高一数学专题讲座-6

高一数学第六章-知识点第一节：函数与方程在高一数学第六章中，我们将学习函数与方程，这是一个非常重要的数学知识点。

函数和方程在数学中起着非常重要的作用，它们被广泛应用于各个领域，如物理、经济学等。

了解和掌握函数与方程的概念与性质，对于我们解决实际问题具有重要的指导意义。

1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

函数可用来描述数学、物理、经济等各个领域中的规律与关系。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系三部分：1.1.1 定义域在函数的定义中，定义域是指函数的自变量所能取值的集合。

用符号表示为D(x)。

例如，对于函数y=x+1，自变量x可以取任意实数，因此定义域为全体实数集合R。

1.1.2 值域值域是函数的因变量所能取值的集合。

用符号表示为R(y)。

对于函数y=x+1，因变量y的取值范围依赖于自变量x，它的值域为全体实数集合R。

1.1.3 对应关系函数是对应关系的一种特殊形式。

对于函数y=x+1，自变量x的每个取值都有唯一对应的因变量y值。

例如，当x=1时，y=2；当x=2时，y=3。

这种一一对应的关系是函数的基本特征。

1.2 方程的解与根方程是一个等式，它描述了两个表达式相等的关系。

方程的解是满足方程的变量的取值。

这些取值使得方程两边的表达式相等。

方程的解可以分为有理数解、无理数解和复数解。

1.2.1 有理数解有理数解是指满足方程的解为有理数的情况。

例如，方程x^2-2=0的解为x=±√2，√2是一个无理数，因此方程的解为无理数解。

1.2.2 无理数解无理数解是指满足方程的解为无理数的情况。

例如，方程x^2-4=0的解为x=±2，2是一个有理数，因此方程的解为有理数解。

1.2.3 复数解复数解是指满足方程的解为复数的情况。

在高一阶段，我们主要研究一元二次方程的解，一元二次方程的解可以用复数表示。

例如，方程x^2+1=0的解为x=±i，其中i是虚数单位。

一、讲座背景随着新课程改革的深入推进，高中数学教学面临着前所未有的挑战和机遇。

高一作为高中数学教学的起始阶段，对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。

为了提高高一数学教学质量，本讲座将围绕高一数学教学策略与核心素养培养展开讨论。

二、讲座内容一、高一数学教学现状分析1. 学生学习兴趣不高：部分学生对数学学习缺乏兴趣，导致课堂参与度低，学习效果不佳。

2. 教学方法单一：部分教师仍采用传统的灌输式教学方法，忽视学生的主体地位，导致学生被动学习。

3. 教学内容与实际脱节：部分教学内容过于抽象，与实际生活联系不大，使学生难以理解和应用。

4. 教学评价单一：过分注重考试成绩，忽视学生的综合素养培养。

二、高一数学教学策略1. 激发学生学习兴趣：通过创设情境、开展趣味活动等方式，激发学生对数学学习的兴趣。

2. 改进教学方法：采用启发式、探究式、合作式等教学方法，提高学生的课堂参与度。

3. 注重教学内容与实际联系：将数学知识与实际生活相结合，提高学生的应用能力。

4. 完善教学评价：采用多元化的评价方式，关注学生的综合素养。

三、高一数学核心素养培养1. 理解数学本质：培养学生对数学知识的理解和掌握，提高学生的数学思维能力。

2. 培养数学应用意识：使学生学会运用数学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。

3. 培养数学创新精神：激发学生的创新意识，培养学生的创新思维。

4. 培养数学审美能力：引导学生欣赏数学之美，提高学生的审美情趣。

四、高一数学教学案例分享1. 案例一：通过创设情境，激发学生学习兴趣在讲解“函数”这一章节时，教师可以结合实际生活，如气温、商品价格等，引导学生思考函数在生活中的应用，从而激发学生对函数学习的兴趣。

2. 案例二：采用探究式教学方法，提高学生课堂参与度在讲解“三角函数”这一章节时，教师可以引导学生自主探究三角函数的性质，通过小组合作、讨论等方式，让学生在探索中掌握知识。

