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华南理工大学高等数学统考试卷2000上一、选择题（每小题3分，共18分） 1、下列极限的等式中，正确的是（ ）（A ）e x xx =-→10)1(lim （B ）31arcsin 11lim 320=--→x x x x （C ）()211lim22=+-+-∞→x x x x （D ）11212lim 2230=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--→x x x x x 2、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+-+=0,0,1111)(3x A x x x x f 在0=x 点连续，则=A （ ） （A ）23 （B ）１ （C ）32 （D ） ０ 3、已知=+=dy x y ,1cos ln 2（ ） （A ）1cos 2+x dx （B ）dx x 1tan 2+-（C ）dx x x 121tan 22++-（D ）dx x x x 11tan 22++-4、函数336x xx y -+=在1=x 处有（A ）极小值（B ）极大值（C ）拐点（D ）既无极值又无拐点 5、⎰+∞=111dx exx x（ ）（A ）)1(2-e （B ）)1(2e -（C ）e -1（D ）1-e 6、曲线)0(cos 2>=a a r ϑ所围图形的面积等于（ ）（A ）⎰202)cos 2(21πϑϑd a （B ）⎰-ππϑϑd a 2)cos 2(21 （C ）⎰πϑϑ202)cos 2(21d a （D ）⎰202)cos 2(212πϑϑd a二、（每小题５分，共２０分）１、求极限;2cot )cos 3(cos lim2x x x x -→π２、设3311,12t t y t t x ++=+=，求;1=t dx dy３、求积分⎰+dx x x )cos (sin 23４、求积分⎰-+22cos 11ππdx x 三、（每小题６分，共１８分） １、 设函数)(x y y =由方程y x e xy+=2所确定，求;022=x dxyd２、 求积分⎰+dx xx 1ln ３、求积分⎰-πsin 1dx x四、（８分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x xx x f x βα，试根据α和β取值的不同情况，讨论)(x f 在0=x 的连续性。
2018最新⾼等数学期末考试试题及答案详解⾼等数学期末考试试题及答案详解⼀、填空题：（本题共5⼩题，每⼩题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满⾜0a b += ，2a =，2b = ，则a b ?= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y= ． 3、曲⾯229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平⾯⽅程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅⾥叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=? ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．⼆、解下列各题：（本题共5⼩题，每⼩题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y++==+在点0M (1,1,2)-处的切线及法平⾯⽅程． 2、求由曲⾯2222z x y =+及226z x y =--所围成的⽴体体积． 3、判定级数11(1)ln nn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y． 5、计算曲⾯积分,dS z ∑其中∑是球⾯2222x y z a ++=被平⾯(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物⾯22z x y =+被平⾯1x y z ++=截成⼀椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最⼤值与最⼩值．计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-?，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a ⾄原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=?∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲⾯积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-??，其中∑为曲⾯221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++，其中t Ω是由曲⾯z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．备注：①考试时间为2⼩时；②考试结束时，请每位考⽣按卷⾯→答题纸→草稿纸由表及⾥依序对折上交；不得带⾛试卷。
2018高三数学理期末试题（附答案）
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河北省“五个一名校联盟”1几何证明选讲
如图⊙ 过平行四边形的顶点 ,且与相切,交的延长线于点
(1)求证；(2) 是的三等分点，且，求
23（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为，（为参数，）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆上的点到直线的最大距离为3．
24（本小题满分10分）选修4—5不等式选讲
