高中数学：等比数列的概念导学案苏教版必修5

2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。

再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。

【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

等比数列教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点：等比数列的定义及通项公式. 教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容. Ⅱ.讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，…，263； ① 5，25，125，625，…； ②1，－12 ，14 ，－18 ，…；③仔细观察数列，寻其共同特点.对于数列①，a n ＝2n －1；a n a n －1 ＝2(n ≥2)对于数列②，a n ＝5n ；a na n －1 ＝5(n ≥2)对于数列③，a n ＝(－1)n +1·12n －1；a n a n －1＝－12 (n ≥2) 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点. 1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：a n ∶a n －1＝q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－12 .与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d ”可为0，（2）公比“q ”不可为0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝(a 1q )q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝(a 1q 2)q ＝a 1q 3，…，a n ＝a n －1q ＝a 1q n －1(a 1，q ≠0)，n ＝1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 1 ＝q ①a 3a 2 ＝q ②… …a na n －1＝q n －1 若将上述n －1个等式相乘，便可得： a 2a 1 ×a 3a 2 ×a 4a 3 ×…×a n a n －1＝q n －1 即：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)当n ＝1时，左＝a 1，右＝a 1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：a n ＝a 1·q n －1(a 1，q ≠0)如：数列①，a n ＝1×2n －1＝2n －1(n ≤64)数列②：a n ＝5×5n －1＝5n ，数列③：a n ＝1×(－12 )n －1＝(－1)n －112n －1 与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.或者，等差数列是将由定义式得到的n －1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n －1个式子相“乘”，方可求得通项公式.下面看一些例子：［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a 1＝120，q ＝120的等比数列{a n }.由等比数列通项公式可得：a n ＝a 1·q n －1＝120×120n －1＝120n ∴a 5＝1205≈2.5×1010.答：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式. 解：设这个等比数列的首项是a 1，公比是q则：⎩⎨⎧a 1 q 2＝12 ①a 1 q 3＝18 ②②÷①得：q ＝32 ③ ③代入①得：a 1＝163∴a n ＝a 1·q n －1＝163 ×（32 ）n －1，a 2＝a 1·q ＝163 ×32 ＝8. 答：这个数列的第1项与第2项分别是163 和8. 评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅲ.课堂练习课本P 48练习1，2，3已知{a n }是无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1，a 2，…，a k ，a k +1，…则去掉前k 项的数可列为：a k +1，a k +2，…，a n ，… 可知，此数列是等比数列，它的首项为a k +1，公比为q . (2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1，a 2，a 3，…，a 2k －1，a 2k ，…，取出{a n }中的所有奇数项，分别为：a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，a 2k +1，…∵a 2k +1a 2k －1 ＝a 1q 2k a 1q2k －2 ＝q 2(k ≥1) ∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a 1，公比为q 2.(3)在数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列{a n }为：a 1，a 2，…，a n ，…每隔10项取出一项的数可列为：a 11，a 22，a 33，……可知，此数列为等比数列，其公式为：a 22a 11 ＝a 11q 11a 11＝q 11.评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.Ⅳ.课时小结本节课主要学习了等比数列的定义，即：a na n －1 ＝q (q ≠0，q 为常数，n ≥2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)及推导过程. Ⅴ.课后作业课本P 52习题 1，2，3，4等比数列(一)1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n ，那么数列{a n }是 （ ）A.等比数列B.当p ≠0时为等比数列C.当p ≠0，p ≠1时为等比数列D.不可能为等比数列2．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于 （ ）A. 12B. 13 C.2D.33．数列{a n }的前n 项之和是S n ＝a n ＋b (a 、b 为常数且a ≠0，1)，问数列{a n }是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.4．已知等比数列x ，－34 ，y ，－2716 ，8132 ，…，求x ，y .5．已知数列{a n }是等比数列，首项为a 1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t ，k ，p 项，求数列{a n }的通项公式.6．已知数列{a n }为等比数列，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54 ，求a 4的值.等比数列(一)答案1．D 2．D3．数列{a n }的前n 项之和是S n ＝a n ＋b (a 、b 为常数且a ≠0，1)，问数列{a n }是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由. 分析：利用等比数列的定义解题.解：a 1＝S 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)a n －1 又a 1＝(a －1)·a 0＝a －1∴若a －1≠a ＋b ，即b ≠－1时，显然数列{a n }不是等比数列.若a －1＝a ＋b ，即b ＝－1时，由a n ＝(a －1)a n －1(n ≥1)，得a n a n －1＝a (n ≥2)故数列{a n }是等比数列. 4．x ＝12 ，y ＝985．已知数列{a n }是等比数列，首项为a 1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t ，k ，p 项，求数列{a n }的通项公式. 分析一：先从等比数列入手解决问题.解法一：设符合题设的等比数列{a n }中的连续三项为a m ，a m +1，a m +2，则： a m +1＝a m q ，a m +2＝a m +1q (q 为公比)两式相减，得q ＝a m ＋2－a m ＋1a m ＋1－a m又a m +1＝a m ＋(k －t )d ，即a m +1－a m ＝(k －t )d同理a m +2－a m +1＝(p －k )d (d 为公差），故q ＝（p －k ）d （k －t ）d ＝ p －kk －t∴所求通项公式为a n ＝a 1(p －k k －t)n －1. 分析二：先从等差数列入手解决问题. 解法二：设等差数列为{b n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝b 1＋（t －1）d b k ＝b 1＋（k －1）d b p ＝b 1＋（p －1）d由题设知，b t ，b k ，b p 是等比数列{a n }中的连续三项：故q ＝b k b t＝b p b k利用等比定理，可得b k b t ＝b p －b k b k －b t ＝（p －k ）d（k －t ）d ＝ p －k k －t ∴q ＝p －k k －t ，a n ＝a 1(p －k k －t)n －1.6．已知数列{a n }为等比数列，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54 ，求a 4的值.分析：要求a 4可以先求a n ，这样求基本量a 1和q 的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.解：设此数列的公比为q ,由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1 q 2＝10a 1 q 3＋a 1 q 5＝54 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10 ①a 1 q 3（1＋q 2）＝54 ② 由a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得，q 3＝18 ⇒q ＝12 ⇒a 1＝8. a 4＝a 1q 3＝8×18 ＝1. 评述：本题在求基本量a 1和q 时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.。

