《棋盘中的数学》

人教版数学四年级下册《围棋中的数学问题》教案一. 教材分析《围棋中的数学问题》是人教版数学四年级下册的一篇拓展性课文。

本课主要让学生在围棋游戏中感受数学的魅力，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

教材通过介绍围棋中的基础概念（如棋盘、棋子、气等）、围棋的基本规则（如落子、提子等）以及围棋中的数学问题（如计算棋盘上的点数、判断棋形的生死等），使学生在学习围棋的同时，也能够运用所学的数学知识解决问题。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了基本的数学运算能力和一定的逻辑思维能力。

他们在学习过程中，能够通过观察、操作、思考，发现数学问题，并运用所学的数学知识解决实际问题。

但学生在面对围棋这一新领域时，可能会感到陌生，因此，教师在教学过程中需要注重引导学生熟悉围棋的基本概念和规则，激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.让学生了解围棋的基本概念和规则，能够在棋盘上进行简单的操作。

2.培养学生运用数学知识解决围棋中的问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

四. 教学重难点1.围棋的基本概念和规则的理解与应用。

2.运用数学知识解决围棋中的问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过围棋游戏，激发学生的学习兴趣，让学生在实践中掌握围棋的基本概念和规则。

2.案例教学法：通过分析围棋中的实际问题，引导学生运用数学知识解决问题。

3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备围棋棋盘、棋子等相关教具。

2.学生准备笔记本，用于记录围棋的基本概念和规则。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生介绍围棋的历史和魅力，激发学生的学习兴趣。

然后，教师邀请学生观看一段围棋比赛视频，让学生对围棋有直观的认识。

2.呈现（10分钟）教师向学生介绍围棋的基本概念（如棋盘、棋子、气等）和基本规则（如落子、提子等）。

在介绍过程中，教师可以通过实物展示和讲解相结合的方式，使学生更好地理解围棋的相关知识。

棋盘中的数学星期天，智智和妹妹都写完了作业。

爸爸说：“你们想去公园玩吗？”他们高兴地说：“想。

”于是，爸爸带着他们来到了公园。

公园里的人很多，有的在跳广场舞，有的在打太极拳，有的在下棋，有的在打扑克，有的在聊天，有的在散步……热闹极了。

妹妹说：“那里围了很多人，我们去看一看吧。

”他们走了过去，看到两位老爷爷正在下围棋。

他们聚精会神，都在认真思考。

妹妹好奇地问：“这叫什么棋？棋盘里有很多小方格啊！”爸爸说：“这叫围棋。

围棋起源于中国，古代称为‘弈’，可以说是棋类之鼻祖，至今已有4000多年的历史。

围棋的棋盘由纵横各19条线交叉组成。

”爸爸接着说：“下围棋时，棋子都要放在纵线与横线的交叉点上。

你们知道棋盘上一共有多少个交叉点吗？”妹妹很有信心地说：“我去数一数。

”于是，妹妹数了起来。

妹妹说：“一行有19个交叉点，一共有19行，可以用19加19，再加19……要把19个19加在一起，计算有点儿麻烦。

”智智说：“我知道了，每行有19个交叉点，一共有19行，要求一共有多少个交叉点，就是求19个19的和是多少，可以用乘法◎叶杰平计算，列式：19×19=361（个）。

”爸爸说：“对了！求几个相同加数的和，除了可以用加法计算外，还可以用乘法计算，而且用乘法计算还比较简便。

”妹妹说：“19×19要笔算才能算出来，有没有更简便的计算方法？”爸爸说：“有。

我们可以先算出20行有多少个交叉点，因为多算了一行，所以再减去一个19。

这其实是应用了乘法分配律进行的简便计算，即19×19=（20-1）×19=20×19-19=380-19=361（个）。

”爸爸接着说：“你们能算出这个棋盘一共有多少个小正方形吗？”妹妹数了数，说：“我数出一行有18个小正方形，一共有18行，要求一共有多少个小正方形，就是求18个18相加的和是多少，可以用乘法计算，列式：18×18=324（个）。

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。

教学内容：人教版教科书四年级下册数学广角第120页例3及部分练习。

教学目标（1）知识目标：尝试探索沿封闭图形植树问题中的规律；（2）能力目标：让学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法，初步培养学生抽取数学模型的能力；（3）情感与态度目标：培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力；让学生经历探索规律的过程，激发学生探索的欲望。

