高二数学数列求和及其应用复习

第43讲 数列的求和【基础知识回顾】 1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).1、数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100【答案】 D【解析】 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56 C ．16D ．130【答案】：B 【解析】：因为()11111n a n n n n ==-++，所以5111111111151122334455666S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ． 3、设11111++++2612(1)S n n =++，则S =( )A ．211n n ++ B ．21n n - C ．1n n+ D ．21n n ++ 【答案】：A 【解析】：由11111++++2612(1)S n n =++，得11111++++122334(1)S n n =+⨯⨯⨯+，111111112111++++222334111n S n n n n +=+-==+++----，故选：A.4、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.【答案】 2 022【解析】 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023， ∴n ＝2 022.5、已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．【答案】：5000【解析】：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000．6、 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________． 【答案】：2n【解析】：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ．考向一 公式法例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】4 42【解析】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-，514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42. 故答案为：（1）4；（2）42.变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．【答案】 12【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 6a 3＝－12.易得S 6＝S 3(1＋q 3)，所以S 6S 3＝1＋q 3＝1－12＝12.变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 【答案】.37【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24=q ．由于1≠q ，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S 方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.考向二 利用“分组求和法”求和例2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ， 由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a == ，212b q b ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (2)12231n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+ 121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121nn S n =-+.变式1、求和S n ＝1＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1.【解析】 原式中通项为a n ＝⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋ (12)－1＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12 ＝12n －1＋2n －2. 变式2、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3.又S 2＝2a 1＋d ，所以a 1＝d ， 易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.变式3、（2021·广东高三专题练习）设数列{a n }满足a n +1＝123n a +，a 1＝4． （1）求证{a n ﹣3}是等比数列，并求a n ； （2）求数列{a n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）证明见解析，11()33n n a -=+；（2）31(1)323n n -+．【解析】（1）数列{a n }满足a n +1＝123n a +，所以113(3)3n n a a +-=-， 故13133n n a a +-=-， 所以数列{a n }是以13431a -=-=为首项，13为公比的等比数列． 所以1131()3n n a --=⋅，则1*1()3,3n n a n N -=+∈． （2）因为11()33n n a -=+，所以011111()()()(333)333n n T -=++++++⋯+＝11(1)33113n n -+-＝31(1)323n n -+． 方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．考向三 裂项相消法求和例3、（2021·四川成都市·高三二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得20T 的值为（ ）A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C 【解析】当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；而12111a =⨯-=也符合21n a n =-，∴21n a n =-，*n N ∈.又11111()22121n n a a n n +=--+， ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++，所以202020220141T ==⨯+，故选：C.变式1、（2021·全国高三专题练习）已知在数列{}n a 中，14,0.=>n a a 前n 项和为n S ，若1,2)-+=∈≥n n n a S S n N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132020n T <<【解析】（1）在数列{}n a 中，1(2)n n n a S S n -=-≥①∴1n n n a S S -=且0n a >，∴①式÷②11n n S S -= (2)n ≥， ∴数列{}nS 1142S a ===为首项，公差为1的等差数列，2(1)1n S n n =+-=+ ∴2(1)n S n =+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+；当1n =时，14a =，不满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．（2）由（1）知4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，∴当1n =时，114520n T ==⨯， ∴当1n =时，120n T =，满足132020n T ≤<，∴12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111455779(21)(2n =++++⨯⨯⨯+111111111111()()()()45257792123202523n n n ⎡⎤=+⨯-+-++-=+⨯-⎢⎥⨯+++⎣⎦ 312046n =-+ ∴在n T 中，1n ≥，n ∈+N ，∴4610n +≥，∴114610n ≤+，∴1104610n >-≥-+，∴131320204620n ≤-<+．所以132020n T << 变式2、（2021·辽宁高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <.【解析】解：（1）因为2n n a S n =+①， 所以()11212n n a S n n --=+-≥② 由①-②得，121n n a a -=+.两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+，所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列. （2）令1n =，1121a S =+，则11a =. 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-.因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n ＝1n n ＋k 时，可转化为a n ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，此类数列适合使用裂项相消法求和． （2）数列的通项公式形如a n ＝1n ＋k ＋n时，可转化为a n ＝1k(n ＋k －n )，此类数列适合使用裂项相消法求和．考向四 错位相减法求和例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N*=+∈，且12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以121n a a n ==, 所以2n a n =（2）由（1）,(1)2=(21)4n ann n b a n =--, 所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯---，化简得120(65)4+99n n n T +-= 变式1、（2020·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且22a =，5S 为10和20的等差中项；数列{}n b 为等比数列，且319b b -=，4218b b -=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n M ． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，5S 为10和20的等差中项，所以112541020522a d a d +=⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =． 设等比数列{}n b 的公比为q ，因为319b b -=，4218b b -=，所以2121(1)9(1)18b q b q q ⎧-=⎨-=⎩，解得132b q =⎧⎨=⎩， 所以132n n b -=⋅．（2）由（1）可知132n n n a b n -⋅=⋅，所以213(122322)n n M n -=+⨯+⨯++⋅，令21122322n n P n -=+⨯+⨯++⋅ ①， 则232222322n n P n =+⨯+⨯++⋅ ②，-①②可得2112122222(1)2112nn nn n n P n n n ---=++++-⋅=-⋅=---，所以(1)21nn P n =-+，所以3(1)23n n M n =-+．变式2、（2020·湖北高三期中）在等差数列{}n a 中，已知{}35,n a a =的前六项和636S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若___________(填①或②或③中的一个)，求数列{}n b 的前n 项和n T .在①12n n n b a a +=，②(1)nn n b a =-⋅，③2na n nb a =⋅，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由题意，等差数列{}n a 中35a =且636S =，可得112561536a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1d a ==，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）选条件①：211(2n 1)(21)2121nb n n n ==--+-+，111111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选条件②：由21n a n =-，可得(1)(2n 1)nn b =--，当n 为偶数时，(13)(57)[(23)(21)]22n nT n n n =-++-+++--+-=⨯=； 当n 为奇数时，1n -为偶数，(1)(21)n T n n n =---=-，(1)n n T n =-，选条件③：由21n a n =-，可得212(21)2n a n n n b a n -=⋅=-⋅， 所以135********(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，35721214123252(23)2(21)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减，可得：()13521213122222(21)2n n n T n -+-=⨯++++--⨯()222181222(21)214n n n -+-=+⋅--⨯-，所以2110(65)299n n n T +-=+⋅. 方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 （解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

