导学案 19.1.1(2)变量与函数

19.1.1《变量与函数》教案设计19.1.1变量与函数第⼀课时教学⽬标:1、知识技能：运⽤丰富的实例，使学⽣在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量。

2、过程与⽅法：通过动⼿实践与探索，让学⽣参与变量和变量的形成过程，以提⾼分析问题和解决问题的能⼒；让学⽣体会“变化与对应”的数学思想3、情感态度：引导学⽣探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情，在解决问题的过程中体会数学的应⽤价值，并感受成功的喜悦，建⽴⾃信⼼。

教学重、难点：重点：了解常量和变量之间的关系难点：在复杂问题中常量和变量的识别课时安排：⼀课时教法与学法：教法：教师主导，学⽣主体，使学⽣从具体到抽象，感性到理性的认知。

学法：观察、分析、抽象、概括，注重过程的经历和体验。

教学过程：⼀．课前学习⼀辆汽车以60千⽶／⼩时的速度匀速⾏驶，⾏驶⾥程为s千⽶．⾏驶时间为t⼩时．1、根据题意填写下表：t⼩时 1 2 3 4 5S千⽶2、在以上这个过程中，变化的量是____ ____．不变的量是_____3、试⽤含t的式⼦表⽰s 。

⼆、创设情境，引⼊新课1多媒体展⽰现实⽣活中事物变化的图⽚，让学⽣初步感受事物运动变化中的数量关系。

2教师强调指出：完美⽣活在⼀个运动的世界⾥，⾏星在宇宙中的位置随时间⽽变化；⼈体细胞的个数随年龄⽽变化；⽓温⽓压随海拔⽽变化；........这种⼀个量随另⼀个量的变化⽽变化的现象⼤量存在，我们来回顾⼀下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同⼀问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中⼀个变量确定⼀个值时，另⼀个变量是否随之确定⼀个值呢？这将是我们这节研究的内容．3.板书课题：变量与函数。

三．⼩组合作，探索新知（⼀）提出问题，创设情境１、⼩明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总⾦额y（元）的关系式，可以表⽰为________；２、圆的周长C与半径r的关系式________________；3、n边形的内⾓和S与边数n的关系式______________4、等腰三⾓形的顶⾓为x度，那么底⾓y的度数⽤含x的式⼦表⽰为 ______________.教学⼩结：通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，⾸先需确定在这个过程中哪些量是变化的，⽽哪些量⼜是不变的．在⼀个变化过程中，我们称数值发⽣变化的量为变量，那么数值始终不变的量称之为常量．如上述两个过程中，售出票数x、票房收⼊y；重物质量m，?弹簧长度L都是变量．⽽票价10元，弹簧原长10 cm……都是常量．（⼆）上述⼏个问题有共同之处吗？请同学们思考下列问题，分组讨论交流⼀下。

人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解变量的概念，以及变量与函数的关系。

本节课通过具体的实例，引导学生理解函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。

教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知发展规律。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，对数学概念有一定的理解能力。

但是，对于函数的概念和意义，以及如何运用函数解决实际问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例理解函数的概念，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量与函数的概念，能够识别函数关系，并运用函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.难点：函数概念的理解，以及如何运用函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法。

通过设置问题情境，引导学生观察、操作、思考，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作意识和创新精神。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学问题和活动。

2.学生准备：预习教材，了解变量与函数的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出变量与函数的概念。

提问：什么是变量？什么是函数？引导学生思考并回答。

2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题和练习题，让学生观察、分析，引导学生发现变量与函数之间的关系。

