高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc

高中数学排列组合公式排列组合是组合学最基本的概念。

所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合与古典概率论关系密切。

高中数学排列组合公式1排列组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。

2排列组合公式A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!C-Combination 组合数A-Arrangement 排列数n-元素的总个数m-参与选择的元素个数!-阶乘3排列组合基本计数原理加法原理与分布计数法1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

乘法原理与分布计数法1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

高中数学排列组合相关公式第一篇：排列组合基本概念和公式排列和组合是数学中的重要概念，属于初中和高中数学中的基础知识。

这两个概念通常用于处理有关选择或安排事物的问题。

排列：从n个不同的元素中任选r个元素排成一列，称为从n个不同元素中选r个元素的排列。

排列的基本公式如下：An^r = n(n-1)(n-2) …… (n-r+1)其中An^r表示从n个不同的元素中任选r个元素排成一列的方案数。

例如，从5个不同的元素中任选3个元素排成一列，即为5选3的排列。

根据排列的基本公式，5选3的排列数为An^r=5×4×3=60。

组合：从n个不同的元素中任选r个元素，不考虑元素之间的顺序，称为从n个不同元素中选r个元素的组合。

组合的基本公式如下：Cn^r = n!/r!(n-r)!其中Cn^r表示从n个不同的元素中任选r个元素的组合方案数。

n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×……×2×1。

例如，从5个不同的元素中任选3个元素的组合数，即为5选3的组合。

根据组合的基本公式，5选3的组合数为C5^3=5!/(3!2!)=10。

排列和组合的关系：排列和组合有很多类似的性质，但是也有不同点。

其中最重要的一点是：一个排列中，每个元素的位置不同，导致不同的排列。

而在一个组合中，元素之间是不考虑顺序的，所以如果元素相同，不同的顺序算作同一种组合。

第二篇：排列组合的应用排列组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子。

1. 生日问题如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？将每一个人的生日当做一个元素，一共有365个不同的生日（不考虑闰年的情况）。

这时我们要求的其实是在这23个人中选取2个或2个以上有相同生日的概率，也就是不出现任何两个人生日相同的概率。

按照组合的计算方法，我们可以得到不出现任何两个人生日相同的概率为：P = C365^23/365^23 ≈ 0.493所以至少有两个人生日相同的概率为：1-P ≈ 0.5072. 球队比赛现在有5个球队进行比赛，每个球队需要和其他球队各打一场比赛，问总共需要打几场？我们可以将这个问题看作是5个不同的元素进行排列组合。

排列组合排列定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r个的无重排列。

排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。

组合定义：从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

组合的个数用C(n,r)表示。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在1第2类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同2种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做1第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略具体情况分析一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.443解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中排列组合知识点在高中数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解决问题的能力起着关键作用。

首先，我们来了解一下什么是排列。

排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。

比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么不同的排列方式就有很多种。

排列的计算公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。

这里的“n”表示总数，“m”表示选取的个数。

“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

举个例子，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，即 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 种不同的排列方式。