已知函数
（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证
河北省“五个一名校联盟”4坐标系与参数方程
解由已知圆心的直角坐标为，所以圆心的极坐标为 2分直线的直角坐标方程为，圆心到的距离，圆上的点到直线的距离的最大值为解得 10分
24（本小题满分10分）选修4—5不等式选讲
解析（1）∵ ，． 5分
，
∴ 10分
5。
高等数学A （2）复习题一、空间解析几何1. 设→→→→+-=k j i a 2，→→→→-+=k j i b 3， 求：(1) 与→a ，→b 均垂直的单位向量；(2) )()23(b a b a ρρρ⨯•-→；(3) 向量→a 的方向余弦。
2. 已知三角形的顶点为A )2,1,3(-、B )2,2,4(、C )3,0,1(，求此三角形的面积。
3. 已知 →→→→+-=k j i a 3，→→→→+-=k j i b 2，计算以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积。
4. 平行四边形ABCD 的两边为b a AB ϖρ2+=→--，3AD a b =-u u ur r r ，其中2,3==b a ρρ，并且a b ⊥r r ，求：(1)b a ρρ+；(2) 平行四边形ABCD 面积。
5. 求由yOz 平面上曲线 223y z -= 绕Oz 轴旋转一周所得的曲面方程。
6. 求过点)2,3,1(-且平行于平面132=-+z y x 的平面方程。
7. 求点)2,2,1(0-P 与平面11435=-+z y x 的距离。
8. 求直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角。
9. 求过点)5,3,2(-且与平面 13=+y x 垂直的直线方程。
10. 求过点），，（4120-P 且与直线 ⎩⎨⎧=---=-+-022012z y x z y x l ： 平行的直线方程。
11. 求平面1x z -=与xOy 平面的夹角。
12. 求过点)3,2,1(且与直线223032+12=0x y z x y z ++-=⎧⎨-+⎩垂直的平面方程。
二、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim )0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(limy x y x y x ++→。
华南理工大学高等数学统考试卷1999上一、（共8分，每小题4分）1、求x x x x x -+∞→11sin lim ，2、求;23lim sin 10x x x x e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→二、（共10分，每小题5分）1、 设⎰=+-→x x dt t a x bx t 02201)sin (lim ，求b a ,的值。
2、 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠≠-=-0,22,02,0,1)(2x x x x e x x f x x ，讨论)(x f 在2,0==x x 处的连续性；若不连续，指出间断点的类型。
三、（共8分，每小题4分）1、设12arcsin 232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x ，求y '。
2、确定A 的值，使两曲线2Ax y =与x y ln =相切，并求出此公切线的方程。
四、（共12分，每小题6分）1、设⎰+==tt y udu u x 0)1ln(,sin ,求22,dx y d dx dy 2、设方程04ln 22=++x y x y 确定了函数)(x y y =，求dy五、（8分）当0>x 时，证明：x x e x cos 11->--六、（共12分，每小题6分）1、设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x g f ln )]([=，求⎰dx x g )(2、求⎰-dx e xe x x2七、（共12分，每小题6分）1、 计算⎰-+222)cos (ππdx x x 2、 证明⎰⎰--=4020)4()4(2dx e dx e x x x x 八、（9分）已知曲线1=xy 在第一象限中分枝上有一定点)1,(aa P ，在给定曲线的第三象限中的分支上有一动点Q ，试求使线段PQ 长度最短的Q 点的坐标。
九、（8分）过点)0,2(a 向椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 作两切线，求椭圆与两切线所围成的区域（y 轴右边部分）绕y 轴旋转所得旋转体的体积。
2018高一数学上学期期末考试试题及答案2018第一学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（选择题共48分）参考公式：1．锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
2．球的表面积公式S=4πR^2，球的体积公式V=4/3πR^3，其中R为球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={0,1,2,3}，A={1,3}，则集合C(U-A)的值为（）A。
{ }B。
{1,2}C。
{0,2}D。
{0,1,2}2．空间中，垂直于同一直线的两条直线（）A。
平行B。
相交C。
异面D。
以上均有可能3．已知幂函数f(x)=x的图象经过点(2,α)，则f(4)的值等于（）A。
16B。
11C。
2D。
1624.函数f(x)=1-x+lg(x+2)的定义域为（）A。
(-2,1)B。
[-2,1]C。
(-2,+∞)D。
(-2,1]5．动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（）A。
10B。
22C。
6D。
266.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A。
