例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)
的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m, 拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥 拱的半径(精确到0.1m).
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设 AB 37.02, CD 7.23, 1 1 37.02 37.02 18.51, AD AB C 2 2
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱 顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形 并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过 这座拱桥吗?
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN 1 MN 1.5. 2 1 1
D
⌒ AD=BD.
⌒
定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条 直线来说. 如果在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⌒⌒ ⑤AD=BD.
C
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
A
M└
●
②⑤
③④ ③⑤ ④⑤
①③④
①②⑤ ①②④ ①②③
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.