接下来是组合。

组合则是从给定的元素集合中，选取若干个元素组成一组，不考虑元素的顺序。

比如从 5 个不同的水果中选取 3 个，不管选取的顺序如何，只要是这 3 个水果就算一种组合。

组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。

还是以从 5 个不同的元素中选取 3 个为例，组合的方式为 C(5, 3) ＝5! ／ 3! ×（5 3)！＝ 10 种。

在实际解题中，我们需要根据具体的问题来判断是使用排列还是组合。

如果问题中强调了顺序的重要性，那么通常使用排列；如果顺序不重要，只关注选取的元素组合，那就使用组合。

比如，安排 5 个人坐在 3 个不同的座位上，因为座位的顺序是有影响的，所以要用排列，即 A(5, 3) 。

而如果是从 5 种不同的水果中选取3 种作为礼物，不考虑选取的顺序，这时候就用组合 C(5, 3) 。

在解决排列组合问题时，还有一些常见的方法和技巧。

插空法：当要求某些元素不能相邻时，可以先将其他元素排列好，然后将不相邻的元素插入到这些元素之间的空隙中。

高中数学排列组合一、基本概念排列组合是数学中比较重要的一个分支，它是研究对象按照一定的规则，从有限个数中选出若干个数进行排列和组合的方法和样式。

1、排列排列是由一些元素按照一定顺序排列而成的整体。

排列是从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排列的方法数，用符号$A^m_n$表示。

例如：n个不同的元素依次排成m列，第一列有n种取法，第二列有(n-1)种取法，第三列有(n-2)种取法，依此类推，第m列有(n-m+1)种取法，则这n个元素排成m列有式子：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$2、组合组合是由一些元素按照任意排列组成的新整体。

组合是从n个不同元素中取出m个元素的不同组合数，用符号$C^m_n$表示。

例如：从4个球员中选出3人组成篮球队，有如下四种选法：$$ ABC,ABD,ACD,BCD $$将三个球员组成的篮球队作为一个整体，不考虑其顺序，则这4种选法仅算一种，所以这四种球员的组合方式有：$$ C_4^3=4 $$二、排列按顺序选择元素的方式叫做排列。

排列的计算方法是：从n个元素中取m个元素进行排列的方法有：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$特别地，当m=n时，有：$$ A_n^n=n! $$其中，n!表示n的阶乘，$n!=n(n-1)(n-2)...1$。

例1：从一组大小为6的数字中，任取4个数进行排列，求排列个数。

设全集为{1,2,3,4,5,6}，任取其中4个元素进行排列。

$$ A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=360 $$例2：一共有5位弟子，要从其中选出3位去参加武术比赛，求有多少种不同的组合方式。

设全集为{A,B,C,D,E}，要从其中任选3个弟子参加武术比赛。

$$ C_5^3=10 $$三、组合组合是指从一组元素中任选m个元素，并将其看作一个整体。

组合的计算方法是：从n个元素中取m个元素进行组合的方法有：$$ C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!} $$特别地，当m=n时，有：$$ C_n^n=\frac{n!}{n!}=1 $$如果m>n，则组合数为0。

高二数学排列组合知识点归纳为大家整理的2014高二数学排列组合知识点归纳文章,供大家学习参考！更多最新信息请点击高二考试网排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.”排列”把5本书分给3个人，有几种分法”组合”1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

高中数学公式大全排列组合与概率计算公式高中数学公式大全：排列组合与概率计算公式一、排列组合1. 排列公式排列是指从一个有限元素集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法。

当从n个不同元素中选取r个元素进行排列时，排列数可以用以下公式表示：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的总数，n!表示n的阶乘。

2. 组合公式组合是指从一个有限元素集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合的方法。

当从n个不同元素中选取r个元素进行组合时，组合数可以用以下公式表示：C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的总数。

二、概率计算1. 概率公式概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

一般用P(A)表示事件A的概率。

当事件 A、B 互斥且独立时，可以使用以下概率公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B)表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。

2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

可以使用以下条件概率公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B)表示事件 B 发生的概率。

3. 乘法定理乘法定理是指在一系列独立事件中，它们同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。

可以使用以下乘法定理计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。

4. 加法定理加法定理是指当两个事件互斥时，它们其中一个事件发生的概率等于两个事件发生概率的和。

排列组合公式/排列组合计算公式公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。

公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。

N-元素得总个数R参与选择得元素个数！-阶乘 ,如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r举例:Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？A1: 123与213就是两个不同得排列数。

即对排列顺序有要求得,既属于“排列P”计算范畴。

上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类得组合, 我们可以这么瞧,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个得乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序得,属于“组合C”计算范畴。

