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三年级下册数学排列组合公式(一)三年级下册数学排列组合公式1. 排列公式排列是从若干个元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列的方法。
下面是三年级下册数学中常见的排列公式：无重复元素的排列公式对于无重复元素的排列，我们使用以下公式来计算排列总数：无重复元素的排列公式(其中，P表示排列，n表示元素的个数，n!表示n的阶乘。
例子：假设有5个不同的水果（苹果、香蕉、橙子、草莓、葡萄），从中选出3个水果进行排列。
根据公式，我们有：[计算无重复元素的排列总数](因此，从5个不同的水果中选出3个水果进行排列的方法数为6种。
有重复元素的排列公式对于有重复元素的排列，我们使用以下公式来计算排列总数：有重复元素的排列公式(其中，n表示总元素的个数，n1、n2、…、nk分别表示重复元素1、2、…、k 的个数。
例子：假设有5个水果（苹果、苹果、橙子、草莓、草莓），从中选出3个水果进行排列。
根据公式，我们有：[计算有重复元素的排列总数](因此，从5个水果中选出3个水果进行排列的方法数为15种。
2. 组合公式组合是从若干个元素中选取一部分元素的方法，和排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
下面是三年级下册数学中常见的组合公式：无重复元素的组合公式对于无重复元素的组合，我们使用以下公式来计算组合总数：无重复元素的组合公式(其中，C表示组合，n表示元素的个数，k表示选取的元素个数。
例子：假设有5个不同的颜色（红、黄、蓝、绿、紫），从中选出2个颜色进行组合。
根据公式，我们有：[计算无重复元素的组合总数](因此，从5个不同的颜色中选出2个颜色进行组合的方法数为10种。
有重复元素的组合公式对于有重复元素的组合，我们使用以下公式来计算组合总数：有重复元素的组合公式(其中，n表示不同元素的个数，k表示选取的元素个数。
例子：假设有3种不同的水果（苹果、橙子、草莓），从中选取2个水果进行组合。
根据公式，我们有：[计算有重复元素的组合总数](因此，从3种不同的水果中选出2个水果进行组合的方法数为8种。
排列组合公式a和c计算方法(一)排列组合公式a和c计算方法什么是排列组合排列和组合是高中数学中比较常见的概念。
排列指的是从给定的集合中取出若干个元素进行排列，而组合指的是从给定的集合中取出若干个元素不考虑顺序的组合。
在实际生活中，很多场景都与排列组合有关，比如抽奖、选举等等。
排列公式a的计算方法排列公式a表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数，它的计算公式如下：A m n=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)其中，A m n表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数。
例如，从1、2、3、4这四个元素中取出3个元素进行排列，那么有：A34=4×3×2=24组合公式c的计算方法组合公式c表示从n个元素中取出m个元素不考虑顺序的组合方案数，它的计算公式如下：C m n=n!m!(n−m)!其中，C m n表示从n个元素中取出m个元素不考虑顺序的组合方案数。
例如，从1、2、3、4这四个元素中取出3个元素不考虑顺序的组合，那么有：C34=4!3!1!=246=4注意事项在使用排列组合公式a和c进行计算时，需要注意以下几点：•n和m必须是非负整数且n≥m；•排列和组合的方案数都是整数；•排列和组合的区别在于是否考虑元素的顺序。
结论排列和组合是高中数学中的重要内容，其公式和计算方法是我们必须掌握的基础知识。
在实际生活中，排列组合有着广泛的应用，我们可以根据具体情况选择使用不同的公式进行计算，以便更方便地解决一些实际问题。
举例说明下面通过两个例子来说明排列和组合的应用：例1：抽奖小明参加了一次抽奖活动，活动方共有10个奖品，他想要抽到前三名。
问他抽奖成功的方案数是多少？解析：这是一个排列问题，因为小明抽到的前三名需要考虑顺序。
根据排列公式a计算可得：A310=10×9×8=720小明有720种不同的抽奖成功方案。
例2：选班干部班级选举了一名班长和两名副班长，班里有20名同学。
排列组合展开公式(一)排列组合展开公式1. 排列公式排列是指从一组对象中选择出一部分，按照一定的顺序进行排列的方式。
排列公式可以用来计算从 n 个不同的对象中选取 k 个进行排列的总数。
公式排列公式的数学表示如下：P(n, k) = n! / (n - k)!其中，n 表示总的对象数量，k 表示要选取进行排列的数量，“!” 表示阶乘运算。
例子假设有 5 个不同的球，从中选取 3 个进行排列，可以有多少种排列方法？解法：P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60因此，从 5 个不同的球中选取 3 个进行排列的方法有 60 种。
2. 组合公式组合是指从一组对象中选择出一部分，不考虑顺序进行组合的方式。
组合公式可以用来计算从 n 个不同的对象中选取 k 个进行组合的总数。
公式组合公式的数学表示如下：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)其中，n 表示总的对象数量，k 表示要选取进行组合的数量，“!” 表示阶乘运算。
