2014届高三数学一轮复习《基本不等式》理 新人教B版

[第33讲 不等关系与不等式](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．已知a ，b ，c ∈R ，则“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a >b >0，c <d <0，则下列不等式正确的是( )A ．a －c <b －dB ．ac >bd C.3a <3b D.1a 2<1b 2 3．[2013·保定一模] 若a >0且a ≠1，b >0，则“log a b >0”是“(a －1)(b －1)＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某厂生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg ；A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，若设每天生产甲产品x 件，乙产品y 件，用不等式(组)表示上述关系式为________．能力提升5．[2013·潍坊联考] 设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1B ．log 12b <log 12a <0 C ．2b <2a <2 D ．a 2<ab <16．[2013·长春调研] 设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( ) A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件7．[2013·武汉二模] 若a >b >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b8．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a2＞b 2.其中正确的命题是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9．已知a >b >0，c <d <0，则ba －c 与ab －d 的大小关系为________．10．已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________． 11．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ，则______________(结论用数学式子表示)．12．(13分)[2013·沅江质检] 下表为广州亚运会官方票务网站公布的几种球类比赛的.门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．难点突破13．(12分)甲、乙两人同时从教室到音乐室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到音乐室？课时作业(三十三)【基础热身】1．B [解析] 当c 2＝0时，ac 2＝bc 2，即a ＞b 不一定能推出ac 2＞bc 2；反之，ac 2＞bc2⇒a ＞b ，故选B.2．D [解析] 由c <d ，得－c >－d ，又a >b ，则a －c >b －d ，A 选项错；由c <d <0，得－c >－d >0，又a >b >0，则－ac >－bd ，即ac <bd ，选项B 错；由a >b >0，得3a >3b >0，选项C错；由a >b >0，得a 2>b 2>0，则1a 2<1b 2，故选D. 3．C [解析] 若log a b >0，即log a b >log a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <1或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1，得(a －1)(b －1)>0；反之，亦成立，故选C.4.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *. [解析] 由已知，得需用A 原料(2x ＋3y ) kg ，需用B 原料(4x ＋2y ) kg ，且乙产品与甲产品的差不大于10，故可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *. 【能力提升】5．C [解析] 由0＜b ＜a ＜1，得0<b 2<1，0<a 2<1，ab <a 2，b 2<ab ，log 12b >log 12a >0，2b <2a <2，则A ，B ，D 错，故选C.6．C [解析] 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，则a －1a 2－a ＋1<0⇒a －1<0⇒/ |a |<1；若|a |<1，则－1<a <1，故选C.7．A [解析] 取特殊值a ＝2，b ＝1，可排除B ，D ；若a >b >0，则1b >1a>0，选项A 成立；而a －1b >b －1b ，b －1b <b －1a，选项C 不成立，故选A. 8．B [解析] 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，则①不正确；a ＞|b |≥0，a 2＞|b |2＝b 2，则②正确；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0，则③正确；取a ＝2，b ＝－3，则|a |＞b ，但a 2＝4＜b 2＝9，即④不正确，故选B.9.ba －c <ab －d [解析]c <d <0⇒－c >－d >0，又∵a >b >0，则a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d ，故b a －c <a b －d. 10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 [解析] 由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2， ∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0， 故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0. 11.a 1＋a 2＋…＋a m m ≤a 1＋a 2＋…＋a n n(1≤m <n )和 a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a n n －m ≥a 1＋a 2＋…＋a n n(1≤m <n ) [解析] 设1≤m <n ，如果去掉a m ＋1，a m ＋2，…，a n ，则a 1＋a 2＋…＋a m m ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ， 如果去掉a 1，a 2，…，a m ，则a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a n n －m ≥a 1＋a 2＋…＋a n n. 12．解：设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n (n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n )张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋100（15－2n ）≤1 200，80n ≤100（15－2n ），n ∈N *，解得5≤n ≤5514， 由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.∴可以预订足球比赛门票5张．【难点突破】13．解：设从教室到音乐室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1<v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s （v 1＋v 2）2v 1v 2， 乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝s （v 1＋v 2）2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝（v 1＋v 2）24v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2>4v 1v 24v 1v 2＝1， ∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到音乐室．。