提问：如何判断两个变量之间存在函数关系？如何表示函数关系？3.操练（15分钟）学生分组讨论，选取一个实例，尝试用函数表示变量之间的关系。

19.1.1 变量与函数【学习目标】1.能根据所给定条件写出简单的函数关系式；2.能从实际问题中得到函数关系式；3.会求函数解析式中自变量的取值范围及函数值；【学习重点】会求自变量的取值范围及函数值.【学习难点】能从实际问题中得到函数关系式，会求自变量的取值范围.【学前准备】一颗树现高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为ycm，y与x的关系式为，变量是，常量是 .【导入】【自主学习、合作交流】函数阅读课本P95页到97页探究以上的内容，回答下列问题：1.完成96页的归纳2.分组讨论：教科书P(96)页”思考”中的两个问题.3.根据函数定义归纳函数的三要素：4.什么是自变量和函数值完成P97页的探究例题解析例1：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油y（单位： L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子：，其中是自变量，是函数，像这样的式子叫做函数解析式.(2)自变量x的取值范围为 . (3)当汽车行驶200km时,油箱中还有多少升(L)汽油？例2：分别说出下列函数关系式中的自变量及谁是自变量的函数，并确定自变量的取值范围？（1）y=x-1（2）y=11-x（3）y=1-x（4）y=11-x归纳总结：求函数解析式中自变量取值范围的一般方法①当解析式为整式时，自变量取全体实数；②当解析式为分式时，分母不为0；③当解析式为算术平方根时，被开方数为非负数（大于等于0）④当解析式有上述多种形式组合时，应先求出各部分的取值范围，然后再求它们的公共部分.⑤当涉及实际问题时，不仅要考虑函数关系式自身有意义,而且还要考虑问题的实际意义.【知识应用】1.列问题中的两个变量是否是函数关系？是函数关系的指出自变量和函数.（1）平行四边形的面积S和它的一边长x的关系（2）圆的面积S与长C的关系2.函数y=3x-1中，自变量x的取值范围是 .3.函数y=521+x中，自变量x的取值范围是 .【课堂小结】如何确定自变量的取值范围及求函数值.【当堂测试】1.已知函数y=x2-x-2,当x=2时，函数值为 .2.在函数y=12+x 中，自变量x 的取值范围是 .在函数y=31--x x 中，自变量x 的取值范围是 . 在函数y=112+x 中，自变量x 的取值范围是__________.3.圆的面积为S ，半径为r ，则S=πr 2,则r 的取值范围是 .4.从甲地到乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，①若时间t ≥3分钟时，电话费y （元）与t （分钟）之间的函数关系式是 ；②当t=30分钟时，y= . 【课后作业】Ⅰ 必做题1.一个三角形的底边长为5,高h 可以任意伸缩,面积S 随h 变化的解析式为 ,其中常量是 ,变量是 , 自变量是 , 是 的函数,自变量的取值范围是 .2.x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值.3.一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少xcm 后得到的新的正方形的周长为 ycm ，写出y 与x 的关系式 ，其中自变量x 的取值范围是 .4.个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数是x (千克) 与售价y (元)的关系如下表：(1)卖出的苹果数量x(千克)与售价y(元)的关系可以表示为 . (2)当小勤卖出的苹果数量从5千克变到10千克时，苹果的销售额 元变到 元. (3)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款 元. 5.观察下面式子: ①35y x =- ②21x y x -=-③y 回答:(1)说说上面每个式子中的y 是x 的函数吗?(2)写出自变量x 在什么范围内取值时函数解析式有意义?(3)当x=5时对应的函数值是多少?6.某种活期储蓄的月利率是0.06％，存入100元本金,求本息和(本金与利息的和)y 元随所存月数x 变化的函数解析式，并计算存期为4个月时的本息和.Ⅱ 选做题如图，在靠墙（墙长为18m ）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m ，求鸡场的一边长y （m ）与另一边长x （m ）的函数关系式，并求自变量的取值范围.【课后反思】【评价】yx。

19.1.1 变量与函数八年级科目：数学主备人：范德彪时间：年月日课时安排与说明：1课时一、教学设计1、教学目标（1）理解变量与常量、自变量与函数的含义，能指出具体问题中的常量、变量，并会用含一个变量的代数式表示另一个变量；（2）理解两个变量间的特殊对应关系，能指出由哪一个变量唯一确定另一变量，会判断两个变量是否具有函数关系，并会求自变量的取值范围；（3）通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣．引导学生探索实际问题中的数量关系，让学生体会“变化与对应”的数学思想，培养学生提高分析问题和解决问题的能力。

