棋盘上的数学

按上图棋盘中目前的局势，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移动，底炮也不能在横线底线兵（卒）只能横向移动。

谁先移动底线兵移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势。

因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能8步。

实际上现在的问题是：乙先走，轮流走完这三对子的我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列于下表（其中，甲、…”分别表示中路炮进2步、相位炮进7格，则第7列只有第8格可以放后，那么第列第1格，如下图。

著名的数学家高斯曾经给出76种不同解法，条线（如下左图），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，那么，在棋盘中可以找到的方格图，共有324个小方格，391个交叉点。

本例属于图形计数问题，只要做到有序思考，结合以前学习的计数的有关知识，应该有较多解法。

：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与大正方形的第则又可出现一个小正方形，顺次向右移动个小正方形。

同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，个小正方形。

现在的问题是，能否经若干次翻动，使得剩下的这34个1×2的方格正面向上。

．下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须遵照中国象棋的规则，若现在轮到黑方走棋，请你判断这黑方只有两个“炮”可以前进，其他棋子受到制约都不能移动。

红方也只有两个炮可以移动，但由于两红炮与两黑炮间隔相同，那么不论黑炮如何移动，红方只要在保持两红炮与两黑炮间隔相同的前提下，相应移动红炮，最终黑方将被逼得无棋可走而失败。

