垂直平分线与角平分线典型题 (第五讲)

角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

圆形角平分线与垂直平分线练习题(经典)题目一在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条角平分线，连接圆心和角平分线的交点，记为 $A$。

请证明：线段 $AO$ 垂直于角所对的弧。

题目二在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $B$。

设角 $BOC$ 为 $\alpha$ 度，请求弧$BC$ 所对的角大小。

题目三在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $D$。

设垂直平分线与弧 $AB$ 的交点分别为 $E$ 和 $F$。

请证明：角 $DEF$ 为直角。

题目四在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $G$。

设角 $DGH$ 为 $\beta$ 度，角$GHJ$ 为 $\gamma$ 度，求证：$\beta$ 度和 $\gamma$ 度的和等于$90$ 度。

解答题目一首先，考虑将圆分成 $4$ 个相等的扇形，由于扇形的圆心角相等，每个扇形的圆心角为 $90$ 度。

现在我们将扇形 $AOB$ 的边$OA$ 延长，交于圆上的点 $C$，如下图所示：A/// C/B根据圆心角的性质，可以知道圆心角 $ACB$ 等于扇形角$AOB$，即 $ACB=90$ 度。

又因为 $\angle OAC$ 是角 $OAB$ 的角平分线，所以 $\angle OAC = \angle CAB = \angle CBA = \frac{1}{2} ACB = 45$ 度。

现在我们要证明 $AO$ 垂直于弧 $AB$。

设 $AD$ 是半径 $r$，由于角 $OAD$ 是 $45$ 度，根据直角三角形的性质，我们可以得到：\[\sin 45^\circ = \frac{AD}{AO}\]而正弦 $45$ 度是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以我们得到 $AD =\frac{AO}{\sqrt{2}}$。

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

线段的垂直平分线，角平分线课前测试【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是度．【答案】44【解析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70°⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度数．解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，根据题意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，解得x=22°，∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．故填44°．本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．考生需要注意的是角的比例关系的设法，应用列方程求解是正确解答本题的关键．【难度】3【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm．【解析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．解：如图，过点D作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是线段的垂直平分线和角平分线。

了解，掌握线段的垂直平分线的做法和性质以及角平分线的定义，性质。

能熟练的利用线段的垂直平分线和角平分线来做题适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握线段的垂直平分线以及角平分线的性质重点选讲：①线段的垂直平分线性质的几何应用②角平分线性质的几何应用③线段的垂直平分线和角平分线性质的解答题应用知识梳理知识梳理1：线段的垂直平分线线段的垂直平分线：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段上的两个端点的距离相等。

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若图1图2三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

线段的垂直平分线与角平分线（1）令狐采学经典例题：例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB 于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28 度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。

针对性练习：已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC,求证：点O在BC的垂直平分线.例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的OB ACN B直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。

针对性练习：1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.课堂练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且C DAOB=OC ，求证：AO⊥BC.6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM.课后作业：1. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC边的长.2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP 。

线段的垂直平分线与角的平分线一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30︒，∠CAD=65︒，则∠ACD 等于 （ ） A ．50︒ B ．65︒ C ．80︒ D ．95︒ 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定3．如图3，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。

其中正确的有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90︒，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC的大小关系是 （ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有 （ ）A 、①②③④B 、①③C 、②④D 、②③④7题图 8题图 9题图F DEC BADE C B A PD CBAEDCB A DCB AE D CBA图3 图4图1图2c b aOCB ADP 8、如图所示，在ABC ∆中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE⊥AB ，则EB 的长是 （ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝D 、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。

沪教版八年级第一学期角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。

BPABCD GHFEDCBA例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE图1 图2例5:△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BCC B垂直平分线的性质与判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm2题2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。

