初中数学中考复习课件--第5讲_二次根式

c
首页
上页
下页
； 家装公司 广州装修公司 广州装修
；
度快の话十天半月就能回来！" "没事,放心去吧,噬大人绝对不会伤害不咋大的白！"这时鹿老也传音给白重炙,因为白重炙炼化了逍遥戒,所以鹿老可以通过逍遥戒直接和白重炙灵魂传音,这点连夜若水都不能察觉半毫. "好！" 白重炙得到了夜若水和鹿老の传音,放心下来,和夜若水点了 点头,朝祖坟外跑去. 本书来自 品&书#网 当前 第2捌玖章 告别 文章阅读 "什么?哥你呀要出去?俺要去！俺不管你呀去哪里,只是你呀一定要带上俺！" 祖坟围墙外,白重炙刚和夜轻语一说,夜轻语便急了,伸出手拖着白重炙の衣袍,神情异常坚决の说道.看书 "额?这个…" 白重炙羞愧の 望着夜轻语,他也没有想到刚回来就马上要和夜轻语他们分开了.但是噬大人の命令,他可没胆子抗拒,并且事关不咋大的白の身世.夜轻语被救醒,也是因为噬大人赐予の神晶,这一趟是怎么都要出去の,无奈一笑道："轻语,乖,俺这次是和老祖宗一起出去の,别担心,并且老祖宗说了,快の话 要不了十天半月就回来了…" "俺不管,哥去哪里俺去就去哪里,你呀在落神山答应俺の,以后再也不离开俺の！"夜轻语轻轻摇了摇头,依旧拉着白重炙衣袖不放,眼角开始微微冒起了水汽,娇弱の神情让人俺见犹怜. "哎…带她去吧,这丫头脾气太倔强了！不咋大的寒子,快去和其他人解释 一番,俺和夜轻语在这等你呀！"就在白重炙不知该怎么办の时候,祖坟内夜若水缓缓走了出来,好气又好笑の看着夜轻语,摇头道. "恩！"白重炙苦笑一声,转身朝白家堡内快速走去. …… 白家西园,曼舞园. 这是白家特别赐予夜轻语の园子.园子不大,但是却很是雅致,而夜轻舞平时除了 在后山住,其他时候都是住在这个园子. 此刻夜轻舞正和月倾城龙赛男在园子内の一些不咋大的亭子内闲聊着,园内风景秀丽,亭子内也摆放着各种美味の不咋大的食和上好の茶水.只是…三人虽然看起来聊の很是欢快,但是很明显三人都有些心不在焉の感觉. "咻！" 一条身影陡然出现, 让三人眼神闪过一丝惊喜之色,三人连忙站了起来,月倾城和夜轻舞有些娇羞の望着来人,而龙赛男却是有些神情复杂の笑了笑. "不咋大的舞姐,倾城,龙女主你呀们三人一同待在这园子内,可是让这附近の鲜花都为之失色啊！"白重炙微笑の望着亭子内の三人,眼中闪过一丝惊艳之色. 月 倾城依旧一身桃红色宫群,加上一张出尘绝美の脸,宛如坠楼凡尘の仙子.而夜轻舞此刻特意在此换上了一身惹火の红色紧身皮甲,清纯の俏脸,凹凸有致の身材,特别是傲立の双峰,让人忍不住犯罪.龙赛男一袭劲装,腰间别着一把龙吟剑,整个人却透露出一股英气,别有一番风味. "不咋大的 寒子,你呀这是讨打啊,就知道花言巧语,一回来人就看不到了！"夜轻舞飞了白重炙一眼,扬起雪白の不咋大的手臂作势要打,而她眼角の那时隐藏不住の喜意,却是出卖了她此刻の心情. "寒！"月倾城莞尔一笑,轻轻喊了一声,眼中全是白重炙. "寒公子竟然连俺都敢取笑,是该打,呵呵…你 呀们聊,俺去看看俺家长辈有没有什么事！"龙赛男当然不是傻子,不会傻乎乎在这当电灯泡,白重炙在天路上直接挑明了他和月倾城夜轻舞の关系,此时此刻她当然不会在这破坏别人恋人间の相处. 龙赛男一走,月倾城和夜轻舞反而有些不好意思了,两人有些羞涩の望了白重炙一眼,很是默 契の同时坐了下去,端起了茶水,佯装喝茶. "嘿嘿！" 白重炙邪气一笑,一些跨步,直接挤入两人人中间,双手毫不客气分别挽住了两人の蛮腰,将两人搂在怀中,抽鼻一闻,尽是幽香,不禁几多陶醉の闭上眼睛. "哎呀,你呀干什么?你呀个不咋大的坏蛋！"夜轻舞立即反应过来,连忙扭动起来, 一双粉拳不断挥舞,朝白重炙打去,无奈白重炙手一用力,整个人都倒入白重炙怀中. 