教学重、难点重点：1.探索沿封闭图形植树问题中的规律：2.解决实际问题中的多种方法。

难点：解决问题的多种方法。

教具准备：课件、围棋方格纸教学过程：一、创设情境，引出问题出示围棋盘师：同学们，教师今天带来了一副围棋盘，大家见过围棋盘吗？会下围棋吗？（1）我们先一起来认识围棋盘，围棋的棋子分几类？下围棋时，棋子放在什么地方？（2）你们看，两个小朋友正在下围棋呢！（课件播放图片）那么最外层一共可以摆放多少个棋子呢？你能帮一年级的小朋友来解决这个问题吗？师：这就是我们这节课学习的内容《围棋中的数学问题》（板贴课题）。

设计意图：通过创设两个小朋友下围棋的情境，使学生感到数学是在研究自己周围的人和事，进而引出问题最外层一共可以摆放多少个棋子呢？。

二、操作体验，探究新知1.操作活动一：师：请同学们拿出印有围棋盘的纸，仔细观察，把你的想法用圈一圈的方法在围棋盘上画出来，再用算式表示。

如果你有不同的想法，可以画在另外一张棋盘纸上。

（1）学生独立思考并用圈一圈这种方法表示。

（教师巡视指导）（2）小组交流：把你的想法在小组里说一说，组长负责安排每个人都说一说。

（3）汇报交流：谁愿意来介绍一下你们组的方法？然后请几组学生上来说说他们是怎么想、怎么算的？同时把圈好的纸贴在黑板上展示。

学生可能会出现的方法有：①19×2+17×2=72（个）②19×44=72（个）③l8×4=72（个）④19×19-17×17=72⑤17×4+4=72（个）⑥直接数点数（4）你能根据前面我们摆放的方法，你能总结出规律吗？（引导学生看板书，小组合作完成）你发现了什么规律：_____________________________________（5）总结规律：教师随着学生的回答板书间隔数×4＝最外层的总数设计意图：在这个环节，设计了让学生圈一圈、画一画的操作活动，围绕棋盘的最外层一共可以摆放多少个棋子？，引发学生的探究欲望，并用多种方法解决问题。

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题.实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题.（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题.（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题.这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题.解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学.1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3.答案：当3｜n时，设n＝3k，则2×n＝2×3k＝k（2×3）2×n＝3×x则3｜2n，但（2，3）＝1，∴3｜n．分析：思考方法．比如，若3｜n且2｜m时， m×n棋盘可分成若干个2×n棋例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？答案：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．分析：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．答案：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．分析：主要考查棋盘中的覆盖问题：完全覆盖问题.只要把每个棋的走法掌握该类型题应该没有太大问题.A档1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案与提示：3 个.提示：右图是一种放法.2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？答案与提示：不能.右图中黑、白格各18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18 个黑格.3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示： 6 种.用小正方形拼成边长为4 的大正方形有6 种情形：（1）1 个3×3，7 个1×1；（2）1 个2×2，12 个1×1；（3）2 个2×2，8 个1×1；（4）3 个2×2，4 个1×1；（5）4 个2×2；（6）16 个1×1.B档4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案与提示：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数.经试验，不可能拼成边长为3的正方形.所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形36÷3= 12（个）.5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的.现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？答案与提示：先从简单的情形开始考虑.显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）.经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）.能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形.但事实上却拼不成.为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个.在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个.第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格.综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形.6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？答案与提示：用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）.用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）.上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形.那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）.将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个.但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾.由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形.综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形.7、用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？答案与提示：盲目无章的试验，很难搞清楚.我们采用分类讨论的方法.如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法.所以，共有7种不同覆盖方法.8、有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片.用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）答案与提示：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1种拼法.共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）.答：共有10种不同的拼法.C档9、小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有多少种不同情况？答案与提示：25种.形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种.10、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示：6种.用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；（5）4个2×2；（6）16个1×1.11、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？答案与提示：不能.用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）.一个1×4的矩形一次只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目不等，分别有9，10，9，8个.12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形13、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论．答案：至少要用一个1×1的小正方形.14、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．15、下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12＝112枚．答：这堆棋子原有112枚．1、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．答案：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示.2、在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．答案：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示3、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：84、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形5、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个12×3的正方形？答案与提示：能.1、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：122、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形3、能不能用9个2×3的长方形卡片拼成一个7×8的正方形？答案与提示：不能.4、在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案：3个.提示：左下图是一种放法.5、答案：图（2）.6、答案：不能.7、答案：5种.8、国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？答案：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．。