上问题中,将所有得包括排列数得个数去除掉属于重复得个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合得概念与公式典型例题分析例1设有3名学生与4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中得任何一个,而不限制每个课外小组得人数,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四得不同排法共有多少种？解依题意,符合要求得排法可分为第一个排、、中得某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”得方式逐一排出:∴ 符合题意得不同排法共有9种.点评按照分“类”得思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法得规律,“树图”就是一种具有直观形象得有效做法,也就是解决计数问题得一种数学模型.例３判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同得选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同得选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们得商可以有多少种不同得商？②从中任取两个求它得积,可以得到多少个不同得积？(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同得选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同得选法？分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙得信与乙给甲得信就是不同得两封信,所以与顺序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无关,所以就是组合问题.其她类似分析.(1)①就是排列问题,共用了封信;②就是组合问题,共需握手(次).(2)①就是排列问题,共有(种)不同得选法;②就是组合问题,共有种不同得选法.(3)①就是排列问题,共有种不同得商;②就是组合问题,共有种不同得积.(4)①就是排列问题,共有种不同得选法;②就是组合问题,共有种不同得选法.例４证明.证明左式右式.∴ 等式成立.点评这就是一个排列数等式得证明问题,选用阶乘之商得形式,并利用阶乘得性质,可使变形过程得以简化.例5 化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式得阶乘形式,并利用阶乘得性质;解法二选用了组合数得两个性质,都使变形过程得以简化.例6 解方程:(1);(2).解 (1)原方程解得.(2)原方程可变为∵ ,,∴ 原方程可化为.即 ,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单得问题、2、理解排列、组合得意义,掌握排列数、组合数得计算公式与组合数得性质,并能用它们解决一些简单得问题、3、掌握二项式定理与二项式系数得性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理就是学习排列组合得基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据、例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同得报名方法共有多少种?解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同得报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列得应用题,在中学代数中较为独特,它研究得对象以及研究问题得方法都与前面掌握得知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列得应用题,都就是选择题或填空题考查、例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字得五位数,其中小于50 000得偶数共有( )A、60个B、48个C、36个D、24个解因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4得排法有P12;小于50 000得五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下得一个得排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数得排法有P33,得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C、例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4得四个方格里,每格填一个数字,则每个方格得标号与所填得数字均不同得填法有多少种?解: 将数字1填入第2方格,则每个方格得标号与所填得数字均不相同得填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P13=9(种)、例四例五可能有问题,等思考三)组合、组合数公式、组合数得两个性质说明历届高考均有这方面得题目出现,主要考查排列组合得应用题,且基本上都就是由选择题或填空题考查。

高一排列组合知识点总结排列组合是数学中的一个重要概念，也是高中数学的一项重要内容。

在高一学年的数学教学中，排列组合是一个必须掌握的知识点。

下面将对高一排列组合的相关知识点进行总结。

一、排列的概念及性质1. 排列的定义：从n个不同元素中取出m（1≤m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，称为从n个元素中取出m个元素的排列。

2. 排列的计算公式：当元素可以重复取出时，排列数为 n^m；当元素不重复取出时，排列数为 A(n,m)=n!/(n-m)!。

二、组合的概念及性质1. 组合的定义：从n个不同元素中取出m(1≤m≤n)个元素，不考虑元素的顺序，称为从n个元素中取出m个元素的组合。

2. 组合的计算公式： C(n,m)=n!/((n-m)!m!)。

三、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：通过排列组合的算法，可以计算出事件发生的可能性，从而进行概率计算。

2. 排列组合在选择问题中的应用：从一组元素中选取若干个元素，根据排列组合的原理，可以计算出选择的可能性。

3. 排列组合在密码学中的应用：通过排列组合的算法，可以生成不同排列组合的密码，提高密码的安全性。

四、排列组合的解题技巧1. 排列组合的分析：首先明确题目中的条件，确定问题所涉及的元素数量和选取的数量。

2. 使用排列组合公式：根据题目的条件和问题的要求，使用相应的排列组合公式进行计算。

3. 注意特殊情况：在解决排列组合问题时，要特别关注元素是否可以重复取出、是否考虑元素的顺序等特殊情况。

4. 灵活运用公式：对于一些复杂的问题，可通过将问题进行转化，利用排列组合的公式来求解。

五、典型例题分析1. 从10个人中选出3个人组成委员会，求不同的组合数。

解答：根据组合的计算公式C(n,m)，将n=10，m=3带入公式，得到结果C(10,3)=10!/((10-3)!3!)=120。

2. 一个三位数，各位上的数字都不相同，共有多少种排列方式？解答：根据排列的计算公式A(n,m)，将n=9（0不能作首位）,m=3带入公式，得到结果A(9,3)=9!/(9-3)!=504。