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等比数列教学过程 一、复习回顾师：前面我们已经学习了有关等差数列的有关知识，请一位同学来回答一下等差数列的定义的文字语言是什么？生：如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。

师：等差数列的定义的数学表达式是什么？ 生：*+∈=-N n d d a n )(a 1n 为常数 师：等差数列的通项公式是什么？ 生：d n a )1(a 1n -+= 二、新知探究（一）等比数列的定义 1.情境引入师:学完等差数列后，有学生问我:“老师，既然研究了差,我们是不是还要研究等和数列，等积数列，等商数列呢?我充满了好奇！”请问如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“和”都等于同一个常数，请同学们举例子. 生： 生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“积”都等于同一个常数,请同学们举例子。

生：生：师：如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项所得的“比”都等于同一个常数,请同学们举例子.生：生：问题5。

所谓的“等和数列”，“等积数列”,“等比数列”三者中,哪种更具有研究价值呢？生：生：我们的生活中“等比数列”的例子很多，如商品打折，银行存款等。

2.探究新知师：探究,类比等差数列定义同桌之间互相讨论，总结等比数列定义的文字语言。

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

2．3.1 等比数列的概念明目标、知重点 1.理解等比数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等比数列.2.能利用等比数列的定义求等比数列中的某一项.3.理解等比中项的概念，并能利用等比中项的概念判断一个数列是否为等比数列．1．等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示． 2．等比中项的概念若a 、G 、b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且G ＝±ab .[情境导学]在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，本节我们就来研究这类数列．探究点一 等比数列的概念思考1 阅读教材45页中的三个实例，请同学们写出这3个实例中对应的3个数列，与等差数列相比，所得3个数列有什么共同特点？ 答 这3个数列分别为(1)10,10×12，10×⎝⎛⎭⎫122,10×⎝⎛⎭⎫123，…. (2)36,36×0.9,36×0.92,36×0.93，….(3)10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055.它们的特点为从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． 思考2 结合等差数列的定义，如何给等比数列下一个准确定义？答 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示． 思考3 我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化．如何用符号语言简捷地表示它？答 a na n －1＝q (n >1，q ≠0)．例1 判断下列数列是否为等比数列： (1)1,1,1,1,1；(2)0,1,2,4,8；(3)1，－12，14，－18，116.解 (1)所给数列是首项为1，公比为1的等比数列． (2)因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．(3)所给数列是首项为1，公比为－12的等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的依据是等比数列的定义，由定义可知：一个数列中如果有一项为0，则此数列不是等比数列，等比数列的公比也不为0. 跟踪训练1 下列所给数列中，是等比数列的为________． ①1,2,4,8，…；②2－3，－1,2＋3，…； ③1,3,9,27,81，… 答案 ①②③解析 对于①数列1,2,4,8，….显然符合等比数列的定义，所以是等比数列；对于②由于－12－3＝－12－3＝－2＋3(2－3)(2＋3)＝2＋3－1，所以②是等比数列；对于③明显能看出是等比数列，公比为3.例2 求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a,8； (2)－4，b ，c ，12；(3)d,3,27.解 (1)根据题意，得a 2＝8a ，所以a ＝4或a ＝－4.(2)根据题意，得⎩⎨⎧b －4＝c b，12c ＝c b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－1.(3)根据题意，得3d ＝273，所以d ＝13.反思与感悟 解决本类型题的方法，依据等比数列的定义，列出关于未知数的方程或方程组，解方程得出结果．跟踪训练2 已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，12,36； (2)3，( )，5；(3)1，( )，( )，818.答案 (1)4 (2)±15 (3)332 274解析 (1)设所填的数为a ，由等比数列的定义，得12a ＝3612，所以a ＝4.(2)设所填的数为b ，由等比数列的定义，得b 3＝5b，所以b ＝±15.(3)设所填的数为x ，y ，由等比数列的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y x ，818y ＝y x，解得⎩⎨⎧x ＝332，y ＝274.探究点二 等比中项思考1 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念． 答 若a 、G 、b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项．例3 (1)在等比数列{a n }中，是否有a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)?(2)如果数列{a n }中，对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1a n ＋1，那么，{a n }一定是等比数列吗？解 (1)因为{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝a n a n －1，即a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)成立． (2)不一定．