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

第4讲 基本不等式一、知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.答案：812．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用． 1． “x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.2．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0. 答案：0利用基本不等式求最值(多维探究) 角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)23＋2角度二 通过常数代换利用基本不等式求最值若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解析】 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.【答案】 C角度三 通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时等号成立． 所以x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4. 【答案】 4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． (2)常数代换法，主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋by 的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．(2020·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以xy ＝y ＋2x ，xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝7＋2y x ＋6x y≥7＋43(当且仅当y ＝3x ，即x ＝1＋233，y ＝2＋3时取等号)．所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 3基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B. 【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N +)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是________． (2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0， 即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)9 (2)92角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.2．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________． 解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0， 则3a ＋2b＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab≥5＋2 6.当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 63．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N +，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N +，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. 因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173， 所以－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 利用均值定理连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)． 【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D ．3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a＝b ＝12时，取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝⎛⎭⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d≥5＋24d c ·cd＝9， 当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时，取等号，即1abc ＋1d的最小值为9，故选B.[基础题组练]1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立；对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对于选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C. 2．(2020·广西钦州期末)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( )A ．15B ．12C ．5D ．3解析：选C.因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.故选C.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B ．43C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.5．(2020·湖南衡阳期末)已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△P AB ，△P AC 和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是( ) A.23＋13B ．3＋23 C.13 D ．3解析：选D.因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥21－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z的最小值为3.故选D. 6．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋ 37．(2020·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2x sin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________． 解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t－4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1. 答案：18．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xy x ＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. 答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x， 即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ， 即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝a b，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12.2．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a＋b 的最小值为( ) A ．1B ． 2 C. 3 D ．2 解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b 2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝⎛⎭⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b 4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a ＋b ≠0，则a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2的最小值为________．解析：a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2≥（a ＋b ）22＋1（a ＋b ）2≥212＝2，当且仅当a ＝b ＝2－34时，a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2取得最小值 2. 答案： 24．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________．解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x . 因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时， ⎭⎪⎪⎫等号成立， 所以3x ＋23x 的最小值为2 2. 又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min， 即k ＋1<22，即k <22－1.答案：(－∞，22－1)5．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20， 所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)， 所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。

