数学分析期末考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，
共20 分）
1、函数f (x)在 [a,b]上可积的必要条件是（）
A 连续
B 有界
C 无间断点
D 有原函数
2、函数 f (x) 是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（）
A a
2a B a0
f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
a0a
a a a
2 f (a)
C f (x)dx 2 f ( x)dx
D f (x)dx
a0a
3、下列广义积分中，收敛的积分是（）
111 A dx B
1dx
0x x C1
1
dx 0
sin xdx D
x3
1
4、级数a n收敛是a n部分和有界且lim a n0的（）
n 1n 1n
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件
5、下列说法正确的是（）
A a n和b n收敛，a n b n也收敛
B a n和b n发散，(a n b n ) 发散
n 1n 1n 1n 1n 1n 1
C a n收敛和b n发散，(a n b n ) 发散
D a n收敛和b n发散，
n 1n 1n 1n 1n 1
a n
b n发散
n 1
6、a n ( x) 在[a，b]收敛于a（x），且a n（x）可导，则（）
n 1
A a n' (x) a' (x)
B a（ x）可导
n1
b b
C a n (x)dx a( x)dx
D a n (x) 一致收敛，则a（ x）必连续
a a
n 1
n 1
7、下列命题正确的是（）
A a n(x)在 [a， b] 绝对收敛必一致收敛
n 1
B a n ( x) 在[a，b]一致收敛必绝对收敛
n 1
C 若lim | a n( x) |0 ，则a n (x) 在[a，b]必绝对收敛
n n 1
D a n (x) 在[a，b]条件收敛必收敛
n 1
8、(1)n1x2 n 1的和函数为
n 02n1
A e x
B sin x
C ln(1 x)
D cos x
9、函数z ln( x y) 的定义域是（）
A (x, y) | x 0, y0
B
C ( x, y) | x y0
D ( x, y) | y x ( x, y) | x y0
10、函数 f(x,y)在（ x0,,y0）偏可导与可微的关系（）
A 可导必可微
B 可导必不可微
C 可微必可导
D 可微不一定可导
二、计算题：（每小题6 分，共 30 分）
92
21)dx
、 f ( x) dx 4，求 xf ( 2x
1
1
2、计算
1
x 2
dx 022x
3、计算 1 x n的和函数并求(1) n
n 1 n n 1n 4、设z32xz y0 ，求z
x (1,1,1)
5、求lim x
2 y
2y 2
x0 x
y0
三、讨论与验证题：（每小题10 分，共 20 分）
x 2
y 2
1、 讨论 f (x, y)
xy
x
2
y 2
( x, y)
(0,0)
在（ 0， 0）点的二阶混合偏导数
( x, y) (0,0)
2、 讨论
( 1) n 1 2
n
sin
2n
x
的敛散性
n 2
n
四、 证明题 ：（每小题 10 分，共 30 分）
1、设 f 1(x) 在 [a ， b] 上 Riemann 可积，
f n 1 ( x)
b
) ，证明函数列 { f n ( x)} 在 [a ，b] 上一致收敛于 0
f n ( x) dx( n 1,2,
a
x
x
y
2
e y ，证明它满足方程
、设 z
z
z
x y
3、 设 f (x) 在 [a ，
xf (sin x)dx
x sin x dx
2 0
1 cos
2 x
参考答案
一、 1、 B 2、B3 、 A4、C5、 C6、 D7、 D8、 C9、 C10、 C
2
xf (2x
2 1)dx
1
2
2
1)d (2x 2
1) （ 3 分 ） 令 u
2x 2
1 ，
二、1、
f (2x
0 1
2 0
2
2 1) dx 9
2（3 分）
xf ( 2x
f (u)du
2 1
1
A
1
A
2、
dx = lim
d(1 x)
lim arctan(1 x)
（6 分）
2
2
2 2x x A
1 (1
x)
A
4
3、解：令 f ( x) = 1 x n ，由于级数的收敛域 [ 1,1)
（ 2 分）， f '
(x ) = x n 1
1 1 ，
n 1 n n 1
x
f (x) =
x
1
dt
ln(1 x) （ 2 分），令 x
1，得
( 1) n
ln 2
1
t
n 1
n
4、解：两边对 x 求导 3z 2
z x
2z
2xz x 0（ 3 分） z x
2z 2x （ 2 分） z
2
3z 2
x
(1,1,1)
（1 分）
5、解： 0 |
x 2 y 2 | x （ 5 分） lim x 2
y
0（1分）
x 2 y 2
y 2
x 0 x
y 0
由于 x=-2， x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（
-2， 2）（ 3 分）
y x 4 4x 2 y 2 y 2 x 2 y 2
（2 分） 三、 1、解、 f x ( x, y)
(x 2 y 2 ) 2
0 x 2 y 2
f y (x, y)
x x 4
4x 2 y 2 y 2 x 2
y 2 0 (4 分）
( x 2 y 2 )2 x 2 y 2
0 0
2
z
f x (0, y)
f x (0,0)
1
(0,0)
lim
y x
y 0
y
2
z
lim f y ( x,0)
f y (0,0)
(0,0) 0
1（6分） x y
x
x
2 、解：由于
lim n | ( 1) n 1 2 n sin 2n
x | 2 sin 2 x （ 3 分），即 2 sin 2 x 1 级数绝对收敛
n n
2 sin 2 x 1条件收
敛，
2 sin 2 x 1 级数发散（ 7 分）
所以原级数发散（ 2 分）
