2015-2016学年上海市七宝中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

上海市七宝中学2015届高三年级上学期期中数学试卷2014,11一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.已知集合12,A m y N m N m ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，用列举法表示集合A ，____________A =. 2．函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 . 3．函数3log (arccos(2))3y x π=--的定义域为_____ _____.4．已知集合}C ,R ,02i {∈∈=+⋅-⋅=z b z b z bi z A ，C},1{∈==z z z B ，若A B =∅，则b 的取值范围是 ．5.已知集合{}{}231,,21,A y y a x x a R x R x y x x R ==++∈∈==+∈，B ，若，B A ⊆，则a 的取值范围 . 6.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()121y f x -=-+的图像一定过点 .7.如图C B A ,,是球面上三点，且OC OB OA ,,两两垂直，若P 是球O 的大圆所在弧BC 的中点，则直线AP 与OB 所成角的大小为 ． 8．无穷数列1sin 32nn π⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和的极限为 . 9.如图，在ABC ∆中，90A ∠=，3AB =，D 在斜边BC 上，且2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 .10.解方程332log log ,__________xax xx a== 11．(理)直线l 的参数方程是12,(R,23x t t y t =-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，试写出直线l 的一个方向向量是 ．(答案不唯一)(文) 已知实数y x 、满足线性约束条件,-10,0.x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数21z x y =--的最大值是 ．12.（理）函数x x x f cos )(2-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，则满足(2)()3f x f π>的x 的取值范围是 .（文）若)(x f 是定义在(4,4)-上的奇函数，且在(40] -，上为减函数，则不等式(2)(4)f x f x -++≤0的解集为 .13．（理）已知三个实数,,a b c 成等比数列，且满足2a b c ++=，则b 的取值范围是 . （文）在等差数列{}n a 中，123936a a a a ++++=，则222258+a a a +的最小值为 _____. 14.（理）（理）当a 和b 取遍所有实数时，22(,)(25cos )(2sin )f a b a b a b =+-+-的最小值为 ．（文）若y =y 的最小值为 .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.10x -≠“”是 (1)(2)0x x --≠“”的……………………………………………（ ）． ....A B C D 充分非必要条件 必要非充分条件 充分必要条件 既不充分也非必要条件16.12x x 、是方程22(2)(35)0x a x a a --+++=（a 为实数）的二实根，则2211x x +的最大值为………………………………………………………………………………（ ）．.20.19.18.A B C D 不存在17．函数)(x f 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数)(x f 的图像都不能与函数x y 21log =的图像重合，则函数)(x f 可以是…………………………………（ ）．A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y18. （理）对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图像关于点A （1，0）对称； ②若函数)1(-x f 的图像关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ③若对R x ∈，有)(),()1(x f x f x f 则-=-的周期为2； ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图像关于直线0=x 对称.其中正确结论有……………………………………………………………………（ ）．.1.2.3.4A B C D 个个个个（文）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若786S S S >>，则下列结论：①70a =，②80a <，③130S >，④140S <，其中正确的结论有……………（ ）．.1.2.3.4A B C D 个个个个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分10分） 已知函数2()21xf x a =-+，a R ∈． 判断函数(x)f 的奇偶性，并说明理由；20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元． （1）将全程运输成本y （元）表示为速度(/)v km h 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶．21. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =且2111++=--n n n a s s ，数列{}n b 满足130b =-。

2015年七宝中学高三第一学期期中考试理科数学一、填空题1、设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤,则M N =_________。

[0,1]2、已知11(1,)P a 、22(2,)P a 、…(,)nn P n a …是直线上的一列点,且122, 1.2aa =-=-，则这个数列{}n a 的通项公式是___________。

*0.8 2.8()n a n n N =-∈3、设02πθ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若//a b ,则tan θ=___ .124、函数12log (32)y x =-___________.2(,1]35、已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=,向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=__________。

226、函数213,(10)x y x -=-≤≤的反函数是___________。

131()log 1(1)3f x x x -=+≤≤7、方程lg(42)lg 2lg 3x x+=+的解是___________。

0x =或1x = 8、,a b 是不等的两正数，若11lim 2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是___________.(0,2)9、数列{}na 中，已知*111212,(),2n n a a a a a n N +==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈，则{}n a 的前n 项和n S =___________。

132()2n n S -=⋅10、若向量a 与b 夹角为3π，||4b =，(2)(3)72a b a b +-=-，则||a =________.611、若三数,1,a c 成等差,且22,1,a c 成等比，则22lim()nn a c a c →∞++值为___________.0或112、已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=,若1AE AF ⋅=，则λ的值为___________.213、已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，1()(2)3g x f x =-+，当[2,0)(0,2]x ∈-时，||1(),(0)021x g x g ==-，则方程12()log (1)g x x =+的解的个数为___________。

