河北省南宫中学2019-2020学年高一下学期6月月考(开学考试)数学试题(wd无答案)

2019-2020学年河北省南宫中学高一下学期6月月考（开学考试）数学试题一、单选题1．已知a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b > B ．a b >C ．a c b c +>+D ．ac bc >【答案】C【解析】利用特殊值法可判断A 、B 选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C 、D 选项的正误. 【详解】取2a =-，3b =-，则22a b <，a b <，A 、B 选项错误；a b >Q ，R c ∈，由不等式的基本性质可得a c b c +>+，C 选项正确；当0c <时，a b >Q ，则ac bc <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.2．若直线(2)(1)3a x a y ++-=与直线(1)(23)20a x a y -+++=互相垂直,则a 等于( ) A ．1 B ．-1C ．±1D ．-2【答案】C【解析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可． 【详解】解：①当1a =时，利用直线的方程分别化为：1x =，520y +=，此时两条直线相互垂直．②如果32a =-，两条直线的方程分别为560x y +-=与54x =，不垂直，故32a ≠-；③0a >Q ，当1a ≠时，此两条直线的斜率分别为21a a +--，123a a --+．Q 两条直线相互垂直，∴21()?()1123a a a a +---=--+，化为1a =-， 综上可知：1a =±． 故选：C ． 【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．3．在ABC ∆中，45a b B ︒==∠=，则∠A 等于( ) A ．30°或150° B ．60°C ．60°或120°D ．30°【答案】C【解析】直接使用正弦定理，即可求得结果. 【详解】 根据正弦定理a bsinA sinB=，45sin =︒，解得sinA =A 为60°或120°； 又a b >，则A B >，显然两个结果都满足题意. 故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理的直接使用，属基础题.4．若向量a r ，b r 满足1a b ==r r ，()32a ab ⋅-=rr r ，则向量a r ，b r 的夹角为（ ）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o【答案】C【解析】由已知可得232a ab -⋅=r r r ，再利用数量积的定义计算即可.【详解】由1a b ==r r ，()32a ab ⋅-=rr r ，得232a a b -⋅=r r r ，即3111cos ,2a b -⨯⨯<>=r r ，解得1cos ,2a b <>=-r r ，又,[0,]a b π<>∈r r ，所以,120a b <>=o r r .故选：C 【点睛】本题考查已知向量的模与数量积求夹角的问题，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是( ) A ．8a B ．9SC ．17aD ．17S【答案】D【解析】解：在等差数列中， ∵548213510S a a -+=，∴（10a 1+20d ）-13（a 1+3d ）+5（a 1+7d ）=10， 2a 1+16d=10， a 1+8d=5， a 9=5，所以，S 17=17×12（a 1+a 17）=17a 9=85为定值， 故选D ．6．一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，蚂蚁爬行的最短路径为23m ，则圆锥的底面圆半径为（ ） A ．1m B ．23m C ．43m D ．32m 【答案】B【解析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径. 【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m 的一扇形，蚂蚁从P 爬行一周后回到P （记作1P ），作1OM PP ⊥，如下图所示：由最短路径为23m ，即123,2PP OP ==，由圆的性质可得13POM POM π∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23π，则圆锥底面圆的周长为24233lππ=⨯=，则底面圆的半径为423223lrπππ===，故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.7．已知ABC∆中，2AD DC=u u u v u u u v，E为BD中点，若BC AE ABλμ=+u u u v u u u v u u u v，则2λμ-的值为（）A．2B．6C．8D．10【答案】C【解析】将BC AE ABλμ=+uu u r uu u r uu u r中的向量，都转化为以,AB ACu u u r u u u r为基底的向量表示，由此列方程组，解方程组求得,λμ的值，进而求得2λμ-的值.【详解】由BC AE ABλμ=+uu u r uu u r uu u r得()12AC AB AD AB ABλμ-=⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即1223AC AB AC AB ABλμ⎛⎫-=++⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即1132AC AB AC ABλλμ⎛⎫-=++⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r，故113112λλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得53,2λμ==-，故2358λμ-=+=.故选：C.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查方程的思想，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若()cos cos cos cos a A a C c A B =+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及二倍角公式化简得角的关系，最后根据角的关系确定三角形形状. 【详解】因为()cos cos cos cos a A a C c A B =+，所以()sin cos sin cos sin cos cos A A A C C A B =+， 所以()sin cos sin cos sin cos A A A C B B B =+=， 从而sin2sin2A B =. 因为0A π<<，0B π<<,所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，故ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.选D. 【点睛】本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.9．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是( ) A ．32B ．2C ．73D ．256【答案】A【解析】试题分析：由6542a a a =+得5432q q q =+解得2q =，14a =得24162m n q +-==，所以6m n +=，所以()141141413596662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【考点】数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元1,a q ，在求解过程中，先对具体的数值条件6542a a a =+进行化简，可求出2q =14a =，可得到6m n +=；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.10．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A．1 BCD．3【答案】A【解析】求出A 关于4x y +=的对称点A '，根据题意，则1A C '-为最短距离，即可得答案； 【详解】设点A 关于直线4x y +=的对称点(),A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ， 根据题意，1A C '-为最短距离，先求出A '的坐标，AA '的中点为3,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，直线AA '的斜率为1， 故直线AA '为3y x =-，由34223a bb a +⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得4a =，1b =，所以A C '=故11A C '-=， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O的球面上，若AB =P ABCD -的体积为323，则球O 的表面积为（ ） A ．