3. 案例三：注重教学内容与实际联系，提高学生应用能力在讲解“概率与统计”这一章节时，教师可以结合实际案例，如彩票中奖概率、股市行情等，让学生了解概率与统计在生活中的应用，提高学生的应用能力。

高中数学专题讲座篇一：高中数学专题讲座讲座题目:解析几何讲座主题:解析几何的基本概念、方法和应用讲座时长:30分钟正文:解析几何是高中数学中重要的分支之一,主要研究平面上点与线之间的关系,以及它们在空间中的相互转化。

解析几何的应用非常广泛,包括几何光学、天体物理学、工程学等领域。

讲座开始时,我们将介绍解析几何的基本概念和符号表示。

解析几何中的点通常用字母P表示,线通常用字母l表示,函数通常用字母f表示,变量通常用字母x表示。

我们将使用这些符号来表示解析几何中的各种概念和公式。

接下来,我们将介绍解析几何的基本方法。

这些方法包括几何法、代数法和曲线法等。

几何法是利用几何图形来表示函数,代数法是利用代数公式来表示函数,曲线法是利用曲线来表示函数。

我们将介绍这些方法的基本原理和应用。

最后,我们将介绍解析几何的应用。

解析几何在几何光学、天体物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

例如,在光学中,解析几何可以用来研究光的传播规律;在天体物理学中,解析几何可以用来研究行星的轨道和运动规律;在工程学中,解析几何可以用来研究机械运动的分析和控制。

在讲座的结尾,我们将总结一下解析几何的基本概念、方法和应用。

我们还将介绍一些常见的解析几何问题和解决方法,以便听众们能够更好地掌握解析几何的知识和技能。

以上就是本次高中数学专题讲座的全部内容。

希望本次讲座能够帮助听众们更好地掌握解析几何的基本概念、方法和应用,为未来的学习和研究打下坚实的数学基础。

篇二：高中数学专题讲座讲座题目:高中数学专题讲座讲座主题:高中数学基础知识的讲解与拓展正文:大家好,今天我们来谈一谈高中数学基础知识的讲解与拓展。

高中数学是一个非常重要的学科,因为它是许多大学专业的基础课程,同时也是许多职业领域中必不可少的技能。

因此,在学习高中数学时,掌握基础知识是非常重要的。

在讲解基础知识时,我们需要注意以下几个方面:1. 理解概念和定义。

概念和定义是数学的基石,只有理解了它们,才能更好地应用数学知识。

高一暑假第6讲数学知识点在高一的数学课程中，我们学习了很多重要的数学知识点。

在这篇文章中，我将介绍一些高一暑假第6讲的数学知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1. 二次函数二次函数是高中数学中非常重要的一部分内容。

它的一般式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线。

我们可以通过一些常见的方法来分析二次函数的图像，包括确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及特殊点等。

2. 幂函数幂函数也是高中数学中的重点内容。

幂函数的定义域是实数集，一般式为y = x^m，其中m为实数。

幂函数的图像形状与幂指数m的正负及大小相关。

当m为正数时，图像呈现递增趋势；当m为负数时，图像呈现递减趋势；当m为0时，图像为一条常函数。

3. 对数函数对数函数是一种常见的函数形式，它的定义域是正实数集，定义式为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。