谈五子棋中的数学作者：朱旭东来源：《科学导报·学术》2020年第48期摘要：拉普拉斯认为：“在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。

”恩格斯则以为：“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的学问。

”随着时间的流逝，数学逐渐融入了生活，成为了生活的一部分。

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

”就像中国的爱因斯坦华罗庚先生所说，五子棋盘上也隐藏着数学。

关键词：五子棋盘;坐标;几何前言：下棋是棋盘上的战争，下棋的过程中隐藏着一些数学的小心机。

你要顾全大局，多方面思考，出其不意攻其不备。

根据各棋子的坐標，可以帮助我们分析对方棋路，并以此预判对方下一步棋。

同时在下棋的过程中有所发现。

在以下探究中，我们将多方面思考，对一组残局进行研究。

探究坐标与棋盘之间的应用，并解决一些关于棋盘的问题。

观察棋盘：如右图，为一棋盘。

棋盘由横纵各15条等距离，垂直交叉的平行线构成，在棋盘上，横纵线交叉形成了225个交叉点为对弈时的落子点。

其中直线被称为阳线，而如右图所示由交叉点构成的与阳线成45°夹角的隐形斜线（如：l cb，l ad等）为阴线。

观察棋盘，可发现在棋盘上有5个比较特殊的交叉点，这5个点称为"星"。

中间的星也称天元。

我们设它们为a，b，c，d，e。

如图，a的坐标为（D，12），b坐标为（L，12），c的坐标为（D，4），d的坐标为（L，4），e的坐标为（H，8）。

在下棋时，黑方总是先着棋于天元e，占据棋盘中央的（H，8）相当于包揽了l ad与l cb两阴线五子连珠的机会。

将五点相连，得一长方形（棋盘上一个小长方形长2.5cm，宽2.4cm）。

由图可知，长方形长为：2.5×8=20（cm），长方形宽为：2.4×8=19.2（cm）∵长方形的面积=长×宽∴S长方形=20×19.2=384（cm2）即占据了星和天元后，以天元e为中心面积为384cm2的长方形内五子连珠的机会均为己方所有。