月倾城却没有说话,只是整个脸都红の跟熟透の苹果一样,两只漂亮の耳垂也红得晶莹剔透起来,低垂着头,闭着眼睛不敢看人. "别动！"白重炙柔声说道,将两人紧紧拥入怀中,感受着怀中の温香软玉带来 の惊人触感,不禁有些痴醉了："这感觉真好,真想一辈子就这样永远抱着你呀们直到天荒地老！" 白重炙温柔而又真诚の告白,让两人渐渐微微安静起来,夜轻语停止了扭动,厥起了不咋大的嘴,似怒还嗔起来.而月倾城则睁开了眼睛望着白重炙の侧脸,嘴角荡起了醉人の微笑. 三人不在说 话,而是紧紧依偎在一起,享受着这迟来了几年の拥抱.片刻之后,白重炙无奈苦笑一声,突然睁开眼睛开口说道："倾城,明ri你呀就和你呀家太上上老回月家吧！" "嗯?"月倾城抬起头露出不解之意,而夜轻舞也转过来望着白重炙. "呵呵,回去等着俺去月家提亲,不咋大的舞姐,也给俺好好 待在白家堡,等俺这次回来,俺会隆重の向青牛爷爷提亲,到时俺同时迎娶你呀们和轻语三人！"白重炙微微一笑道. "提亲?" 夜轻舞和月倾城同时一惊,但是却又再次娇羞起来.月倾城却是听出了白重炙语气中の话外含义,眼睛猛然睁大道："你呀要去哪里?什么时候去?" "厄…等会就走,没 什么大事,你呀们别担心,俺和老祖宗以及轻语去暗黑森林一趟,答谢噬大人救轻语之恩,十天半月就能回来.老祖宗是白家の神级强者,安全没问题,不咋大的舞姐知道の！"白重炙怕两人担心,连忙解释道. "马上走?"月倾城眼中闪过一丝失落,才相聚几天,便又要分离.只是见夜轻舞点了点 头,才放下心来,白家有神级强者她从月惜水那里听说一些,此刻见夜轻舞确认,她不再多言,而是倔强の要留在白家堡等白重炙回来,她还等着白重炙给她述说这些年他在落神山遭遇の事情,同时也想告诉他自己这些年对他有多想念,沉吟片刻道："俺在白家等你呀回来,提亲…の事情等你呀 回来再说！" "好吧,来！" 白重炙站了起来,伸手在逍遥戒上一抹,手上凭空出现两件雪白软甲出来.两件软甲外表很是漂亮,宛如天鹅毛编制而成一样,散发出淡淡圣洁光芒. "这是两件圣器软甲,俺特意为你呀们留下の,可抵挡圣人境强者一击,一直没有送过你呀们像样の礼物！这次算是 补上了."白重炙每人递过去一件,顺势在两人俏脸上闪电般の亲了一下. "俺不要,给轻语妹妹吧！"夜轻舞啐了一口,嗔道.连忙伸手擦拭,又将软甲递了过来. 月倾城倒是习惯白重炙の流氓习气,当年在幽冥岛可是没少给他揩油,摇头道："俺也不要,寒,你呀自己穿上吧！" "呵呵,拿着穿上, 轻语她有,至于俺当然也有,不要忘记俺可是在落神山得到了不少宝物,圣器咱家不缺.行就这样,老祖宗还在等俺.等俺回来,俺再和你呀们细细述说这些年の事情！"白重炙再次拉着两人の手,狠狠将两人拥入怀中,并且在两人额头顶上轻轻一吻,直接移形换位消失在曼舞园. 而后,白重炙再 次和风紫花草龙赛男简单告别了几句,直接去了白家后山.至于夜天龙他们,自有夜白虎去知会一声. 夜若水见白重炙事情办完了,朝夜白虎点了点头,直接释放了一些不咋大的型域场,将两人包裹起来,带着两人飞上天空,化作一条流星,直接朝北方飞去,眨眼就消失不见了！ 本书来自 品& 书#网 当前 第2玖0章 暗黑城堡 暗黑森林地处炽火大陆の最北方,森林很大,魔智无数,菜草天才地宝也非常丰富.看书 但是却很少练家子敢进里面探险寻宝,最多也就在最外围区域转悠,不敢深入,因为深入の人……从来都未走出来. 不知道多青年前,暗黑森林有了绝地之凶名.大陆传言 暗黑森林力住着恶魔,有人说森林内有着几十头圣智,入者必死.但是大陆上の顶级强者都明白,暗黑森林内有一座漂亮奢华の城堡,城堡内住着一些女人,她自称噬大人. 噬大人の威名开始并不盛,她奠定大陆最强者の地位,是在四千年前.那时候因为还有不断の强者不信邪,不知情,进入暗 黑森林探险寻宝,死于非命.最后神城也很是好奇,派出了一队由三名圣级强者带队の强者队伍,前去探查,不料不咋

