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4频域分析法详解

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四、线性系统的频域分析法

四、线性系统的频域分析法

其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b

01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90

01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0

幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900

10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T

第4章 频域分析法3

第4章 频域分析法3

2011年11月18日星期五
机电与汽车工程学院
11
四、频域分析法
■ ω = 0时
■ ω = 1/T时 ■ ω = ∞时
张家港校区
A(ω) = A(0) = 1 ϕ (ω) = ϕ (0) = 0° A(ω) = 2ξ ϕ(ω) = 90° A(ω) = ∞ ϕ(ω) = 180°
ω =∞
ω G(jω)
2011年11月18日星期五
机电与汽车工程学院
20
四、频域分析法
张家港校区
一阶不稳定环节和惯性环节： 0
Bode Diagram
ϕ(ω) / (deg) L(ω)/ (dB)
对数幅频 特性相同
-5
-10
-20dB/dec
-15
该结论对-200其它与振荡环节、一阶微分环节、二阶微 分环节幅-45频特性互为对应的不稳定惯环性节环也节成立。
机电与汽车工程学院
19
四、频域分析法
张家港校区
惯性环节：G( jω) = 1 1+ jωT
= 1− jωT 1+ ω2T 2
实、虚频关系：⎡⎢⎣P(ω)
−
1 2
⎤ ⎥⎦
2
+ [Q(ω)]2
=
⎛ ⎝⎜
1 2
⎞2 ⎠⎟
Im
ω =0
ω =∞ ω =∞
-1
0
一阶不稳定环节
惯性环节
ω =0 1 Re
ω
ω
Nyquist Diagram
ω
Nyquist Diagram
0<ξ <1
ϕ(ω) / (deg) L(ω)/ (dB)
0 -40dB/dec
-20

频域分析方法

频域分析方法

解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)

第四章频域分析

第四章频域分析

2 应用
语言信号的分析 对齿轮和轴承等动态分析和故障诊断

4.4 谱分析中的几个重要问题
一、预处理 1 预滤波 当信号需要平滑或抑制不需要的频率分量 时，可采用滤波的方法。 2 零均值变换
x( n ) x( n ) x( n )
^
1 其中： x( n ) N

n 1
x( n )
T / 2| X ( ) |
T /2
2
d
| X ( ) |2 / T
功率谱密度
性质

x(t ) x(t t0 )
对功率谱无影响 功率谱降低
1 K

t kt
三、功率谱的计算
1 分类 (1) 经典法 ( 线性估计法 )— 用传统的傅里叶 变换分析方法求谱。 间接法(相关估计法)—由数据的自相关序 列求功率谱； 直接法(周期图法)—由数据直接用离散傅 里叶变换求功率谱。 （2）现代法（非线性估计法）
s
s
s 2 m s 2 m
s
s
1、提高fs N一定，fs ，频率分辨率下降（fs/N） N增大，fs ，频率分辨率提高 2、低通滤波器
四、谱分析步骤
(1)估计待分析信号中频率范围和频率上 限。 (2)根据分析精度的要求，设定谱分析中 的频率分辨率。 fs 1 1 f T Nt N (3)选定采样间隔，使采样频率 f s 2 f m 。 (4)确定采样点数。

n
y ( n ) x ( n m ) x ( n ) y ( n m) r
n


xy
( m)

线性相关结果长度变成N1+N2-1 实现：平移、相乘、相加

第四章频域分析

第四章频域分析

第4章频域分析前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。

从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。

信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。

而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。

在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。

因此，我们首先介绍信号的频域分析法。

4.1概述一、频域分析法1.定义所谓信号的频域分析．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。

2.频域分析的目的（1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围；（2）分析各信号之间的相互关系；（3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断；二、频谱1.定义所谓频谱，也就是信号的频域描述。

2.分类对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。

（1）周期信号：离散的．．．幅值谱、相位谱或功率谱（2）非周期信号：连续的．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度（3）随机信号：具有统计特征．．．．的功率谱密度3.功率谱（1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布；（2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况；注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。

5.相干分析所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。

三、谱估计1.定义由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。

第四章 频域分析(第一节)

第四章 频域分析(第一节)

频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()