25π B ．253πC ．254πD ．5π【答案】A【解析】设正四棱锥底面的中心为1O ，则由体积可求得棱锥的高14PO =，设外接球的半径为R ，在直角三角形1OO A 中，1142，OO R O A =-=，则有()22242-+=R R ，解得R ，即可得球的表面积.【详解】设正四棱锥底面的中心为1O ，则有(211322233PO ⨯⨯=，可得14PO =， 设外接球的半径为R ，在直角三角形1OO A 中，1142，OO R O A =-=，则有()22242-+=R R ，解得52R =， 所以球O 的表面积为22544252R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了正棱锥的外接球的表面积计算，考查了学生的直观想象和运算求解能力.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v （*N n ∈），设n A ，n B 到直线3(1)0x n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1{}na 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3(,)4+∞B ．3[,)4+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】根据向量的数量积运算由22n n n OA OB ⋅=-u u u u r u u u u r ，可得120n n A OB ∠=o，设线段n n A B 的中点为n C ，则可得n C 在圆2224n x y +=上，则n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式右求得22n a n n =+，再运算裂项相消求和法可求得n S ，得实数m 的取值范围.【详解】由22n n n OA OB ⋅=-u u u u r u u u u r ，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，所以120n n A OB ∠=o ，设线段n nA B 的中点为n C ，则2n n OC =，所以n C 在圆2224n x y +=上，n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心()0,0到直线(1)0x n n +++=的距离为()12n n d +==， 2(+12[]222n n n n a n n ∴=+=+），211111()222n a n n n n ∴==-++， 12311111111111111111(123243522212n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ，34m ∴≥, 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积运算、求动点的轨迹方程、圆上的点到直线上的距离的最值、运用裂项相消求数列的和的方法，关键在于将两点到直线的距离的和的最大值转化为圆心到直线的距离与半径的和，属于难题.二、填空题13．已知点()2,0A ，()0,4B ，O 为坐标原点，则AOB ∆外接圆的标准方程是__________.【答案】()()22125x y -+-=【解析】求出圆心与半径，即可写出△AOB 的外接圆方程 【详解】由题知OA OB ⊥，故ABO ∆外接圆的圆心为AB 的中点()1,2，半径为12AB =， 所以ABO ∆外接圆的标准方程为()()22125x y -+-=. 故答案为()()22125x y -+-=. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，考查直角三角形外接圆的特点，属于基础题． 14．已知不等式210ax bx -->的解集是11|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭,则不等式20x bx a --≥的解集是________.【答案】{|23}x x x ≤≥或【解析】因为不等式210ax bx -->的解集是11|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭,11,23--是方程210ax bx --=的两个根,且0a <,结合韦达定理,即可求得答案.【详解】Q 不等式210ax bx -->的解集是11|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∴ 11,23--是方程210ax bx --=的两个根,且0a <,根据韦达定理可得:∴ 112311123b aa ⎧⎛⎫-+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得:65a b =-⎧⎨=⎩∴ 不等式:20x bx a --≥为2560x x -+≥故不等式20x bx a --≥的解集:{|23}x x x ≤≥或. 故答案为: {|23}x x x ≤≥或. 【点睛】本题考查了根据一元二次不等的解集求参数问题,解题关键掌握一元二次不等的解法和韦达定理的使用,考查了计算能力,属于基础题.15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 【答案】63-【解析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值. 【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．山顶上有一座信号发射塔，塔高0.2千米，山脚下有A ，B ，C 三个观测点，它们两两之间的距离分别为3AB =千米，4AC =千米，2BC =千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°，则山高为______千米.【解析】设塔顶的垂直高度为PO x =千米，由题意可知A 、B 、C 均在以O 为圆心，半径为3x 的圆上，利用余弦定理可求得11cos 16ACB ∠=，进而可求得sin 16ACB ∠=. 【详解】设塔顶的垂直高度为PO x =千米，则AO BO CO x ===， 所以A 、B 、C 均在以Ox 的圆上， 在ABC V 中，3AB =，4AC =，2BC =，由余弦定理得：22242311cos 24216ACB +-∠==⨯⨯，∴sin 16ACB ∠==，由正弦定理得2sin AB R ACB ==∠∴R =x =x =∴山高为15-千米.故答案为：15-. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()*133nn n a a n N +-=∈，且11a=.（1）设13nn n a b -=，证明数列{}n b 为等差数列； （2）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）131223n n S -=-⋅ 【解析】（1）第一问证数列{}n b 为等差数列即证11n n b b +-=常数；（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，再求出113n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，用等比数列求和即可.【详解】（1）由已知得133nn n a a +=+，所以1113311333n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+， 所以11n n b b +-=，又11a =，所以11b =， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列 （2）由（1）知，13n n n a b n -==，所以13n n a n -=⋅，113nn c -= 111131313112322313n n n n S -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⋅⎝⎭-【点睛】本题考查定义法证明等差数列以及求等比数列的前n 项和，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18．在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆的面积为2． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且 ，求sin ADB ∠的值． 从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 【答案】（1）a =（2）选①，sin ADB ∠=；选②，sin ADB ∠=． 【解析】（1）利用三角形的面积公式得1sin 2ABC S bc A ∆=，再利用余弦定理，即可得答案；（2）①当1AD =时，由正弦定理sin sin b BC B BAC =∠，可求得sin 7B =，再由ADB B ∠=∠，可求得答案；②当30︒∠=CAD 时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案； 【详解】（1） 由于 1c =，2π3A =，1sin 2ABC S bc A ∆=， 所以2b =，由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-， 解得7a =．