600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为：A （1，1），B （4，4），C （5，1）．（1）若△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点O 成中心对称图形，画出△A 1B 1C 1；（2）在x 轴上存在一点P ，满足点P 到点B 1与点C 1距离之和最小，请直接写出PB 1+PC 1的最小值为 ．25．阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数x 、y ，我们将x 与y 的“友好数”用f （x ，y ）表示，定义为：f （x ）＝2x y +，例如17与16的友好数为f （17，16）＝17162+＝1718． 材料二：对于实数x ，用[x]表示不超过实数x 的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x 2+2与1的“友好数”可以用f （x 2+2，1）表示，已知f （x 2+2，1）＝2，请求出x 的值；（2）已知[12a ﹣1]＝﹣3，请求出实数a 的取值范围； （3）已知实数x 、m 满足条件x ﹣2[x]＝72，且m≥2x+112，请求f （x ，m 2﹣32m ）的最小值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．x 1 ，x 2． 14．x≤-2或x≥315．m ＜1．16．4π 17．18．1三、解答题19．(1)见解析;(2)①120°；②45°【解析】【分析】（1）由AAS 证明△CPM ≌△AOM ，得出PC=OA ，得出PC=OB ，即可得出结论；（2）①证出OA=OP=PA ，得出△AOP 是等边三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可；②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可．【详解】（1）∵PC ∥AB ，∴∠PCM ＝∠OAM ，∠CPM ＝∠AOM ．∵点M 是OP 的中点，∴OM ＝PM ，在△CPM 和△AOM 中， PCM OAM CPM AOM PM OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CPM ≌△AOM （AAS ），∴PC ＝OA ．∵AB 是半圆O 的直径，∴OA ＝OB ，∴PC ＝OB ．又PC ∥AB ，∴四边形OBCP 是平行四边形．（2）①∵四边形AOCP 是菱形，∴OA＝PA，∵OA＝OP，∴OA＝OP＝PA，∴△AOP是等边三角形，∴∠A＝∠AOP＝60°，∴∠BOP＝120°；故答案为：120°；②∵PC是⊙O的切线，∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，∵PC∥AB，∴∠BOP＝90°，∵OP＝OB，∴△OBP是等腰直角三角形，∴∠ABP＝∠OPB＝45°，故答案为：45°．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）817a ;(3)见解析.【解析】【分析】（1）只需要把M的坐标带入到1y即可（2）把1y,2y代入到等式化简取y最大值时，即可解答（3）由（2）可知当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题【详解】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，∴点M（0，4）在y1的图象上，即y1的图象经过点M（0，4）；（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣12）（x﹣4）（a≠0）．∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣12）（x﹣4）﹣（ax+4），即y＝21124 2ax ax a-+-，∵a＞0，对称轴为x＝114＞2，∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，∵y＝y2﹣y1的最大值为4，∴17a﹣4＝4，解得，a＝817；（3）由（2）知y＝y2﹣y1＝21124 2ax ax a-+-，当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，当x＝2时，y＝y2﹣y1＝4a﹣11a+2a﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y＝0时，21124 2ax ax a-+-＝0，即2ax2﹣11ax+4a﹣8＝0，x，∵△＝121a2﹣32a2+64a＝89a2+64a＞0，2，根据二次函数的增减性可得，当x>2时，y2﹣y1＜0，即y2＜y1；当x2时，y2﹣y1＝0，即y2＝y1；当x2时，y2﹣y1＞0，即y2＞y1．【点睛】此题主要考察函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解21．（1）-6（2）83 a-【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算除法，再计算减法即可得．【详解】（1）原式＝a2﹣a﹣6﹣a2+a＝﹣6；（2）原式＝2(+7)(7)2(3)2(3)7a a a a a -+⋅-+-＝2(+7)2(3)33a a a a +-++＝83a +． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（﹣2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用关于y 轴对称的点坐标特征写出点A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A 1、B 1、C 1的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2；（3）作B 1B 2和C 1C 2的垂直平分线，它们相交于点P ，则点P 为旋转中心，然后写出P 点坐标即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）如图，线段B 2C 2可以看成是线段B 1C 1绕着点P 逆时针旋转90°得到，此时P 点的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．（1）80（2）400（3）23【解析】【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出样本中“了解”程度的人数，然后用1600乘以基本中“了解”程度的人数的百分比可估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）32÷40%＝80（名），所以在这次活动中抽查了80名中学生；（2）“了解”的人数为80﹣32﹣18﹣10＝20，1600×2080＝400，所以估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数为400人；（3）由题意列树状图：由树状图可知，在 4 名同学中随机抽取 2 名同学的所有等可能的结果有12 种，恰好抽到一男一女（记为事件A）的结果有8种，所以P（A）＝82 123．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）分别作出三角形ABC三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）作点C1关于x轴的对称点C′，连接B1C′与x轴的交点即为所求点P，继而利用勾股定理求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，点P 即为所求，PB1+PC 1．