2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高三年级上学期期中考试数学试卷一、填空题1、设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =U __________； 【答案】[]0,1【解析】{}2{|}0,1M x x x ===，(]{|lg 0}0,1N x x =≤=，所以{}(][]0,10,10,1M N ==U U .2、已知11(1,)P a 、22(2,)P a 、…、(,)n n P n a 、… 是直线上的一列点，且12a =-，2 1.2a =-， 则这个数列{}n a 的通项公式是__________； 【答案】()*0.8 2.8n a n n N =-∈【解析】本题主要考查数列的通项公式.依题意，11(1,)P a 、22(2,)P a 、L 、(,)n n P n a 、L 是直线上的一列点，则数列{}n a 为等差数列，数列的公差210.8d a a =-=，故数列通项公式为()110.8 2.8n a a n d n =+-=-.n a 下角标为正自然数，所以*n N ∈.数列{}n a 的通项公式：()*0.8 2.8n a n n N =-∈. 3、设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=r ，(cos ,1)b θ=r，若a r ∥b r ，则tan θ=__________；【答案】12【解析】本题主要考查平面向量的基本定理及坐标表示.因为a r ∥b r，所以sin 2cos *cos θθθ=，即22sin cos cos θθθ=，又因为02πθ<<，所以tan θ=12.4、函数y =__________；【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】要使函数有意义：要满足12log (32)0x -≥.所以0321x <-≤，计算可得：213x <≤，即定义域为2,13⎛⎤⎥⎝⎦.5、已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 与123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β=__________；【答案】3【解析】本题主要考查平面向量的数量积.已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，()()2212121121221323936299cos 299283a b e e e e e e e e e e α=--=--+=-+=-⨯+=r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u r u u r u u r g g g g ()2212132941293a e e =-=+-⨯=u r u u r()22121391683b e e =-=+-⨯=u r u u r所以，3a =，b =，综上所述，cos a b a b β===r r g r r g .6、函数213x y -=(10)x -≤≤的反函数是__________；【答案】113y x ⎫=≤≤⎪⎭【解析】本题考查反函数的求法，考查能力的基础题. 函数213xy -=可得231log x y -=，即23log 1x y =+.因为10x -≤≤，所以x =综上所述，函数213xy -=(10)x -≤≤的反函数是113y x ⎫=<≤⎪⎭7、方程lg(42)lg 2lg3xx+=+的解是__________； 【答案】{}0,1【解析】本题主要考查指数方程和对数方程的求解，要求熟练掌握相应的运算法则. 因为()lg 42lg 2lg3x x +=+，所以()()lg 42lg 23x x +=⋅. 即4223x x +=⋅⇒43220x x -⋅+=⇒()()21220x x --= 解得0x =或1x = 故方程解集为{}0,18、,a b 是不等的两正数，若11lim2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是__________； 【答案】()0,2【解析】本题主要考查极限及其运算.,a b 是不等的两正数，若11lim 2n n nnn a b a b ++→∞-=+. ①当a b >时，b lim 0nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11lim lim 1nn n n nn n n b a b a b a a a b b a ++→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到2a =，即()0,2b ∈.②当a b <时，则11lim 2n n nnn a b b a b ++→∞-=-=+，而0b >，不合题意，舍去. 综上所述，b 的取值范围是()0,2.9、数列{}n a 中，已知12a =，数列前n 项和为n S ，112n n a S +=，*n N ∈，则n S =__________； 【答案】n 1322-⎛⎫⎪⎝⎭g【解析】由题意可得112n n a S += 当2n ≥时，112n n a S -=两式相减得()111122n n n n n a a S S a +--=-=⇒132n n a a +=()2n ≥21112a a ==数列n a 是从第二项开始的等比数列，公比为32所以111233132...223212n n n n S a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++=+= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭g 10、若向量a r 与b r 夹角为60︒，||4b =r ，(2)(3)72a b a b +-=-r r r r ，则||a =r __________；【答案】6【解析】cos60=2a b a b a ⋅=⋅⋅or r r r r()()22223=629672a b a b a b a b a a +⋅---⋅=--=-r r r r r r r r r r，解得||6a =r ，||4a =-r舍去。

上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）．把答案直接填写在答题卷的相应位置上．1．（4分）已知集合A={0，1，a}，B={0，3，3a}，若A∩B={0，3}，则A∪B=．2．（4分）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=．3．（4分）在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则此数列前n项和为．4．（4分）已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为．5．（4分）如图程序框图，若实数a的值为5，则输出k的值为．6．（4分）在极坐标系中，圆ρ=2与直线ρcosθ+ρsinθ=2交于A，B两点，O为极点，则•=．7．（4分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为．8．（4分）若二项式（x+）n的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数与第六项的系数之比为1：4，则其常数项为．9．（4分）某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提2014-2015学年高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提2014-2015学年高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是．10．（4分）从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右最小平移个长度单位．12．（4分）过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为．13．（4分）某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．则该校学生上学所需时间的均值估计为．（精确到1分钟）14．（4分）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为，对于A⊊U，B⊊U，给出下列四个结论：①对∀x∈U，有；②对∀x∈U，若A⊊B，则f A（x）≤f B（x）；③对∀x∈U，有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对∀x∈U，有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．其中，正确结论的序号是．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上．15．