实验四 线性系统的频域分析

实验四线性系统的频域分析
线性系统的频域分析是一种利用线性系统的响应特性来提高系统性能的有效手段，它
在系统设计中起着重要的作用。

其主要思想是将系统的响应特性根据其与频率之间的关系
进行分割，从而更好地理解该响应的物理规律。

本文的目的是介绍线性系统的频域分析方法。

线性系统的频域分析分为时域分析和频域分析两种技术。

时域分析是检测一个系统在
其他变量没有变化时，系统输出信号形状及其随时间变化趋势的一种分析方法。

时域分析中，将系统的输入和输出逐样本放入示波器进行分析及测试。

频域分析是通过将系统的输
入和输出信号进行频谱分析，将它们映射到频率轴上进行分析的一种方法。

在频域分析中，我们可以通过频谱分析仪、傅里叶变换、系统增益、阶跃响应等技术来检测系统响应的特性，得出系统的频率响应函数，从而研究系统是否属于线性系统。

线性系统的频域分析一般步骤如下：
1、定义时域函数并将其傅里叶变换，从而得到其频域函数；
2、计算系统的增益及其全频响应曲线，以便了解频率和增益之间的关系；
3、根据阶跃响应的拟合结果，利用积分和微分的技巧，确定系统的阶跃函数；
4、选择优化算法，进行系统参数优化调整，使系统达到所需要的设计目标。

以上就是线性系统的频域分析方法介绍，从分析输入输出信号，到频域拟合分析，再
到进行参数优化调整，这一系列的步骤可以帮助我们更好的理解系统的物理机理，实现系
统的最佳设计性能。

第4章 频域分析.


第 4章 频域分析
4.1.2 频域分析法的特点
1. 明确的物理意义——信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成 和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基 本滤波性能。 2. 图解与渐近逼近——信号的“离散”或“连续”频谱，非常直观、 明析；系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出，且容易修正、 逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。 3. 近似与间接研究——根据信号频谱的主要能量分布，可以实现 信号的离散取样与复现；根据系统控制的开环Bode图，可研究 系统的闭环性能并绘制 Nichols图、得到系统的闭环特性曲线。 4. 可通过实验观测——信号的频谱可以通过频谱分析仪观察、测 试；系统或环节的频率特性则可以通过扫频仪进行观察和测试。 5. 局限于LTI系统——频域分析法仅限于LTI系统的分析与研究； 对于满足LTI条件的许多系统，都可以应用频域分析法进行限于 零状态响应的研究，但不宜进行零输入响应与完全响应的研究。
第 4章 频域分析
4.2.1 信号的频谱
1. 傅里叶级数 三角函数的正交性使得任意两个不同的三角函数的乘积在 一个周期内的积分为0，即有
0 cos n t cos m t d t T / 2 t0 t 0 T 0 sin n t sin m t d t T / 2 t0
0 0
（4.2-6） （4.2-7） （4.2-9）
第 4章 频域分析
式（4.2-5）可写为
a0 A0 f (t ) An cos (n t n ) An cos (n t n ) 2 n 1 2 n 1
（4.2-
式（4.2-10）表明，任一周期信号
n j nt
Fe

4时域分析法频域分析法


当kt 0.1时, ( s )
kt
10 0.1s 1 显然时间常数T 0.1秒。
解：系统的闭环传递函数
( s)
1 / kt 100/ s 100 0.01s 1 kt 1 s kt
因此调节时间为： t s 3T 0.3秒。
如果要求t s 0.1秒， 0.01 t s 3T 3 0.1 ， kt 故kt 0.3
二.二阶系统的单位阶跃响应
2 特征方程为： s 2 2 n s n 0
特征根为： s1, 2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点） 有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振 荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼 系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 ⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
结构图和闭环极点分布图为：
R(s)
-
j
k/s
C(s) -1/T
0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 1 当r (t ) 1(t )时，R ( s ) , s 1 1 1 T 则C ( s ) ( s ) R ( s ) Ts 1 s s Ts 1
h(t p ) h() % 100% h ( )
超调量表示系统响应过冲的程度，超 调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶 劣的工作条件下，而且使调节时间加长。
五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态 值次数的一半。 tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的 快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平 稳性。即系统的阻尼程度。 其中ts和σ%是最重要的两个动态性能 的指标。

第4-2 频域分析法


(a) 稳定； (b) 稳定； (c) 稳定； (d) 不稳定； (e) 稳定；
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
例4：设0型系统开环传递函数为
K (T4 s 1)(T5 s 1) G( s) (T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
判别闭环系统稳定性(Ti >0)。 解：开环系统在右半s平面无极点，Np=0。
K<1时？
0


§4-4 控制系统稳定性的频域判据
例3:已知系统开环频率特性极坐标图及在右半s平面上的极点数 Np，判断相应闭环系统的稳定性。
N 0 N 1 N 2
v0 Np 0
v0 Np 1
v0 Np 2 v3 Np 0
v2 Np 0
N 2
N 0
• 实变函数的图形表示法 • 复变函数反映了两对变量(u, v)与(, )之间的 对应关系，故无法将其用同一平面或空间的几 何图形来表示 • 定义域复数集合 可用 s 平面(, )上的图形 来表示 • w = F(s)的值域 亦可用 F 平面(u, v)上的图形 来表示 • 几何上，复变函数w = F(s)可看作是把 s 平面 上的点集 变换到 F 平面上的一个点集 的 一个映射
rv
v0