例如对于数列0,0,0，…，总有a 2n ＝a n －1a n ＋1，但这个数列不是等比数列．只有当数列{a n }中各项都是非0时，a 2n ＝a n －1a n ＋1⇔a n ＋1a n ＝a n a n ＋1，所以才有数列{a n }是等比数列． 反思与感悟 当一个数列{a n }中的各项都不为0时，若a 2n ＝a n －1a n ＋1，则数列{a n }是等比数列．跟踪训练3 已知等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝64，a 3＋a 6＝36，求a 1与a 5的等比中项． 解 ∵{a n }是等比数列，∴a 3是a 2与a 1的等比中项，因此a 23＝a 2a 4. 可得a 33＝64，于是a 3＝4. 又a 3＋a 6＝36，所以a 6＝32.若设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝4，a 1q 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.于是a 5＝a 1q 4＝16.设a 1与a 5的等比中项为G ，则G 2＝16， 故G ＝±4.即a 1与a 5的等比中项为±4.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3＝________. 答案 32解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q＝32.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 答案 64解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64. 3．45和80的等比中项为________． 答案 －60或60解析 设45和80的等比中项为G ，则 G 2＝45×80，∴G ＝±60.4．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的首项a 1和公比q .解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18.当q ＝3时，a 1＝29.[呈重点、现规律] 1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个ab ，这是容易忽视的地方．一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝________. 答案 16解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝________. 答案 27解析 由于a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于________． 答案 －24解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________. 答案 －3 9解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 5＝384，则公比q ＝________. 答案 82解析 因为a 5＝a 3q 2＝384，q 2＝128，所以q ＝8 2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．设数列{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 设数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n＝⎝⎛⎭⎫12d . ∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数， ∴数列{b n }是等比数列，设公比为q .∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，∴⎩⎨⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n . 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝2n －3.综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3. 二、能力提升8．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为________．答案 53解析 设这个数为x ， 则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )， 解得x ＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q 为7545＝53.9．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn ＝________.答案 2解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 10．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. －答案 90解析 6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54；6，c ，d,48成等比数列，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16.设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解 方法一 设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎨⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq －a ＋aq ＝16a q＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求a 2和a 3的值．(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． 方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为a 1＋1＝2. ∴a 2＋1＝(a 1＋1)q ＝(1＋1)×2＝4，a 2＝3； a 3＋1＝(a 2＋1)q ＝(3＋1)×2＝8，a 3＝7.。