（5分）已知函数f（x）=2x+1，对于任意正数a，|x1﹣x2|＜a是|f（x1）﹣f（x2）|＜a成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（）A．B．（﹣2，﹣1）C．D．（1，2）17．（5分）如果函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．[﹣1，1）C．{﹣1，0} D． [﹣1，0）∪（1，+∞）18．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则下列结论正确的是（）A．S2012=2012，a2012＜a7B．S2012=2012，a2012＞a7C．S2012=﹣2012，a2012＜a7D．S2012=﹣2012，a2012＞a7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．20．（13分）已知向量=（x2﹣3，1），=（x，﹣y），（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有⊥，当|x|≥2时，∥．（1）求函数关系式y=f（x）；（2）若对任意x∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），都有m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．21．（13分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（18分）已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，求证：x1•x2为定值；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中o为坐标原点）的面积分别为s1与s2，且≤15，求s12﹣s22的取值范围．23．（18分）实数列a0，a1，a2，a3，…，由下述等式定义：a n+1=2n﹣3a n，n=0，1，2，3，…（1）若a0为常数，求a1，a2，a3的值；（2）令b n=，求数列{b n}（n∈N）的通项公式（用a0、n来表示）；（3）是否存在实数a0，使得数列{a n}（n∈N）是单调递增数列？若存在，求出a0的值；若不存在，说明理由．上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）．把答案直接填写在答题卷的相应位置上．1．（4分）已知集合A={0，1，a}，B={0，3，3a}，若A∩B={0，3}，则A∪B={0，1，3，9}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A∩B={0，3}，∴a=3，则B={0，3，9}，则A∪B={0，1，3，9}，故答案为：{0，1，3，9}，点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部吧等于0求得a的值．解答：解：∵=，又复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则，即a=．故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则此数列前n项和为S n=16（1﹣）．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比中项的性质和已知等式求得a4，进而求得q，最后利用等比数列求和公式求得答案．解答：解：=a3•a5=a4，∴a4=1，q3==，q=，∴S n==16（1﹣），故答案为：S n=16（1﹣）．点评：本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式．基础性很强．4．（4分）已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=0，故抽象不等式可转化为具体不等式，故可求．解答：解：由题意，不等式等价于∴等价于或∵偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=0，∴或∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．点评：本题考查解不等式，考查单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是解题的关键．5．（4分）如图程序框图，若实数a的值为5，则输出k的值为5．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=1，k=5时，满足条件n=1，退出循环，输出k的值为5．解答：解：执行程序框图，有n=5，k=0不满足条件n为偶数，n=16，k=1不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=8，k=2不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=4，k=3不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=2，k=4不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=1，k=5满足条件n=1，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．（4分）在极坐标系中，圆ρ=2与直线ρcosθ+ρsinθ=2交于A，B两点，O为极点，则•=0．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化极坐标方程为直角坐标方程，联立方程组求得A，B的坐标，由数量积的坐标运算得答案．解答：解：由圆ρ=2，得x2+y2=4，由直线ρcosθ+ρsinθ=2，得x+y=2．联立，得或．∴•=（2，0）•（0，2）=2×0+0×2=0．故答案为：0．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程化直角坐标方程，考查了方程组的解法，训练了平面向量数量积的坐标运算，是基础题．7．（4分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为（2+）π．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：分别计算圆锥和圆柱的体积，即可得出结论．解答：解：由题意，圆锥的高为，体积为=π，圆柱的体积为π•12•2=2π，∴该组合体的体积为（2+）π．故答案为：（2+）π．点评：本题考查圆锥和圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）若二项式（x+）n的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数与第六项的系数之比为1：4，则其常数项为1120．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得n，写出二项展开式的通项，求出第四项的系数与第六项的系数，由系数比求得a值，再由x的指数为0求得r值，则常数项可求．解答：解：由二项式（x+）n的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，可得二项展开式有9项，则n=8．由=，当r=3时，可得第四项的系数为，当r=5时，可得第六项的系数为，由，解得a=±2．由8﹣2r=0，得r=4．∴常数项为：．故答案为：1120．点评：本题考查二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与应用，是基础题．9．（4分）某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提2014-2015学年高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提2014-2015学年高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是9档次．考点：函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：档次提高时，带来每件利润的提高，产量下降，第k档次时，每件利润为[8+2（k﹣1）]，产量为[60﹣3（k﹣1）]，根据：利润=每件利润×产量，列函数式，利用配方法求函数的最值，即可得到结论．解答：解：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y=[8+2（k﹣1）][60﹣3（k﹣1）]=﹣6k2+108k+378（1≤x≤10）配方可得y=﹣6（k﹣9）2+864，∴k=9时，获得利润最大故答案为：9档次点评：本题考查二次函数，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题．