若m∥n，m∥α，则n∥αB。
若α⊥β，XXXα，则m⊥βC。
若α⊥β，m⊥β，则XXXαD。
若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤1时，f(x)=2x-x^4，则f(1)等于（）A。
-3B。
-1C。
1D。
38．函数y=(1/2)x^2-x+1的值域是（）A。
RB。
(-∞。
+∞)C。
(2.+∞)D。
(0.+∞)9．已知圆A。
相交B。
内切C。
外切D。
相离10.当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=loga(x)的图象是（）A。
B。
C。
D。
11.函数f(x)=e^(-1/2x)的零点所在的区间是（）A。
(-∞。
0)B。
(0.1)C。
(1.+∞)D。
(-∞。
2)12.已知函数f(x)=2x+4x，当x≥0时，g(x)=f(x)，当x<0时，g(x)=-f(-x)，则g(x)的解析式是（）A。
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
一、 计算二重积分 ∬xy Ddxdy , 其中 D 为第一象限内的椭圆区域: x 24+y 2≤1,x ≥0, y ≥0.（7分）解：使用广义极坐标变换，即x =2r cos θ,y =r sin θ（1分），积分区域可表示为0≤θ<π2,0≤r ≤1（1分） D (r,θ)=[2cos θsin θ−2r sin θr cos θ]=2r （1分），我们有 ∬xy D dxdy =∫dθπ/2∫2r cos θ⋅r sin θ⋅|J |10dr （1分）=∫4cos θ⋅sin θdθπ/2∫r 31=∫2sin 2θdθπ/2×r 44|01=−cos 2θ|0π2×14=−(−1−1)×14=12(1分)二、 设 Ω 为曲面 z =1 与上半球面 z =√3−x 2−y 2 所围成的区域，S 为 Ω 的边界，求第一型曲面积分 ∬(x +S1)dS 的值. (7分)解：首先通过方程z =1=√3−x 2−y 2，容易算得两曲面交线为x 2+y 2=2，故积分投影区域为D:x 2+y 2≤2，上表面为上半球面z 上=√3−x 2−y 2，下表面为平面z 下≡1.（1分）同时，可计算出√1+z 上x 2+z 上y2=√3−x 2−y 2√1+z 下x 2+z 下y2=1 （1分）,由对称性，注意到两个表面均关于Oyz 平面对称，且x 关于x 为奇函数，所以有：∬(x +1)SdS =∬1SdS (对称性，1分)=∬3√3−x 2−y 2D +1dxdy （1分）=∫dθ2π0∫[3√3−r 21]⋅r √20dr （极坐标，1分） =2π×[−3√3−r 2+r 22]|0√2三、 计算曲线积分 ∫y dx −(x +z ) dy L +,其中 L +为螺旋线段：L:{x =cos ty =sin t z =t 2,t ∈[0,2π]，方向按参数 t 增加的方向.(7分) 解：本题可以直接进行求解，注意到x ′(t )=−sin t ,y ′(t )=cos t ,z ′(t )=2t,0≤t ≤2π(1分)，可得中山大学 高等数学一（II ）期末考试J =D (x,y )dr=2π×(−3−(−3√3)+1−0)=(6√3−4)π（1分）∫y dx −(x +z ) dy L +=∫sin t ⋅−sin t −(cos t +2π0t 2)⋅cos t dt (2分) =∫−1−2π0t 2⋅cos t dt (1分)=−2π−t 2⋅sin t |02π+∫2t 2π⋅sin t dt (1分)=−2π+0−2t ⋅cos t |02π+∫22πcos t dt (1分)=−2π+0−2×2π+0=−6π(1分)四、 求初值问题 (−x 2+2xy )dx +(x 2+sin y )dy =0, y (0)=π2 的解 (7分)解：因为ð(−x 2+2xy )ðy=2x =ð(x 2+sin y )ðx，因此该方程为全微分方程（2分）使用简单凑微分方法，有 (−x 2+2xy )dx +(x 2+sin y )dy=−x 2dx +(2xy dx +x 2dy )+sin y dy =d(−x 33+x 2y −cos y)因此，可得该全微分方程的通解为：−x 33+x 2y −cos y =C （3分） 代入初值条件，即x =0,y =π2，可得C =0, （1分）故原初值问题的解为：−x 33+x 2y −cos y =0（1分）解：先考虑对应齐次线性方程y ′′+y =0,其特征方程λ2+1=0对应两个特征根λ1,2=±i （1分） 因此对应齐次方程的通解为y ̃=c 1cos x +c 2sin x ,（2分）考虑非齐次方程y ′′−y =cos x ,因为±i 是特征根，其特解y 1∗=x(A cos x +B sin x),（1分）代入该方程后有y 1∗′′+y 1∗=−2A sin x +2B cos x =cos x ,可得A =0,B =12故y 1∗=12x sin x . （2分） 综上，原微分方程通解y =y ̃+y 1∗=c 1cos x +c 2sin x +12x sin x . （1分）六、 判断级数∑(−1)n−1arctan 1n∞n=1的敛散性,并指明其为绝对收敛还是条件收敛. (8分)解：本级数为交错级数，其通项绝对值arctan 1n 关于n 单调递减（因为1n 单调递减，arctan 1n 单调递减）（2分），且lim n→∞arctan 1n =0. （1分）由莱布尼茨（或狄利克雷）判别法可证该级数收敛。