对数函数和指数函数是互逆的关系，通过对数函数可以简化复杂的指数运算。

对数函数的图像呈现递增趋势，底数越大，图像的变化越剧烈。

4. 不等式不等式在高中数学中也是重要的知识点之一。

我们学习了一元一次不等式、一元二次不等式以及绝对值不等式等内容。

解不等式的关键是找到使得不等式成立的数值范围，并将其用数轴或集合表示出来。

需要注意的是，不等式在进行运算时，需要遵循一定的规则以及不等式的性质。

5. 三角函数三角函数是数学中较为复杂的一部分内容。

我们学习了正弦函数、余弦函数以及正切函数等基本三角函数的概念和性质。

在解三角函数的问题时，我们需要熟练运用诱导公式和简单的三角函数化简技巧。

同时，还需要掌握三角函数在坐标系中的图像特征，包括周期、振幅、相位等。

6. 排列与组合在数学中，排列和组合是组合数学的基础概念。

我们学习了排列和组合的定义以及计算方法。

排列是指从n个元素中选取r个元素进行排列，其中元素之间有顺序关系，计算公式是A(n,r) = n! / (n-r)!；组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合，其中元素之间没有顺序关系，计算公式是C(n,r) = n! / (r!(n-r)!）。

高中数学复习专题讲座
前言
本次数学复专题讲座旨在帮助高中学生全面复和巩固数学知识，提高数学应试能力。

在这个讲座中，我们将对高中数学的各个知识
点进行系统性讲解和练。

专题一：代数与函数
1.1 一次函数与二次函数
- 理解一次函数与二次函数的定义及性质
- 掌握一次函数与二次函数的图像的绘制方法
- 学会解一次方程与二次方程
1.2 指数与对数函数
- 理解指数与对数函数的定义与性质
- 掌握指数与对数函数的图像的绘制方法
- 学会解指数与对数方程
专题二：几何与三角
2.1 三角函数
- 了解三角函数的定义及其基本性质
- 掌握正弦、余弦和正切函数在单位圆上的性质和应用- 学会解三角方程和利用三角函数求解实际问题
2.2 平面几何
- 熟悉平面几何的基本概念和性质
- 掌握平面几何中的重要定理和推理方法
- 学会运用平面几何解决实际问题
专题三：概率与统计
3.1 概率
- 理解概率的基本概念和性质
- 掌握概率计算的基本方法和技巧
- 学会应用概率解决实际问题
3.2 统计
- 了解统计学的基本概念和方法
- 掌握统计分布的计算和数据分析的技巧
- 学会运用统计学方法研究实际问题
结语
本次高中数学复专题讲座涵盖了代数与函数、几何与三角、概率与统计三个专题，重点讲解了各个知识点的定义、性质和应用。

通过参与讲座并积极实践，相信您的数学水平会有明显提高，为应对高考做好准备。

祝愿大家在数学学习中取得优异成绩！。

高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。

高一数学第6章知识点第一节：函数与方程函数与方程是高一数学中非常重要的概念。

在这一章中，我们将学习如何理解、运用和解决函数与方程的问题。

1. 什么是函数？函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。

在数学中，我们可以用不同的方式来表示函数，如显式表达式、隐式表达式、图像等。

函数的定义域（输入）和值域（输出）是确定函数特性的重要因素。

2. 函数的性质函数具有许多重要的性质，如有界性、单调性、奇偶性、周期性等。

通过研究函数的性质，我们可以更好地理解函数的行为和特点。

3. 方程与不等式方程和不等式是表示数学关系的重要工具。

通过解方程和不等式，我们可以找到使其成立的未知数的值。

方程和不等式在解决实际问题中起着重要的作用，例如确定最大值、最小值、等速率等问题。

第二节：多项式函数多项式函数是高中数学中的关键概念之一。

它是一种形式为f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 的函数，其中 a_n是非零常数，n 是非负整数。

1. 多项式的基本性质多项式函数具有许多重要的性质，如奇次多项式和偶次多项式的图像特点、多项式函数的极值、多项式函数与方程的关系等等。

2. 多项式的运算多项式函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

这些运算在多项式函数的化简和计算中非常有用。

3. 多项式的根与因式分解多项式的根是使多项式等于零的解。

通过寻找多项式函数的根，我们可以将其因式分解为不可再分解的因子。

第三节：指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中一个重要的研究对象，它们在科学、工程和经济学等领域有着广泛的应用。