数列的求和的方法与技巧“数列求和”是数列中的重要内容，也是高考命题的一个热点问题,求解数列求和问题应将常见的求和方法与一些常用的数式变换技巧联系起来，以达到快速解决解决问题的目的。

.现将常见的求和方法总结归纳如下：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法.[例1]（I ）已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.[解析],1212++-=n n n n a n),1212()121321()5232()311(++-+--+--+++++=∴n n n n n n n n S n =1212)12121()5352()3231(1++=++-+--++++++n n n n n n n n n =12)1(2++n n n ；（II ）已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n 求它的前n 项和.[解析],)1(11)1()1(222222+-=+⋅-+=n n n n n n a n.)1(11))1(11()1)1(1()3121()211(22222222+-=+-+--++-+-=∴n n n n n S n（III ）求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n [解析]注意：数列的第n 项“n ·1”不是数列的通项公式，记这个数列为}{n a ，∴其通项公式是.6)2)(1(2)1(6)12)(1(2)1()321()321()321(),,,3,2,1()]1([222222++=++++-+=+++++++++-⋅++++=∴=+-=--⋅=n n n n n n n n n n n n n n S n k k k kn k n k a n k （Ⅳ）已知数列.}{,)109()1(n n n n S n a n a 项和的前求⨯+= [解析]n n n b n a )109(,1=+=为等差数列 为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322n n n n n n n n n n n n n S n n n S n S n S ⨯+-=∴+-=⨯+--⨯+=⨯+-++++=⨯+++⨯+⨯=∴⨯+++⨯+⨯=++++ 两式相减得 [评注]例1讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.[例2]（I ）设),3(9)(2-≤-=x x x f（1）求)(x f 的反函数);(1x f -（2）若;),2(),(,1111n n n u n u f u u 求≥-==--（3）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+ [解析]（1）9)(21+-=-x x f（2）}{),2(9122121n n n u n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列，,89,0,892-=∴>-=∴k u u n u n n n （3）),8919(9119891--+=++-=k k k k a k);119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n （II ）设函数),2)(1(,1:}{,332)(11≥==+=-n b f b b b x x x f n n n 作数列 求和：.)1(11433221+-⋅-+-+-=n n n n b b b b b b b b W[解析]),384(91,312,32211++=∴+=∴+=+-n n b b n b b b n n n n n ①当n 为偶数时]})1[()43()21{(94222222n n W n --++-+-= 298)]12(1173[94]})1[()43()21{(98n n n n ⨯--++++-=--++-+-+ =);62(9194)]22(2[21942n n n n n +-=-+⨯⨯- ②当n 为奇数时}])1()2[()21{(9422222n n n W n +---++-=).762(91312198]22121[9431]21[98})]32(1173[{9431})]1()2[()43()21{(98222++=++⨯++⨯-⨯-=++--++-+++-=++---++-+-+n n n n n n n n n n n n n [评注]例2中的（I ）、（II ）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟运用求和方法，问题（I ）中运用了“裂项”求和方法，而问题（II ）中灵活运用了拆项与并项的求和方法.[例3]已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n n n a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证.211121<+++nS S S [解析]（I ）2)1(4+=n n a S ①，而211)1(4+=--n n a S ②，①—②得,0)2)((0)(2111212=--+⇒=+------n n n n n n n n a a a a a a a a2}{),2(2,01=∴≥=-∴>-d a n a a a n n n n 是公差 的等差数列，;12,1)1(41211-=∴=⇒+=n a a a a n 而 （II ）22221212111111,nS S S n S n n +++=+++∴= .212)111()3121()211(1111),2(111)1(11212<-=--++-+-+<+++∴≥--=-<nnn S S S n n n n n nn [评注]例3是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，∴作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.小试牛刀1．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +==（I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式；（II ）求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W 2．将等差数列{n a }的所有项依次排列，并如下分组：（1a ），（32,a a ），（7654,,,a a a a ），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n 组有12-n 项，记T n 为第n 组中各项的和，已知T 3=-48，T 4=0，（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）求数列{T n }的通项公式；（III ）设数列{ T n }的前n 项和为S n ，求S 8的值.参考答案1．（I ）),2(1,2)1(2111≥-=⎩⎨⎧=+=---n a n n a na S a n S n n n n n n 两式相减得;,12211122111n a n n n n n a a a a a a a a n n n n n n =∴=⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅=∴--- （II ）)]4121()311[(21)2(1531421311-+-=+++⋅+⋅+⋅=n n W n ].211123[21)]211()5131(+-+-=+-++-+n n n n 2．（I ）设{n a }的公差为d ，则486473-=-=d a T ①，036874=+=d a T ②，解①②得;232,9,27-=∴-==n a a d n（II ）当2≥n 时，在前n －1组中共有项数为,1222112-=+++--n n ∴第n 组中的22)12(22)232(21111⨯-+⨯-=----n n n n n n T 项的和 ;22423122--⨯-⨯=n n （III ）.59415,255}{88=∴S a S n 项的前为。