例子假设有 5 个不同的球，从中选取 3 个进行组合，可以有多少种组合方法？解法：C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) =(5 * 4 * 3) / (3 * 2) = 10因此，从 5 个不同的球中选取 3 个进行组合的方法有 10 种。
3. 公式的应用场景排列组合公式常用于解决各种组合问题，例如：•在一个班级中选出某几位同学参加活动的可能性；•从一组数中选取几个数进行排列或组合的计算。
通过掌握排列组合展开公式，可以更好地解决这些问题，提高计算效率。
总结排列组合展开公式是数学计算中常用的工具，用于计算从一组对象中选取一部分进行排列或组合的总数。
排列公式用于计算有序的排列方式，而组合公式用于计算无序的组合方式。
掌握这些公式的应用方法可以帮助解决各种排列组合问题。
幻灯片1第2课时排列与排列数公式幻灯片2幻灯片3排列数及排列数公式不同排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____ ____的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法排列mnA_________幻灯片4排列数公式乘积式=_____________________阶乘式性质=___,0!=__备注n,m∈N*,m≤nn(n-1)(n-2)…(n-m+1)m n A()n!n m !-m n A _________=n! 1n n A幻灯片5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于式子 中的x 可以取小于或等于3的任意整数.( ) (2)排列数 是有n 个因式的乘积.( )(3)0！规定等于1，但它不能按阶乘的含义来解释.( ) (4) (n ∈N*且n<55)( )x 3Am n A()()()1469n 55n 56n 69n A ---⋯-=幻灯片6提示：(1)错误.x ≤3且x ∈N*.(2)错误.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘. (3)正确.0!=1只是一种规定.(4)错误.(55-n)(56-n)…(69-n)共有15个因式相乘，故原式 等于 (n ∈N*且n ≤54).答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×1569n A-幻灯片7【知识点拨】1.排列与排列数的区别“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数”，它是一个数. 幻灯片8比如从3个元素a,b,c 中取出2个元素，按照一定的顺序排成一 列，有如下几种:ab,ac,ba,bc,ca,cb ，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数，在 此例中m n A23A 6.=幻灯片92．准确理解排列数公式(1)公式中的n ，m 应该满足n,m ∈N*，m ≤n ，当m>n 时不成立．(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n-m ＋1(下标-上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． 幻灯片10(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n 的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n-m)的阶乘．(4)特别地，规定0!＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释． 幻灯片11类型一 排列数的计算问题 【典型例题】1.(2013·洛阳高二检测)乘积m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+20)可 表示为( )2.计算：2212021m m m 20m 20A.A B.A C.A D.A ++()()5439915651010A A 1A .2.A A +-幻灯片12 【解题探究】1.排列数 是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？2.题2(2)中 能否均用 表示？ 探究提示：1.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘，其中最小数为n-m+1，最大 数为n.2.能.m n A56591010A A A ，，49A54645499109109A 5A ,A 50A ,A 10A .===幻灯片13【解析】1.选D.因为m,m+1,m+2，…，m+20中最大的数为 m+20，且共有m+20-m+1=21个因式. 所以m(m+1)·(m+2) …(m+20)=21m 20A .+幻灯片14 2.(1)(2)方法一：315A 151413 2 730.=⨯⨯=5499651010A A A A +=-9876598761098765109876⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯()()9876513.1098765120⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯⨯-幻灯片15 方法二：方法三：5444499999654441010999A A 5A A 6A 3.A A 50A 10A 40A 20++===--54996510109!9!A A 4!5! 