排列组合常用公式排列和组合是数学中常用的两个概念，用于计算对象的不同排序和选择方式。

在组合数学和概率论中，排列和组合公式是非常重要的工具。

本文将介绍常用的排列和组合公式，帮助我们更好地理解和应用这些概念。

排列公式排列是指从给定元素中选择一组有序的元素的方式。

在排列中，元素的顺序是重要的。

以下是常用的排列公式：1.全排列公式：当从n个不同元素中选择r个进行排列时，全排列的总数可以表示为P(n, r)。

全排列的计算方式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。

2.循环排列公式：当从n个不同元素中选择r个进行循环排列时，循环排列的总数可以表示为P(n, r) / r。

循环排列的计算方式与全排列类似，只是需要除以r，因为循环排列相同的元素被认为是相同的。

循环排列数 = P(n, r) / r组合公式组合是指从给定元素中选择一组无序的元素的方式。

在组合中，元素的顺序是不重要的。

以下是常用的组合公式：1.组合公式：当从n个不同元素中选择r个进行组合时，组合的总数可以表示为C(n, r)。

组合的计算方式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，n! 表示n的阶乘，r! 表示r的阶乘，(n-r)! 表示(n-r)的阶乘。

2.二项式定理：二项式定理是组合公式的一个重要推论。

当计算表达式(x + y)^n 的展开式时，其中x和y为变量，n为非负整数，展开式中每一项的系数可以表示为C(n, k)。

展开式的计算方式为：(x + y)^n = C(n, 0) * x^n * y^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n, n) * x^0 * y^n其中，C(n, k) 表示从n个元素中选择k个进行组合的总数。