（2）①当1AD =时， 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b BCB BAC=∠， 即27sin 3B=，所以21sin 7B =． 因为1AD AB ==，所以ADB B ∠=∠． 所以sin sin ADB B ∠=， 即21sin ADB ∠=． ②当30︒∠=CAD 时， 在ABC ∆中，由余弦定理知，22227cos 2271AB BC AC B AB BC +-===⋅⨯．因为120A ︒=，所以90DAB ︒∠=， 所以π2B ADB ∠+∠=， 所以sin cos ADB B ∠= ， 即27sin ADB ∠=． 【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．如图四边形ABCD 为梯形，//90AD BC ABC ∠︒，＝，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【答案】68S π=表；体积1403π． 【解析】直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所以阴影部分绕旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，，.【详解】圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球 S 半球=×4π×22=8π S 圆台侧=π×(2+5)×5=35π S 圆台底=25π故所求几何体的表面积S 表＝8π+35π+25π＝68π V 圆台=V 半球=.故所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 半球=. 20．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ．（1）求a 及角A 的大小；（2）求AD u u u v的值．【答案】(1) 7a =23AD =u u u v【解析】试题分析：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理化简可得即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，从而得1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=，由余弦定理得7a =2）由1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =u u u v ． 试题解析：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，在ABC ∆中，sin 0B >，所以1cos 2A =-． 又()0,A π∈，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=， 所以7a =．（2）由1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以23AD =u u u v ． 21．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N【解析】（1）设出圆心C 坐标，根据直线l 与圆C 相切，得到圆心到直线l 的距离d r =，确定出圆心C 坐标，即可得出圆C 方程；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，联立圆与直线方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，求出t 的值，确定出此时N 坐标即可. 【详解】（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭， ∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=， 解得：0a =或5a =-（舍去）， 则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴必平分ANB ∠， 此时N 可以为x 轴上任一点， 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=，经检验>0∆， ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，若x 轴平分ANB ∠，设N 为(),0t ， 则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++， 解得：4t =，综上，当点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠. 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 22．已知数列{}n a 满足：2112313333n n n a a a a -+++⋯+=，()*n N ∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设()()111311n n n n b a a ++=--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较n S 与716的大小．【答案】（Ⅰ）()()n n2n 13a 1n 23⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩；（Ⅱ）详见解析.【解析】(Ⅰ)直接利用利用递推关系式求数列的通项公式；(Ⅱ)首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】()I 解：数列{}n a 满足2n 1123n n 1a 3a 3a 3a 3-+++⋯+=，()n N .+∈n 2∴≥时，n 212n 1na 3a 3a 3--++⋯+=， 相减可得：n 1n 13a 3-=，n n 1a 3∴=．n 1=时，12a .3= 综上可得：()()n n2n 13a 1n 23⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩．()II 证明：()()n n 1n n 11b 31a 1a ++=--，12218b 21331133∴==⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， n 2≥时，n n n 1n 1n n 11111b 112313131133+++⎛⎫==⋅- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． n 2334n n 181111111S 32313131313131+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n 1811173283116+⎛⎫=+-< ⎪-⎝⎭． 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．。

高一数学试题（时间：120分钟满分：150分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题正确的是( )．①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④2．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．3．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B．C．D．5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A．B．C．D．6．已知方程有两个不同的解，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．7．在三棱柱中，已知, ，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）.A ．B．C．D．8．在正方体中，是正方形的中心，则异面直线与所成角为A．B．C．D．9．如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为( )A．B．C．D．10．，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为（）A．B．C．D．11．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（）A．B．C．D．12．直线与圆有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为____条14．如果直线将圆平分且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是___．15．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC.其中正确的结论序号是________．16．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则______．三、解答题17．（ 10分）已知圆的圆心为，直线与圆相切．求圆的标准方程；若直线过点，且被圆所截得弦长为2，求直线的方程．18．（ 12分）已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．（1）求圆的方程；（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．19．（ 12分）如图，在三棱锥中，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，，求点到平面的距离．20．（ 12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.21．（ 12分）已知点是圆上的动点，点，是线段的中点（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹与直线交于两点，且，求的值.22．（ 12分）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切.(1)求圆的方程。

