隐含波动率和历史波动率
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历史波动率和隐含波动率
1 历史波动率
历史波动率反映了过去股价波动程度的大小，可根据股价的历史数据进行客观度量。
根据B-S 期权定价理论，股票价格运动为几何布朗运动，运动过程可用如下随机过程描述：
dS Sdt Sdz μσ=+ （1）
两边同除以S 可得：
dz dt S dS σμ+= （2） 其中dz 为一标准布朗运动，该项为股价随机性的来源。
接下来考虑运动过程ln S ,由于S 为一随机过程，显然Ln S 也是一随机过程，并且根据
伊藤引理可得：
dz dt S d σσμ+-=)2(ln 2
(3)
在一段小的时间间隔t ∆ 中 ，由（2）式可得
t t z t S S ∆+∆=∆+∆=∆σεμσμ (4) 可见，收益率
S S ∆也具有正态分布特征，其均值为t ∆μ，标准差为t ∆σ，方差为t ∆2σ。
换句话说
),(~t t S S ∆∆∆σμφ （5） 由（3）式可得
t t z t S ∆+∆-=∆+∆-=∆σεσμσσμ)2()2(ln 2
2 （6）
可见，S ln ∆具有正态分布特征，其均值为t ∆-)2
(2
σμ，标准差为t ∆σ，方差为t ∆2σ。
也即
),)2
((~ln 2
t t S ∆∆-∆σσμφ （7） S ln ∆为连续复利收益率，考虑连续复利的情况
t
r t t t e S S ∆∆+⋅= （8）
t r ∆为时间t ∆内的连续复利收益率，显然等于S ln ∆。
由收益率S
S ∆和连续复利收益率S ln ∆的标准差为t ∆σ，便可求得波动率σ。
案例
现已获得ETF50指数基金的历史交易数据，试求2015年3月2日这一天的年历史波动率。
解：首先选取2014年3月3日至2015年3月2日的历史成交数据，根据这些数据算出在这一年时间中每一天的收益率S
S ∆和连续复利收益率S ln ∆，然后求出它们的标准差即为t ∆σ，最后再除以t ∆，便可得到波动率σ。
注意：这里t ∆表示一个交易日，需要将其年化，即为1/237年
最终运算结果为，以收益率算得波动率为0.243121，而以连续复利收益率算得波动率为0.241397811，与同花顺结果0.247基本一致。
2 隐含波动率
隐含波动率反映了市场对未来这段时间标的资产波动率的预期，它是由期权价格反推出的波动率。
看涨期权的定价公示为
其中
也即期权价格C 为波动率σ的函数C ＝C （σ）。
反过来根据C 的价值也可算出σ的值，根据期权的实际价格C 计算出的σ便为隐含波动率。
案例 50ETF 指数期权隐含波动率
2015年3月2日，50ETF 指数值S ＝2.441，市场无风险利率r ＝0.06，3月份到期期权剩余期限T-t=23天， 执行价格X=2.2的欧式看涨期权价格为c=0.25，试求该期权隐含波动率。
解：用excel 的单变量求解或规划求解功能，可算出期权价格c=0.25时，对应的隐含波动率σ＝0.2。