第十二讲棋盘中的数学（三）——棋盘对弈的数学问题我们看这样一个比输赢的问题．例1 在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略．分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键．证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜．例2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？分析在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）．底线兵（卒）只能横向移动．谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势．因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步．现在的问题是：乙先走，轮流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？解：我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中，“甲1，乙1”分别表示，“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2，相炮3，卒1”分别表示“中路炮进2步”，“相位炮进3步”和“卒进1步”．其余类同；“结果”栏表明乙1，甲1，乙1之后的态势，其中的“距”以步为单位）：其中，情形⑦～⑩显然为乙胜．情形①，②中，如甲2进炮几步，则乙3就将另一路炮进同样步数，…，这样，终将乙胜．情形③，④与⑤，⑥是类似的．以③为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：显然，各种情形中也是乙胜．注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这样，这两只炮之间的间隔没有改变）．说明：本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示，将1步，4步，8步分别用二进制表示为1，100，1000．当乙从8步中走了3步后，变为还有5步即1，100，101．我们把这三个数写成竖式11 0 01 0 1容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数．（这里均勿进位）．无论甲怎样走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有一个数位上的数字发生了变化，从而破坏了上面的规律，即不是每一个数位上的数字之和都是偶数了，比如说，甲在中路炮进一步，三路的步数变为：11 11 0 1这时三个数位上的数字之和1＋1＋1，1＋0，1都不是偶数．乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律．这是能办到的．首先，他看一下数字和不是偶数的最高数位，三路步数二进制表示中至少有一路在这数位上的数字是1，然后，他就在这一路上走若干步，使得上述数位上的数字和为0，而较低数位上的数字为1或0以保证这些数位上的数字之和为偶数，其它数位上的数字不变．比如，对于上面的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走3步，将三路步数变为：11 11 0这样继续下去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后，不是每个数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一步．走最后一步的是乙，所以乙必然取胜．例3 如下图是一个9×9棋盘，它有81个小正方形的格子，在右上角顶的格子里标有“▲”的符号代表山顶．A、B两人这样来游戏：由A 把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盘的最下面一行或最左边一列的某个格子里（即放在右图中阴影区域的一个格子里），然后由B开始，两人对奕：“皇后”只能向上，向右或向右上方斜着走，每次走的格数不限，但不得倒退，也不得停步不前；谁把“皇后”走进标有“▲”的那格就得胜．显然，双方对弈下去决不会出现“和棋”，在有限个回合后，必有一胜一负，试分析B必取胜的策略．这个游戏我们不妨称之为“皇后登山”问题．分析我们采用倒推分析的方法．如果A把皇后走进下图中带阴影的格子，则B就可一步把皇后走到山顶而获胜．因此任何一方都应该避免把皇后走进右图中的阴影地区，而都应该迫使对方不得不把皇后走至带阴影的格子里去，这是取胜的总的指导思想．那么B应把皇后走到哪些格子中才能迫使对方不得不把皇后走进上图中带阴影的格子里去呢？从上图中可看出，这样的格子只有两个：有标号①和②的格子．由此可知，如果谁抢占了①或②，只要走法不再失误，就必会得胜．因此，我们形象地称①、②两格为“制高点”．那么为占①或②，如下图，如果A把皇后走进有★的方格里，则B 就能占领①或②，从而获胜，而B又怎样迫使A不得不把皇后走进有★的或有阴影的方格呢？同样的分析可知，只要B能占领第二对制高点③或④即可．继续运用上述分析方法，还可以得到下一组制高点⑤和⑥．这时，不论A开始把皇后放在最左一列与最下面一行的哪个格子中，B第一步都可以抢到一个制高点，或者第一步就直接达到▲，只要走法得当，必能稳操胜券的．说明：1．如果我们给出的是8×8的国际象棋盘，玩“皇后登山”游戏，A开始把皇后放在最左列或最下行的哪个格时，A必胜？这时我们看到，对8×8棋盘，制高点⑤在最左列上，制高点⑥在最下列上，所以A 开始把皇后放于⑤或⑥，则A必胜，放在其它格时，B可抢到制高点，则B必胜．2．如果在普通的围棋盘上，（共有18×18＝324个格）玩“皇后登山”游戏．B取胜的制高点都是哪些？请读者自己找出来．可以告诉大家，一共有六对，计12个制高点．例4 在8×8的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人轮流移动棋子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚棋子在同一格），但只能按箭头所表示的方向移动．在所有棋子都移到A点时，游戏结束，并且走最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？解：由三枚棋子到A的格数分别要走59步，50步和30步，这样就与例2在三条路线上走步本质上一样的，我们不妨把59，50，30这三个数写成2进制．59＝（111011）2，50＝（110010）2，30＝（11110）2排在一起：1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 01 1 1 1 0第一个人应当将第一行的111011改为101100，也就是减少11ll，这样就使各个数位上的数字和为偶数．这时无论第二个人如何走都将破坏这个特性，第一个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数的方法，稳步地走向胜利．这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动15步（即（1111）2＝1×23＋1×22＋1×2＋1＝15），即可按例2的规则稳步取胜．习题十二1．如下页图是一个3×101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子．每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输．若甲先走，请指出甲必取胜的着法．2．对8×8的棋盘，讨论“皇后登山”问题．3．在普通围棋盘上（共18×18＝324个格）讨论“皇后登山”游戏．4．图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打×）黄（空白格），蓝（斜线格）三种颜色的方格．游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果按不多于10次电钮将图a变为图b，便可得奖．问游戏人能否得奖？5．由甲在2×19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后乙开始先走棋：如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E 方向）走任意多少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时走相同的格数，不得不走棋，也不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的策略．习题十二解答1．甲先把一行黑子走99步顶住乙方白子，以后乙走多少格，甲在另一行也走多少格，最后甲必取胜．2．见例3说明中第1款．3．见例3说明中第2款，其12个制高点如下图所示．4．参加游戏的人无论按多少次电钮都无法把图a变为图b．事实上只需证明左上角3×3的矩形不能互相转换就行了．为此，我们分别用数字1、0、－1分别代换红、黄、蓝三种颜色．注意每按一次电钮，同时改变颜色的三个方格的数字和虽可能改变，但被3除余数是不变的，图a左上角9个数字和被3除余数是0，图b左上角9个数字和被3除余数是1，故图a永变不成图b．5．Q1到E有16格，Q2到E有13格，可记为（16，13）乙应把棋走成（8，13）或（7，4）．往后只要不犯错误，便可取胜．。