2019-2020年高一6月月考数学含答案本试卷共2页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在ABC ∆中，若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 2.1tan 751tan 75+︒-︒等于A. 33-3. 已知两个非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则下面结论正确的是 A. //a b B. a b ⊥ C ．a b = D. a b a b +=-4. 已知角α的终边上一点(8,15)P m m -（0m <），则cos α的值是 A.817 B. 817- C. 817或817- D. 根据m 确定 5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为A ．18B ．36C ．54D ．726. 圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线y x =-的最小距离为A ．1B ．．17．已知向量,a b 满足6)()2(-=-⋅+b a b a，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3πD ．6π8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15 9．函数3sin(2)3y x π=+，则下列关于它的图象的说法不正确的是A ．关于点(,0)6π-对称 B ．关于点(,0)3π对 C ．关于直线712x π=对称 D ．关于直线512x π=对称 10．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是A ．cos()2y x π=+B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+ D. sin(2)2y x π=+11．如果函数()sin()3f x x a π=++在区间5[,]36ππ-a 的值为ACD 12．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为7cm ，把一枚半径为2cm 的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A.27 B. 47 C ．37 D. 57第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答题纸的横线上．13．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵. 为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的 数量为 .14．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则_____b =15．如右下图是一个算法的程序框图，最后输出的S = . 16已知1010)sin(-=+απ，20πα<<，552)2sin(-=-βπ，23πβπ<<，则βα+ 的值是 三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=-．（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求定义域；（Ⅱ）若4()3f α=，求sin 2α的值． 18．（本小题满分12分）设向量→1e ,→2e 的夹角为060且︱1e ︱=︱2e ︱=1，如果→→→+=21e e AB ，→→→+=2182e e BC ，)(321→→→-=e e CD .（Ⅰ）证明：A 、B 、D 三点共线；（Ⅱ）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量→→+212e e 与向量→→+21e k e 垂直.19.（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见右表：某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数， 甲 乙并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；（Ⅱ）若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率．20、（本小题满分12分）已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，]2,2[ππ-∈x ， (1)求证：()a b -⊥()a b +； (2)13a b +=，求cos x 的值。

河北省南宫中学2019-2020学年高一数学下学期6月月考（开学考试）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I 卷（选择题)一、单选题（本题共12个小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．a b >C ．a c b c +>+D ．ac bc >2．若直线(2)(1)3a x a y ++-=与直线(1)(23)20a x a y -+++=互相垂直,则a 等于( )A ．1B ．-1C ．±1D ．-23．在ABC ∆中，45a b B ︒==∠=，则∠A 等于( ) A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°4．若向量a r ，b r满足1==b a ρρ ，()32a ab ⋅-=r r r ，则向量a r ，b r 的夹角为（ ）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是( ) A ．8aB ．9SC ．17aD ．17S6．一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）A ．1mB ．23m C ．43m D ．32m 7．已知ABC ∆中，2AD DC =u u u v u u u v，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则2λμ-的值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．108．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若()cos cos cos cos a A a C c A B =+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是( )A ．32B ．2C ．73D ．25610．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B CD ．311．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =P ABCD -的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．253πC ．254πD ．5π12．在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v（*N n ∈），设n A ，n B 到直线(1)0x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1{}na 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(,)4+∞B ．3[,)4+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共4小题,，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=04．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．605．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．517．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =18．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．