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

高二数列求和知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的数的集合。

在高二数学学习中，我们经常会遇到数列求和的问题，对此我们需要掌握一些与数列求和相关的知识点。

本文将对高二数列求和的知识进行归纳总结。

一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用的求和公式如下：1. 等差数列前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

2. 等差数列常用的性质公式：Sn = (a1 + an) * n / 2an = a1 + (n-1) * d其中，d表示公差。

二、等比数列求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，常用的求和公式如下：1. 等比数列前n项和公式（当公比不等于1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

2. 等比数列前n项和公式（当公比等于1时）：Sn = a1 * n三、特殊数列求和公式除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列求和公式，包括以下几种常见情况：1. 平方数列求和公式：Sn = (2n^3 + 3n^2 + n) / 62. 立方数列求和公式：Sn = (n^2 * (n + 1)^2) / 43. 斐波那契数列求和公式：Sn = F(n+2) - 1其中，F(n)表示第n项斐波那契数。

四、应用案例分析在实际应用中，数列求和常常结合实际问题进行分析和求解。

以下是两个典型的应用案例：案例一：小明每天读书，第一天读了1页，第二天读了2页，第三天读了3页，以此类推，第n天读了n页。

求小明连续读了10天后的总页数。

解析：根据题目中的描述，我们可以知道该题是等差数列，且首项a1=1，公差d=1，项数n=10。

利用等差数列求和公式，可以得到：Sn = (a1 + an) * n / 2= (1 + 10) * 10 / 2= 55因此，小明连续读了10天后的总页数是55页。

高二数学数列与等比数列的求和公式的应用题解析数列是数学中常见的基本概念，它由一系列按照特定规律排列的数字组成。

数列的求和是数列中各项数字的加和过程，其中等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都与前一项成等比关系。

本文将通过具体的应用题解析，探讨高二数学中数列与等比数列的求和公式及其应用。

1. 等差数列与等差数列的求和公式考虑以下等差数列：3，6，9，12，15...首先，我们可以观察到该数列的公差为3，即每一项与前一项的差为3。

为了求出数列的前n项和Sn，我们可以使用等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为最后一项。

对于上述例子，首项a1为3，最后一项an为15，项数n为待求项数。

代入公式可以得到：Sn = n/2 * (a1 + an)= n/2 * (3 + 15)= 9n2. 等比数列与等比数列的求和公式考虑以下等比数列：2，4，8，16，32...我们可以观察到该数列的公比为2，即每一项与前一项的比为2。

为了求出数列的前n项和Sn，我们可以使用等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a1为首项，q为公比，n为项数。

对于上述例子，首项a1为2，公比q为2，项数n为待求项数。

代入公式可以得到：Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)= 2 * (1 - 2^n) / (-1)= -2 * (1 - 2^n)= -2^n + 23. 应用题解析现在我们将通过一个应用题来进一步理解数列与等差数列的求和公式的应用。

假设小明每天早上向学校走路，第一天他走了2千米，而后每天前一天的路程的一半再加上2千米。

请问他连续走了7天，总共走了多少千米？解答：我们可以观察到小明走的路程构成了一个等比数列，首项为2，公比为0.5（前一天的路程的一半）。

而我们需要求的是连续走了7天的总路程，即前7项的和。

根据等比数列求和公式，我们可以得到：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)= 2 * (1 - 0.5^7) / (1 - 0.5)= 2 * (1 - 0.0078125) / 0.5= 2 * (0.9921875) / 0.5= 3.984375所以，小明连续走了7天，总共走了3.984375千米。