因此利用中国象棋比赛规则，红方有获胜的策略。

．在一个国际象棋的棋盘上，规定有一个棋子可在方格之间走动，每步走一方格，或水平方向或垂直方向（不个“后”能够控制整个棋盘。

个“后”控制整个棋盘。

实际上，在国际象棋棋盘上，至少要放5个“后”才能控制整个棋盘，少于的放法并不只有上面这一种，请你试一试其它的放法。

．在国际象棋棋盘上，最少要用多少个下面的“L”形（如下图）当我们把类），总之一个形骨牌将盖住个。

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。

棋盘上的组合数学好，咱们今天就聊聊棋盘上的那些有趣的组合数学。

说到棋盘，大家肯定想起国际象棋、围棋这些游戏，哎呀，那些小小的棋子可真是藏着不少玄机呢。

想象一下，棋盘上密密麻麻的格子，每一颗棋子都像是个小演员，在这个舞台上演绎着各自的故事。

棋盘不仅仅是用来下棋的，它还隐藏着很多有趣的数学问题和组合。

咱们得看看这个八乘八的棋盘，想象一下，哦，那个黑白相间的格子就像是一块巨大而复杂的拼图。

你要是随便放几颗棋子上去，就会发现这中间有无穷无尽的组合。

要是说你想在棋盘上放八个皇后，咱们就得开始动动脑筋了。

皇后可不是什么善茬，她的攻击范围可横竖斜全包括。

就像生活中的麻烦事，往往一来就挡着你的路。

把这八个皇后放得不冲突，真的是个不小的挑战。

不得不提到这个“八皇后问题”。

听起来复杂吧？其实就像打麻将，配牌可不是件简单的事。

你要是想把这八个皇后放得稳稳当当，得好好算计一下每个位置。

这里面就有许多的组合，哎呀，真是让人抓狂。

很多人试着用不同的算法，最后才发现，原来有一千多种组合方式！你想想，一千种！如果把这些都摆出来，简直能把人眼花缭乱。

再说到棋盘的另一个有趣点，比如说“骑士巡逻问题”。

这就像是骑士在棋盘上散步一样，真是个可爱的小家伙。

骑士的走法特别独特，仿佛在跳舞一样，左右前后都能跳。

问题来了，能不能让他每一步都不重样，最终走遍棋盘上的每一个格子？哎呀，这听起来就像你在约会时，想要把每个地方都跑一遍，结果却发现时间不够。

这就是“骑士巡逻”的魅力所在，想一想，能走遍所有格子，真是个壮举！除了这些，咱们还可以谈谈“色彩棋盘”的问题。

想象一下，把棋盘涂成不同的颜色，能不能用最少的颜色，让相邻的格子不一样色？这就像是给邻居涂墙，结果发现每家每户都不想撞色。

数学家们研究出，原来在四种颜色下就能搞定！这就叫四色定理，听上去简单，但实际上可是经过许多年的讨论和研究才得出的结果。

真是让人叹为观止！棋盘上还有很多小秘密，组合数学就像是一道道谜题，等着咱们去破解。

如何解决小学数学中的棋盘问题数学是一门需要思维能力和逻辑推理的学科，对于学生来说，掌握数学问题的解决方法是很重要的。

在小学数学中，有一类问题被称为“棋盘问题”。

这类问题通常涉及到在棋盘上放置棋子或者进行某种操作。

本文将探讨如何解决小学数学中的棋盘问题，以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

一、问题概述棋盘问题通常要求在给定的棋盘上按照一定的规则放置棋子或者进行某种操作。

问题可能会要求求解合法的放置方式数量、找到一种特定的放置方式，或者探讨某种规律。

针对这类问题，我们可以采取以下步骤进行解决。

二、分析问题首先，我们需要仔细阅读题目，理解问题的要求和规则。

对于每一个棋盘问题，都会有一定的限制条件。

这些条件可能涉及到棋盘的大小、棋子的个数、棋子的种类、放置的规则等等。

在分析问题时，我们需要将这些条件逐一考虑，并进行合理的假设。

三、制定计划在明确了问题的要求和限制条件后，我们可以制定一个解决问题的计划。

这个计划应该包括以下几个步骤：确定问题的模型，选择合适的数学工具，将问题转化为数学问题，进行计算和推导，得出最终的结果。

四、解决问题根据制定的计划，我们按照一定的步骤解决问题。

在解决过程中，我们需要不断检查和修正我们的计算和推导。

如果发现错误或者不合理之处，需要及时进行修改。

最终，我们可以得出问题的解决方案。

五、验证和讨论在得出问题的解决方案之后，需要进行验证和讨论。

验证的过程就是将解决方案应用于具体的案例，检查是否满足问题的要求和限制条件。

如果符合，说明我们的解决方案是正确的；如果不符合，需要重新审查解决方案的推导过程。

六、总结和归纳最后，我们应该总结和归纳我们的解决方法和经验。

通过总结，我们可以总结出解决棋盘问题的一般方法和技巧。

这些方法和技巧可以被应用于类似的问题，帮助我们更好地理解和解决数学问题。

通过以上步骤，我们可以更好地解决小学数学中的棋盘问题。

当然，解决数学问题需要耐心、积极性和一定的数学基础。

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题.实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题.（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题.（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题.这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题.解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学.1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3.答案：当3｜n时，设n＝3k，则2×n＝2×3k＝k（2×3）2×n＝3×x则3｜2n，但（2，3）＝1，∴3｜n．分析：思考方法．比如，若3｜n且2｜m时， m×n棋盘可分成若干个2×n棋例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？答案：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．分析：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．答案：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．分析：主要考查棋盘中的覆盖问题：完全覆盖问题.只要把每个棋的走法掌握该类型题应该没有太大问题.A档1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案与提示：3 个.提示：右图是一种放法.2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？答案与提示：不能.右图中黑、白格各18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18 个黑格.3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示： 6 种.用小正方形拼成边长为4 的大正方形有6 种情形：（1）1 个3×3，7 个1×1；（2）1 个2×2，12 个1×1；（3）2 个2×2，8 个1×1；（4）3 个2×2，4 个1×1；（5）4 个2×2；（6）16 个1×1.B档4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案与提示：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数.经试验，不可能拼成边长为3的正方形.所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形36÷3= 12（个）.5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的.现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？答案与提示：先从简单的情形开始考虑.显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）.经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）.能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形.但事实上却拼不成.为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个.在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个.第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格.综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形.6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？答案与提示：用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）.用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）.上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形.那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）.将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个.但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾.由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形.综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形.7、用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？答案与提示：盲目无章的试验，很难搞清楚.我们采用分类讨论的方法.如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法.所以，共有7种不同覆盖方法.8、有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片.用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）答案与提示：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1种拼法.共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）.答：共有10种不同的拼法.C档9、小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有多少种不同情况？答案与提示：25种.形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种.10、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示：6种.用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；（5）4个2×2；（6）16个1×1.11、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？答案与提示：不能.用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）.一个1×4的矩形一次只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目不等，分别有9，10，9，8个.12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形13、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论．答案：至少要用一个1×1的小正方形.14、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．15、下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12＝112枚．答：这堆棋子原有112枚．1、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．答案：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示.2、在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．答案：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示3、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：84、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形5、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个12×3的正方形？答案与提示：能.1、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：122、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形3、能不能用9个2×3的长方形卡片拼成一个7×8的正方形？答案与提示：不能.4、在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案：3个.提示：左下图是一种放法.5、答案：图（2）.6、答案：不能.7、答案：5种.8、国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？答案：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．。