角平分线和中垂线类型1：角平分线【例题1】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________．【答案】6．（提示：）【例题2】如图，已知点E为矩形ABCD的边CB延长线上一点，且D到直线AE的距离DF＝DC，下列结论：①∠AEB＝∠EDC；②AE＝BC，③AF＝AB；④若BC，则点F在线段BC的垂直平分线上，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B．（提示：②④正确．∵DF＝DC，DF⊥EF，DC⊥BC，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴AE＝AD＝BC，∴②正确；设DC＝1，BCFD＝1，ADRt△F AD中，AF＝1，∴AF＝FD，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∴④正确）【例题3】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，且∠MDN＋∠BAC＝180°．若AD＝6，∠BAC＝60°，则四边形AMDN的面积为_________．【答案】（提示：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF；∵∠MDN＋∠BAC＝180°，∴∠AMD＋∠AND＝180°，又∵∠DNF＋∠AND＝180°∴∠EMD＝∠FND，又∵∠DEM＝∠DFN，DE＝DF，∴△DEM≌△DFN，∴S△DEM＝S△DFN，∴S四边形AMDN＝S四边形AEDF，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠DAF＝30°，∴Rt△ADF中，DF＝3，AF＝，∴S△ADF＝12AF×DF＝12×3，∴S四边形AMDN＝S四边形A EDF＝2×S△ADF＝ABCGFPQQPGABCF MABCDEF32FEDCBA1AB CDNM MNFEDCBA【例题4】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．（提示：过点P作PE⊥AB于点E，当C、P、E三点共线时，PE＋PC＝CE最小）【例题5】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝12∠A，若△BCD的面积是20，则CD的长为____________．【答案】．（提示：如图，作AH⊥CD于H，BM⊥CD交CD的延长线于M．∵AC＝AD，AH⊥CD，∴∠CAH＝∠DAH，CH＝DH，∵∠CAH＋∠ACH＝90°，∠BCD＝12∠CAD＝∠CAH，∴∠BCD＋∠ACH＝90°，∴∠ACB＝90°，∵∠AHC＝∠M＝90°，∴∠ACH＋∠BCM＝90°，∠BCM＋∠CBM＝90°，∴∠ACH＝∠CBM，∵AC＝BC，∴△AHC≌△CMB（AAS），∴CH＝BM，∴CH＝DH＝BM，设BM＝CH＝DH＝m，∵S△BCD＝12CD·BM，∴12·2m·m＝20，∴m＝，∴CD＝2m＝4）【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，点D是BC边上的点，CDACD 沿直线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_________．【答案】3PNDCBA ABCDEFNPDCBAA BCDMHEDC BAP【例题7】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形；②S四边形DFBE＝12S△ACB；③AE；④AC＝8DG；其中正确的是_____________．【答案】①②③④．（提示：根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断②；先推出BF＝AE，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断③；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断④）【例题8】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A 作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是_____________．【答案】＋8．（提示：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DF＝CD＝2．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝2，BD＝BC＝CD＋BD＝2＋AC＝BC＝2＋AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD＝ADBE的面积＝BD•AC＝2＋2）＝8）【例题9】如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为____________．【答案】6－（提示：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点E，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF ＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF ＝BE＝x，BD＝DF＝2－x，在Rt△BED中，DE2＋BE2＝BD2，∴x2＋x2＝（2－x）2，解得x1＝－2－2（负值舍去），x2＝－2＋，∴△DEF的面积为（－2＋2＋）÷2＝6－A BCDEFGABCDEFEDC BAFEDC BA【例题10】如图所示，△ABC 的两条外角平分线AP 、CP 相交于点P ，PH ⊥AC 于H ．若∠ABC ＝60°，则下面的结论：①∠ABP ＝30°；②∠APC ＝60°；③PB ＝2PH ；④∠APH ＝∠BPC ，其中正确结论的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D ．（提示：如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．∵∠PAH ＝∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，∴PN ＝PH ，同理PM ＝PH ，∴PN ＝PM ，∴PB 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝12∠ABC ＝30°，故①正确，∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中，PA ＝PA ，PN ＝PH ，∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，∴∠APN ＝∠APH ，∠CPM ＝∠CPH ，∵∠MPN ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠APC ＝12∠MPN ＝60°，故②正确，在Rt △PBN 中，∵∠PBN ＝30°，∴PB ＝2PN ＝2PH ，故③正确，∵∠BPN ＝∠CPA ＝60°，∴∠CPB ＝∠APN ＝∠APH ，故④正确）【例题11】如图，BH 是△ABC 的角平分线，BA ＝BC ＝10，AC ＝12，P ，D 分别是BH 和AB 上的任意一点，连接PA ，PC ，PD ，CD ．给出下列结论：①PA ＝PC ；②PA ＋PD ≥CD ；③PA ＋PD 的最小值是485；④若PA 平分∠BAC ，则△APH 的面积为12．其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④ 【答案】A ．（提示：∵BA ＝BC ，BH 是角平分线，∴BH ⊥AC ，AH ＝CH ，∴PA ＝PC ，故①正确；∴PA ＋PD ＝PD ＋PC ≥CD ，故②正确；根据垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，C ，P ，D 共线时，PA ＋PD 的值最小，最小值为CD ，在Rt △ABH 中，AB ＝10，AH ＝6，BH ＝8，由等积法可知CD ＝4.8，∴PA ＋PD 的最小值为4.8，故③正确；如图，过点P 作PT ⊥AB 于T ．在△PAT 和△PAH 中，∠PTA ＝∠PHA ＝90°，∠PAT ＝∠PAH ，PA ＝PA ，∴△PAT ≌△PAH （AAS ），∴AT ＝AH ＝6，PT ＝PH ，设PT ＝PH ＝x ，在Rt △PTB 中，则有（8－x ）2＝x 2＋42，∴x ＝3，∴S △APH ＝＝9，故④错误）类型2：垂直平分线【例题12】如图，△ABC 的面积为9cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为__________．PH A BCD EEDCBA H MP NHA BCDPPDCBAHT【答案】4.5cm 2．（提示：延长AP 交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴AP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △DBP ，S △APC ＝S △DPC ，∴S △BPC ＝9÷2＝4.5cm 2）【例题13】如图，已知在△ABC 中，BC ＝6，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点M 、N ，若MN ＝2，则△AMN 的周长是__________．【答案】10．（提示：依题意AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴AM ＋AN ＝BC ＋MN ＝6＋2＝8，△AMN 的周长＝8＋2＝10）【例题14】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 、DE ，下列结论：①△AEF ≌△DEF ；②CF ＝AF －CD ；③DE ∥AC ；④△AEG 为等边三角形，其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．（提示：①②③正确．∵EF 垂直平分AD ，∴△AEF ≌△DEF （SSS ），∴①正确；∵△AEF ≌△DEF ，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DE ∥AC ，∴③正确；∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴CF ＝AF －CD ，∴②正确）类型3：解答题【例题15】如图，△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACB ＝100°，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH ⊥BD ，且∠CEH ＝50°． （1）求∠ACE 的度数；（2）求证：AE 平分∠CAE ；（3）若AC ＋CD ＝14，AB ＝8.5，且S △ACD ＝21，求△ABE 的面积．【答案】（1）∠ACE ＝40°；（2）略；（3）S △ABE ＝514． （提示：（3）S △ACD ＝S △ACE ＋S △CED ）A BCD EMN ABCDEFG321A BCDEFGHFED C BAABC DE FH。