高中数列求和题型归纳总结在高中数学学习中，数列求和是一个重要的考点。

学生们需要熟练掌握不同类型的数列求和题目，并能灵活运用各种求和公式和技巧。

下面，我将对高中数列求和题型进行归纳总结，以便同学们更好地理解和应用。

一、等差数列求和等差数列是指数列中每个相邻的两项之间的差恒定的数列。

对于等差数列，我们可以使用以下公式来求和：1. 如果已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则该等差数列的前n项和Sn为：Sn = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)2. 若已知等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则该等差数列的前n项和Sn为：Sn = n/2 * (a₁ + an)二、等比数列求和等比数列是指数列中每个相邻的两项之间的比恒定的数列。

对于等比数列，我们可以使用以下公式来求和：1. 如果已知等比数列的首项为a₁，公比为q（|q|<1），项数为n，则该等比数列的前n项和Sn为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)2. 如果已知等比数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则该等比数列的前n项和Sn为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)三、特殊数列求和除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和方法，我们来看两个常见的例子。

1. 平方和求和：求1² + 2² + 3² + ... + n²的和，可以使用以下公式进行求解： Sn = n * (n + 1) * (2n + 1) / 62. 立方和求和：求1³ + 2³ + 3³ + ... + n³的和，可以使用以下公式进行求解： Sn = [n * (n + 1) / 2]^2四、应用题型除了基本的数列求和题型，我们还要学会将数列求和运用到实际问题中。