棋盘上的数学认识象棋中的数学原理棋盘上的数学认识——象棋中的数学原理象棋，作为一种古老而受人喜爱的棋类游戏，不仅仅是一种智力活动，更是数学思维的一种具体实践。

在象棋的世界中，数学原理无处不在，通过对象棋中的数学原理的认识和探索，我们可以更加深入地理解象棋，并将其运用于实际生活中的数学问题。

一、象棋棋盘的数学特性在象棋中，棋盘是我们展开智慧的舞台，它具有一些独特的数学特性。

首先，象棋棋盘是一个8×8的格子组成的正方形。

这意味着我们可以用行和列来描述每一个格子的位置，从而形成一个坐标系。

通过坐标系的运用，我们可以更加方便地分析和推算各个棋子的位置、行动和对弈策略。

其次，棋盘在垂直和水平方向上都有对称性。

这种对称性体现在棋盘的中心轴线上，将棋盘沿中心轴线旋转180度，我们会发现每一个格子的颜色和位置都保持不变。

这种对称性可以帮助我们在游戏中更好地把握棋局的平衡，制定策略，同时也能培养我们对对称性的感知和理解，有助于解决其他数学问题。

二、象棋棋子的数学原理象棋的棋子各自具有不同的走法和价值，它们的移动路径都遵循着数学原理。

以象棋中的"车"为例，它可以在一条直线上不限距离地移动。

我们可以将其移动的路径简化为直线方程，通过数学方法可以计算出车在不同位置的可行走法。

同样地，其他棋子如马、炮和兵也都有各自的移动规则，这些规则都依赖于数学原理。

通过了解象棋中不同棋子的数学特性，我们能够在对弈时更加准确地评估每个棋子的价值，制定更有效的策略。

三、数学推理在象棋中的应用在象棋中，我们需要进行复杂的推理和计算，从而做出最佳的落子选择。

这种推理和计算过程正是数学思维在象棋中的具体展现。

首先，在对弈过程中，我们需要评估不同棋子的价值和位置，从而判断出最佳的进攻或防守策略。

我们可以通过数学模型来计算每个棋子的分数，然后根据局势调整分数权重，以此进行最优策略的选择。

其次，象棋中的长远目光和棋局分析也离不开数学的帮助。

棋盘中的数学————封闭图形中的植树问题清水塘小学江滨校区张凌云教学内容：人教版小学数学第八册第八单元《数学广角》P120例3内容分析1．教学主要内容理解封闭图形的植树问题中棵数（点数）与间隔数（段数）之间的关系2．教材编写特点：植树问题是“奥数”中的经典问题，新教材将其编入《数学广角》单元，目的让学生是通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用。

培养学生在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，找出解决问题的有效方法的能力。

让学生经历抽取出数学模型的过程。

本单元共有3个例题，例1、例2教学了一条线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，棵数与间隔数的关系），例3是借助围棋盘来探讨封闭曲线中的植树问题。