10．（4分）从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为．考点：计数原理的应用．专题：概率与统计；排列组合．分析：先根据排列组合求出没有限制条件的种数，再根据分类计数原理，求出甲不在排头、乙不在排尾的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：从甲、乙等五人中任选三人排成一排，故有A53=60，甲不在排头、乙不在排尾，可以分4类，有甲有乙时，若甲在排尾，则有A21A31=6种，若甲在中间，则有A31=3种，故有6+3=9种，有甲无乙时，有A21A32=12种，无甲有乙时，有A21A32=12种，无甲无乙时，有A33=6种，根据分类计数原理，共有9+12+12+6=39，根据概率公式，故则甲不在排头、乙不在排尾的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查了古典概型的概率问题，以及分类计数原理，关键是如何分类，属于中档题．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右最小平移个长度单位．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先根据函数的图象确定A、ω、φ的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果．解答：解：根据函数的图象：A=1T=所以：ω=2当x=由于|φ|＜）解得：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右最小平移个单位即可．故答案为：点评：本题考查的知识要点：函数图象解析式的求法，函数图象的平移变换，属于基础题型．12．（4分）过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为0或±．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据直线的方程可知直线恒过（2，0）点，进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程，求得k的值．解答：解：依题意可知直线l恒过（2，0）点，即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=±x，要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，即垂直于x轴，即有k=0；当直线与渐近线平行，即有=±，即k=±，此时直线与双曲线仅有一个交点．故答案为：0或±．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．13．（4分）某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．则该校学生上学所需时间的均值估计为33.6．（精确到1分钟）考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值解答：解：解：由直方图可得（x+0.025+0.0065+0.003×2）×20=1．所以x=0.0125．该校学生上学所需时间的均值估计为：10×20×0.0125+30×20×0.025+50×20×0.0065+70×20×0.003+90×20×0.003=33.6分钟．故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分故答案：33.6．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力14．（4分）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为，对于A⊊U，B⊊U，给出下列四个结论：①对∀x∈U，有；②对∀x∈U，若A⊊B，则f A（x）≤f B（x）；③对∀x∈U，有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对∀x∈U，有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．其中，正确结论的序号是①、②、③．考点：全称命题．专题：函数的性质及应用．分析：利用特殊值法，先设出特殊的集合U，A，B，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．解答：解：利用特殊值法进行求解．设U={1，2，3}，A={1}，B={1，2}．那么：对于①有f A（1）=1，f A（2）=0，f A（3）=0，f（1）=0，f（2）=1，f（3）=1．可知①正确；对于②有f A（1）=1=f B（1），f A（2）=0＜f B（2）=1，f A（3）=f B（3）=0可知②正确；对于③有f A（1）=1，f A（2）=0，f A（3）=0，f B（1）=1，f B（2）=1，f B（3）=0，f A∩B（1）=1，f A∩B（2）=0，f A∩B（3）=0．可知③正确；对于④有f A（1）=1，f A（2）=0，f A（3）=0，f B（1）=1，f B（2）=1，f B（3）=0，f A∪B（1）=1，f A∪B（2）=1，f A∪B（3）=0可知．④不正确；故答案为：①、②、③．点评：本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上．15．（5分）已知函数f（x）=2x+1，对于任意正数a，|x1﹣x2|＜a是|f（x1）﹣f（x2）|＜a成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题．分析：由|x1﹣x2|＜a不能推出|f（x1）﹣f（x2）|＜a；而由|f（x1）﹣f（x2）|＜a，能推出|x1﹣x2|＜a，由简易逻辑的知识可得正确答案．解答：解：由|x1﹣x2|＜a，得|f（x1）﹣f（x2）|=|（2x1+1）﹣（2x2+1）|=2|x1﹣x2|＜2a，不能推出|f（x1）﹣f（x2）|＜a；而由|f（x1）﹣f（x2）|＜a得，2|x1﹣x2|＜a，即|x1﹣x2|，当然能推出|x1﹣x2|＜a故|x1﹣x2|＜a是|f（x1）﹣f（x2）|＜a成立的必要非充分条件，故选B点评：本题考查充要条件，关键是看|x1﹣x2|＜a能否推出|f（x1）﹣f（x2）|＜a；|f（x1）﹣f（x2）|＜a能否推出|x1﹣x2|＜a，属基础题．16．（5分）函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（）A．B．（﹣2，﹣1）C．D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：要判断函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数f（x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，分析四个区间，易得答案．解答：解：∵f（﹣2）=3﹣2﹣log22＜0f（﹣1）=3﹣1﹣log21=﹣0=＞0∴f（﹣2）•f（﹣1）＜0∴函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）在区间（﹣2，﹣1）必有零点故选B．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，牢固掌握零点存在定理，即函数f （x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，是解答本题的关键．17．（5分）如果函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．[﹣1，1）C．{﹣1，0} D． [﹣1，0）∪（1，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用绝对值的几何意义，由y=|x|﹣1可得，x≥0时，y=x﹣1；x＜0时，y=﹣x﹣1，确定函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线必相交于（±1，0），为了使函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y=x﹣1代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形．解答：解：由y=|x|﹣1可得，x≥0时，y=x﹣1；x＜0时，y=﹣x﹣1，∴函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线必相交于（±1，0）所以为了使函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=x﹣1代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1=0当λ=﹣1时，x=1满足题意，由于△＞0，1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；y=﹣x﹣1代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+λ）x2+2λx+λ﹣1=0当λ=﹣1时，x=﹣1满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）故选B．