以下是一些常见的应用题型：1. 排球比赛：有一支排球队，第一天进行了一场比赛，第二天进行了两场比赛，第三天进行了三场比赛，以此类推，第n天进行了n场比赛。

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第二册)第四章：数列专题强化训练二：数列求和常考方法归纳【考点梳理】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (n >0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．【题型精练】题型一、公式法求和1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·四川成都·高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-，其中n *∈N ； （1）证明数列{}n a n +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高二月考）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.（1）求{a n }的通项公式； （2）求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.题型二、分组转化法求和4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，且149b b +=，238b b =，求1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++．5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，等比数列{b n }的公比为q (q >1)，且b 3＋b 4＋b 5＝28，b 4＋2是b 3和b 5的等差中项． （1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）令c n ＝b n ＋211n a -，{c n }的前n 项和记为T n ，若2T n ≥m 对一切n ∈N *成立，求实数m 的最大值． 6．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，3log (1)n n b a =+. （1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是：31nn a =-，3n n a =，32n a n =+中的一个，判断{}n a 的通项公式，并求数列{}n n a b +的前n 项和n S .题型三、倒序相加法求和7．（2020·河南大学附属中学高二月考）已知函数()21x f x x =+，设数列{}n a 满足1()n n a f a +=，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若记((21))(1i n b f i a i =--⨯=，2，3，⋯，)n ，求数列{}i b 的前n 项和n T .8．（2020·江苏·高三专题练习）已知数列{}n a 满足121,3a a ==,且对任意*n N ∈,都有()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅成立.（1）求3a 的值;（2）证明:数列{}n a 是等差数列.9．（2019·四川·成都外国语学校高一期中（文））数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若{}n a 为等差数列，求证：1()2n n n a a S +=； （2）若1()2n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列.题型四、裂项相消法求和10．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知等差数列{}n a 满足11a =，2435a a a +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，*12()n n n n b a b a n N ++⋅=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和.11．（2022·广东·金山中学高二期中）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a n c b b +-=++，设数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：13n T <．12．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*2()n n a S n n N =+∈. （1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）记2221log (1)log (1)n n n c a a +=+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T .题型五、错位相减法求和13．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）已知数列{}n a 中，11a =，*1(N )3nn n a a n a +=∈+． （1）求证：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2nn n n nb a =-⋅⋅，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n k T >恒成立的最小的整数k ．14．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=5，nS n +1-（n +1）S n =n 2+n . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）令b n =2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .15．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：12122222nna a a a a a +++<．专题强化训练一、单选题16．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（ ）A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919917．（2022·河南·高二期中（理））已知数列{}n a 中，11a =，12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则数列{}1n n a a +的前99项和为（ ） A ．9967B ．29767C ．3367D ．1986718．（2022·江西·九江一中高二期中）已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）A ．202120212⋅B ．202220212⋅C ．202120222⋅D ．202220222⋅19．（2022·河南南阳·高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123n n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的前2022项的和为（ ）A ．101132022-B ．101032022-C ．101132020-D ．101032020-20．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）数列{}n a 满足()()121nn a n =--，则它的前20项和20S 等于（ ）A ．-10B ．-20C ．10D ．2021．（2022·河北省唐县第一中学高二期中）若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ）A ．67B ．68C ．134D ．16722．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()()221f x x R x=∈+，若等比数列{}n a 满足120201a a =，则()()()()1232020f a f a f a f a ++++=（ ）．A ．2020B ．20202C ．2D ．1223．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20001232019a a a a a =+++⋅⋅⋅+（ ） A ．20212019B ．20202019C ．20192018D ．2021201824．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ） A ．14n+B ．14n -C ．12n +D ．12n -25．（2022·全国·高二单元测试）某公园免费开放一天，假设早晨6时30分有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，……，按照这种规律进行下去，那么到上午11时30分公园内的人数是（ ） A ．11247-B ．12257-C ．13268-D ．14280-二、多选题26．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足2212352222nn n na a a +++⋅⋅⋅+=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．1a 的值为2B ．数列{}n a 的通项公式为()312nn a n =+⨯C ．数列{}n a 为递减数列D ．3772n nn S +=-27．（2022·江苏·高二单元测试）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11S =，12n n n S S n++=，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．20212021a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-<28．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23nn na a n a +=∈+，则下列结论正确的是（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--29．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <三、填空题30．（2022·上海市行知中学高二期中）已知数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n K ，则20K 的值为 ___．31．（2022·上海市复兴高级中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则满足10n S >的n 最小值为___________32．（2022·河南南阳·高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则12111nS S S ++⋯+=___________. 33．（2022·河南郑州·高二期中（文））数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，n *∈N .设()1nn n n b a a =+-，则数列{}n b 的前2n项和2n T =___________.34．（2022·河南郑州·高二月考（理））已知数列{}n a 满足11n n a a ++=，且246a a +=，当12020n ≤≤，*n ∈N 时，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则1220S S S ++⋅⋅⋅+=________.（备用公式()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）四、解答题35．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .36．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．37．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．38．（2022·全国·高二专题练习）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.39．