课时7 等比数列（1）教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学过程下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，…，263； ①5，25，125，625，…； ②1，－12 ，14 ，－18 ，…； ③仔细观察数列，寻其共同特点.1、等比数列定义：注意：1.等比数列的递推公式：)0(11≠=-q a q a a n n2.“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）3. 隐含：任一项00≠≠q a n 且4.q= 1时，{a n }为常数。

既是等差又是等比数列的数列：非零常数列2、等比数列的通项公式： 注意：①等比数列的图象是函数xq q a y 1=图象上的一群孤立点。

②{}{}{}{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<<>><>>为递增数列为递减数列为递减数列为递增数列n n n n a q a a q a a q a a q a 10010010101111[例题分析]例1（1）求等比数列1，,2-2，…第11项，第30项。

（2）在等比数列{n a }中，已知256,6497==a a ，求n a 。

（3）在2与32之间插入3个数，使它们成GP ，求这三个数 例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项例3在等比数列{n a }中，,163=a 1a 2a 65102=a ，求6a a n 与例4有四个数，前三个数成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求此四个数当堂练习已知{a n }是无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？(2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？(3)在数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？。

等比数列的概念【学习目标】理解等比数列的概念，能应用概念解决问题【课堂导学】一、预习点拨1、等比数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的2、等比中项：如果b G a 、、是三个非零常数满足ab G =2，则G 为b a 与的二、典型例题例1、下列说法正确的序号有⑴1，1，1，1，1是等比数列；⑵0，1，2，4，8是等比数列；⑶1，12-，14，18-，116是等比数列； ⑷常数列是公差为0的等差数列；⑸常数列是公比为1的等比数列。

例2、求出下列等比数列中的未知项：⑴ 2 ，a ，8 ； a = 。

⑵ －4 ，b ，c ，12。

b = ，c = 。

例3、⑴在等比数列{}n a 中，是否有211(2)?n n n a a a n -+=≥ ⑵如果数列{}n a 中，对于任意正整数(2)n n ≥，都有211n n n a a a -+=，那么{}n a 一定是等比数列吗？三、迁移训练1、判断下列数列是否为等比数列：（1）1，2，1，2，1；（2）-2，-2，-2，-2；（3）1，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

；（4）2，1，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，0；（5）错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

；（6）错误！未找到引用源。

，2，1，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

；（7）a,a,a,a 。

2、求出下列等比数列中的未知项：（1）（ ），3，27 （2）3，（ ），5 （3）1，（ ），（ ），881四、课堂笔记【巩固反馈】 序号：15一、填空题1、等比数列{}n a 中，x ，22x +，33x +是一个等比数列的前三项，则第四项为 。

2、已知a 、b 、c 成等比数列，则二次函数2()f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点个数有 个。

第二章 数列2．3 等比数列（第2课时）15 **学习目标**1．了解等比数列的性质，会用性质解决等比数列的简单问题； 2．能进一步根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列． **要点精讲**1．等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅．注意：m n m n a a a +⋅≠．（2）在等比数列{}n a 中，211n n n a a a +-⋅=；2n k n k n a a a +-⋅=(,,)n k n n k N *-+∈． （3）在等比数列{}n a 中，2112321n n n a a a a a --⋅⋅⋅=，12321()nn n n a a a a a a +⋅⋅⋅=．（4）在等比数列{}n a 中，2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅也成等比数列，公比为kq ． 2．数列{}n a 为等比数列的证明方法． （1）定义法：若1nn a a -=常数对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等比数列； （2）中项法：若211n n n a a a +-⋅=对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等比数列； （3）通项公式法：若an bn a k m +=⋅(0)k ≠，则数列{}n a 为等比数列．**范例分析**例1．（1）已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，求35a a +； （2）已知{}n a 是等比数列，公比0q <，3734a a +=，4664a a =，求n a ．例2．三个实数6,3,1-排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和1-之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①74；②3；③194；④7．其中正确的序号是 ．例3．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．例4．已知等比数列{}n a 中，164a =，公比1q ≠，234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，问：从第几项起0n S <？**规律总结**1．若数列{}n a 是等比数列，则数列{}n ka (0)k ≠是等比数列；2．若数列{}n a 是等比数列，且对任意n N *∈，0n a >，则数列{log }a n a 是等差数列，公差是log a d ；若数列{}n a 是等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列，公差是log a d ；3．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n ak (0)k >是等比数列，公比是dk ； 4．若数列{}n a 是等比数列，则数列{}k n a ()k R ∈是等比数列，公比是kq ；5．若数列{}n a 、{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅、{}nna b 是等比数列．**基础训练** 一、选择题1．等比数列{}n a 中，0n a >，344a a =，则2126log log a a +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ ）A ．11m B ．12m C ．1 D ．1 3．公比不为1的等比数列{}n a 中，33234122a a a a ⋅⋅⋅⋅=，若8k a =，则k 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．若,,a b c 是互不相等的实数，且,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，则::a b c 等于 （ ）A (2):1:4- B 1:2:3 C 2:3:4 D (1):1:3- 5．等比数列{}n a 中，910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ）A ．89a bB ．(a b )9C ．910a bD ．(ab )10二、填空题6．已知()f x 是一次函数，()01f =，且()()()1,2,5f f f 成等比数列，则(3)f =_______．7．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2{}na 、2{}n a 都是等比数列；②{ln }n a 都是等差数列；③1{}na 、{||}n a 都是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠都是等比数列．正确的命题是 ．8．若方程052=+-m x x 与0102=+-n x x 的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则:n m 的值为________。