示例下面通过几个示例展示如何应用排列和组合公式：1.例1：有8个人排成一队，请问一共有多少种不同的队形可以排列？解：我们可以将问题转化为计算全排列的问题。

排列组合公式排列组合计算公式⾼中数学排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进⾏排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进⾏排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何⼀个号码只能⽤⼀次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，⼗位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个⼀组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同⼀个组合，只要有三个号码球在⼀起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学⽣和4个课外⼩组．（1）每名学⽣都只参加⼀个课外⼩组；（2）每名学⽣都只参加⼀个课外⼩组，⽽且每个⼩组⾄多有⼀名学⽣参加．各有多少种不同⽅法？解（1）由于每名学⽣都可以参加4个课外⼩组中的任何⼀个，⽽不限制每个课外⼩组的⼈数，因此共有种不同⽅法．（2）由于每名学⽣都只参加⼀个课外⼩组，⽽且每个⼩组⾄多有⼀名学⽣参加，因此共有种不同⽅法．点评由于要让3名学⽣逐个选择课外⼩组，故两问都⽤乘法原理进⾏计算．例2 排成⼀⾏，其中不排第⼀，不排第⼆，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第⼀个排、、中的某⼀个，共3类，每⼀类中不同排法可采⽤画“树图”的⽅式逐⼀排出：∴符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应⽤了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是⼀种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的⼀种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）⾼三年级学⽣会有11⼈：①每两⼈互通⼀封信，共通了多少封信？②每两⼈互握了⼀次⼿，共握了多少次⼿？（2）⾼⼆年级数学课外⼩组共10⼈：①从中选⼀名正组长和⼀名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19⼋个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求法？分析（1）①由于每⼈互通⼀封信，甲给⼄的信与⼄给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两⼈互握⼀次⼿，甲与⼄握⼿，⼄与甲握⼿是同⼀次握⼿，与顺序⽆关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共⽤了封信；②是组合问题，共需握⼿（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴等式成⽴．点评这是⼀个排列数等式的证明问题，选⽤阶乘之商的形式，并利⽤阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法⼀原式解法⼆原式点评解法⼀选⽤了组合数公式的阶乘形式，并利⽤阶乘的性质；解法⼆选⽤了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解⽅程：（1）；（2）．解（1）原⽅程解得．（2）原⽅程可变为∵，，∴原⽅程可化为．即，解得第六章排列组合、⼆项式定理⼀、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能⽤这两个原理分析解决⼀些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能⽤它们解决⼀些简单的问题.3.掌握⼆项式定理和⼆项式系数的性质，并能⽤它们计算和论证⼀些简单问题.⼆、知识结构三、知识点、能⼒点提⽰(⼀)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位⾼中毕业⽣，准备报考3所⾼等院校，每⼈报且只报⼀所，不同的报名⽅法共有多少种?解：5个学⽣中每⼈都可以在3所⾼等院校中任选⼀所报名，因⽽每个学⽣都有3种不同的报名⽅法，根据乘法原理，得到不同报名⽅法总共有(⼆)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应⽤题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的⽅法都和前⾯掌握的知识不同，内容抽象，解题⽅法⽐较灵活，历届⾼考主要考查排列的应⽤题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中⼩于50 000的偶数共有( )个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；⼩于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的⼀个的排法有P13;在⾸末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填⼊标号为1、2、3、4的四个⽅格⾥，每格填⼀个数字，则每个⽅格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填⼊第2⽅格，则每个⽅格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填⼊第3⽅格，也对应着3种填法；将数字1填⼊第4⽅格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届⾼考均有这⽅⾯的题⽬出现，主要考查排列组合的应⽤题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台⼄型电视机中任意取出3台，其中⾄少有甲型与⼄型电视机各1台，则不同的取法共有( ) 种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台⼄型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台⼄型1台的取法有C 24·C 15种根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、⼄、丙、丁四个公司承包8项⼯程，甲公司承包3项，⼄公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包⽅式? 解：甲公司从8项⼯程中选出3项⼯程的⽅式 C 38种；⼄公司从甲公司挑选后余下的5项⼯程中选出1项⼯程的⽅式有C 15种；丙公司从甲⼄两公司挑选后余下的4项⼯程中选出2项⼯程的⽅式有C 24种；丁公司从甲、⼄、丙三个公司挑选后余下的2项⼯程中选出2项⼯程的⽅式有C 22种.说明⼆项式定理揭⽰了⼆项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常⽤的基础知识，从1985年⾄1998年历届⾼考均有这⽅⾯的题⽬出现，主要考查⼆项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6 在(x- )10的展开式中，x 6的系数是( )解设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为⾸项为x-1，公⽐为-(x-1)的等⽐数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )例92名医⽣和4名护⼠被分配到2所学校为学⽣体检，每校分配1名医⽣和2 名护⼠，不同的分配⽅法共有( )种种种种解分医⽣的⽅法有P22＝2种，分护⼠⽅法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配⽅法。

高中数学排列组合算法高中数学排列组合的定义及公式排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。

计算公式：此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6!=6x5x4x3x2x1组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号C(n,m)表示。

计算公式：;C(n,m)=C(n,n-m)。

(n≥m)其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!×n2!×...×nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m)。

高中数学排列组合的基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

⑵乘法原理和分步计数法⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。

排列组合分为排列和组合两种情况。

1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。

高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。

排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。

2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。

高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。

组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。

二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。

二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。

三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。

1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。

高考数学中的常见排列组合在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，也是高考中常见的题型之一。

掌握排列组合的基本原理和解题方法，对于学生们提高数学成绩，顺利应对高考至关重要。

本文将介绍高考数学中常见的排列组合知识点及其解题技巧。

一、排列排列是指从给定的一组数或对象中按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列。

常见的排列问题有以下几种情况：1. 直线排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，就构成了从n个对象中取出k个对象的直线排列。