本系列共14讲第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学.文档贡献者：与你的缘所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：×8×7=28；12顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：×9×6=27。

12所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。

人教版数学四年级下册《围棋中的数学问题》教学设计一. 教材分析《围棋中的数学问题》是人教版数学四年级下册的一堂实践性较强的课程。

教材通过围棋这一传统文化载体，让学生在实践中感受数学的魅力，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本节课的主要内容有：围棋的基本规则、棋子的排列与组合、棋局的胜负判断等。

二. 学情分析四年级的学生已具备一定的数学基础，对数学问题有一定的探究欲望。

但学生在解决实际问题时，往往缺乏耐心和毅力，对围棋这一传统文化了解不多。

因此，在教学过程中，教师要注重激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与，培养学生的耐心和毅力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握围棋的基本规则，学会棋子的排列与组合，能运用胜负判断方法分析棋局。

2.过程与方法：培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对围棋这一传统文化的兴趣，增强学生的民族自豪感。

四. 教学重难点1.重点：围棋的基本规则、棋子的排列与组合、棋局的胜负判断。

2.难点：棋局的胜负判断方法的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过围棋游戏，激发学生的学习兴趣，让学生在实践中掌握数学知识。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉围棋规则，了解围棋的基本技巧。

2.学生准备：了解围棋的初步知识，如有必要，可提前让学生学习围棋的基本规则。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过讲解围棋的历史，引导学生了解围棋的文化内涵，激发学生的学习兴趣。

同时，简要介绍围棋的基本规则，为后续教学做铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示围棋棋盘和棋子，让学生直观地了解围棋的布局。

然后，教师演示围棋的基本操作，如落子、提子等，引导学生掌握围棋的基本技巧。

3.操练（10分钟）学生分组进行围棋对弈，体会围棋的乐趣。

棋盘上的数学同学们，听说过国际象棋吗？国际象棋起源于印度，它的棋盘是正方形的，由8行8列颜色一深一浅、交错排列的64个小方格组成（如右图）。

国际象棋和它的发明人——印度人西萨·班·达依尔还有一段有趣的故事呢！读一读棋盘上的麦粒西萨·班·达依尔是古印度舍罕王的宰相。

一次，舍罕王觉得自己王宫里的所有游戏都玩腻了，于是，他下令说，如果谁能发明一种使他开心的游戏，谁就将得到很多的赏赐。

达依尔知道了这个消息，便把自己发明的国际象棋奉献给了舍罕王。

舍罕王觉得这种游戏很有趣，非常高兴，就打算重赏达依尔。

舍罕王问达依尔：“你的发明给我带来了很多欢乐，你要什么赏赐，我就给你什么赏赐！”达依尔不慌不忙地说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二格里赏2粒，照这样下去，每一格里的麦子都比前一格加一倍。

直到把棋盘的64个格子都摆满，您把这些麦子赏给我就够了。

”舍罕王对达依尔的要求既奇怪，又高兴：“达依尔，你的要求也太少了，我会让你满足的！”于是舍罕王命令侍臣，把这些麦子如数付给达依尔。

数麦粒的工作开始了，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，可还没放到20格，一袋的麦子已经空了。

接着一袋又一袋的麦子被扛上来，一袋又一袋的麦子被数尽，依旧无法达到达依尔的要求。

而舍罕王也惊得目瞪口呆，因为他发现：达依尔的要求竟是无法兑现的！？？做一做让我们一起来动手做一做吧！这是为什么呢？图画不好，本意想画成两次对折状。

我们研究所要借助的材料是一张普通的白 纸。

如图，对折1次，纸有几层？对折2次， 纸有几层？ 对折3次呢？1. 随着对折次数的不断增加，你发现纸的层数变化有什么规律吗？2. 这些层数与2又有什么特殊的联系呢？○ 小 贴 士 ○4可以写成2×2，两个2相乘可以在2 的右上角写一个2，即22，读作2的平方，或 2的2次方。

