武汉八年级数学中点问题探究专题

中点专题（讲义）一、知识点睛1. 中位线：①三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；③梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；④梯形中位线定理：梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半；⑤四边形中的中点2. 遇到中点常见的五种思路：1、遇到等腰三角形底边的中点，考虑三线合一；2、遇到直角三角形斜边的中点，考虑斜边的中线等于斜边的一半；3、遇到三角形一边上的中线，考虑倍长中线；4、遇到平行线所截线段的中点，考虑类倍长中线；5、多个中点，考虑（或构造）中位线．二、精讲精练1. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为_______.2. 如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下边结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长保持不变D．线段EF的长不能确定3. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AE⊥BC于点E，AE=AD=2cm，则这个梯形的中位线长为______.4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，AD=a，EF=b，则BC的长是________.5. 若梯形中位线长为高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）A．cm B．6cm C．cm D．3cm6. 如图，DE是△ABC的中位线，M，N分别是BD，CE的中点，MN=6，则BC=_______．7. 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC=BD时，四边形EFGH是_______形；当AC⊥BD时，四边形EFGH是________形；当四边形EFGH是正方形时，AC与BD满足的关系是____________．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．8. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠ACB＝66°，∠CAD＝20°，则∠EFG=________.9. 如图，△ABD中，C是BD边上一点，∠BAC=90°，∠CAD=45°，且BC=CD，求证：AB=2AC．10. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长等于（）A．38 B．39 C．40 D．4111. 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC为（）A．35°B．45°C．55°D．65°12. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=___________．13. 四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是AB，CD的中点，AD，BC的延长线分别与EF的延长线交于H，G，则∠AHE ∠BGE（填“＞”或“＝”或“＜”）14. 如图，以△ABC的边AB，AC为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中点，求证：DM=ME．【精讲精练】1．20cm 2．C 3．4cm 4．2b-a 5．D 6．87．菱形；矩形，AC⊥BD且AC=BD 8．23°9．思路点拨：①取AB中点；②取AD中点；③倍长AC10．D 11．C 12．72°13．“=”14．思路点拨：取AB中点P，AC中点Q，证明△PDM≌QME专题性总结✧中点专题✧角平分线专题✧截长补短专题中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半【例1】(2008北京)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段DF的中点，连结PGPC。