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．25．（1）x ＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m ＝34时，y 有最大值是﹣238，此时f （x ，m 2﹣32m ）有最小值，最小值是﹣4023． 【解析】【分析】 （1）由题意得到22212x +=+，计算即可得到答案； （2）由题意得到131312a -≤-<-+，解不等式即可得到答案； （3）先由题意得到171712424x x x -≤<-+，则7322x -≤<-，设1724x k -=，由题意得到111222m x ≥+=，设y ＝﹣2m 2+3m ﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】解：（1）∵f （x 2+2，1）＝2， ∴22212x +=+， ∴x 2＝4，∴x ＝±2；（2）∵[x]≤x＜[x]+1， ∴131312a -≤-<-+， 解得﹣4≤a＜﹣2；（3）∵x ﹣2[x]＝74， ∴[x]＝1724x -， ∴171712424x x x -≤<-+， ∴7322x -≤<-， 设1724x k -=， 又x ＝2k+72， ∴7522k -≤<-, ∴整数k ＝﹣3， ∴x ＝52-， 又111222m x ≥+=， ∴f （x ，m 2﹣32m ）， ＝2322xm m -+， ＝252322m m --+， ＝25234m m -+-， 设y ＝﹣2m 2+3m ﹣4，则y ＝﹣2（m 34-）2238-， ∵﹣2＜0， ∴当m ＝34时，y 有最大值是238-，此时f （x ，m 2﹣32m ）有最小值，最小值是5238-＝﹣4023， 此时最小值为﹣4023． 【点睛】本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数的性质.。

第十九讲 解直角三角形【基础知识回顾】一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们统称为∠A 的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2、取值范围 <sinA< ， cosA< ，tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos 2A= ,tanA=sin A （ ） ⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l。

⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA 表示OB 表示OC 表示OD 表示 （也可称东南方向）3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形铅直水平线⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2014•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3思路分析：根据正切的定义即可求解．考点二：特殊角的三角函数值．考点四：解直角三角形的应用例4 （2014•南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）思路分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD-OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．【聚焦山东高考】1．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）3．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里 B．C．D．30海里【备考真题过关】 一、选择题1．（2014•天津）cos60°的值等于（ ）A ．12B ．2C DA ．4B ． 3C ．5D ． 54．（2014•广州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）A ．35B ．45C ．34 D ．435．（2014•凉山州）在△ABC 中，若|cosA-12|+21-tanB （）=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60°C ．75°D ．105° 6．（2014•包头）计算2sin 45+cos30°•tan60°，其结果是（ ）A ．2B ．1C ．52D ．547．（2014•苏州）如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A ．4kmB ．C ．D ．）km8．（2014•随州）如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ）A．100米B．米C米D．50米二、填空题9.（2014•齐齐哈尔）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是______ ．10．（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于_____ 度，sinα的值为____ ．11．（2014•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_____ ．12．（2014•天水）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _____．13．（2014•龙东地区）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为________ ．14（2014•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_____米．15.（2014•舟山）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为 ___ 米（用含α的代数式表示）．16．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____ 个这样的停车位． 1.4）17．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为 ______米．18．（2014•南宁）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 _____海里．三、解答题第十九讲解直角三角形答案【重点考点例析】故选：C．考点二：特殊角的三角函数值考点三：化斜三角形为直角三角形例3 解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=∴∴由勾股定理得：，∴故答案为：考点四：解直角三角形的应用故梯子的长是8米．【聚焦山东高考】1．D.2．B.3．C.答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．【备考真题过关】一、选择题1．A.2．D.3．D.4．D.5．C.6．A. 7．C. 8．Ｂ．二、填空题11．13．+14.26.15.7tanα．16.1718.。