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．40．（2022·江苏省苏州实验中学高二月考）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .41．（2022·河南·高二期中（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .42．（2022·吉林·延边二中高二期中（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .43．（2019·全国全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 44．（2019·江西上饶·高二月考）已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列；（2）设1(1)(21)(21)n nn n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.45．（2020·广东广雅中学高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项. （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .10 / 38参考答案1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）证明见解析，2nn a n =-（2）n S 1(1)222n n n ++=--【分析】（1）由121n n a a n +-=-，化简得到1(1)2()n n a a n n ++++=，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；（2）由（1）知：2nn a n =-，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.（1）解：由题意，数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-， 可得1(1)2()n n a a n n ++++=，且112a +=，所以{}n a n +是首项、公比均为2的等比数列，所以2nn a n +=，即2n n a n =-.（2）解：由（1）知：2nn a n =-，则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+12(21)(22)(2)n n =-+-+⋅⋅⋅+-12(222)(12)nn =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(12)(1)122n n n⋅-+=--1(1)222n n n ++=--. 3．（1）a n =2n -1. （2）312n -【分析】（1）直接利用基本量代换，列方程组即可求出通项公式； （2）先求出公比q ，即可利用等比数列前n 项和公式直接求和. （1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10，即1+d +1+3d =10， 解得：d =2，所以a n = a 1+（n -1）d=2n -1. （2）设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 1＝1，，b 2b 4＝a 5=9，所以q 4=9，解得：q 2=3. 所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1 211131313n -=+++++1113313n --⨯=- 312n -=. 4．（1）7n a n =-；（2）24173n n n --+. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程可得1a 和d 的值，即可得{}n a 的通项公式n a ；（2）由等比数列的性质求得1b 和4b 的值，进而可得数列{}n b 的公比和通项公式，再由分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：1171161516242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得161a d =-⎧⎨=⎩， 所以6(1)7n a n n =-+-=-，（2）因为数列{}n b 是递增的等比数列，由已知可得14142398b b b b b b +=⎧⎨==⎩，解得：1418b b =⎧⎨=⎩，所以3418b q b ==，可得：2q 所以11122n n n b --=⋅=，所以1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++，1352113521()()n n a a a a b b b b --=+++⋯+++++⋯+，(628)14214nn n -+--=+-， 24173n n n -=-+． 5．（1）a n ＝2n (n ∈N *)，b n ＝2n －1，n ∈N *；（2）83.【分析】（1）根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项，根据已知条件求出等比数列{b n }的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项；（2）求出数列{c n }的通项，再利用分组求和及裂项相消求和法求出T n ，从而可求得T n 的最小值，从而可得答案. 【详解】解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ，a 1＝2也符合上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又b 3＋b 4＋b 5＝28，2(b 4＋2)＝b 3＋b 5， 得b 4＝8，q ＝2或q ＝12. ∵q >1，∴q ＝2， ∴b n ＝2n －1，n ∈N *.（2）∵c n ＝b n ＋211n a -＝2n －1＋2141n -＝2n －1＋11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭， ∴T n ＝1212n--＋111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭＝2n －1＋111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝2n －11422n -+， 易知T n 随着n 的增大而增大，∴2T n ≥2T 1＝83，故m 的最大值为83.6．（1）28a =，326a =；（2）31n n a =-，121(33)2n n S n n +=+--.【分析】（1）由递推公式得1(3(1)1)n n a a -++=，结合已知{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，写出n a 的通项公式，进而求2a ，3a 的值；（2）由（1）得31n n c n =+-，再应用分组求和及等差、等比前n 项和公式求n S . 【详解】（1）∵132(2)n n a a n -=+≥，即1(3(1)1)n n a a -++=且12a =， ∴{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，即13n n a +=， ∴31n n a =-，则22318a =-=，333126a =-=.（2）设n n n c a b =+，由（1）知31nn a =-，又3log (1)n n b a n =+=.∴31n n c n =+-，2(33...3)(12...1)nn S n =+++++++-3(13)(1)(11)132n n n --+-=+-121(33)2n n n +=+--. 7．（1）12n a n=；（2）2n nT =.【分析】（1）由1()n n a f a +=得到121n n n a a a +=+，然后变形为1112n n a a +-=，利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到121221i i b n i -+=⨯-+，由112112211221221i n i i n i b b n i n i -+-+-++=⨯+⨯=-+-+，利用倒序相加法求解. 【详解】（1）因为()21xf x x =+，所以由1()n n a f a +=得121n n n a a a +=+，所以121112n n n na a a a ++==+，∴1112n n a a +-=， 所以1{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以12(1)22n n n a =+-⨯=，所以12n a n=. （2）由（1）知21()(1,2,3,,)2i i b f i n n-=-=⋯， 则21(21)1212212[(21)]22212()12i i i i n b i i n n i -----+===⨯-⨯--+-+⨯-+，{}12(1)1[2(1)1]22(1)12[2(1)1]22[]12n i n i n i n b n i n i n n-+-+----+-==-+-⨯--+-+⨯-+，12(1)112212[2(1)1]221n i n i n i n n i -+--+=⨯=⨯-+---+， 所以112112211(1,2,3,,)221221i n i i n i b b i n n i n i -+-+-++=⨯+⨯==⋯-+-+，123n n T b b b b =+++⋯+， 121n n n n T b b b b --=+++⋯+，两式相加，得：121321112()()()()()nn n n n n i n i i T b b b b b b b b b b n ---+==++++++⋯++=+=∑，所以2n n T =. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.8．（1）5（2）答案见解析 【分析】（1）根据()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅,令1n =时,即可求出35a =;（2）假设123n a a a a ⋯，，，，是公差为2的等差数列,则21n a n =-,利用数学归纳法证明,即可求得答案. 【详解】 （1）()01211231212nn n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅令1n =,则01112131a C a C a +=-由121,3a a ==,则31311a +⨯=- 解得:35a =（2）若123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2,即21k a k =- ①当3n =时,由（1）知1231,3,5a a a ===,此时结论成立．②假设当(3)n k k =≥时,结论成立,即123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2.由()0121211213111 12,3k k k k k k k k a C a C a C a C a k ------++++⋯+=-⋅≥ 对该式倒序相加,得()()12112212k k k k a a a --++=-⋅∴1112k k a a a +-=+=,即1212(1)1k a k k +=+=+- ∴当1n k =+时,结论成立．根据①②,可知数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查了求数列中的项和证明数列是等差数列,解题关键是掌握数学归纳法的证明方法和等差数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用倒序相加法即可证明.（2）利用n a 与n S 的关系分别求出n a 与1n a +，然后作差1n n a a +-，化简即可证明其满足112n n n a a a -+=+，即可证明{}n a 为等差数列. 【详解】（1）证明：已知数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，有()11n a a n d +-= 则123n n S a a a a =++++于是()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦……① 又()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦……②由①②相加有()12n n S n a a =+即()12n n n a a S += （2）证明：由()12n n n a a S +=，有当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，所以()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-， ③()()()1111122n n n n a a n a a a +++++=-， ④④－③并整理，得()112n n n n a a a a n +--=-≥，即112n n n a a a -+=+ 所以数列{}n a 是等差数列． 