3．教学内容的数学核心思想：将“复杂的问题简单化”、“一一对应”是本课的数学核心思想。

教学目标：知识与技能：让学生用多种方法解决围棋盘中的数学问题，展示方法的多样化；并引导学生解决封闭图形中的植树问题，理解封闭图形的植树问题中点数与段数之间的关系。

过程与方法：让学生经历提问、猜想、验证、得出结论等数学探索的过程，初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决较复杂问题的有效方法的能力，同时能将这种规律应用到解决类似的问题之中。

情感、态度、价值观：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。

（课堂实录）教学过程：一、谜语引入猜谜：黑白两对手，不在格中走。

有眼看不见，无眼难活久。

（打一棋类名称）谈话：同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？围棋是一项培养思维能力的活动，围棋的棋盘里还蕴含了有趣的数学问题。

今天我们一起来探究围棋棋盘中的数学问题。

（板书：棋盘中的数学）二、复习铺垫1、出示围棋棋盘图：围棋盘最外边是正方形，棋子下在两条线交叉的地方（动画演示两颗棋子）问：棋盘最外层的边长为54厘米,每相邻两颗棋子间的距离3厘米,一条边可以摆多少颗棋子?生:54÷3＋1﹦19（个）段数师：为什么要加1？生：这就是一个植树问题，是属于两端都要栽的情况。

本系列共14讲第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学.文档贡献者：与你的缘所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：×8×7=28；12顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：×9×6=27。

12所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。

棋盘上的数学问题在我们的日常生活中，数学无处不在。

而在棋盘上，数学也有着重要的应用。

本文将从数学的角度，探讨棋盘上的数学问题。

一、棋盘上的排列组合问题在8x8的棋盘上，有多少种不同的摆法可以放置8个皇后，使得它们互不攻击？这是一个经典的排列组合问题。

我们可以通过枚举法、递归法、回溯法等多种方法来解决这个问题。

其中，回溯法是最常用的方法。

通过不断地试错，我们可以找到所有的解。

二、棋盘上的概率问题在掷骰子游戏中，我们经常会遇到棋盘上的概率问题。

例如，如果我们掷两个骰子，那么点数和为7的概率是多少？我们可以通过列出所有可能的组合，来计算出点数和为7的组合数。

在这个问题中，点数和为7的组合数为6，而总的组合数为36。

因此，点数和为7的概率为6/36=1/6。

三、棋盘上的几何问题在棋盘上，我们还可以遇到一些几何问题。

例如，在8x8的棋盘上，如果我们将两个对角线上的方格涂黑，那么剩下的方格中，黑色方格和白色方格的数量分别是多少？我们可以通过计算棋盘上的黑色方格和白色方格的数量，来解决这个问题。