2、内容分析（1）函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”。

方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系。

本节课是函数入门课，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先必须准确认识变量与常量的特征，关注变化过程中量的变化，这就是变量．有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础．本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫．（2）基于以上分析，确定本节课的教学重点是能找出一个变化过程中的变量与常量，教学难点是能判断两个变量是否具有函数关系。

3、学情分析（1）学生的认知基础：变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系。

类似于一元一次方程，学生直知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，并没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的关系。

另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例．但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．（2）学生是年龄心理特点：八年级学生具有很强的感性认知基础，活泼好动，思维敏捷，表现欲强，对一些具体的实践活动十分感兴趣，但思考问题单一，不会延伸运用。

课题：19.1.1.2函数课型： 新授课 主备人： 审核人：班级： 姓名： 使用时间：【【【【课前测一测】】】】1.汽车以80千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，用含t 的式子表示s 得_______________________；在这个问题中，_______________是变量，___________是常量.2.在圆的的周长公式C=2πR 中，变量是_____________,常量是___________.3.用100元去购买单价为8元的书，则剩余的钱y （元）与买这种书的本数x 之间的关系是（ ）A. y=8x B . y=8x-100 C. y=100-8x D. y=8x+1004．有一种树苗，刚栽下去时树高2m ，以后每年生长0.4m ，假设x 年后树的高度为y 米.⑴写出y 与x 的关系式；⑵上述问题中哪些是变量？哪些是常量？⑶5年后树高为多少？解：（1）（2）（3）【【【【学习目标】】】】１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．学习重点：进一步掌握确定函数关系的方法；确定自变量的取值范围．学习难点：认识函数、领会函数的意义．【【【【新知导学及疑难解答】】】】阅读课本思考并完成下列问题：1、完成课本归纳.2、函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是 ，y 是x 的 ．注意：在一个变化过程中有两个变量 x 、y ，如果说y 与x 的函数关系，那么就说 y 是 x 的函数，x是 自变量． 3、函数值已知y 是x 的函数，如果当x=a 时，y=b ，那么b•叫做当自变量的值为a 时的函数值． 例：已知S=x(5-x)，则 是 的函数，当x=3时，S= ,即x=3时的函数值为 .4、自变量的取值范围（1）阅读课本98例1，思考例题中是如何确定自变量x 的取值范围的？（2）确定自变量的取值范围，一要考虑 ；还要考虑 .（3）求下列函数自变量的取值范围①xy -=43②x y -=3 ③x y -=31④33x y -=【【【【课堂练习】】】】1、油箱中有油 30kg ，油从管道中匀速流出，1 小时流完，求油箱中剩余油量 Q （kg ）与流出时间 t （分钟）间的函数关系式为 ，自变量的范围是 ．当 Q =10kg 时，t= ．2、x= 时，函数 y =3x-2 与函数 y =5x+1 有相同的函数值．3、已知三角形底边长为 4，高为 x ，三角形的面积为 y ，则 y 与 x 的函数关系式为 ．4、若 y 与 x 的关系式为 y =30x-6，当 x =3 时，y 的值为5、汽车由北京驶往相距 120 千米的天津，它的平均速度是 30 千米/时，则汽距天津的路程 S （千米）与行驶时间 t （时）的函数关系及自变量的取值范围( )A ．S=120-30t （0≤t ≤4）B ．S=30t （0≤t ≤4）C ．S=120-30t （t>0）D ．S=30t （t=4）6、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y （cm ）与所挂物体的质量 x （kg ）有如下关系：（1）请写出弹簧总长 y （cm ）与所挂物体质量 x （kg ）之间的函数关系式．（2）当挂重 10 千克时弹簧的总长是多少？【【【【自我总结】】】】1、利用导学案认真阅读课本后，我的收获是：我的疑惑是：2、学完这节课后，我的收获是：我还有疑惑是：【【【【布置作业】】】】。