【点睛】主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明1n n a a d --=（d 为常数，2n ≥）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足112n n n a a a -+=+即可. 10．（1）21n a n =-；（2）321nn +. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程即可解出d ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意可得12n nn n b a b a ++=，再根据累乘法求得3(21)(21)n b n n =-+，然后根据裂项相消法即可求出数列{}n b 的前n 项和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a d =+，312a d =+，413a d =+.因为2435a a a +=+，所以24125d d +=++， 解得2d =.所以数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-. （2）因为12n n n n b a b a ++⋅=⋅，所以12n n n n b ab a ++=. 所以，当2n ≥时，312121121341n n n n n bb aba ab b b b b a a a --+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯，即1213(2)(21)(21)n n n a a b n a a n n +⋅==≥⋅-+.又11b =适合上式，所以3(21)(21)n b n n =-+.因为3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+， 数列{}n b 的前n 项和为123111113[(1)()()]2335212121n n nS b b b n n n =+++=-+-+⋅⋅⋅+-=-++.11． 【详解】解：（1）证明：当*n N ∈时，1(1)(21)(1)2n n n n a n a n n a n a n+-+-+-+==--， 又112a -=，∴数列{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列，∴11(1)22n n n a n a --=-⋅=，∴*2()n n a n n N =+∈；（2）证明：122n n n n n n n b b a n b n n b +=+-=++-=+，∴12n n n b b +-=，当1n =时12b =，当2n 时112n n n b b ---=，∴111121121()()22222221n n n n n n b b b b b b ----=-++-+=+++=⨯+=-，当1n =时符合，∴2nn b =，∴111211(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++，1212231111111111111()()()()2121212121212121321n n n n n n n n T c c c c --++∴=++++=-+-++-+-=-+++++++++．又11021n +>+，∴13n T <．12．【详解】（1）证明：由*2()n n a S n n N =+∈， 可得111211a S a =+=+，解得11a =，2n 时，11221n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，可得121n n a a -=+， 则112(1)n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得12nn a +=，则222222111111()log (1)log (1)2log 2(2)22log n n n n n c a a n n n n ++====-+⋅+⋅++，所以1111111111(1...)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++. 13． 【详解】 （1）由*1(N )3nn n a a n a +=∈+，得13131n n n na a a a ++==+， 令1113n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以21λ=，解得12λ=，所以11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 由等比数列的定义可知：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a +=为首项的等比数列，所以1113322n na -+=⨯，即231n n a =-，（2）由题意得1(31)2(31)21223nnn n n n n n n n n b a -=-=-⋅⋅=-⋅⋅， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 121111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得：0121111111122212222222212n n n n n nT n n n --+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-=--，所以12442n n n T -+=-<， 所以4k ≥，所以使n k T >恒成立的最小的整数k 为4． 14． 【详解】（1）证明：由nS n +1-（n +1）S n =n 2+n 得111n n S S n n +-=+，又11S=5， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知n Sn=5+（n -1）=n +4，所以S n =n 2+4n .当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+4n -（n -1）2-4（n -1）=2n +3. 又a 1=5也符合上式，所以a n =2n +3（n ∈N *）， 所以b n =（2n +3）2n ，所以T n =5×2+7×22+9×23+…+（2n +3）2n ，① 2T n =5×22+7×23+9×24+…+（2n +1）2n +（2n +3）·2n +1，② 所以②-①得T n =（2n +3）2n +1-10-（23+24+…+2n +1） =（2n +3）2n +1-10-()3121212n ---=（2n +3）2n +1-10-（2n +2-8） =（2n +1）2n +1-2. 15．解：因为正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=，所以当1n =时，2212S S a +=，即22122a a a +=，即2222a a +=，解得22a =或21a =-（舍去）当2n ≥时，21n n n S S a -+=，两式相减可得()22111n n n n n n S S S S a a +-++-+=-，即()()111n n n n n n a a a a a a ++++=+-，所以11n n a a +-=，又211a a -=，所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n = （2）解：由（1）可得22n n n a a n =，令1212222nn na a a a a a T =+++，所以231232222n nn T ①，所以2341112322222n n n T +=++++②；①-②得，23111111222222n nn nT +=++++- 1111221212n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=--1212n n ++=-，所以2222nn n T +=-<，所以12122222nna a a a a a +++< 16．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 17．A 【详解】因为12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即1(21)23n n n a a n ++=+，1[2(1)1](21)n n n a n a +++=+， 所以数列{}(21)n n a +是常数列， 所以1(21)33n n a a +=⋅=， 所以321n a n =+，19911(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以122334*********1235577921239113232323n n a a a a a a a a n n nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭于是1223349910039999299367a a a a a a a a ⨯++++==⨯+，故选：A 18．B 【分析】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥，从而可得()1122n n n n n a a+-=-≥，再降标相减得出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用错位相减法即可求解. 【详解】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥ 即()()11212n n n n a a na n a n ++=--≥ 变形得：()1122n n n n n a a +-=-≥， 降标相减可得()112113n n n n a a a -+=+≥可算得112a =，213a =，314a =即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可得()12112nn n n n n a a =+⇒=+， 所以()12223212n n S n =⋅+⋅++⋅， 所以()2312223212n n S n +=⋅+⋅++⋅错位相减可得12n n S n +=⋅.所以2022202120212S =⋅.故选：B 19．A 【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3n n n n n n a a a +-+-==++，即2121(1)3n n n n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n --+--=-=+-.()12211331112(1)(1)(12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A. 20．D 【分析】根据()()121nn a n =--，利用并项求和法即可得出答案. 【详解】解：因为()()121nn a n =--， 所以2012341920S a a a a a a =+++++()()()13573739=-++-+++-+ ()()()13573739=-++-+++-+21020=⨯=.故选：D. 21．B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解. 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．【分析】由函数解析式可知，()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而根据等比数列的性质120202201932018202011a a a a a a a a ===== 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题 【详解】∵()()221f x x R x =∈+，∴()2222212222211111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∵数列{}n a 为等比数列，且120201a a ⋅=，∴120202201932018202011a a a a a a a a =====．