通常，几个2连乘，就可以在2的右上角写 几，读的时候就读作2的几次方。

数学广角围棋中的数学问题教学目标：1．借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题；2．初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力；3．让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。

教学重点：从封闭曲线（方阵）中探讨植树问题。

教学难点：用数学的方法解决实际生活中的简单问题。

情感与态度目标：通过小组合作交流，培养学生认真倾听他人意见，乐于与人合作，从不同角度欣赏他人的良好心态。

教具准备：3×3格、4×4格、5×5格方格纸、围棋子若干粒、4×4格条形吹塑纸贴在地下。

课前准备：课桌围成“回”字形。

教学过程：一、情境导入（课件出示）猜谜：好田几百亩，种豆分黑白，要想见高低，二人摆一摆。

（打一棋类名称）——围棋今天这节课，我们就从棋盘入手，学习围棋中的数学问题。

（板书）二、探索新知1．教学每边摆放3粒棋子的方法。

（1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放3个棋子。

最外层可以摆放多少个棋子？（2）抢答：读题后，让学生口算出答案。

（学生可能会出现多种答案。

）（3）动手验证：请学生分小组按要求摆放棋子，验证刚才答案。

（4）汇报交流（着重请学生说出方法。

）可能会出现以下方法：3×2＋2＝8 2×4＝83×3－1＝8 3×4－4＝8 直接点数。

教师表扬学生的创新摆法，并奖励“智慧星”。

（教师随学生回答，用课件出示摆放方法。

）2．教学每边摆放4粒棋子的方法。

（1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放4个棋子。

最外层可以摆放多少棋子？（2）动手操作：请学生分小组按要求摆放棋子，写出算式。

（3）游戏：让一学生当“小老师”，其余学生当“围棋子”，请小老师邀请“围棋子”按上题要求站在老师设计的大棋盘上。

[设计意图：这一游戏的方法，激发了学生的兴趣，不仅使学生学到了摆放方法，让每个学生参与活动，把所学知识运动到游戏中。

]（4）汇报交流（着重请学生说出方法）教师随学生回答，用课件出示摆放方法。

第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：1×8×7=28；2顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：1×9×6=27。

2所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。

围棋中的数学一、创设情境，引出例题谈话：你们知道图中的小朋友在干什么吗？（幻灯片2）谁能讲一讲有关围棋的知识？其实围棋中也藏着许多有趣的数学，今天我们就一起来学习《围棋中的数学》。

板书课题。

（幻灯片3）你知道小明的爸爸为什么笑了吗？生答。

爸爸应该让给小明多少棋子呢？（幻灯片4）二、动手操作，探索方法过渡语：棋盘的最外层每边放19个棋子想起来比较复杂，我们先看最外层每边放3个棋子的，看能不能从中找到好办法。

1．引导探究每边摆放3个棋子的方法师：现在大家拿出格子图1。

师：想一想最外层每边能放3个棋子。

最外层可以摆放多少棋子？列出算式，和同桌说一说。

（2）动手操作。

（3）指名汇报。

你认为是多少？你是怎样得到8？师板书算式（预设：你们的方法有的重复，有的遗漏，能不能找到一种方法既不重复，又不遗漏还简单呢？）3．自主探究每边摆放5颗棋子的方法4、独立完成例3。

（在本上写）（幻灯片5 6 7）5、即时训练（幻灯片8）如果可以假设棋盘变得更大了如果最外层每边能放100个，最外层一共可以摆放多少个棋子？200个呢？拓展思维：如果一个五边形，怎么算？一个三角形呢？（集体口答）现在你又发现了什么？（不仅要知道每边的棋子数，还要知道有几个边）6、小结过渡语：通过刚才的学习我们知道遇到难题、复杂的问题时，短时间内找不到解决的办法，就可以采用把复杂问题简单化的办法化难为易，寻找出简单的解决方法，然后用这种方法解决复杂问题。