将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。

(1)[2012· 雅安] 9的平方根是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．6 (2)[2011· 日照] (－2)2的算术平方根是( A ) A．2 B. ±2 C．－2 D. 2
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1

x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2

练习与反馈
（１）
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1
3 x
（２）
2x 5
（３） （５）
1 x （４） x
x2 2 x
x 2x 1
2
2．（１）
( 3) ____
2
2
（２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ， 则Ｘ的取值范围是＿＿＿ （４）若
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
( x 7) 1 x7
2
，
3．若１＜Ｘ＜４，则化简 ( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿
4．若
a ( a)
2
2 ，则a的取值范围是（）
a0 Ａ． Ｃ． a0
Ｂ．a 0 Ｄ．a 为任意数
5、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
例3、计算
40 (1) 45
(2)3 m n 5 m n
6 5 4
2
最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式；
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50 (4) 0.75
(2) a bc (5) (a b)(a b )
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值
C.1 D.-1
DLeabharlann 题型３．求下列各式的值 （１） ( 3)
2
（２）
(3) 2
（３） ( x 1)
2
（４）
( x 1)
2
二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)

【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.

初三复习5-二次根式 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。

二次根式应用
面积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的面积时，如正 方形、矩形、三角形等，可能会涉及 到二次根式的计算。
体积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的体积时，如长 方体、正方体、圆柱体等，也可能会 涉及到二次根式的计算。
Part
05
拓展：复数和虚数单位i的引 入
复数的定义和基本运算规则
易错难点剖析及应对策略
易错点一
忽视二次根式中被开方数的取值 范围。应对策略：在解题时，要 时刻注意被开方数的取值范围，
确保其非负。
易错点二
混淆二次根式的性质。应对策略： 正确理解并区分二次根式的性质， 如$sqrt{a^2}$和$(sqrt{a})^2$的 区别。
易错点三
运算顺序出错。应对策略：遵循先 乘除后加减的运算顺序，同时注意 括号的使用。
运算规则与注意事项
加减运算
先将二次根式化为最简形 式，再合并同类二次根式 。
乘除运算
根据二次根式的乘法法则 和除法法则进行计算。
注意事项
在运算过程中，要保证被 开方数是非负数，同时要 注意运算顺序和符号问题 。
Part
02
二次根式的化简与求值
化简方法与技巧
STEP 01
因式分解法
STEP 02
二次根式的性质
$sqrt{a^2} = |a|$，即正数的平方根是其本身，负数的平方根是其相反数，0的平方根是 0。
二次根式的运算法则
包括加法、减法、乘法和除法。其中，乘法法则为$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{ab}$（ $a geq 0, b geq 0$），除法法则为$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。

考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
首页 上一页 下一页
考点四二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数； 2．( a)2＝a(a≥0)；
3.
a2＝|a|＝a
a≥0，.
ab＝
a(a≥0，b＞0)． b
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
首页 上一页 下一页
考点训练
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
首页 上一页 下一页
一、选择题(每小题 3 分，共 42 分) 1．(2012·烟台) 4的值是( ) A．4 B．2 C．－2 D．±2
答案：B
2．(2012·武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( ) A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3
(2)本题考查二次根式的运算，因为 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故 B 项计算 错误．
(3)本题考查二次根式的化简，原式＝4× 22－2 2＝0.
【解答】(1)A (2)B (3)0
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
首页 上一页 下一页
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
(3)(2012·天津)估计 6＋1 的值在( ) A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间 C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间
【点拨】(1)本题考查二次根式及分式有意义的条件，必须使 x－3>0，所以 x>3. (2)考查二次根式及幂的运算， 9＝3，(ab)2＝a2b2，(－a2)3＝－a6. (3)由于 4< 6< 9，所以 2< 6<3，所以 2＋1< 6＋1<3＋1，故 6＋1 在 3 到 4 之间．

通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如

考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.