1412．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B，该椭圆的离心率为．116．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，则tanα==﹣，故选：C．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入即可得出．【解答】解：设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入可得：﹣5+6+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：5x+3y﹣1=0．故选：B．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．∴==30．故选C．5．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．【解答】解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x 的图象，向右平移单位即可．故选：D．6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．51【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和求解．【解答】解：∵等差数列{an }中a3+a9+a15=9，∴3a9=9．解得a9=3，∴数列{an }的前17项和S17==17a9=51．故选：D．7．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，可以确定双曲线的焦点在y轴上，且c=2，进而可以设其标准方程为：﹣=1，分析可得a2+b2=4，①以及﹣=1②；联立解可得a2、b2的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），则其焦点在y轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，且a2+b2=4，①又由其经过点P（﹣3，2），则有﹣=1，②联立①②解可得a2=1，b2=3，则其标准方程为：y2﹣=1．故选：C．8．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，直线的在y轴上的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（2，0），此时z的最大值为z=2﹣2×0=2．故选：B．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，n=2，第一次循环，i=1≤8，s=，n=3，i=2；第二次循环，i=2≤8，s=，n=4，i=3；第三次循环，i=3≤8，s=，n=5，i=4；…，第八次循环，i=8≤8，s=，n=9，i=9＞8，输出s=，故选：A．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知不等式的区域为边长为2的正方形，面积为4，的区域是圆的外面的区域，面积S=4﹣，代入概率公式即可求解【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4∵的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4﹣P==1﹣故选D11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．14【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知条件，由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，由此能求出结果．【解答】解：椭圆中，a=5，∵F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，∴由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20，∵|AB|=8，∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12．故选：C．12．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +【考点】轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y|≥1）．把y=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即（+）•=+=0，求得 cos＜，＞=﹣，故＜，＞=．【解答】解：由题意得（+）•=+=4+2×4 cos＜，＞=0，∴cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，故答案为．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，x+2y=1，对于可变形为（x+2y）•（），相乘计算可得，3+，由基本不等式的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．和一个顶点B，该椭圆的离心率为．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1【考点】椭圆的简单性质．的坐标【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的坐标，即可得椭圆中焦点F1和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2=0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；和一个顶点B，又有直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），则有F1则有c=2，b=1，a==，故其离心率e==；故答案为：．16．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．【考点】轨迹方程．【分析】由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x 轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点C的轨迹方程．【解答】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．∴2a=14，c=6，∴b=，故顶点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．故答案为=1（x≠±7）．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质．【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤﹣m+3…即，m2+2m﹣3≤0…得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…．SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．…．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．…．面积的最小值为24平方米．…．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．【考点】函数的图象．【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===，由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以即，又由2x＞0，得，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）max=1﹣a．当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：f（x）max=1+3a．当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）max=1．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在x∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当x=0时，上式恒成立；②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。

河北省南宫中学2019-2020学年高一下学期6月月考（开学考试）试题考试说明：1.试卷共100分，考试时间90分钟。

2.请将各题答案填到答题卡上。

3.考试内容：人教版必修2可能用到的原子量：H-1 C-12 O-16 Na-23 Cl-35.5 Cu-64第Ⅰ卷（选择题共56分）一、单选题（共10小题，每小题2分，共20分）1.化学在生产、生活中有着重要的作用。