小圆弧的像为半径为无穷大、顺时针旋 转的大圆弧。
§4-4 频域稳定性判据
例1：设系统开环传递函数为
K G( s) Ts 1
判别闭环系统稳定性，并讨论稳定性与增益K的关系。 解： 开环系统在右半s平面有一个极点，Np=1。开环不稳定
K K (1 jT ) G( j ) jT 1 1 (T ) 2
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一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点

由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。

十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点

在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；

可用频率特性分析仪等测试手段来精确测量控制系统的频率特性作为系统设计与综合的依据。
省略对系统的建模与计算工作，这对一些复杂系统或难于列写微分方程的系统有很大现实意义；
对任一环节的频率特性函数 G j 取对数后可得
ln G j ln G j e j ln G j j


对数幅频特性
实部
ln G j 是描述幅频特性的对数与频率ω之间的关系，称为对数幅频特性。
对数相频特性
虚部

是描述频率特性幅角与频率ω之间的关系，称为对数相频特性。
G j 为复变函数，所以可将其表示为
A G j
V U U A cos V A sin
U 2 V 2
arctg
G j A cos j sin A e j

输出信号与输入正弦信号的幅值比A(ω)和相位差φ(ω)随输入频率变化的关系，称
为频率特性。
线性系统特征

在正弦输入信号作用下，系统的输出也一定是正弦信号，在稳态下输出量和输入
量的幅值比和相位差要随输入频率变化。
（证明过程自己看书，其思路是求系统的时间响应。即已知系统的输入信号和传 递函数，求系统输出信号的拉氏变换，再求输出信号的拉氏反变换，即得系统的 时间响应。）
半对数坐标系

指横坐标采用对数分度，纵坐标采用线性分度的坐标系统。
对数频率特性图(博德图)

在半对数坐标系统中绘制的幅值|G(jω)|与频率ω的关系的对数幅频特性图和相角 φ(ω)|与频率ω的关系的对数相频特性图的总称。
博德图由两张图组成：对数幅频特性图和对数相频特性图。

4.1 频率特性的基本概念(5)
本章要求
理解频率特性的基本概念 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法 掌握系统稳定性的频域分析方法 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法 了解频域性能指标与时域性能指标之间的关系
4.1 频率特性的基本概念(1)
频率响应

频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。
频率特性
4.1 频率特性的基本概念(4)
频率特性的图示方法

幅相频率特性图(奈氏图)
对数频率特性图(博德图) 对数幅相频率特性图(尼科尔斯图)
幅相频率特性图(奈氏图)

奈氏图（极坐标图）是反映频率响应的几何表示。
频率响应G(jω)是输入频率ω的复变函数，当ω从0逐渐增长至+∞时，G(jω)作为一个矢量，其 端点在复平面内相对应的轨迹就是频率响应的奈氏图。

频率特性分析法便于对系统分析、综合与校正，以有效改善控制系统品质，达到预期效果，并 且可以扩展到某些非线性系统分析中去。
4 频域分析法
频率特性的基本概念
典型环节的频率特性图 系统开环频率特性图 频域稳定性判据 闭环控制系统的频率特性 系统的瞬态响应指标和频率响应指标间的关系 用系统开环频率特性分析闭环系统性能
G j ，表示稳态输出量与输入量的幅值比，称为幅频特性。
ct A R0 sin t
频率特性函数的求法

根据已知系统的微分方程，把正弦输入信号代入，求其稳态解，取输出稳态分量 和输入正弦函数的复数比即可得出 G
j ；

已知系统的传递函数，将系统传递函数中的s代换为jω，即可得出
G j ；
实验法。在系统的输入端加入已知正弦信号，稳定后系统的输出也是正弦信号， 记录不同的输入、输出的幅值和相位，即可求出
G j 。
4.1 频率特性的基本概念(3)
频率特性函数的表示方式

因为频率特性函数
U — 实频特性 V — 虚频特性
频率特性间的关系
G j U jV

第三章的线性系统的特征。
4.1 频率特性的基本概念(2)
线性系统的有关频响特性
根据线性系统的固有特性，可以得到在输入信号 r
统的输出信号为 式中， A
t R0 sin t的作用下，系
G j ，表示稳态输出量与输入量的相位差，称为相频特性。
G j 称为频率特性函数。