点评：本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则下列结论正确的是（）A．S2012=2012，a2012＜a7B．S2012=2012，a2012＞a7C．S2012=﹣2012，a2012＜a7D．S2012=﹣2012，a2012＞a7考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先确定等差数列的公差d＜0，再将条件相加，结合等差数列的求和公式及等差数列的性质，即可求得结论．解答：解：由，，可得a7﹣1＞0，﹣1＜a2006﹣1＜0，即a7＞1，0＜a2006＜1，从而可得等差数列的公差d＜0 ∴a2012＜a7，把已知的两式相加可得（a7﹣1）3+2012（a7﹣1）+（a2006﹣1）3+2012（a2006﹣1）=0整理可得（a7+a2006﹣2）•[（a7﹣1）2+（a2006﹣1）2﹣（a7﹣1）（a2006﹣1）+2012]=0结合上面的判断可知（a7﹣1）2+（a2006﹣1）2﹣（a7﹣1）（a2006﹣1）+2012＞0所以a7+a2006=2，而s2012=（a1+a2012）=（a7+a2006）=2012故选A．点评：本题考查了等差数列的性质的运用，灵活利用等差数列的性质是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知向量=（x2﹣3，1），=（x，﹣y），（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有⊥，当|x|≥2时，∥．（1）求函数关系式y=f（x）；（2）若对任意x∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），都有m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；平面向量数量积的运算．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据向量垂直和向量平行的坐标公式即可求函数关系式y=f（x）；（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最大值即可得到结论．解答：解：（1）当|x|＜2时，由⊥可得：•=（x2﹣3）x﹣y=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1’∴y=x3﹣3x（|x|＜2且x≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3’当|x|≥2时，由∥可得：y=﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’∴f（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6’（2）由题意知m≥f（x）=，当x∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）恒成立，∴m≥f（x）max，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）=＞0，而当当x∈[2，+∞）时，f（x）＜0∴f（x）=的最大值必在（﹣∞，﹣2]上取到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8’当x1＜x2≤﹣2时，f（x1）﹣f（x2）=＜0，即函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’∴f（x）max=f（﹣2）=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’∴实数m的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13’点评：本题主要考查函数解析式的求解以及向量平行和垂直的坐标公式，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决恒成立问题的基本策略．21．（13分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E﹣xyz﹣﹣﹣﹣﹣1’则B（，0，0），C（0，2，0），P（0，﹣1，）﹣﹣﹣﹣2’于是=（﹣，﹣1，），=（﹣，2，0），∵•=（﹣，﹣1，）•（﹣，2，0）=2﹣2=0，∴⊥，即BP⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’∴△PBC为直角三角形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6’（2）由（1）可得，A（0，﹣2，0）于是=（0，1，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’=（，1，﹣），=（0，3，﹣），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13’点评：本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．22．（18分）已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，求证：x1•x2为定值；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中o为坐标原点）的面积分别为s1与s2，且≤15，求s12﹣s22的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆性质求出A（﹣1，0），B（1，0）．由题意知双曲线的焦距2c=，实半轴a=1，由此能求出双曲线C的方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，由此能证明为x1•x2为定值．（Ⅲ）由已知条件推导出，，从而得到1＜x1≤2，由此能求出的取值范围为[0，1]．解答：（Ⅰ）解：∵椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B，∴A（﹣1，0），B（1，0）．∵曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2的双曲线，∴双曲线的焦距2c=，实半轴a=1，∴．∴双曲线C的方程为．（Ⅱ）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或，所以．同理将直线方程代入，解得．∴为定值．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，又，∴，即，∵点P在双曲线上，则，∴，即，又点P是双曲线在第一象限内的点，∴1＜x1≤2，∵，所以.由（Ⅱ）知x1•x2=1，即，，设，则1＜t≤4，∴，∵在（1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴当t=4，即x1=2时，．当t=2，即.∴的取值范围为[0，1]．点评：本题考查曲线方程的求法，考查两数乘积为定值的证明，考查两三角形面积的平方差的取值范围的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．23．（18分）实数列a0，a1，a2，a3，…，由下述等式定义：a n+1=2n﹣3a n，n=0，1，2，3，…（1）若a0为常数，求a1，a2，a3的值；（2）令b n=，求数列{b n}（n∈N）的通项公式（用a0、n来表示）；（3）是否存在实数a0，使得数列{a n}（n∈N）是单调递增数列？若存在，求出a0的值；若不存在，说明理由．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=2n﹣3a n，分别令n=0，1，2即可得出；（2）由b n=，a n+1=2n﹣3a n，可得b n+1﹣b n==，利用“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；（3）a n=+，可得a n+1﹣a n=﹣4（﹣3）n+，要使{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0对任意n∈N*恒成立，对a0分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵a n+1=2n﹣3a n，∴a1=1﹣3a0，a2=2﹣3a1=﹣1+9a0，a3=7﹣27a0．（2）由b n=，a n+1=2n﹣3a n，∴b n+1﹣b n==，∴b n+（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=++…+++b1=b1=b1﹣×=b1+，∴b n=﹣+=a0﹣+．（3）a n=（﹣3）n =+，∴a n+1﹣a n=﹣4（﹣3）n +，要使{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0对任意n∈N*恒成立，当a0＞时，∵|﹣3|＞2，∴当n→+∞且n为偶数时，a n+1﹣a n＜0；当a0＞时，∵|﹣3|＞2，∴当n→+∞且n为奇数时，a n+1﹣a n＜0；而当时，则a n+1﹣a n =＞0对任意n∈N*恒成立，∴存在实数a0=，使得数列{a n}是单调递增数列．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的前n项和公式、数列的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．- 21 -。