下列有关说法不正确的是（）A. 推广农作物的生物防治技术，以减少农药的使用B. 采取“静电除尘”“燃煤固硫”等方法提高空气质量C. 利用微生物发酵技术，将植物秸秆、动物粪便等制成沼气D. 含磷污水是很好的肥料，可直接灌溉庄稼，也可直接排放到河流中『答案』D『解析』『分析』『详解』A. 农作物的生物防治技术可利用动物的天敌消灭害虫，不使用农药，因此既减少了农药的使用，也就无农药残留，A正确；B. 采取“静电除尘”“燃煤固硫”等方法能够使空气中固体小颗粒沉积，使硫元素形成CaSO4进入炉渣，减少了大气污染及酸雨的形成，因此都可以提高空气质量，B正确；C. 利用微生物发酵技术，将植物秸秆、动物粪便等制成沼气，变废为宝，节约了能源，同时减少了污染物的排放，保护了环境，C正确；D. 含磷污水含有农作物生成需要的磷元素，是很好的肥料，但同时也含有许多有害物质，因此不可直接灌溉庄稼，也不可直接排放到河流中，否则会污染河流和土壤，D错误；答案选D。

2.下列化学用语正确的是（）A. 质子数为17、中子数为20的氯原子：20Cl17B. 磷原子的结构示意图C. 次氯酸的电子式：D. 乙烯的结构简式：CH2CH2『答案』B『解析』『详解』A. 在原子符号表示时，元素符号左下角为质子数，左上角表示的是质量数，是质Cl，A错误；子数与中子数的和，所以质子数为17、中子数为20的氯原子可表示为3717B. P是15号元素，原子核外电子排布是2、8、5，所以磷原子的结构示意图，B正确；C.在HClO分子中，O原子分别与H、Cl原子形成共用电子对，电子式为：，C错误；D.乙烯分子中两个C原子形成双键，所以其结构简式为：CH2=CH2，D错误；故合理选项是B。

河北省南宫中学2020-2021学年高一下学期6月月考（开学考试）化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化学在生产、生活中有着重要的作用。

下列有关说法不正确的是（）A．推广农作物的生物防治技术，以减少农药的使用B．采取“静电除尘”“燃煤固硫”等方法提高空气质量C．利用微生物发酵技术，将植物秸秆、动物粪便等制成沼气D．含磷污水是很好的肥料，可直接灌溉庄稼，也可直接排放到河流中2．下列化学用语正确的是（）ClA．质子数为17、中子数为20的氯原子：2017B．磷原子的结构示意图C．次氯酸的电子式：D．乙烯的结构简式：CH2CH23．下列事实或做法与化学反应速率无关．．的是A．将食物存放在温度低的地方B．用铁作催化剂合成氨C．将煤块粉碎后燃烧D．用浓硝酸和铜反应制备NO2气体4．能源问题是当今世界的重要课题，研究反应中的能量变化尤为重要。

下列变化过程中的能量变化符合图示过程的是（）A．焦炭制水煤气B．酸碱中和反应C．铝与氧化铁的高温反应D．浓硫酸的稀释5．下列变化属于化学变化的是A．海水晒盐B．油脂皂化C．石油分馏D．苯萃取碘6．下列各组物质中，互为同系物的一组是（）A．红磷和黑磷B．乙烯和乙醇C．丁烷和甲烷D．H和D7．下列物质能与溴水发生加成反应的是（）A．CH2F2B．苯C．CH3CH=CH2D．CH3CH2OH 8．1211灭火剂的成分为CF2CIBr，可用于扑救液体、气体、金属及带电设备引起的火灾。

下列说法正确的是（）A．CF2ClBr为离子化合物B．原子半径：C>F>Cl>BrC．F、Cl、Br的最高正价均为+7D．氢化物的热稳定性：HF>HCl>HBr9．可逆反应：X2+3Y22Z的反应速率（v）与时间（t）的关系曲线如图，下列叙述正确的是（）A．t1时，反应只向正反应方向进行B．t2时，反应未达到限度C．t2~t3时，反应已停止进行D．t2~t3时，各物质的浓度不再发生变化10．糖类、油脂和蛋白质是维持人体生命活动所必需的三大营养物质。

2019-2020学年某校高一（下）6月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={0,1,2}，B ={x|1<2x +3<5}，则A ∩(∁R B )=( ) A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.⌀2. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4，B =30∘，C =120∘，则c =( ) A.4√2 B.4√3 C.6√3 D.8√33. 数列−15，17，−19，111，⋯的通项公式可能是a n =( ) A.(−1)n−12n+3B.(−1)n 3n+2C.(−1)n−13n+2D.(−1)n 2n+34. 已知角α的终边经过点P (−7,24)，则sin (π+α)+cos (3π2−α)=( ) A.−4825 B.4825C.0D.14255. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3+a 8=6，则S 7=( ) A.28 B.21 C.16 D.146. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，c =4，b =4√3，则cos B =( ) A.−1516 B.−2324C.−1112D.−457. 从长度分别为3，5，7，8，9的5条线段中任意取出3条，则以这3条线段为边，不可以构成三角形的概率为( ) A.15 B.25C.35D.458. 在△ABC 中，若sin A cos C =sin B ，则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.无法判断9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =81，S n =121，公比q =3，则项数n =( )A.4B.5C.6D.710. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x +1)=f (−x +1)，f (1)=5，则f (2019)+f (2020)=( ) A.5 B.10 C.−5 D.−1011. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，直线x =π24为f (x )的图象的一条对称轴，且f (x )在(π3,π2)上单调，则下列结论正确的是（ ） A.f (x )的最小正周期为π B.x =π12为f (x )的一个零点C.f (x )在[0,π6]上的最小值为−12D.f (x )的单调递增区间为[−5π24+kπ2,π24+kπ2](k ∈Z )12. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A +sin 2C −sin 2B =√3sin A sin C ，b =1，则2a −2√3c 的最小值为( ) A.−4 B.−2√3 C.−2 D.−√3二、填空题函数f (x )=√2x +5lg (3−x )的定义域为________．在等比数列{a n }中，a 5=12，a 13=3，则a 9=________．√32(cos 215∘−cos 275∘)+sin 15∘cos 15∘=_________.已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且|OA →|=|OB →|=|OC →|，AB =2，BC =6，∠ABC =2π3．若BO →=2mAB →+nBC →，则2m −3n =________． 三、解答题某校统计了本校高一年级学生期中考试的数学成绩，其数学成绩（满分150分）均在[50,150]内，将这些成绩分成[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值．(2)求该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数（结果保留一位小数）．已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象向左平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象的对称中心的坐标．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B=23π，b cos C+c cos B=2.(1)求a；(2)若△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．在等差数列{a n}，正项等比数列{b n}中，已知a1=b1=2，a2+b3=a4+b2=12．(1)求{a n}与{b n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和S n．已知向量a→=(cosα，√5sinβ+2sinα)，b→=(sinα，√5cosβ−2cosα)，且a→//b→.(1)求cos(α+β)的值；(2)若α，β∈(0,π2)，且tanα=13，求2α+β的值．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7,S6=48.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=2n+52n a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.参考答案与试题解析2019-2020学年某校高一（下）6月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，1<2x+3<5，则−1<x<1，所以B={x|−1<x<1}，则∁R B={x|x≤−1或x≥1}，所以A∩(∁R B)={1,2}.故选C.【点评】此题暂无点评2.