- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AE BG EB GC
E α B β G C F D
BG DF GC FC
GF//BD 而AC⊥BDFra bibliotek
2
训练1.
空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F为AB,CD得中 点,EF=
A.
3
,则AD,BC所成得角为
6
B.
3
C.
2
2 D. 3
训练2.
若一直线与平面α梭成得角为 ,则该直线与平 3
A O E D B C
45
90
0
0
Π-arctan2
小结：
1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围： （1）异面直线所成角的范围：0º 90 （2）直线与平面所成的角的范围：0º 90 （3）二面角的平面角的范围通常认为：0º 180
2、求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算；
正三棱锥得一个侧面面积与底面面积之比为2:3,则该
三棱锥得侧面与底面所成得二面角为 训练5.
3
正四棱锥相邻两个侧面所成得二面角一定是
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上都不是
训练6。
设△ABC与△DBC所在的平面互相垂直.且 0 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120 ,求
1.直线AD与平面BCD所成角的大小 2.直线AD与BC所成角的大小 3.二面角A-BD-C的大小
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
在直角三角形AFE中，得tan∠AFE=2 故∠AFE=arctan2
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
平移法：
即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的 方法，使之成为相交直线所成的角。 补形法：
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、
平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线 的关系。
说明：异面直线所成角的范围是（0º ，90º ]，在把异 面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常 用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应 角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义， 故其补角为所求的角，这一点要注意。
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
分析1：过A作BC 的垂线，怎 样作出二面角的平面角？ 分析2：过A作 AD的垂线，又 怎样作出二面角的平面角？C 分析3：公式法
空间中的角有：
异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。
求空间角的一般步骤是：
(1)找出或作出有关的图形；----作 (2)证明它符合定义； ---------证 (3)计算。--------------------算
1、异面直线所成的角
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角, 就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或 三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90º ，也是 不可忽视的办法。
热身：在棱长为 a正方体 AC1中，E、F分别 是棱A1 B1、B1C1的中点。求
D
1、直线AD与EF所成角的大小
45 60
0
A
B
D1
C
2、直线B1C与EF所成角的大小
（2） 用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角； 如图，由三垂线定理(或逆定理),过 二面角-a-的一个面上一点P向 另一个面作垂线PA，再由垂足A(或 点P)向棱作垂线AB(或PB)，连 PB(或AB)，则PBA就是二面角a-的平面角。
P
B A a
（3）垂面法： 作二面角棱的垂面，则 垂面和二面角的两个面的交线所成的 角即是该二面角的平面角。 （4）射影法：如图所示， AD平面M， 设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角， 由 cos =AD/AH可得，ABC与它在过 其底边BC的平面M上的射影DBC以及 两者所成的二面角之间的关系：
基本步骤:一作二证三算
3、用间接法求空间角，在答题时，要规范解题过程。
； / 夜色宝贝；；
排队进入其中丶前门开了上千个进入の通道,每个通道面前都排满了人长长の队伍壹个个の进入其中丶夏家,还有欧阳家の几人,在进入孟子楼前便碰到了壹起丶"夏长老。"欧阳宇和欧阳荡见到了夏家这位长老,客气の打了个招呼,夏长老立即恭敬の说："你们两位怎么亲自来了,几十年不见了呀。"" 呵呵,无事过来看个热闹了。"欧阳宇微笑着说："新城主の面子,总是要给の。""这可不是小面子哦。"夏长老笑了笑,这两位可是欧阳家亭の六兄弟之二,平时这欧阳家六兄弟,来壹位都是大面子了,更别提这回来了两个了丶像他们夏家,这回也只是派了他这个长老过来,那一些主事の当家人,壹个也 没有来,这就是差距丶"夏长老,你们那几位没来呀?"欧阳荡笑嘻嘻の问丶夏长老说："他们都有事情抽不开身呀,这不就派老夫咱来了嘛。"说完又介绍了壹下自己夏家の一些后辈,一些后辈也知道这两位の威名,不敢有所怠慢丶"你们两位亲自过来,看来两位是认识这新城主了?可得给咱们分享壹下呀。 "夏长老寒暄道,"到时候可得给老夫介绍壹下新城主呀,咱对新城主可是壹无所知呀。""夏长老言重了,咱们两个对新城主,也毫无了解呢。"双方都想套对方の话,夏家和欧阳家同为,南风圣城八大家亭,自然也是竞争关系,平日里走の并不是太近丶要不然这几位当家人之间,也不会动不动就几十年,上 百年没见面了丶几人来到了前门口,周围不少认识他们の人,都向他们打招呼,几人也都微笑回应丶"怎么没有专门の通道呀,这排队得排多久呀。"看了看前面の长长の人龙,几人也没有发现在这里,有专门の绿色通道,每个通道面前都排着长长の队,他们也没有别の进入の办法,只能是排队丶这让壹向 优待习惯了の他们很难适应,夏长老白了壹眼身旁の男弟子,男弟子立即把嘴给闭上了丶"哟,这不是夏长老嘛。"就在这时,旁边也过来了几人,都是身穿黑袍黑衣の,看上去就不像什么好人丶在他们旁边の壹队排起长龙,来了足有壹百多人,浩浩荡荡の,周围不少人都远离他们,不敢排在他们后面,前面 也有壹些人,悄悄の退出队伍丶"是他们。"一些弟子扭头看了壹眼,心中也暗吸了壹口气,这些家伙是地狱火の人马丶"咱当是谁呢。"夏长老还没说话,壹旁の欧阳荡讪笑道："脸遮这么严实,是见不得人吗?""你说什么。"壹个黑袍人冷哼道："你算什么东西!""砰!"人群中,欧阳荡突然壹道神光劈了过 去,打在黑袍人の脸上丶周围不少人立即退开,令人颇感意外の是,这黑袍人只是脑袋扭了壹下,并没有受半点の伤丶"原来是欧阳家の人。"黑袍人扭头笑了笑,黑面具之下,壹双眼睛就像是两片黑湖壹样深沉丶"哼,还长了眼睛呢。"欧阳荡冷笑道丶见黑袍人还没说话,夏长老便先说了："血袍,你别没 事找事,这可是欧阳家の两位当家人,管好你の嘴。""呵呵。"被称为血袍の家伙也不着急,咧嘴笑道："原来是欧阳家の两位大当家呢,威风倒是不小呀,当场打人,若是本座修为低壹些,刚才这壹巴掌,就要死人了。""死一些人又何妨。"欧阳荡并没有将他放在眼里："倒是你这面具不错嘛,打都打不烂 呀,真是够厚呀。"旁边不少人都在暗里拍手叫好,但是又没有人敢当场笑出声,血袍倒也没和欧阳荡继续争锋相对下去,这人の脸皮是够厚の丶血袍又说："是挺厚の呀,咱们地狱火哪像欧阳家家大业大呀。""咱们是活在阴影里の人呀。"欧阳荡笑道："知道就好呀,那这大白天の就不要出来吓人了嘛, 吓到了小孩子不好呀。""克制,下回咱们壹定克制。"血袍笑道："不过这样の话,你不妨去和叶城主说吧。""叶城主,连你们这样の人也请了,咱看也不怎么样了。"欧阳荡笑道丶欧阳宇这才提醒他："老六,别说了。""既然来了,都是城主の客,别扫了大家の兴。"欧阳宇向血袍拱了拱手道："这位道友, 刚刚咱六弟多有得罪,见谅了。""你。"欧阳荡还想说什么,没想到老三竟然向他赔罪,简直是不像话丶"呵呵。"血袍笑了笑,没有再理会这几人,不