在这个问题中，黑色方格和白色方格的数量分别为30和34。

四、棋盘上的算术问题在棋盘上，我们还可以遇到一些算术问题。

例如，在8x8的棋盘上，如果我们将两个对角线上的方格涂黑，那么剩下的方格中，每行和每列的数字和分别是多少？我们可以通过计算每行和每列的数字和，来解决这个问题。

在这个问题中，每行和每列的数字和都是180。

总之，棋盘上的数学问题是多种多样的。

通过解决这些问题，我们可以提高自己的数学能力，同时也可以更好地理解数学在日常生活中的应用。

棋盘格子装米算法总和棋盘格子装米问题，又被称为“180度麦粒问题”，是一个经典的数学问题。

问题的背景是这样的：传说中，国际象棋设法酬报国王给予他的发明。

发明是棋盘上的64个方格，以及64个大米。

国王很快就发现这个发明过于简单，从而没有像他预期的那样奖励发明者。

比赛是在亚洲举行的，国际象棋的交流在亚洲非常普遍。

现在，这个问题会在每一个阶段或比赛中重新提到。

这个问题的任务是计算整个棋盘上需要多少个谷物。

棋盘的第一个方格上放置一个谷粒，第二个方格上放置两个谷粒，第三个方格上放置四个谷粒，以此类推。

每个方格上的谷粒数量都是前一个方格数量的两倍。

问题要求计算所有谷物数量的总和。

首先，我们来分析这个问题。

棋盘上一共有64个方格，每个方格有对应的谷粒数量。

我们可以用数学公式来表示这个问题。

如果设第一个格子的谷粒数量为1，将其他每个格子的谷粒数量设为$2^{n-1}$，其中$n$代表方格的编号，那么第一个方格的谷粒数量是$2^{1-1}=1$，第二个方格的谷粒数量是$2^{2-1}=2$，第三个方格的谷粒数量是$2^{3-1}=4$，以此类推。

接下来我们可以推导出，第$n$个方格的总谷粒数量，可以表示为$2^{n-1}$。

而所有64个方格的总谷粒数量等于各个方格谷粒数量之和，即$1+2+4+8+...+2^{n-1}$。

现在我们来推导这个等差数列的求和公式。

设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，项数为$n$，那么等比数列的前$n$项和可以表示为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