上海中学高二上学期期中数学试卷2015.11一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角；(1,α=2.设，，，若，则实数的值等于 ；(1,2)a = (1,1)b = c a kb =+ b c ⊥ k 3.直线与直线互相垂直，则实数；(3)20m x my ++-=650mx y -+=m =4.行列式中，第2行第1列元素的余子式的值为，则实数 ；42354112k---10k =5.直线的一个方向向量，则与直线的夹角为l (1,2)d = l 20x y -+=；（结果用反三角函数值表示）6.增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则；3110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭12x y =⎧⎨=⎩m n +=7.过三点、、的圆交轴于两点，则；(1,3)A (4,2)B (1,7)C -y ,M N ||MN =8.规定矩阵，若，则的值为 ；3A A A A =⋅⋅31110101x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 9. 手表的表面在一平面上，整点这个数字等间隔地分布在半径的1,2,...,1212圆周上，从整点到整点的向量记作，则 ；i 1i +1i i t t + 1223233412112...t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅= 10.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足,x y 21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩00(,)P x y ，则实数的取值范围是 ；0022x y -=m 11.平面向量满足，，，，则的最小值为 ,,a b e ||1e = 1a e ⋅= 2b e ⋅= ||2a b -= a b ⋅；12.在如图所示的平面中，点为半圆的直径C AB延长线上的一点，，过动点作半2AB BC ==P圆的切线，若，则的面PQ PC =PAC ∆积的最大值为 ；二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13.关于的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有,x y 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩0D =解的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.如果命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题C (,)0f x y =中正确的是（ ）A.曲线是方程的曲线C (,)0f x y =B.方程的每一组解对应的点都在曲线上(,)0f x y =C C.不满足方程的点不在曲线上(,)0f x y =(,)x y C D.方程是曲线的方程(,)0f x y =C 15.若对任意的实数，都有，则（ ）x cos sin 1a x b x -=A. B. C. D. 22111a b +≥22111a b +≤221a b +≥221a b +≤16.中，，，的外接圆圆心为，对于的值，下列ABC ∆5AB =7AC =ABC ∆O AO BC ⋅ 选项正确的是（ ）A.12B.10C.8D.不是定值三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17.已知点、，且两点到直线的距离都为，求直线的方程；(1,2)A (5,1)B -,A B l 2l18.已知，与的夹角为，求使向量与的夹||a = ||1b = a b 45︒(2)a b λ- (3)a b λ- 角是锐角的实数的取值范围；λ19.已知满足条件：求：（1）的最小值；（2）的取,x y 7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩43x y -15x y x -++值范围；20.在平面直角坐标系中，设点、，称111(,)P x y 222(,)P x y 12121(,)max{||,|d P P x x y =-（其中表示、中的较大数）为、两点的“切比雪夫距离”；2|}y -max{,}a b a b 1P 2P （1）若、为直线上的动点，求两点的“切比雪夫距离”的最(3,1)P Q 21y x =-,P Q 小值；（2）定点，动点满足，请求出点所在的曲线00(,)C x y (,)P x y (,)d C P r =(0)r >P 所围成图形的面积；21.定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比；λ（1）设圆，求过的直线关于圆的距离比线方程220:1C x y +=(2,0)P 0C λ=；（2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的距离比C y (0,3)A y x =C λ=圆的方程；C （3）是否存在点，使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆P P 21:(1)C x ++与的距离比始终相等？若存在，求出相应的点坐21y =222:(3)(3)4C x y -+-=P 标；若不存在，请说明理由；添加升学小助手微信，初高中学习资料领到手软。

2015学年上海市上海中学高三年级期中考试试卷2015/11/6一、填空题（本大题满分56分，总共14题，每小题4分）1、已知()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()10f x =，则x =__________.2、已知函数()131xf x a =++为奇函数，则方程()14f x =的解是_________. 3、已知钝角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点3,5A A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin2α=_________.4、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 满足()()2f x f x +=，当01x <<时，()21f x x =-，则()312f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭_________.5、已知3cos ,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2x =___________. 6、若函数()0y ax a =<与()0b y b x=-<在()0,+∞上都是减函数，则函数2y ax bx =+在()0,+∞上是单调递__________函数.7、在ABC V 中，若tan tan 122A B +=，则tan 2C的最小值为_________. 8、设函数()21xf x x=+，区间[](),M a b a b =<，集合(){},N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(),a b 有___________对.9、若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_________. 10、当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足方程()()322log tan log sin x x =的所有解是__________. 