《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。

倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。

学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。

由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。

学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。

2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。

3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。

数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。

情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。

教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。

教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。

学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。

八年级几何中点问题知识点在八年级的几何学中，中点问题是一个重要的知识点。

中点是指线段的中心点，它在数学和科学中都有着重要的应用。

在这篇文章中，我们将深入探讨中点问题的概念、性质和应用。

一、中点的概念中点是指一条线段内部的、距离两个端点相等的点。

也就是说，如果AB是一条直线段，M是AB线段上的一个点，且AM=MB，则M就是线段AB的中点。

例如，A(-1,-1)和B(3,5)是一条线段的两个端点，如果点M(1,2)位于这条线段的中心，则M就是这条线段的中点。

二、中点的性质中点有许多重要的性质，下面列举其中的一些：1. 中点平分线段如果M是线段AB的中点，则AM=MB。

这也就是说，线段AB在点M处被平分。

2. 中点连线为垂直平分线如果M是线段AB的中点，则直线AM垂直于直线BM，且AM和BM的长度相等。

因此，直线AM可以被认为是线段AB的垂直平分线。

3. 中点可以连接多个点如果M是线段AB的中点，则M也是线段AC和线段CB的中点。

这也就是说，线段AB的中点同时也是线段AC和线段CB的中点。

三、中点问题的应用中点问题在科学和数学中都有着重要的应用。

以下是其中的一些例子：1. 计算质心在物理学中，我们需要计算物体的质心。

质心是指物体内部所有点的平均位置。

如果一个物体的形状可以表示为许多个线段的集合，那么这个物体的质心可以通过计算每个线段的中点来得到。

2. 圆心在圆的几何学中，圆心是指圆内部所有点的平均位置。

同样，如果一个圆可以表示为许多个线段的集合，那么这个圆的圆心可以通过计算每个线段的中点来得到。

3. 建立三角形在建筑学中，我们需要建立各种形状的三角形。

中点是建立三角形的关键因素之一。

通过计算三角形线段的中点，我们可以更加精准地建立三角形的形状和大小。

综上所述，中点问题是一个重要的数学知识点。

我们需要深入理解中点的概念、性质和应用，才能更好地应用它们到实际问题中。

专题 22 关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP ⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)例2题图例1题图F解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF ∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为( ) (北京市竞赛试题)A．102B．172C．173D．2103解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连接CE ，CD ， 求证：CD ＝2EC ． (宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E ，B ，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．【例4】如图1，P 是线段AB 上一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使∠APC ＝∠BPD ，PC ＝P A ，PD ＝PB ，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1) 猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3) 如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由． （营口市中考试题）BAPAFP BG D H CE HGF E PABC D图① 图② 图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．例3图CA D【例5】如图，以△ABC 的AB ，AC 边为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE ，且使∠ABD ＝∠ACE ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝EM ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：显然△DBM 不全等于△ECM ，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM ＝EM ．【例6】如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F ，求证：EF ∥AB ． （全国初中数学联赛题）解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．○能 ○力 ○训 ○练 A 级1．如图，若E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是____________．(1)如果把条件中的四边形ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH 分别为_______________________；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH 依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是_______________________． （湖北省黄冈市中考试题）例5图 EDMABC例6图CB D2．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为_______________． (重庆市竞赛试题)3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，若BC ＝16，DE ＝5，则AD ＝______________． （南京市中考试题）4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM ，若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，则图中阴影部分的面积为________________． （北京市中考试题）5．A ′，B ′，C ′，D ′顺次为四边形ABCD 的各边的中点，下面条件中使四边形A ′B ′C ′D ′为正方形的条件是（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是等腰梯形 D ．四边形ABCD 中，AC ⊥BD 且AC ＝BD 6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则该等腰梯形的面积为（ ） A ．16cm 2 B ．32cm 2 C ．64cm 2 D ．112cm 27．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，若AD ＝6cm ，BC ＝18cm ，则EF 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．6cmD ．5cm8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE ＝EG ＝GB ，AD ＝18，BC ＝32，则EF ＋GH ＝（ ）A ．40B ．48C ．50D ．56 （泰州市中考试题）第4题图第1题图第2题图C第3题图A第7题图B第8题图 第9题图9．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝12AB ．10． 如图，在△ABC 中，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：AP ＝AQ ．11．在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ； （2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） (2009年河北省中考试题)第10题图图1AHC (M )DEBFG (N )G图2 AHC DEBFNMAHCDE图3BFG MN12．在六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥F A ，AB ＋DE ＝BC ＋EF ，A 1，B 1，D 1，E 1分别是边AB ，BC ，DE ，EF 的中点，A 1D 1＝B 1E 1．求证：∠CDE ＝∠AFE ．B 级1．如图，正方形ABCD 两条对角线相交于点E ，∠CAD 的平分线AF 交DE 于点G ，交DC 于点F ，若GE ＝24，则FC ＝_________________．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点F ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN 分别交BD ，AC 于点P ，Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，BD ＝10，则AC ＝_________． （重庆市竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，以AB ，AC 为边分别向形外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点，则∠MPN ＝_________． （北京市竞赛试题） 4．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC ，△ABC ，△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）A ．S 2＝32(S 1＋S 3)B ．S 2＝12(S 3―S 1)C ．S 2＝12(S 1＋S 3)D ．S 2＝32(S 3―S 1)5．如图，在图形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点，则 ( ) A ．MN ＞12(AD ＋BC ) B ．MN ＜12(AD ＋BC )C ．MN ＝12(AD ＋BC ) D ．无法确定MN 与12(AD ＋BC )的关系第2题图C第12题图FEF第1题图F第3题图6．如图，凸四边形ABCD 的面积是a ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，那么图中的阴影部分的面积为( )A ．18aB ．16aC ．14aD ．12a（江苏省竞赛试题）7．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE ＝DF ，过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠P AE ＝∠PBF ． （全国初中数学联赛试题）8．如图，锐角△ABC 中，作高BD 和CE ，过顶点B ，C 分别作DE 的垂线BF 和CG ，求证：EF ＝DG ．（全俄奥林匹克数学竞赛试题）9． 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN ＝90°，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝14(AB 2＋AC 2)． （北京市竞赛试题）第8题图BG 第5题图DC M第4题图D第6题图ABE第7题图EPF90°，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝14(AB 2＋AC 2)． （北京市竞赛试题）10．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD ＝∠ACE ＝90°．如图1，连接DE ，设M 为DE 的中点．(1)求证：MB ＝MC ；(2)设∠BAD ＝∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图2的位置，试问：MB ＝MC 是否还成立?请说明理由． （江苏省竞赛试题）图2图111．已知△OAB ，△OCD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°． (1) 如图1，点C 在OA 边上，点D 在OB 边上，连接AD ，BC ，M 为线段AD 的中点，求证：OM ⊥BC ． (2) 如图2，在图1的基础上，将△OCD 绕点O 逆时针旋转α(α为锐角)，M 为线段AD 的中点．①求证：OM ＝12BC ；②OM ⊥BC 是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第9题图ABCD图1图2BBODC12．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B ，P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．(1)延长MP 交CN 于点E (如图2)． ①求证：△BPM ≌△CPE ； ②求证：PM ＝PN ．(2)若直线a 绕点A 旋转到如图3的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其他条件不变，此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3) )若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 是否成立．不必说明理由． （沈阳市中考试题）图3图2图1BB。