大家还记得曹聪称象的故事吗？小曹冲就是应用了化难为易，化大为小，化复杂为简单的办法，巧妙的称出了大象的重量呢！你说小曹冲是不是很聪明。

三、应用提升解决问题今天小明巧妙的赢了爸爸，爸爸很不甘心。

所以给小明出了几道题，我们一起去做吧！（幻灯片9）一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？你能解决这个问题吗？要想解决这个复杂的问题，我们可以从（）开始想呢，对从一张，两张开始想，就把复杂问题简单化，寻找出简单的方法，再用来解决10张可以做多少人的问题。

玩转乘法，“棋”乐无穷——以《棋盘中的乘法》一课教学为例【背景阐述】二年级的学生初步学习乘法，根据对学生已有经验的了解，在新课学习前，学生已经能够背诵乘法口诀表了，但是对于乘法的意义的理解是欠缺的，乘法与加法之间的联系与沟通也是缺乏的。

基于此，设计有关乘法的拓展游戏课，目的是让学生在趣味化学习中，进一步感知乘法与加法之间的联系。

【课堂架构】在棋盘的情境中进一步理解乘加、乘减式题的含义和计算顺序，巩固乘法的意义。

经历从具体情境中抽象出乘加、乘减算式的过程，体会从不同角度观察和思考问题,体现解决问题策略多样化的教学思想。

先在方格本中画16颗棋子，再判断哪些作品可以用乘法表示，哪些不可以直接用乘法表示，如果不能直接用乘法表示，那么如何转化成可以用乘法表示。

【课堂剪影】一、借助方格，自由画棋【片断一】在方格纸上画出16颗棋子。

师：小朋友们，今天这节课我们来学习棋盘中的乘法，课前小朋友们已经准备好了方格本、铅笔、橡皮，真棒。

师：请小朋友按照棋盘中棋子的摆法，把这16颗棋子，有序地画在这个空白的棋盘里，可以用小圆点表示。

听明白了吗？开始吧！学生在方格本上画16颗棋子。

学生在掌握如何在方格纸上画棋后，自由画16颗棋子，尊重了学生的主观性与个体差异性，使得课堂教学更加开放与自主。

规定了棋子数是16颗，在画法的差异中遵循了数量的统一，也为后续棋子数一样，但摆放不一样的环节设置做了铺垫。

二、结合乘法，辨析作品【片断二】辨析作品是否可以直接用乘法表示。

师：请你找一找，哪些作品可以直接用乘法表示，哪些作品不可以直接用乘法表示？生：①号、⑤号、⑦号可以直接用乘法表示，②号、③号、④号、⑥号不可以直接用乘法表示。

师：你观察得真仔细，把它们分了类，这些作品可以直接用乘法表示。

请小朋友们认真思考，在这些作品中，你看到了怎样的乘法算式？师：你是如何理解这个算式的呢？根据乘法的意义，让学生判断哪些作品可以直接用乘法算式表示，在判断的过程中，学生理解并运用了乘法的意义。