【答案】B【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知A=180∘−120∘−30∘=30∘，根据正弦定理得asin A =csin C，解得c=4√3.故选B.【点评】此题暂无点评3.【答案】D【考点】数列的概念及简单表示法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得a1=−15=(−1)12×1+3，a2=17=(−1)22×2+3，a3=−19=(−1)32×3+3，a4=111=(−1)42×4+3，⋯因此{a n}的通项公式为a n=(−1)n2n+3.故选D.【点评】此题暂无点评4.【答案】A【考点】任意角的三角函数运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为角α的终边经过点P(−7,24)，所以sinα=()22=2425，则sin(π+α)+cos(3π2−α)=−sinα−sinα=−2sinα=−4825.故选A.【点评】此题暂无点评5.【答案】D【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a1+a3+a8=3a1+9d=3a4=6，所以a4=2，所以S7=7a4=14．故选D.【点评】 此题暂无点评 6.【答案】 B【考点】 余弦定理 【解析】利用余弦定理即可得出． 【解答】解：由余弦定理可得，cos B =32+42−(4√3)22×3×4=−2324．故选B . 【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】 A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】利用列举法求解． 【解答】解：从这5条线段中任取3条，总共有10种情况： (3, 5, 7)，(3, 5, 8)，(3, 5, 9)，(3, 7, 8)，(3, 7, 9)， (3, 8, 9)，(5, 7, 8)，(5, 7, 9)，(5, 8, 9)，(7, 8, 9)， 其中所取3条线段不能构成一个三角形的情况有2种： (3, 5, 8)，(3, 5, 9)，∴ 所取3条线段不能构成一个三角形的概率P =210=15．故选A . 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意三角形中三边关系的灵活运用． 8. 【答案】 C【考点】两角和与差的正弦公式 三角形的形状判断【解析】 此题暂无解析 【解答】解：sin A cos C =sin B =sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C ， 则cos A sin C =0．因为0<C <π， 所以sin C ≠0， 故cos A =0，A =π2，即△ABC 的形状为直角三角形． 故选C . 【点评】 此题暂无点评 9. 【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为S n =a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q，又a n =81，S n =121，公比q =3，所以a 1=1，则a n =a 1q n−1=3n−1=81， 解得n =5. 故选B . 【点评】 此题暂无点评 10.【答案】 C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (−x +1)=−f (x −1)=f (x +1)， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2019)+f (2020)=f (4×505−1)+f (4×505) =f (−1)+f (0)=−f (1)=−5. 故选C . 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 D【考点】正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法 正弦函数的图象 【解析】 无【解答】解：因为函数f (x )在(π3,π2)上单调， 所以T2≥π6，得0<ω<6．又直线x =π24为f (x )的图象的对称轴， 所以ωπ24+π3=π2+kπ(k ∈Z )， 得ω=4+24k (k ∈Z )，所以ω=4,f (x )的最小正周期为2πω=π2，故A 错误； f (π12)=sin 2π3≠0，故B 错误；当0≤x ≤π6时，π3≤4x +π3≤π，则f (x )的最小值为0，故C 错误； −π2+2kπ≤4x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z )， 解得−5π24+kπ2≤x ≤π24+kπ2(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[−5π24+kπ2,π24+kπ2](k ∈Z )，故D 正确．故选D ． 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】 A【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：因为sin 2A +sin 2C −sin 2B =√3sin A sin C ， 所以a 2+c 2−b 2=√3ac ，根据余弦定理知a 2+c 2−b 2=2ac cos B ， 解得cos B =√32， 又0<B <π，所以B =π6，bsin B =2，所以2a −2√3c =4sin A −4√3sin C =4sin (B +C)−4√3sin C =2cos C −2√3sin C =4cos (π3+C)． 由题意知0<C <5π6，则π3<π3+C <7π6，所以当π3+C =π时，2a −2√3c 取得最小值，且最小值为−4． 故选A ． 【点评】 此题暂无点评 二、填空题 【答案】[−5,3) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意知{2x +5≥0,3−x >0,解得−52≤x <3，故f (x )=√2x +5lg (3−x )的定义域为[−52,3).故答案为：[−52,3). 【点评】 此题暂无点评 【答案】 6【考点】 等比中项等比数列的性质 【解析】 此题暂无解析【解答】解：由题意得，a 92=a 5⋅a 13=36， 解得a 9=±6，∵ a 5⋅a 9=a 72>0， ∴ a 9>0， 则a 9=6. 故答案为：6. 【点评】 此题暂无点评 【答案】 1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：√32(cos 215∘−cos 275∘)+sin 15∘cos 15∘ =√32(sin 275∘−cos 275∘)+sin 15∘cos 15∘ =√32cos 30∘+12sin 30∘ =sin (30∘+60∘)=1. 故答案为：1. 【点评】 此题暂无点评 【答案】 −4【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：由题意可知点O 是△ABC 的外心， 则BA →⋅BO →=12BA →2=2，BC →⋅BO →=12BC →2=18．因为BO →=2mAB →+nBC →，所以BA →⋅BO →=−2mAB →2−nAB →⋅BC →=−8m −6n =2， 即4m +3n =−1①，BC →⋅BO →=2mAB →⋅BC →+nBC →2=12m +36n =18， 即2m +6n =3②．联立①②，解得m =−56，n =79，故2m −3n =2×(−56)−3×79=−4．故答案为：−4.【点评】 此题暂无点评 三、解答题【答案】解：(1)因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1， 所以20×(0.0025+a +0.0175+0.0100+0.0075)=1， 解得a =0.0125．(2)由题知，数学成绩在[50,70)，[70,90)内的频率为20×(0.0025+0.0125)=0.3<0.5，数学成绩在[50,70)，[70,90)，[90,110)内的频率为20×(0.025+0.0125+0.0175)=0.6>0.5， 故该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数在[90,110)内. 设该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为x ， 则(x −90)×0.0175=0.2，解得x =101.4，即该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为101.4． 【考点】众数、中位数、平均数 频率分布直方图 【解析】【解答】解：(1)因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1， 所以20×(0.0025+a +0.0175+0.0100+0.0075)=1， 解得a =0.0125．(2)由题知，数学成绩在[50,70)，[70,90)内的频率为20×(0.0025+0.0125)=0.3<0.5，数学成绩在[50,70)，[70,90)，[90,110)内的频率为20×(0.025+0.0125+0.0175)=0.6>0.5， 故该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数在[90,110)内. 