第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数1.认识变量、常量.2.学会用一个变量的代数式表示另一个变量.3.认识变量中的自变量与函数.4.进一步理解掌握确定函数关系式.5.会确定自变量的取值范围.自学指导：阅读教材第71页至74页，独立完成下列问题：知识探究(1)一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.①根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5s/千米60 120 180 240 300②试用含t的式子表示s为s=60t；③在以上这个过程中，不变化的量是60，变化的量是s与t.(2)每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张.①三场电影的票房收入分别是1500元，2050元，3100元.②设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的式子表示y为y=10x.③在以上这个过程中，不变化的量是10，变化的量是x与y.(3)变量：在一个变化的过程中，数值变化的量；常量：在一个变化的过程中，数值不变的量.(4)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个变化值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数. (5)对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.活动1 学生独立完成例1 分别指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(s表示面积，r表示半径)；(2)匀速运动公式s=vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程).解：(1)r、S是变量，π是常量；(2)t、s是变量，v是常量.π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的S值和它对应，故S和r是变量.因为是匀速运动，所以速度v是常量，t和s是变量.例2 如图，一个矩形推拉窗高1.5m，则活动窗的通风面积S(m2)与拉开长度b(m)的关系式是S=1.5b.窗高1.5m是一边长，拉开长度b(m)是另一边长，因此通风面积S=1.5b.例3 某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨).(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？解：(1)y=-50x+1000；(2)y=-5x+1000，当x=30时，y=-5×30+1000=850.∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.活动2 跟踪训练1.设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V=πr2h，这个式子中常量是π，h，变量是V，r.2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43πＲ3.其中变量是R，V，常量是43，π.找准不变的量，再确定变量.3.下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.4.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米a元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为y=2ax-12a，若该月交水费20a元，则这个月实际用水16米3.5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=12ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是12，a，变量是S，h.7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.8.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).(1)上述关系中的常量与变量各是什么？(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？解：(1)常量0.8，220，变量a,b； (2)164.9.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式；(2)写出自变量t的取值范围；(3)12h后，池中还有多少水？解：(1)Q＝-60t＋800； (2)0≤t≤403； (3)80m3.实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.活动3 课堂小结1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

第十九章函数.站所s就.3.已知函数y=2x2-1.（1）求出当x=2时y的值；（2）求出当y=3时x的值.判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，方法总结求函数值，直接把自变量的值带入函数关系式中计算即可；求自变量的值，需把函数值带入函数关系式中，得到关于自变量的方程，然后解方程.探究点2：自变量的取值范围问题3：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t （单位：h ），行驶的路程为 s （单位：km ）；（2）多边形的边数为 n ，内角和的度数为 y ．问题4：问题3（1）中，t 取-2 有实际意义吗？（2）中，n 取2 有意义吗？例3.下列函数中自变量x 的取值范围是什么？ （1）y=3x+1；（2）12y x =+；（3）y =4）y =.A.函数不是数，而是一种关系B.多边形的内角和是边数的函数C.一天中时间是温度的函数D.一天中温度是时间的函数 2.下列各表达式不是表示y 是x 的函数的是( )3.设路程为s ，时间为t ，速度为v ，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数.4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h 流完，则油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （min ）之间的函数关系式是 ，自变量t 的取值范围是. 5.求下列函数中自变量x 的取值范围：2(1)2y x x =--；3(2)48y x =+；(3)y =；1(4)1y x -.6. 我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x （公里）（x 为整数），相对应的收费为y （元）.（1）请分别写出当0＜x ≤3和x ＞3时，表示y 与x 的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y 值；（2）当0＜x ≤3和x ＞3时，y 都是x 的函数吗？为什么？。