第十三讲棋盘中的数学（四）——棋盘格的计数问题与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法．例1 如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法？解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走到帅的位置有70种不走法．说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法．例2 围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形．解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线AC移动，第1次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，也可视为是下移一格和右移一格的合成．再加上初始位置的小正方形，这时就有1＋3个小正方形．继续将小正方形沿对角线移动，共移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下角．这时共包含小正方形（1＋3＋5…＋19）个，我们可解法3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的代表点E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方，通过观察，不难发现：①点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上．②反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格子点个数”了，很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10＝100个．说明：以上三种解法都有一定代表性．其中解法3既巧妙又迅速，它利用了“一一对应就一样多”的配对原理．配对原理在计数中是非常重要的．例3 从8×8的方格棋盘（下图）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（可旋转），问有多少种不同的取法？分析如果从2×2的方格中取“L”形，则有4种不同的取法，因此，我们只要知道从8×8的方格棋盘上总共可以取出多少个“田”字形就可以了，又由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的交叉点（但不包括边界上的点），反过来每一个这样的交叉点都有一个以它为中心的“田”字形，于是问题就转化为求横线与竖线一共有多少个不在边界上的交叉点．解：设S是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S′是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集合．由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小方格恰好组成一个“田”字形，因此集合S与S′的元素能一一配对．由配对原理，这两个集合的元素一样多．而棋盘内横线与竖线的交叉点有：（9－2）×（9－2）＝49（个）．所以棋盘上可以取出“田”字形的个数为49个．又由于从一个“田”字形中可以取出4个“L”形，并且，从不同的“田”字形中取出的“L”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出49×4＝196个“L”形，即题中“L”形的不同取法共196种．例4 如下图在5×5棋盘格中，共有多少个正方形？解：在5×5的棋盘格中包含 1×1的正方形共25个；包含 2×2的正方形共16个；包含3×3的正方形共9个；包含4×4的正方形共4个；包含5×5的正方形共1个；总计包含各种正方形共有：25＋16＋9＋4＋1＝55个．说明：本题解法是先将正方形分成五类：1×1，2×2，3×3，4×4，5×5，对每一类都仿例3中第3种解法去解是非常迅速的．例5 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？分析解决这个问题，主要是运用两个结论：①同底等高的两个三角形的面积相等．②平行的两条直线间的距离处处相等．解：设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是：所求的三角形可分两种情形：①三角形的一边长为2，这边上的高是3．这时，长为2的边只能在原正方形的边上．这样的三角形有：2×4×4＝32（个）．②三角形的一边长为3，这边上的高是2．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线（其中，与①重复的三角形不再算入）．这样的三角形有：8×2＝16（个）．答：所求的三角形共48个（包括上页图中给出的三角形）．说明：解本题，容易出现两种错误，一是“少”，如忽略了底是3，高是2的三角形，这样就少算了16个；二是“多”：在计算底是3，高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形①中已经计算过了，于是会得出错误结果64个．棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题．其一要注意会把对象分类．其二，在每类数数时要做到不重，不漏．这样才能得到正确的结果．习题十三1．下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？2．下图中的象棋盘上一只小卒过河后沿最短的路走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法？3．下图表示某城市的街道图，若从A走到B（只能由北往南，由西向东），问共有多少种不同的走法？4．下图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C？5．如下图，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子为顶点的正方形共有多少个？。

《围棋中的数学》教案设计吉林省第一实验小学张健红教学内容：人教版新课标第八册120页例3教学目标：1．借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题。

2．通过独立自主、研讨交流、培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题有效方法的能力。

3．培养学生举一反三能力，让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。

教学重点：用数学的方法解决实际生活中的简单问题。

教学过程：一、设疑生趣（6—7分钟）1．同学们，大家注意看，我写个字（弈）,如果你认识就用最快的速度大声读出来，看谁最快好吗？谁是第一个读出来的？XX同学，你真棒读对了！这个字的确念yi，同桌再读一遍，大家齐读。

2．谁知道“弈”是什么意思？生1：不知道，师：老师告诉大家，古代把围棋就叫做“弈”（在弈下面板书：围棋）（生2：“弈”就是下棋，师：你知道得可真多，那你知道这里的棋是什么棋吗？一般来说，弈就是指围棋。

）（生3：“弈”就是围棋，师：你知道得可真多，）3．师：那谁知道围棋方面的知识给我们讲一讲，知道多少就讲多少呗！生1：2：师:你了解不少呀，看来你是会下围棋，等下课后我们两人赛一场，怎么样？生:好师:看得出，对于围棋有的同学还不太了解，没有关系，我为大家准备了一段介绍围棋的资料片，让我们来欣赏。

资料片中说棋子要摆在哪里？你们听得真仔细.5．大家看着这个棋盘的平面图，想一想对于围棋你能提出什么数学问题呢？(在右上角板书：最外层、每边、一周、一共)生：棋盘中一共可以摆多少个棋子？生：最外层每边能摆几个棋子？生：最外层一周可以放几个棋子？师：就先提到这里，你们看围棋中存不存在数学问题？生：存在6．不但存在，而且还存在着很多的数学问题呢。

（补充板书：中的数学）二、自主探究（17分钟）（一）学生自主探索、研究。

（5分钟）教师引导1、刚才是同学们提的问题，能允许我也提个吗？2、谁知道围棋盘最外层一边摆几个棋子？（生：19你怎么知道的？讲的真好！）3、我来告诉大家最外层一边可以摆19个棋子，这一边也摆19个，这边也摆19个，你们说最外层一共摆几个棋子呢？生：76，72师：有的说师76，有的说师72，哪个正确呢？别着急。