10!10!A A 4!5!++=--59!9!69!3.510!10!410!20⨯+⨯===⨯-⨯幻灯片16【互动探究】在题1中，若将乘积改为m(m-1)(m-2)(m-3) …(m-20)(m>20)，则结果如何？【解析】因为m(m-1)(m-2)…(m-20)中最大数为m ，且共有 m-(m-20)+1=21(个)因式，所以m(m-1)(m-2)…(m-20)=21m A .幻灯片17【拓展提升】排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. 幻灯片18(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. (3)当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性质将其他排列数用最小的排列数表示，再计算. 幻灯片19类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题 【典型例题】1.(1)已知 则n=______. (2)不等式 的解集为______.2.求证:332n n A 10A =，x x 288A 6A -<m m m 1n 1n n A A mA .-+-=幻灯片20 【解题探究】1.如何利用排列数公式将题1(1)(2)中的方程、不等式转化为 n 或x 的代数方程、不等式求解？2.如何选择排列数公式由题2中待证式左端过渡到右端？ 探究提示：1.利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化.2.对 分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端.m m n 1n A A+，幻灯片21【解析】1.(1)因为 所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n- 1)(n-2)，即n2-9n+8=0,解得n=1或n=8,因为n ≥3，所以n=8. 答案：8332nn A 10A =，幻灯片22(2)由 得3≤x ≤8，x ∈N*. 由 得化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12, 又因为3≤x ≤8，所以x=8. 答案：{8}8x,x 21,≥⎧⎨-≥⎩()()88!68x !10x !<⨯--！，x x 288A 6A,-<幻灯片232.因为()()()m m n 1nn 1!n!AA n 1m !n m !++-=-+--()n!n 1(1)n m !n 1m +=⋅--+-()n!m n m !n 1m =⋅-+-()m 1m m m 1n n 1n n n!m mA ,A A mA .n 1m !--+=⋅=-=+-所以幻灯片24 【拓展提升】1.排列数公式阶乘式的应用公式 适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数 (当m 与n 较接近时)的方程与不等式. 【提醒】在解有关排列数的方程式或不等式时，应注意排列 数中未知数满足的隐含条件“n,m ∈N*且m ≤n ”.()m nn!A n m !=-m n A幻灯片252.排列数的化简与证明技巧应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明， 化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的 内在联系.解题时要灵活地运用如下变式： ①n!=n(n-1)!；② ③n ·n!=(n+1)!-n!； ④m m 1nn 1A nA --=；()n 111.n!n 1!n!-=--幻灯片26【变式训练】1.解方程：【解题指南】首先明确x ≥3且x ∈N*，由排列数公式列出方 程，解方程即可.432x 1x A140A .+=幻灯片27【解析】由已知得 所以x ≥3,x ∈N*.又由 得(2x+1)·2x ·(2x-1)(2x-2) =140x(x-1)(x-2)，化简得，4x2-35x+69=0， 解得 (舍)， 所以方程的解为x=3.2x 14,x 3,+≥⎧⎨≥⎩432x 1x A 140A +=，1223x 3x 4==，幻灯片28 2.求证： 【证明】n m n mn n n m A A A .--=⋅()()m n m nnn mn n!A An m !n!A .n m !--⋅=-==-幻灯片29类型三 利用排列与排列数解简单计数应用题 【典型例题】1.从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共 有______个.2.(2013·兰州高二检测)一条铁路原有n 个车站，为了适应客 运需要，新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，问 原有多少个车站？现有多少个车站？ 幻灯片30 【解题探究】1.每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是 怎样的一个排列数？2.每一种车票对应怎样的一个排列？ 探究提示：1.每一个三位数对应从8个不同元素任取3个元素的一个排 列，故所求三位数的个数为2.每一种车票对应从n 个或(n+m)个不同元素，任取2个元素 的一个排列.38A .幻灯片31【解析】1.按顺序，有百位、十位、个位3个位置，8个数字 中取出3个依次排列，有 个. 答案：33638A 336=幻灯片322.