11、设()()()()012015,1n n f x x f x f x n N *-=-=-∈，则函数()2015y f x =的零点个数为___________.12、对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域D 上任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:L y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”，给出定义域为{}0D x x =>的四组函数如下：（1）()()tan ,sin f x x g x x ==；（2）()()22,xf xg x x==；（3）()()221,55x x f x g x x x x -+==-+-.（4）()()24,1x x xf x e eg x x -=+=+，其中曲线()f x 和()g x 存在“隔离直线”的所有序号是___________.13、关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 取值组成的集合是__________. 14、已知正实数,x y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围是__________. 二、选择题（本大题满分20分，总共4题，每小题5分）15、若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）.A (),a b 和(),b c 内 .B (),a -∞和(),a b 内 .C (),b c 和(),c +∞内 .D (),a -∞和(),c +∞内16、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）.A ()cos2sin f x x = .B ()2221f x x x -=- .C ()211f x x +=+ .D ()2cos2f x x x =+17、已知[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，又当x R ∈时，()()2f x f x +=，则方程()()log 01a f x x a ora =>≠恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）.A ()1,3,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .B ()1,5,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U.C ()11,3,542⎛⎫ ⎪⎝⎭U .D []11,3,542⎡⎤⎢⎥⎣⎦U . 18、()f x 是定义在区间[],c c -上的奇函数，其图像如图所示:令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是（ ）.A若0a<，则函数()g x的图像关于原点对称.B若 1.20a b=--<<，则方程()0g x=有大于2的实根.C若0,2a b≠=，则方程()0g x=有两个实根.D若1,2a b≥<，则方程()0g x=有三个实根三、解答题.（总共74分）19、已知150,tan,sin()22213ααβαβ<<<=+=π，求cosα以及sinβ的值。

2015届高三上学期期中数学理科试卷（附答案）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（▲）A．B．C．D．2.设函数是偶函数，且在上单调递增，则（▲）A.B.C.D.3．“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（▲）A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．已知为第二象限角，，则（▲）A．B．C．D．5．若m．n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是(▲)A．若∥，m⊥，则m⊥．若，n与、所成的角相等，则m⊥nC．若m∥，m⊥，则⊥．若m∥n，m⊥，则n⊥6.设实数列分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（▲）A．B．C．D．7．若，则向量与的夹角为（▲）A．B.C.D.8．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（▲）A．B．C．D．9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（▲）A.B.C.D.10.已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是(▲)A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为▲12．设为定义在上的奇函数，当时，则▲．13．设变量满足，若目标函数的最小值为0，则的值等于▲14.已知实数,且,那么的最大值为▲15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为▲16．若数列满足（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积__▲____ 17．对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）18．（本小题满分14分）已知函数．设时取到最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．19．（本小题满分14分）数列的前项和是，且.⑴求数列的通项公式；⑵记，数列的前项和为，若不等式，对任意的正整数恒成立，求的取值范围。

2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1．（4分）若集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x﹣y=1}，用列举法表示：A∩B=．2．（4分）设全集U=R，若集合，则∁U A=．3．（4分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 的非空真子集的个数为．4．（4分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）5．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=．6．（4分）已知集合，则M∩N=．7．（4分）函数y=的定义域是．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，则f （x）的解析式为．9．（4分）已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件．10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．11．（4分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，用数组组成集合A的元素的个数是．二、选择题（本大趣共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）若关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＞7 B．a＞1 C．a≥1 D．1＜a＜714．（4分）判断函数f（x）=的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④16．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1三、解答题（本大题共5题，满分56分10'+10'+10'+12'+14'=56'）17．（10分）已知集合A={x|}，实数a使得集合B={x|（x﹣a）（x﹣5）＞0}满足A⊆B，求a的取值范围．18．（10分）（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．19．（10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．21．（14分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1．（4分）若集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x﹣y=1}，用列举法表示：A∩B={（3，2）} ．【解答】解：解方程组：，可得：∴集合A∩B=．故答案为：{（3，2）}2．（4分）设全集U=R，若集合，则∁U A={x|x≤0或x＞1} ．【解答】解：∵全集U=R．={x|0＜x≤1}，∴∁U A={x|x≤0或x＞1}．