一.填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1．设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______； 2．设xy 211+=，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-； 3．若曲线23bx ax y +=的拐点为（1, 3），则常数=a 23-，=b 29；4．曲线1(21)e xy x =-的渐近线方程为12+=x y ； 5.x x f ln )(=在10=x 处带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式为))1(()1(1)1()1(31)1(21)1(132n n n x o x n x x x -+--++-+---- ．二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1．已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型．1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x xf f x x x x →-→+---==-+==---2222101011(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点………………………………………………………………………………..1分2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．()()()11010f f f =+=-_____________ ________从而()(1)1010(1)0lim lim e 1,ln 0,0b x x x f a -→+→-===-==…………3分()()()10101ln 11(1)limlim 111x x f x f x f x x +→+→+-+-'===-- ()()()1101011(1)lim lim 11b x x x f x f e f b x x --→-→+--'===--由可导知(1)(1)(1),1f f f b -+'''===……………………………………………………..2分3．已知011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值．用罗比达法则…….2分2,3-==C n ……….3分4．)41441141(lim 2222nn n n n -+⋅⋅⋅+-+-∞→．dx x⎰-=1241…………3分6π=……………………..2分三. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1．由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．()()ln ln 2ln ln 20y x y x d e x y e xdy yd x dx dy -+=+-+=……………5分即()2ln 20,1ln yyy y x y xxdy x dx dx dy dy dx x x x x -+-+==+……………1分 2．求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d yx ． )1)(23(++=t t dxdy……………3分t t t dxy d )1)(56(22++=…………….3分3．已知函数)(x f 连续，t x t f t x g x d )()(02⎰-=，求)('x g ．u u f x u x g d )()()(0x-2⎰+=………….3分⎰⎰----=xx du u f x u u uf x g 0)(2d )(2)('………3分四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分) 1．()221sin d sec tan sec d tan sec cos x x x x x x x x c x-=-=-+⎰⎰ (6)2．161x ⎰．u =，则()221x u =+，当1x =时0u=，当16x =时u =2分原式=()())22222d 11arctan 1d u uu u u +=+-+⎰⎰……………3分31616333u u ππ⎛=-+=- ⎝.1分 3．211d e e x x x +∞-+⎰． =112211e d 11limlim arctan e lim arctan e e e 44bx b x b x b b b x e e e ππ--→+∞→+∞→+∞⎛⎫==-= ⎪+⎝⎭⎰4．已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算：(1)以MA ,MB 为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→n ．3}1,1,1{=-==S …………3分→0n }1,1,1{33-±=……………………….3分五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)1．求θsin 2=r 和θ2cos 2=r 围成图形的公共部分的面积．⎰=602)sin 2(21πθθd S ⎰+462cos 21ππθθd ………..4分=2332-………………………………………2分2．求由曲线2,1,e ===x x y x 及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转所成立体的体积．⎰=21)(2dx x xf V π=⎰212dx xe x π…………4分22e π=……………………………………2分六. 证明下列各题(共2小题)1．(本题6分)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，利用定义证明函数t t f x F x d )()(0⎰=在),(+∞-∞上可导，且)()('x f x F =．xx F x x F x ∆-∆+→∆)()(lim0=xdtt f xx x xn ∆⎰∆+→∆)(lim 0，……………..2分因为)(x f 在),(+∞-∞上连续，由积分中值定理得)()()()(lim0ξξf x x f x x F x x F x =∆∆=∆-∆+→∆，其中x x ∆+=θξ，10≤≤θ………..2分再利用)(x f 的连续性得)()(lim 0x f f x =→∆ξ.故)()('x f x F =………………………………….2分2．