设该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为x ， 则(x −90)×0.0175=0.2，解得x =101.4，即该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为101.4．【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)由题意可得A =2，T =4×(73−43)=4． 因为T =2πω，且ω>0， 所以ω=2πT=2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)，因为点(43,−2)在f(x)的图象上，所以2cos(π2×43+φ)=−2，所以2π3+φ=2kπ+π(k∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以φ=π3，故f(x)=2cos(π2x+π3)．(2)因为将f(x)的图象向左平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)=f(x+12)−1=2cos(π2x+7π12)−1，令π2x+7π12=π2+kπ(k∈Z)，解得x=2k−16(k∈Z)．故g(x)的图象的对称中心的坐标为(2k−16,−1)(k∈Z)．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】【解答】解：(1)由题意可得A=2，T=4×(73−43)=4．因为T=2πω，且ω>0，所以ω=2πT =2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)，因为点(43,−2)在f(x)的图象上，所以2cos(π2×43+φ)=−2，所以2π3+φ=2kπ+π(k∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以φ=π3，故f(x)=2cos(π2x+π3)．(2)因为将f(x)的图象向左平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)=f(x+12)−1=2cos(π2x+7π12)−1，令π2x+7π12=π2+kπ(k∈Z)，解得x=2k−16(k∈Z)．故g(x)的图象的对称中心的坐标为(2k−16,−1)(k∈Z)．【点评】此题暂无点评【答案】解：(1)因为sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C，所以a=b cos C+c cos B．又b cos C+c cos B=2，所以a=2．(2)因为△ABC的面积为√3，B=23π，所以12ac sin B=√32c=√3，解得c=2．由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac cos B=12，解得b=2√3，故△ABC的周长为4+2√3．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：(1)因为sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C，所以a =b cos C +c cos B ． 又b cos C +c cos B =2， 所以a =2．(2)因为△ABC 的面积为√3，B =23π， 所以12ac sin B =√32c =√3，解得c =2．由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac cos B =12， 解得b =2√3，故△ABC 的周长为4+2√3．【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 因为a 1=b 1=2，a 2+b 3=a 4+b 2=12， 所以{2+d +2q 2=12,2+3d +2q =12,解得{d =2,q =2,或{d =409,q =−53（舍去）， 故a n =a 1+(n −1)d =2n ， b n =b 1⋅q n−1=2n ．(2)由(1)知，a n ⋅b n =n ×2n+1，则S n =1×22+2×23+3×24+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1①， 2S n =1×23+2×24+3×25+⋯+(n −1)×2n+1+n ×2n+2②， ①−②得−S n =22+23+⋯+2n+1−n ×2n+2 =4(1−2n )1−2−n ×2n+2=(1−n)2n+2−4，则S n =(n −1)2n+2+4． 【考点】 数列的求和等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】【解答】解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 因为a 1=b 1=2，a 2+b 3=a 4+b 2=12， 所以{2+d +2q 2=12,2+3d +2q =12,解得{d =2,q =2,或{d =409,q =−53（舍去）， 故a n =a 1+(n −1)d =2n ， b n =b 1⋅q n−1=2n ．(2)由(1)知，a n ⋅b n =n ×2n+1，则S n =1×22+2×23+3×24+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1①， 2S n =1×23+2×24+3×25+⋯+(n −1)×2n+1+n ×2n+2②， ①−②得−S n =22+23+⋯+2n+1−n ×2n+2 =4(1−2n )1−2−n ×2n+2=(1−n)2n+2−4，则S n =(n −1)2n+2+4． 【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)因为a →//b →，所以cos α(√5cos β−2cos α)−sin α(√5sin β+2sin α)=0， 所以√5(cos αcos β−sin αsin β)=2(cos 2α+sin 2α)=2， 所以√5cos (α+β)=2，即cos (α+β)=2√55． (2)因为α，β∈(0，π2)， 所以0<α+β<π， 因为cos (α+β)=2√55， 所以sin (α+β)=√55， 所以tan (α+β)=12． 因为tan α=13，所以tan (2α+β)=tan α+tan (α+β)1−tan αtan (α+β)=13+121−13×12=1． 因为0<α+β<π，且cos (α+β)=2√55>0，所以0<α+β<π2，因为0<α<π2，所以0<2α+β<π， 因为tan (2α+β)=1， 所以2α+β=π4． 【考点】两角和与差的正切公式 两角和与差的余弦公式平面向量共线（平行）的坐标表示 同角三角函数间的基本关系 三角函数的定义域 【解析】左侧图片未提供解析． 左侧图片未提供解析． 【解答】解：(1)因为a →//b →，所以cos α(√5cos β−2cos α)−sin α(√5sin β+2sin α)=0， 所以√5(cos αcos β−sin αsin β)=2(cos 2α+sin 2α)=2， 所以√5cos (α+β)=2，即cos (α+β)=2√55． (2)因为α，β∈(0，π2)，所以0<α+β<π， 因为cos (α+β)=2√55， 所以sin (α+β)=√55， 所以tan (α+β)=12． 因为tan α=13， 所以tan (2α+β)=tan α+tan (α+β)1−tan αtan (α+β)=13+121−13×12=1． 因为0<α+β<π，且cos (α+β)=2√55>0，所以0<α+β<π2，因为0<α<π2，所以0<2α+β<π， 因为tan (2α+β)=1， 所以2α+β=π4．【点评】 此题暂无点评 【答案】解：(1)由题意知，a 3=a 1+2d =7,S 6=6a 1+15d =48， 解得a 1=3,d =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +1.(2)因为b n =2n+52n a n a n+1=2n+52n (2n+1)(2n+3)=2×[122n+1−122n+3]，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n=2×[13×21−15×22+15×22−17×23+⋯+12n (2n +1)−12n+1(2n +3)]=2×[16−12n+1(2n +3)]=13−12n (2n+3). 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，a 3=a 1+2d =7,S 6=6a 1+15d =48，解得a 1=3,d =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n +1. (2)因为b n =2n+52n an a n+1=2n+52n (2n+1)(2n+3)=2×[12n (2n+1)−12n+1(2n+3)]，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n=2×[13×21−15×22+15×22−17×23+⋯+12n (2n +1)−12n+1(2n +3)]=2×[16−12n+1(2n +3)]=13−12n (2n+3).【点评】 此题暂无点评。