[第36讲 基本不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知直角三角形的面积等于50，则两直角边的和的最小值是( ) A ．25 B ．20 C ．16 D ．102．[2013·青岛模拟] 已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.14 B ．4 C.12D ．2 3．[2013·福建卷] 下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 4．[2013·郑州质检] 设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．能力提升5．已知函数g (x )＝2x，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．46．下列函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2B ．y ＝x 2＋1xC ．y ＝x (22－x )(0<x <22)D ．y ＝x 2＋2x 2＋17．[2013·福州质检] 设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A ．16B ．9C ．4D ．28．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1，1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．89．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件10．公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若a 1＝1，a n ＝51，则n ＋d 的最小值等于________．11．[2013·宁波质检] 已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n的最小值为________．12．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积最小时的k 为________．13．[2013·兴化二模] 已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值为________．14．(10分)已知a ，b ，c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围．15．(13分)[2013·烟台一调] 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．难点突破16．(12分)[2013·江苏卷] 如图K36－1，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．)课时作业(三十六)【基础热身】1．B [解析] 设两直角边长为a ，b ，则12ab ＝50，即ab ＝100，∴a ＋b ≥2ab ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 有最小值，最小值为20，故选B.2．C [解析] 因为a >0，b >0，则1ab ＝44ab ＝2a ＋b 4ab ＝12b ＋14a ≥212b ·14a ，即1ab ≥12.当且仅当b ＝2a ，即a ＝1，b ＝2时，等号成立，故选C.3．C [解析] 对于A 选项，当x ＝12时，lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ；所以A 不一定正确；B 选项，需要满足当sin x >0时，不等式成立，所以B 也不正确；C 选项显然正确；D 不正确，∵x2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，所以正确的是C.4．4 [解析] 由3是3a与3b的等比中项，得3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即1a ＋1b的最小值为4. 【能力提升】5．B [解析] ∵2a 2b＝2a ＋b＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选B.6．D [解析] 这是用基本不等式求最值的问题，选项A 中等号成立时的方程x 2＋2＝1x 2＋2无解；选项B 中，x <0时，函数没有最小值；选项C 中函数没有最小值；所以只有选项D 正确，故选D.7．C [解析] 由x ∈(1，＋∞)，得x －1>0，∴x －1＋a x －1≥2a ，当且仅当x －1＝ax －1，即x ＝1＋a 时，等号成立， 则2a ≥4，即a ≥4，故选C.8．B [解析] 由已知可得x ＋y ＝1，利用基本不等式可得t ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＝1＋1y ＋1x ＝1＋x ＋y xy ＝1＋1xy ≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y22＝5.故选B.9．B [解析] 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，仓储费用是x8，总的费用是800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80，故选B.10．16 [解析] 由a n ＝51，得a 1＋(n －1)d ＝51，即(n －1)d ＝50， ∴n ＋d ＝n －1＋d ＋1≥2（n －1）d ＋1＝102＋1， 当且仅当n －1＝d 时，等号成立，又数列各项为整数，则公差也是整数，故d ＝5，n ＝11时，n ＋d 有最小值，最小值等于16.11．2 2 [解析] 由点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上， 得m ＋2n ＝1， ∴2m ＋4n ≥22m ·22n ＝22m ＋2n＝22，当且仅当m ＝2n ＝12时，等号成立，故2m ＋4n的最小值为2 2.12．1 [解析] Ω表示的是三角形，其顶点坐标分别为(1，k )，(1，－3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1，－2k k ＋1，则面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1＋1(k ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1＋1[(k ＋1)＋2] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4k ＋1＋（k ＋1）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋24k ＋1·（k ＋1）＝4， 当且仅当4k ＋1＝k ＋1，即k ＝1时等号成立． 13．7 [解析] 由f (m )＋f (2n )＝3， 得log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，即 (m －2)(n －1)＝4(m >2，n >1)，∴m ＋n ＝(m －2)＋(n －1)＋3≥2（m －2）（n －1）＋3＝7， 当且仅当m －2＝n －1，即m ＝4，n ＝3时，等号成立， 故m ＋n 的最小值为7.14．解：因为a ，b 都是正实数，log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则log 3(9a ＋b )＝log 3(ab )，得9a ＋b ＝ab ，即9b ＋1a＝1， ∴4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫9b ＋1a＝13＋36a b ＋b a≥13＋236a b ·ba＝25，即4a ＋b ≥25，当且仅当36a b ＝ba，即b ＝6a 时等号成立．而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0<c ≤25.15．解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张，则共需分36x批，每批价值为20x元，由题意f (x )＝36x·4＋k ·20x .由f (4)＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)，当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故每批购入6张书桌，可以使资金够用． 【难点突破】16．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km. (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a不超过6 km时，可击中目标．。

高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．3．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y≥2 10xy＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典题导入[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5D ．6[自主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎡⎦⎤4－x ＋(－x ).∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎡⎦⎤4－x ＋(－x )≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．以题试法1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．(2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10典题导入[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法 2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．(2013·太原模拟)设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为s ，则从甲地到乙地所需时间为sa，从乙地到甲地所需时间为s b ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a <v <ab . 5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32B.53C.256D ．不存在解析：选A 设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2.由a m a n ＝4a 1，即2m ＋n －22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝n m 时等号成立． 6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.7．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy取得最大值3.答案：38．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：949．(2012·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎡⎦⎤2x ＋(a －2x )22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2.11．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy ≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x ＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．1．(2012·浙江联考)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.2．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3.答案：33．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x ＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809 ≥2900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)． 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋100x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35， ∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0， 故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)， 即f (x )＝x ＋100x，当x ≥35时为增函数．则当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2＜10 989.因此该厂应接受此优惠条件．1．函数y ＝a 1－x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 解析：因y ＝a x 恒过点(0,1)，则A (1,1)，又A 在直线上，所以m ＋n ＝1(mn ＞0)． 故1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn ≥1⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号． 答案：42．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值是________．解析：∵A (2,0)，B (0,1)，∴0≤b ≤1，由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ，ab ＝(2－2b )b ＝2(1－b )·b ≤2·⎣⎡⎦⎤(1－b )＋b 22＝12. 当且仅当1－b ＝b ，即b ＝12时等号成立，此时a ＝1， 因此当b ＝12，a ＝1时，(ab )max ＝12. 答案：123．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30.(1)求xy 的取值范围；(2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ，则2＋x ≠0，y ＝30－x 2＋x＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎡⎦⎤(x ＋2)＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1 ＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧ x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。