1. 指数函数指数函数可以用 f(x) = a^x 来表示，其中 a 是正实数且不等于1。

指数函数具有许多重要的性质，如单调性、连续性、收敛性等等。

2. 对数函数对数函数是指数函数的反函数。

对数函数可以用 f(x) = log_a(x) 来表示，其中 a 是正实数且不等于1。

数学高一第六章知识点在高一数学的学习中，第六章是一个重要的章节，其中包含了许多关键的数学知识点。

本文将介绍数学高一第六章的核心内容，并分小节进行讨论。

一、函数的基本概念和性质函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。

在第六章中，我们学习了函数的定义、定义域、值域、图像以及函数的性质等。

1.1 定义和性质函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

函数的定义由一组输入和一组输出组成，每个输入对应唯一的输出。

函数可以用公式、图像或数据表来表示。

函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而函数的值域是所有可能的输出值的集合。

1.2 图像和图像的性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，它由所有的输入和对应的输出点组成。

函数的图像可以用来研究函数的性质，如增减性、奇偶性和周期性等。

另外，函数的图像还可以用来解决实际问题，如求解方程、不等式和函数的最值等。

二、函数的基本类型与特性在数学高一的第六章中，我们学习了几种常见的函数类型和它们的特性。

这些函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

2.1 线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的定义可以用一个一次方程来表示。

线性函数的图像是一条直线，具有常比例关系。

我们在学习线性函数时，会介绍直线的斜率、截距和函数的解析式等概念。

2.2 二次函数二次函数是一个抛物线函数，它的定义可以用一个二次方程来表示。

二次函数的图像是一个平滑的曲线，具有开口方向、顶点坐标和对称轴等特性。

我们还会学习二次函数的最值、零点和图像的平移缩放等内容。

2.3 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是相互逆运算的函数，它们的定义分别由指数和对数的性质决定。

指数函数的图像是递增的，而对数函数的图像是递减的。

我们会学习指数函数和对数函数的基本性质、特点和应用。

三、函数的运算与组合在高一数学的第六章中，函数的运算和组合也是一个重要的内容。

我们会学习函数的四则运算、复合函数、反函数和函数方程等知识点。

第6讲：函数的奇偶性【考纲要求】1.掌握函数奇偶型的定义和判断方法。

2.理解奇偶函数图像的特点3.能熟练应用两个性质解决一些简单问题。

【教学重难点】函数的单调性和奇偶性【重难点命题方向】单调性和奇偶性的综合应用自主预习：1. 函数的奇偶性概念（1）奇函数设函数f(x) 的定义域为D ,如果对D 内的_________x,都有-x ∈D,且________________则这个函数叫奇函数（2）偶函数设函数f(x) 的定义域为D ,如果对D 内的_________x,都有-x ∈D,且________________则这个函数叫偶函数。

2、 奇偶函数图像的对称性（1）如果一个函数为奇函数，则这个函数图像关于_________________对称。

a) 如果一个函数为偶函数，则这个函数图像关于_________________对称。

3、 函数奇偶性的性质关于奇函数（1）图像关于________________对称（2）在关于原点对称的区间上，单调性________（3）如果在原点处有意义，则f(0)=_________关于偶函数（1）图像关于________________对称（2）在关于原点对称的区间上，单调性________（3）F(-x)=f(x)=f(|x|)4、函数的单调性（1）函数的单调区间必须是_________的子集。

因此，要求函数的单调区间，必须先求函数的____________（2）函数y=x1的单调区间是（0,∞-），（0，∞+），要特别注意一些无意义的特殊点。

课堂互动一、函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性，并说明理由.① 2()1f x x x =-+ []1,4x ∈-②()(f x x =- (1,1)x ∈- ③ ()11f x x x =+--④ 22230()00230x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩巩固提高：判断下列函数的奇偶性①()f x =②()f x x =-③(1)0()(1)0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩二．奇偶函数的图像问题例2 设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-.当[]0,5x ∈时，函数()y f x =的图像如图，则使函数值0y <的x 的取值集合为 .巩固提高：三．奇偶性与单调性的联系例3．已知函数f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，1)(3++=x x x f ，求f(x)的解析式。