∴()()()()()()()()120202201932018202012f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=，∴由倒序求和可得()()()()12320202020f a f a f a f a ++++=．故选：A ． 23．A解：由()1221n n n a a n ++=+，得1221n n a an n +=++，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1111a =+为首项，2为公比的等比数列，所以121n n a n -=+，所以()112n n a n -=+⋅．设{}n a 的前n 项和为n S ，则()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅， 两边同乘2，得()12122232212n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减得()()()()101212122222212212212n n nn n n S n n n ----=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以2nn S n =⋅，所以2019202020191232019202122021201922019a a a a a ⨯==+++⋅⋅⋅+⨯．故选：A. 24．B 【分析】 由1111n n a a n n +-=-+，利用累加法得出n a .由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--， 上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n， 又13a =，所以14=-n a n.故选：B . 25．B 【详解】由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内， 进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列， 出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列， 记第n 个30分钟内进入公园的人数为n a ，出来的人数为n b ，则142n n a -=⨯，n b n =，则上午11时30分公园内的人数为()()1012412101102257122S -+=+-=--.故选：B. 26．ACD 【分析】对于A ，令1n =直接求解1a ，对于B ，当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，然后与已知的式子相减可求出n a ，对于C ，利用1n n a a +-进行判断，对于D ，利用错位相减法求解即可 【详解】当1n =时，124a =，∴12a =，∴A 正确；当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，∴()()2231513523122n n n n n n a n -+-+=-=+，∴312n nn a +=，∵上式对1n =也成立，∴312n n n a +=（N n *∈），∴B 错误； ∵1111343134623202222n n n n n n n n n n n a a +++++++---+-=-==<， ∴数列{}n a 为递减数列，∴C 正确；∵234710312222n n n S +=+++⋅⋅⋅+，∴2341147103122222n n n S ++=+++⋅⋅⋅+，两式相减得， ∴23111111131113173123232222222222n n n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3772n nn S +=-．∴D 正确． 故选：ACD ． 27．ABD 【分析】对于AB ，通过累乘法求出{}n S 的通项公式，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{}n a 的通项公式求出{}n b 的通项公式，再通过裂项相消求n T ，进而求解. 【详解】 由题意，得12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，()12112111311212n n n n n n n S S S n n S S S S S n n ---++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=--， 又当1n =时11S =也符合上式， ∴()12n n n S +=，易得n a n =，∴20212021a =， 故A ，B 正确；()()()221211111112222n n n n n a b a a n n n n n n +++⎛⎫===+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 易知{}n T n -单调递增， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 28．AD因为123nn n a a a +=+，所以112323n nn n a a a a ++==+， 所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n n a +=-，可得1123n n a +=-，故选项A 正确，选项B 不正确；因为1231n n a +=-单调递增，所以1123n n a +=-单调递减，即{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2312132323232223n n n T n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+- 22122323412nn n n +-=⨯-=---．故选项D 正确；故选：AD ． 29．BCD 【分析】根据n a 与n S 的关系及121n n n S S a +=++，可得112(1)n n a a ++=+，再根据等比数列和等差数列的定义即可判断AB ；从而可求的数列{}n a 的通项公式，即可判断C ；利用裂项相消求和法求得数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为n T ，即可判断D. 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；则12n n a +=，即21nn a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故D 正确.故选：BCD ． 30．2081当1n =时，11b =，当2n ≥时，1n n n b S S -=-可得{}n b 的通项公式，再利用裂项求和即可求解. 【详解】当1n =时，2112111b S ==⨯-=，当2n ≥时，()221221143n n n b S S n n n n n -=-=---+-=-， 因为11b =满足上式，所以43n b n =-，所以()()111111434144341n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以20111111111120114559913778148181K ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：2081.31．1024 【分析】先求得n S ()2=log 1n +，由10n S >，可得()2log 110n +>，由此即可求解 【详解】因为2211log 1=log n n a n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22222341=log log log log 123n n nS +++++ ()222331=log =log 1122n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭，由10n S >，可得()2log 110n +>，解得1023n >， 所以满足10n S >的n 最小值为1024， 故答案为：1024 32．21nn + 【详解】解：设公差为d ，因为343,10a S ==，所以11234610a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n + 33．4(41)3n -【分析】 项和转换可得12n n a ，故**2,2,0,21,n n n k k N b n k k N ⎧=∈=⎨=-∈⎩，按照奇数项、偶数项分组求和，即得解 【详解】由题意，1111,22,22,11,1n n n n n S S n n a S n n ----≥⎧⎧≥===⎨⎨==⎩⎩()****2,2,2,2,10,21,0,21,n nn n n n a n k k N n k k N b a a n k k N n k k N ⎧⎧=∈=∈∴=+-==⎨⎨=-∈=-∈⎩⎩21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -∴=+++++++24224(14)4(41)22...244 (4143)n n nn--=+++=+++==- 故答案为：4(41)3n - 34．1540 【分析】由数列{}n a 满足11n n a a ++=，得数列{}n a 是以1为公差的等差数列，再根据246a a +=，可得11a =，从而求得n a n =，再利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再结合()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=即可得出答案.【详解】解：数列{}n a 满足11n n a a ++=，所以数列{}n a 是以1为公差的等差数列， 又246a a +=，则313,1a a ==， 所以n a n =，所以()1212n n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=， 所以22212201232012202S S S +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=由()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，可得222202141122028706⨯⨯++⋅⋅⋅==，()20120123202102++++⋅⋅⋅+==，所以12201540S S S ++⋅⋅⋅+=. 故答案为：1540. 35．(1) 3.n a n =+ (2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33n n n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析： （Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d = 14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3n n n n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以 36．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)nn +．【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=，解得13,2a d==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+，所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++， 所以11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和 37．（Ⅰ）2q ；（Ⅱ）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列1{()}n n n b b a +-前n 项和求通项，解得1n n b b +-，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【详解】详解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为1q >，所以2q.（Ⅱ）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n na ，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.设()22111371145,2222n n T n n -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。