(本题5分)设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0d )(10=⎰x x f ，1d )(1=⎰x x xf ，试证：（1）存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ；（2）若)(x f 在]1,0[上可导，则存在)1,0(∈η，使得4)('≥ηf ． （1）≤-=⎰x x f x d )()21(110x x f x d )(2110⎰-，由积分第一中值定理的，存在]1,0[∈ξ，使得)(4121)(d )(211010ξξf dx x f x x f x =-≤-⎰⎰，故存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ……….3分（2）由积分中值定理，存在]1,0[∈c ，使得0)(d )(10==⎰c f x x f .由拉格朗日中值定理，则存在)1,0(∈η，使得)('))((')()(ηξηξf c f c f f ≤-=-，由（1）知4)('≥ηf .…………………..2分。
大学高等数学期末考试卷复习题及答案详解一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 （ ）（A ）0 （B ） ∞ （C ）12（D ）不存在2、方程3310xx -+=在区间(0,1)内 （ ）（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ⎰dxx f )(是)(x f 的 （）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （）（A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( )（A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）2313+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ ） (A) )1(ln→x x (B) )0(1ln+→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 （ ）（A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分⎰+dx x x12= （）(A)2arctan xC + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ ）（A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e11、微分方程dyxy dx=的通解为 （ ） （A ）2xy Ce= （B ）212x y Ce= （C ）Cx y e = （D ）2xy Ce=12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( )（A ）2x y = （B ） 3x y -= （C ）23x y -= （D ）3x y =13、 函数1cos sin ++=x x y 是 （ ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x时， 下列是无穷小量的是 （ ）（A ） 1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x15、当x →∞时，下列函数中有极限的是 （ ） （A ）211x x +- (B) cos x (C)1xe (D)arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ ）（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个17、21()1dx x '=+⎰（ ） （A ）211x + （B ）211C x ++ （C ） arctan x （D ） arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 （ ）（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数19、 函数(ln y x =+是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()0f x '>，则( )(A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f <21、设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ ） (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( )（A ） sin cos x x C -++ （B ）sin cos x x C -+（C ） sin cos x x C --+ （D ）sin cos x x C ++23、数列})1({nn n-+的极限为（ ） （A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（ ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零25、若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ ）(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰ (D)()()1f x g x =+26、下列曲线有斜渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+(C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos lim x xx→-= 2、 若2)(2+=x e x f ，则=)0('f3、 131(cos 51)x x x