对于我们的问题，首项$a_1=1$，公比$q=2$，项数$n=64$。

代入公式中。

这个结果看起来可能令人惊讶，因为这个数字非常庞大。

实际上，这个数字已经超出了人类记忆和计算的范围。

对于普通的计算机也很难一次性计算出这个结果。

我们可以用python来验证一下这个结果。

```total_grains = 0current_grains = 1for i in range(64):total_grains += current_grainscurrent_grains *= 2print(total_grains)```需要注意的是，这个问题中的计算数量非常庞大，远远超出了人类的想象力。

棋盘上的数学同学们，听说过国际象棋吗？国际象棋起源于印度，它的棋盘是正方形的，由8行8列颜色一深一浅、交错排列的64个小方格组成（如右图）。

国际象棋和它的发明人——印度人西萨·班·达依尔还有一段有趣的故事呢！读一读棋盘上的麦粒西萨·班·达依尔是古印度舍罕王的宰相。

一次，舍罕王觉得自己王宫里的所有游戏都玩腻了，于是，他下令说，如果谁能发明一种使他开心的游戏，谁就将得到很多的赏赐。

达依尔知道了这个消息，便把自己发明的国际象棋奉献给了舍罕王。

舍罕王觉得这种游戏很有趣，非常高兴，就打算重赏达依尔。

舍罕王问达依尔：“你的发明给我带来了很多欢乐，你要什么赏赐，我就给你什么赏赐！”达依尔不慌不忙地说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二格里赏2粒，照这样下去，每一格里的麦子都比前一格加一倍。

直到把棋盘的64个格子都摆满，您把这些麦子赏给我就够了。

”舍罕王对达依尔的要求既奇怪，又高兴：“达依尔，你的要求也太少了，我会让你满足的！”于是舍罕王命令侍臣，把这些麦子如数付给达依尔。

数麦粒的工作开始了，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，可还没放到20格，一袋的麦子已经空了。

接着一袋又一袋的麦子被扛上来，一袋又一袋的麦子被数尽，依旧无法达到达依尔的要求。

而舍罕王也惊得目瞪口呆，因为他发现：达依尔的要求竟是无法兑现的！？？做一做让我们一起来动手做一做吧！这是为什么呢？图画不好，本意想画成两次对折状。

我们研究所要借助的材料是一张普通的白 纸。

如图，对折1次，纸有几层？对折2次， 纸有几层？ 对折3次呢？1. 随着对折次数的不断增加，你发现纸的层数变化有什么规律吗？2. 这些层数与2又有什么特殊的联系呢？○ 小 贴 士 ○4可以写成2×2，两个2相乘可以在2 的右上角写一个2，即22，读作2的平方，或 2的2次方。

通常，几个2连乘，就可以在2的右上角写 几，读的时候就读作2的几次方。

棋盘上的麦粒问题（数学文化）学习数学是为了探索宇宙的奥秘。

如果说语言反映和揭示了造物主的心声，那么数学就反映和揭示了造物主的智慧。

下面是为大家收集的棋盘上的麦粒问题，供大家参考。

在两千多年前，印度人常常用武力来解决争端，每年有成百上千的人死于打斗。

一位叫达依尔的聪明人目睹惨状以后，决定想一个办法来阻止人们相互残杀。

他用木板做了一个有64格的棋盘，用以比作辽阔的战场;并用木头雕刻了32个棋子，每个棋子都戴盔披甲，代表作战双方的战士。

他把这个游戏叫作国际象棋，人们很快就被它吸引住了。

以后只要发生争端，就到棋盘上解决，败的一方要服从于胜的一方。

国王舍罕也非常喜欢这种智力游戏，他决定重重地奖赏达依尔。

达依尔带着棋盘来到大殿对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内赏给我两粒麦子，第三小格给四粒。

以后每一小格都比前一小格多一倍。

请您把摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧!”国王想，这要求太容易满足了，于是答应了达依尔的要求。

国王叫人把一袋麦子拿到大殿里，计算麦粒的工作开始了……还不到第二十小格，袋子就空了。

一袋又一袋的麦子被扛到国王面前，并且很快都空了。

国王着急了，他赶紧找来一位大臣，命令他算出应该给达依尔多少粒麦子。

大臣拿出笔和纸，算啊算，结果吃惊地发现必须给达依尔1+2+4+8+16+32+64+……=18446744073709551615粒麦子。

即使是拿出全印度的粮食，国王也兑现不了他对达依尔的许下的诺言，因为这个数目相当于全世界2019年所生产的全部小麦。

国王无奈，只好下令把粮仓里的所有的粮食都给了达依尔，达依尔把这些粮食分给了穷人。

以上是查字典数学网为大家准备的棋盘上的麦粒问题，希望对大家有所帮助。

棋盘摆米的数学原理The mathematical principle behind arranging grains of rice on a chessboard is known as exponential growth. 在象棋盘上摆放稻谷的数学原理被称为指数增长。

This concept demonstrates how a small, seemingly insignificant action can result in an exponentially larger outcome. 这个概念说明了一个小小的、看似微不足道的举动可能导致一个成倍增长的结果。

When considering the classic example of placing one grain of rice on the first square, two on the second, four on the third, and so on, the total amount quickly grows to an unfathomable number. 当考虑到经典的例子，即在第一个方格上放一粒大米，在第二个方格上放两粒，在第三个方格上放四粒，依此类推，总数很快增加到一个难以想象的数字。

This phenomenon is an illustration of the power of exponential growth and highlights the importance of understanding its implications in various contexts. 这种现象是指数增长的力量的一个例证，并突显了在各种情境中理解其含义的重要性。

In addition, the concept of arranging grains of rice on a chessboard provides valuable insight into the nature of exponential growth. 此外，在象棋盘上排列稻谷的概念为人们提供了对指数增长本质的宝贵见解。

第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：1×8×7=28；2顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：1×9×6=27。

2所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。

棋盘中的数学原理
棋盘是一个具有方格结构的平面，常用于象棋、国际象棋、围棋等游戏。

在棋盘上，有一些数学原理与概念经常被应用。