故答案为：{x|x≤0或x＞1}．3．（4分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，∴M={5，6，7，8}，∴M的非空真子集的个数为：24﹣2=14．故答案为：14．4．（4分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y ＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假5．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）={7，9} ．【解答】解：∵集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，∴∁U A={2，4，6，7，9}，∁U B={0，1，3，7，9}，则（∁U A）∩（∁U B）={7.9}，故答案为：{7，9}6．（4分）已知集合，则M∩N={z|z≥﹣1} ．【解答】解：集合，可得M={y|y≥﹣2}，N={x|x≥﹣1}，则M∩N={z|z≥﹣1}．故答案为：{z|z≥﹣1}．7．（4分）函数y=的定义域是{x|x＜0，且x≠﹣1} ．【解答】解：若使函数y=的解析式有意义，自变量x须满足解得x＜0且x≠﹣1故函数的定义域为{x|x＜0，且x≠﹣1}故答案为：{x|x＜0，且x≠﹣1}8．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，则f （x）的解析式为f（x）=．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，所以f（0）=0，则x＞0时，﹣x＜0，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）+1]=﹣x2+x﹣1．f（x）=，故答案为：f（x）=．9．（4分）已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件a≥1或a＜﹣．【解答】解：若y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3＞0，则当a2﹣1=0，即a=1或a=﹣1，当a=1时，不等式等价为3＞0，满足条件．当a=﹣1时，不等式等价为﹣2x+3＞0，x＜，不满足条件．当a≠±1时，要使y＞0，则，即，得，，得a＞1或a＜﹣，综上a≥1或a＜﹣，反之也成立，故答案为：a≥1或a＜﹣10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：511．（4分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是2．【解答】解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．12．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，用数组组成集合A的元素的个数是76．【解答】解：根据题意，令A n=，显然0≤A n≤100，若A n=0，即0≤＜1，解可得：n=1、2、3、…9，若A n=1，即1≤＜2，解可得：n=10、11、…14，若A n=2，即2≤＜3，解可得：n=15、16、17，若A n=3，即3≤＜4，解可得：n=18、19，若A n=4，即4≤＜5，解可得：n=20、21、22，若A n=5，即5≤＜6，解可得：n=23、24，若A n=6，即6≤＜7，解可得：n=25、26，若A n=7，即7≤＜8，解可得：n=27、28，若A n=8，即8≤＜9，解可得：n=29，若A n=9，即9≤＜10，解可得：n=30、31，若A n=10，即10≤＜11，解可得：n=32、33，若A n=11，即11≤＜12，解可得：n=34，若A n=12，即12≤＜13，解可得：n=35、36，若A n=13，即13≤＜14，解可得：n=37，若A n=14，即14≤＜15，解可得：n=38，若A n=15，即15≤＜16，解可得：n=39，若A n=16，即16≤＜17，解可得：n=40、41，若A n=17，即17≤＜18，解可得：n=42，若A n=18，即18≤＜19，解可得：n=43，若A n=19，即19≤＜20，解可得：n=44，若A n=20，即20≤＜21，解可得：n=45，若A n=21，即21≤＜22，解可得：n=46若A n=22，即22≤＜23，解可得：n=47，若A n=23，即23≤＜24，解可得：n=48，若A n=24，即24≤＜25，解可得：n=49，当n≥50时，（n+1）2﹣n2=2n+1＞100，即当n≥50时，每一个n对应一个[]的值，故一共有25+51=76个不同的数值，即组成集合A的元素的个数是76；故答案为：76．二、选择题（本大趣共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）若关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＞7 B．a＞1 C．a≥1 D．1＜a＜7【解答】解：由于|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到4和﹣3对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，可得a＞7，故选：A．14．（4分）判断函数f（x）=的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数，∴f（﹣x）+f（x）=+==0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数是奇函数，故选：A．15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；④ab+≥2=2＞2恒成立．故选：D．16．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3．故选：B．三、解答题（本大题共5题，满分56分10'+10'+10'+12'+14'=56'）17．（10分）已知集合A={x|}，实数a使得集合B={x|（x﹣a）（x﹣5）＞0}满足A⊆B，求a的取值范围．【解答】解：A=（3，4）…..（2分）a≥5时，B=（a，+∞）∪（﹣∞，5），满足A⊆B；…..（6分）a＜5时，B=（5，+∞）∪（﹣∞，a），由A⊆B，得a≥4，故4≤a＜5，…..（10分）综上，得实数a的取值范围为a≥4．…..（12分）18．（10分）（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．【解答】（1）证明：左边=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2，右边=a2x2+2abxy+b2y2，左边﹣右边=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，…（2分）∴左边≥右边，命题得证．…（3分）（2）解：∵x2+y2=2，∴由柯西不等式得：（x2+y2）（）≥，…（5分）∴的最小值为．…（7分）19．（10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），（4分）当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）20．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．21．（14分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．【解答】解：（1）∵8=32﹣1，9=52﹣42，∴8∈A，9∈A，假设10=m2﹣n2，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|﹣|n|）=10，且|m|+|n|＞|m|﹣|n|＞0，∵10=1×10=2×5，∴或，显然均无整数解，∴10∉M，∴8∈A，9∈A，10∉A，（2）∵集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1=（k+1）2﹣k2，∴2k+1∈A，∴即一切奇数都属于A，又∵8∈A，∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”，（3）集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}，m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）成立，①当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，（m﹣n）（m+n）为4的倍数，②当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z．。