课题：2.3.1 等比数列的概念 总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】明确等比数列的定义,等比中项的概念，判断一个数列是等比数列【重点难点】 学习重点：等比数列的概念的理解与掌握.;等比数列的判定.学习难点：等比数列“等比”特点的理解、把握和应用.【学习过程】一、自主学习与交流反馈：1．放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质量.如果某个质量为0Q 的放射性物质在时间h 中衰变到20Q ,那么称h 为物质的半衰期.镭的半衰期是1620年，如果从现有的10g 镭开始，那么每隔1620年，剩余量依次为.,2110,2110,2110,1032 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯ 2．某轿车的售价约36万元，年折旧率约为%10（就是说这辆车每年减少它的价值的%10），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 .,9.036,9.036,9.036,3632 ⨯⨯⨯3．某人年初投资10000元，年收益率是5%，按照复利，5年内各年末的本利和依次为 .05.110000,,05.110000,05.11000052⨯⨯⨯问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？二、知识建构与应用基本概念：1．等比数列的概念：2．等比数列的判定：三、例题讲解例1 判断下列数列是否为等比数列：（1）1，1，1，1； （2）0，1，2，4，8； （3）.161,81,41,21,1--例2 求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a （2）.21,,,4c b -概念：若b G a ,, 成等比数列，则称G 为b a 和的等比中项.熟悉概念：（1）45和80的等比中项为_______；（2）a = 1m ，b = 4m ，则a 、b 的等比中项c = _____.例3 （1）在等比数列{}n a 中，是否有211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）？（2）在数列{}n a 中，对于任意的正整数n （2n ≥），都有211n n n a a a -+=⋅，那么数列{}n a 一定是等比数列吗？．例4 已知数列{}n a 满足11=a ，22=a ，()*++∈+=N n a a a n n n 212． 求证：{}n n a a -+1是等比数列．四、巩固练习1．判断下列数列是否为等比数列： （1）1，2，1，2，1； ________________（2）-2，-2，-2，-2; ________________(3)1，;811,271,91,31--________________ （4）.0,41,21,1,2 ________________ 2．已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：(1) ( )，3，27 (2) 3，( )，5 (3) 1，( )，( )，881 3．下列数列中，哪些是等差数列，哪些是等比数列？（1）;12lg ,6lg ,3lg _________________（2）;2,2,1,2,2212-- _________________（3）1，1，1，1. _________________4．已知数列{}n a 是等比数列，(1)如果6,232-==a a ，求公比q 和1a ；(2)如果6,321==a a ，求公比q 和5a .5．已知数列{}n a 的通项公式，下列数列是等比数列的是__________（填写序号）.①n n a 3=; ②1324-⨯=n n a ; ③n n a )3(-=; ④0=n a .6．已知n a a a a ,...,,,321是公比为q 的等比数列，新数列11,...,a a a n n -是等比数列吗？如果是，公比是多少？7．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，公比为q ，求证：{}n a 是等比数列，并求该数列的公比.五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。