dx --+=⎰4、=⎰dx e t5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为6、224lim 3x x x →-=+ 7、 极限 =---→42lim 222x x x x8、设sin 1,y x x =+则()2f π'=9、11(cos 1)x x dx -+=⎰10、231dx x =+⎰11、微分方程ydy xdx =的通解为12、1415x dx -=⎰13、 sin 2limx x xx→∞+=14、设2cos y x =，则dy = 15、设cos 3,y x x =-则()f π'=16、不定积分⎰=x x de e 17、微分方程2x y e -'=的通解为22222222222111120,201122x x x xx xx dy y y e y e dy e dx dx ydy e dx e C y y x y C e y e y -'=⇒=⇒==⇒-=+==-=-==-⎰⎰代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x y ='ln的通解是19、xx x3)21(lim -∞→＝ 20、,x y x y '==设函数则21、)21(lim 222nn n n n +++∞→Λ的值是 22、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+-23、,x y x dy ==设函数则24、 20231lim 4x x x x →-+=+25、若2()sin6x f x e π=-，则=)0('f26、25(1sin )a ax dx π++=⎰().a 为任意实数27、设ln(1)x y e =-，则微分dy =________________.28、3222(cos )d 1x x x x ππ-+=-⎰.三、解答题1、（本题满分9分）求函数y =的定义域。
2、（本题满分10分）设()(1)(2)(2014)f x x x x x =---L ，求(0)f '。
3、（本题满分10分）设曲线方程为16213123+++=x x x y ,求曲线在点)1,0(处的切线方程。
4、（本题满分10分）求由直线x y =及抛物线2x y =所围成的平面区域的面积。
5、（本题满分10分）讨论函数2 1()3 1x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩ 在 1x = 处的连续性。
6、（本题满分10分）求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=+==3321x y x dx dy|的特解。
7、（本题满分9分）求函数 24cos 5y x x =-+- 的定义域。
8、（本题满分10分）设()(1)(2)()(2)f x x x x x n n =+++≥L ，求(0)f '。
9、（本题满分10分）设平面曲线方程为33222=+-y xy x ，求曲线在点（2，1）处的切线方程。
10、（本题满分10分）求由曲线x y e =及直线1=y 和1=x 所围成的平面图形的面积（如下图）．11、（本题满分10分）讨论函数() 1 0xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩ 在 0x = 处的连续性。
12、（本题满分10分）求方程0)1()1(22=+-+dy x dx y 的通解。
13、（本题满分10分）证明方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。
14、（本题满分10分）设()(1)(2)(2015)f x x x x x =+++L ，求(0)f '。
15、（本题满分10分）求曲线e xy e y=+在点（0，1）处的法线方程。
16、（本题满分10分）求曲线cos y x =与直线2,2y x π==及y 轴所围成平面图形的面积。
17、（本题满分10分）讨论函数cos 0() 1 0x x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩ 在 0x = 处的连续性。
18、（本题满分10分）求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==1|1022x y xyy x dxdy 的特解。
19、（本题满分20分）22(01)1A B (),,.,.A B A B a y x a A x V B y V a V V =<<+曲线将边长为的正方形分成、两部分如图所示，其中绕轴旋转一周得到一旋转体记其体积为，绕轴旋转一周得到另一旋转体记其体积为问当取何值时的值最小20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角θ？若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。
21、（本题满分10分）设1ln(1)()(0)xt f x dt x t +=>⎰，求1()()f x f x+. 22、证明题（本题满分10分）设函数()f x 在[]03,上连续,在()03,内可导, (0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =。
试证必存在一点()03,ξ∈，使得()0f ξ'=.23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m 处装有摄像机，摄像机对准火箭。
用h 表示高度，假设在时刻0t ，火箭高度h =3000m ，运动速度等于300m/s,（1） 用L 表示火箭与摄像机的距离，求在0t 时刻L 的增加速度. （2） 用α表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在0t 时刻α的增加速度.《高等数学（一）》期末复习题答案一、选择题1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以x ；第四步化简即可。