因为原有车站n 个，所以原有客运车票有 种，又现有 (n+m)个车站，现有客运车票 种.所以 所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62, 所以 所以 即62>m2-m.所以m2-m-62<0.又m>1，从而得出 所以1<m ≤8. 即m=2时， 当m=3，4，5，6，7，8时，n 均不 为整数，故只有n=15,m=2符合题意，即原有15个车站，现有17个车站.2n A2m n A +22n m n A A 62,+-=()311m 1m 2>-，()311n m 10.m 2=-->12491m ,2+<<3121n 1522-=-=，幻灯片33【拓展提升】1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想幻灯片342.解简单的排列应用题的思路(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.(2)如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任取m(m ≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件. (3)运用排列数公式求解. 幻灯片35【变式训练】有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4) 班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？【解析】从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研 究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排 列.因此不同的安排方法有 (种).35A 54360=⨯⨯=幻灯片36【易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误 【典例】已知 则n 为( )A.7，8，9，10，11，12B.8，9C.7，8D.7n n 1893A 4A -＜，幻灯片37【解析】选C.由排列数公式得， 所以 即 所以nn 1893A 4A -＜，()()38!49!,8n !10n !⨯⨯<--()()()()38!498!8n !10n 9n 8n !⨯⨯⨯<----()()49310n 9n ⨯<--，幻灯片38化简为n2-19n ＋78<0，所以6<n<13, 因为n ∈N*，所以n ＝7,8,9,10,11,12. 由排列数的意义，可知n ≤8且n-1≤9①， 即n ≤8，所以6<n ≤8.又n ∈N*，所以n ＝7或n ＝8. 幻灯片39 【误区警示】幻灯片40 【防范措施】 1.隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件.如本例中 中，n,m ∈N*且m ≤n. 2.公式的灵活选用排列数公式有乘积式和阶乘式两种形式，在求解与证明中要 灵活选用以减少运算量和失误.如本例中选用阶乘式则较简单.m n A幻灯片41【类题试解】不等式 的解集为______. 【解析】由题意可得 所以解得n=3或n=4，所以原不等式的解集是{3,4}. 答案：{3，4}2n 1An 7--<()()n 12,n N*,n 1n 2n 7,⎧-≥⎪∈⎨⎪---<⎩2n 3,n 3,n N*,n N*,1n 5n 4n 50⎧≥≥⎧⎪⎪∈∈⎨⎨⎪⎪-<<--<⎩⎩即，，幻灯片421.乘积5×6×7×…×20等于( )【解析】选B.根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为1716151420202020A.A B.A C.A D.A 1620A .幻灯片432.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有多 少种给法( )A.5种B.10种C.20 种D.60 种【解析】选C.由排列数定义知，共有 (种). 25A 5420=⨯= 幻灯片443.若 则x=( )【解析】选B.因为所以 n!x ,3!=3n 3n 3n n 3n 3A.A B.A C.A D.A -- ()n 3n A n(n 1)n n 31-=-⋯--+［］ ()n!n n 1(n 2)4,3!=--⋯⨯=n3n x A .-= 幻灯片454.满足 的n 的解集为______.【解析】由 得 且n ∈N*，所以n 的解集为{n|n>4且n ∈N*}.答案：{n|n>4且n ∈N*}1n 2A 2->n 21n 4n 22-≥⎧⇒>⎨->⎩，，1n 2A2->幻灯片465.方程 的解x=______.【解析】=(x-3)(x-4)+(x-3)=x2-6x+9=4，所以x2-6x+5=0，解得x=5或x=1(舍).答案：554x x 3x A A 4A+=54x x 3x A A A +=()()()()()()()()x x 1x 2x 3x 4x x 1x 2x 3x x 1(x 2)----+-----幻灯片476.求证：【证明】左边故原式成立.m 1n m n 1n m n 1n 1A A 1.A ------⋅=m 1n m n 1n m n 1n 1A A A ------⋅=()()()()n 1!1n m !n 1(m 1)!n 1!-=-----［］()()()()n 1!1n m !1.n m !n 1!-=-==--右边幻灯片48幻灯片49。