直线排列的公式为：A(n, k) = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1)，其中n ≥ k。

2. 圆排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，构成了从n个对象中取出k个对象的圆排列。

圆排列的公式为：P(n, k) = (n-k+1) * (n-k+2) * ... * n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，其中n ≥ k。

3. 重复排列：重复排列是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列，允许重复。

重复排列的公式为：A'(n, k) = n^k，其中n ≥ k。

排列问题在高考中常常涉及选排队、座位、字母、数字等情况，解题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种排列公式，并注意计算时的条件约束。

二、组合组合是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行组合。

与排列不同，组合中的元素的排列顺序不重要。

常见的组合问题有以下几种情况：1. C(n, k)表示从n个对象中选择k个不同的对象组成一个集合，其中n ≥ k。

定义组合公式为：C(n, k) = A(n, k) / k! = n! / [(n-k)! * k!]。

2. n个相异对象的m个同类分成若干组，每组可以有0个或者多个，此种情况下共有C(m-1, n)种不同的组合。

组合问题在高考中常常涉及选人、选课、摆放等情况，解题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种组合公式，并注意计算时的条件约束。

1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.排列数、组合数的公式及性质顺序有关，组合问题与顺序无关．一、排列问题排列典型例题：有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．648C．328 D．3602.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种二、组合问题组合典型例题：某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种三、排列组合综合问题(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题．1.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15 B．20C．30 D．422.将5位同学分别保送到大学、交通大学、大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种此题是高考出现频率最高的题型，我把他称为均分问题：对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。

排列组合公式/排列组合计算公式公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。

公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘 ,如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r举例:Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？A1: 123与213就是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。

上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合, 我们可以这么瞧,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。

上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念与公式典型例题分析例1设有3名学生与4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种？解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:∴ 符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”就是一种具有直观形象的有效做法,也就是解决计数问题的一种数学模型.例３判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积？(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信就是不同的两封信,所以与顺序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无关,所以就是组合问题.其她类似分析.(1)①就是排列问题,共用了封信;②就是组合问题,共需握手(次).(2)①就是排列问题,共有(种)不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.(3)①就是排列问题,共有种不同的商;②就是组合问题,共有种不同的积.(4)①就是排列问题,共有种不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.例４证明.证明左式右式.∴ 等式成立.点评这就是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.例5 化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.例6 解方程:(1);(2).解 (1)原方程解得.(2)原方程可变为∵ ,,∴ 原方程可化为.即 ,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题、2、理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题、3、掌握二项式定理与二项式系数的性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理就是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据、例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都与前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都就是选择题或填空题考查、例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有( )A、60个B、48个C、36个D、24个解因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4的排法有P12;小于50 000的五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有P33,得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C、例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P13=9(种)、例四例五可能有问题,等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上都就是由选择题或填空题考查、例4 从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )A 、140种B 、84种C 、70种D 、35种 解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种;甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C 、例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1 项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式? 解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种;乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种; 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种; 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种、根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种)、 (四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它就是常用的基础知识 ,从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题、 例6 在(x- )10的展开式中,x 6的系数就是( ) A 、-27C 610 B 、27C 410 C 、-9C 610 D 、9C 410解 设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6, 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ,10-γ=6,γ=4于就是展开式中第5项含x 6,第5项系数就是C410(-)4=9C410故此题应选D、例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的与,则其与为在(x-1)6中含x3的项就是C36x3(-1)3=-20x3,因此展开式中x2的系数就是-2 0、(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4,则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A、1B、-1 C、0 D、2解:A、例92名医生与4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生与2 名护士,不同的分配方法共有( )A、6种B、12种C、18种D、24种解分医生的方法有P22＝2种,分护士方法有C24=6种,所以共有6×2＝12种不同的分配方法。