1. 坐标系：棋盘可以看作一个二维的坐标系，通过行和列的编号来确定每一个方格的位置。

在象棋和国际象棋中，通常使用数字和字母的坐标来表示每个方格的位置。

2. 对称性：棋盘具有各种对称性，如水平对称、垂直对称、对角线对称等。

这些对称性可以利用到棋局分析和棋局设计中。

3. 距离和路径：在棋盘中，两个方格之间可以有不同的距离，例如最短路径、最长路径等。

这些概念可以用来计算移动的步数、评估棋局的进程等。

4. 颜色分布：棋盘上的方格通常有不同的颜色分布。

例如，在象棋中会有黑色和白色的方格，这种颜色分布可以用来区分不同的棋子，影响棋子的移动方向等。

5. 策略和算法：在棋盘游戏中，数学算法和策略经常被用来评估棋局、计算可能的走法、寻找最优解等。

例如，在围棋中的"连通性"和"气"的概念，就涉及到了图论和拓扑学的原理。

总之，棋盘中的数学原理涵盖了坐标系、对称性、距离和路径、颜色分布以及策
略和算法等概念，这些原理被广泛应用于棋局分析、棋局设计和计算机对弈等领域。

第十三讲棋盘中的数学（四）——棋盘格的计数问题与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法．例1 如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法？解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走到帅的位置有70种不走法．说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法．例2 围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形．解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线AC移动，第1次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，也可视为是下移一格和右移一格的合成．再加上初始位置的小正方形，这时就有1＋3个小正方形．继续将小正方形沿对角线移动，共移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下角．这时共包含小正方形（1＋3＋5…＋19）个，我们可解法3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的代表点E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方，通过观察，不难发现：①点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上．②反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格子点个数”了，很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10＝100个．说明：以上三种解法都有一定代表性．其中解法3既巧妙又迅速，它利用了“一一对应就一样多”的配对原理．配对原理在计数中是非常重要的．例3 从8×8的方格棋盘（下图）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（可旋转），问有多少种不同的取法？分析如果从2×2的方格中取“L”形，则有4种不同的取法，因此，我们只要知道从8×8的方格棋盘上总共可以取出多少个“田”字形就可以了，又由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的交叉点（但不包括边界上的点），反过来每一个这样的交叉点都有一个以它为中心的“田”字形，于是问题就转化为求横线与竖线一共有多少个不在边界上的交叉点．解：设S是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S′是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集合．由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小方格恰好组成一个“田”字形，因此集合S与S′的元素能一一配对．由配对原理，这两个集合的元素一样多．而棋盘内横线与竖线的交叉点有：（9－2）×（9－2）＝49（个）．所以棋盘上可以取出“田”字形的个数为49个．又由于从一个“田”字形中可以取出4个“L”形，并且，从不同的“田”字形中取出的“L”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出49×4＝196个“L”形，即题中“L”形的不同取法共196种．例4 如下图在5×5棋盘格中，共有多少个正方形？解：在5×5的棋盘格中包含 1×1的正方形共25个；包含 2×2的正方形共16个；包含3×3的正方形共9个；包含4×4的正方形共4个；包含5×5的正方形共1个；总计包含各种正方形共有：25＋16＋9＋4＋1＝55个．说明：本题解法是先将正方形分成五类：1×1，2×2，3×3，4×4，5×5，对每一类都仿例3中第3种解法去解是非常迅速的．例5 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？分析解决这个问题，主要是运用两个结论：①同底等高的两个三角形的面积相等．②平行的两条直线间的距离处处相等．解：设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是：所求的三角形可分两种情形：①三角形的一边长为2，这边上的高是3．这时，长为2的边只能在原正方形的边上．这样的三角形有：2×4×4＝32（个）．②三角形的一边长为3，这边上的高是2．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线（其中，与①重复的三角形不再算入）．这样的三角形有：8×2＝16（个）．答：所求的三角形共48个（包括上页图中给出的三角形）．说明：解本题，容易出现两种错误，一是“少”，如忽略了底是3，高是2的三角形，这样就少算了16个；二是“多”：在计算底是3，高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形①中已经计算过了，于是会得出错误结果64个．棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题．其一要注意会把对象分类．其二，在每类数数时要做到不重，不漏．这样才能得到正确的结果．习题十三1．下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？2．下图中的象棋盘上一只小卒过河后沿最短的路走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法？3．下图表示某城市的街道图，若从A走到B（只能由北往南，由西向东），问共有多少种不同的走法？4．下图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C？5．如下图，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子为顶点的正方形共有多少个？。