初中数学几何中点模式解答数学几何中点模式解答：中点模式是初中数学中一种基本的几何模式，用来描述线段中点的性质和应用。

在数学中，中点是指线段的中点，即将线段分成两个等长的部分的一点。

以下是关于中点模式的解答，从简单到复杂逐步介绍。

1.线段的中点性质：-任何线段都有且只有一个中点。

-中点将线段分成两个等长的部分。

-连接线段两端点与中点可以形成一个三角形，而且这个三角形的三条边都等长。

2.线段的中点构造：-方法一：设线段的两个端点为A和B，画出AB的中垂线，中垂线与AB的交点即为线段的中点。

-方法二：设线段的两个端点为A和B，从A和B各自向线段内侧画一条等长的线段，两线段的交点即为线段的中点。

3.实际问题中的中点模式：-在建筑物或道路设计中，使用中点模式可以确保建筑物或道路的对称性。

-在几何作图中，可以利用中点模式画出等边三角形、平行四边形等特殊图形。

-在解题过程中，可以利用中点模式简化计算，减少计算量。

4.中点模式与其他几何模式的关系：-中点模式与垂直二等分线模式：若一条线段有且只有一个中点，则该线段的垂直二等分线也只有一个，反之亦然。

-中点模式与等长线段模式：若一条线段有且只有一个中点，则该线段的两个部分等长，反之亦然。

-中点模式与等腰三角形模式：若一条线段的两端点与中点可以形成一个等腰三角形，则该线段的两端点与中点共线，反之亦然。

5.练习题解答：（1）已知AB为直径的圆O上有点C，连接AO、BO，并延长线段AO、BO分别交圆O于点D、E。

证明：AC=BC。

解答：由于AB为直径，所以O是圆O的圆心，由于OC是线段中点构造法延长得来的一般线段，因此OC=OC，又由于线段OD是线段中点构造法延长得到的，所以OD=OC，同理OE=OC，所以三角形ODB和三角形OEC是等腰三角形，所以∠CDB=∠CEB，所以∠ADB=∠AEB，因此AD=AE，所以AC=BC。

第八章中点四大模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）。

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

模型实例例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。

求证：AC=BE。

热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。

2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果2222B M C N D M D N +=+。

求证：()22214A D AB AC =+。

模型2【已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”】模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。

模型实例例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。

热搜精练1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。

求证：∠EDB=∠FDC。

2．已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。

（1）当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S += ；（2）当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S 、CEF S 、ABC S 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

A DBC八年级数学角平分线、中点专题训练试题【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ． 求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点， 求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。

（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点， 求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形： 9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点， 求证：AB=2DE.D13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.AD FEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求例3.如图，ABCD为平行四边形，a证：DF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C M2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是 ； (2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。