数学建模案例分析2 随机存储模型--概率统计方法建模.

两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。

采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。

模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。

针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。

通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。

类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。

讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。

最后指出了模型的优缺点。

0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。

无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。

存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。

因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。

问题1 某商场销售的某种商品。

市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。

请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。

问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。

1、问题分析工厂生产需要定期地订购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。

无论是原料或商品，都是一个怎样存贮的问题。

存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。

因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。

根据存贮管理原理以及存贮费、订货费和缺货费的意义可知，为了保持一定的库存，要付出存贮费；为了补充库存，要付出订货费；当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。

这三项费用之间是相互矛盾、相互制约的。

存贮费与物资的数量和时间成正比，如降低存贮量，缩短存贮周期，自然会降低存贮费；但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出；为了防止缺货现象的发生，就要增加安全库存量，这样在减少缺货损失费的同时，增大了存贮费的开支。

2、模型假设为使研究模型简便，本文作如下假设:1)在商品销售过程中，因为，则首先销售租借仓库中的商品，待被销售完32C C £后，再销售自己仓库中的商品，这样可以降低存贮费用。

2)每次到货补充商品的过程是瞬间完成的，不考虑交货时间的影响[1]。

3)商品间的销售不存在相关性，互不影响。

4)在计划时段初（时刻），各种商品的总库存量为。

0t =Q 基于以上假设，本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费[2]、库存存贮费和因缺货而减少销售要造成损失费。

3、符号说明表1变量定义表变量含义单位备注C订货周期内的总费用元货币计量单位C 订货周期内平均每天的费用元/天1C 每次进货的订货费元/次2C 用自己仓库存贮单位商品每天的存贮费用元/天.盒（袋）仅有一种商品时3C 租借仓库存贮单位商品每天的存贮费元/天.盒（袋）仅有一种商品时4C 单位商品缺货每天的损失费用元/天.盒（袋）仅有一种商品时2i C 自己仓库存贮第种单位体积商品每天存贮费用i 元/天.体积单位12i m =LL 、3i C 租借仓库存贮第种单位体积商品每天存贮费i 元/天.体积单位12i m =LL 、i4C 第种单位体积商品缺货每天的损失费用i 元/天.体积单位12i m=LL 、1t 商品销售到的时刻0Q 天2t 订货点L 的时刻天3t 商品销售完毕的时刻天T 从Q 到补货的时间周期天不一定相同Q存贮量的固定值袋（盒）或体积0Q 自己仓库用于存贮商品的最大容量袋（盒）或体积0i Q 自己仓库用于存贮第种商品的体积容量i 体积单位12i m =LL 、iQ 第种商品存贮量补充到的固定体积值i 体积单位12i m=LL 、L商品的订货点袋（盒）或体积i L 第种商品的订货点i 体积单位12i m=LL 、*L 最优订货点体积单位m 商品品种数量种x 订货提前期天R销售速率（袋或盒）/天i r 第种商品的销售速率i （袋或盒）/天m 21i L L 、=i v 第种单位商品的体积i 体积单位m21i L L 、=()P x 订货提前期的概率分布x 对x 进行概率统计4、模型建立与求解4.1问题1的解决问题1允许商品缺货，所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况，如图1所示，因此分两种情况进行分析求解，最后进行综合讨论。

数学建模思想在“概率统计”教学中应用的实例分析引言随着社会的发展，科学技术的进步，在教学中，传统的教学方法已经不能适应当前的人才培养需求，概率统计在日常工作和生活中，应用的范围较广，也越来越重要，为了更好的实现概率统计教学，提高学生的学习兴趣和学习能力，需要创新教学方法。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，是教学方法的创新，在教学中引入新的教学元素，可以提高学生的学习兴趣，提高学生的动手能力，加深学生对概率统计知识的理解和掌握，所以本次从数学建模思想在概率统计教学中的应用实例进行分析研究。

一、数学建模思想在概率统计教学中的应用意义概率统计是一门理论性、实践性等较强的学科，在统计学、经济学等方面的应用，越来越广泛和深入，随着科学技术的发展，在概率统计教学中，传统的教学方法和教学模式已经无法使用时代的发展和社会对人才培养的需求，为此需要对概率统计教学的方法进行创新改革。

数学建模思想在概率统计教学中的应用，可以帮助学生运用数学思想，将概率统计教学相关的内容与实际问题结合，有助于培养学生的概率统计应用能力。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，可以加深学生对知识的理解[1]。

例如在指数分布教学中，以飞机的等待时间为例进行分析，在某个机场的飞机跑道上来了一架飞机之后，跑道就在等待下一辆飞机的到来，设在（0，t）时间内，该跑道上飞机道路的架数，为，求第二架飞机到来的等待时间h的分布函数？在概率统计教学中，数学建模思想的应用，可以提高学生的学习兴趣，同时又将学生的知识面扩展，实现了理论与实践的结合，实现概率统计教学的目的。

在教学中还有很多例子可以应用，可以让学生学会举一反三，对学生的创新能力、思维能力进行培养和锻炼。

在概率统计教学中，应用数学建模思想，可以引用先进的教学技术、开展教学实验课，增强学生的动手能力，例如运用计算机技术、统计软件等，让学生参与其中，动手运用，在增强学生概率统计的理论知识的同时，也增强了学生的应用实践能力。

概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。

第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。

所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。

概率统计模型§1 概率论模型一、概率的基本知识1、离散型随机变量的概率分布ξ（随机变量）1x2x 3x … n x … 概率P1p2p3p…n p…性质：1,0=≥∑i i p p （1）几个常见的重要分布i.两点分布（贝努里分布或0-1分布） 注：两点分布的分布列就是X 0 1 P p 1-p不论题目有什么区别,只有两种可能,要么是这种结果要么是那种结果,通俗点,要么成功要么失败而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的,。

ii.二项分布注：如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重二项分布公式复试验中发生K 次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 其中 C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)iii. 普阿松分布（泊松分布）——排队论中常见。

注：若随机变量 X 只取非负整数值，取k （k=0,1,2…）值的概率为（2）期望与方差∑=i i p x E ξ22)()(ξξξE E D -=（3）几个常见的重要分布的期望与方差两点分布（贝努里分布或0-1分布）：p E =ξ，)1(p p D -=ξ 二项分布：np E =ξ，)1(p np D -=ξ 普阿松分布（泊松分布）：λξξ==D E2、连续型随机变量的分布函数与概率密度分布函数：)()(x P x F ≤=ξ，ξ为随机变量 密度函数)(x p ，满足⎰∞-=xdu u p x F )()( （1）几个常见的重要分布i.均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,1)(b x a a b x pii ．指数分布：⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x p x λλiii ．正态分布：222)(21)(σμπσ--=x ex p（2）期望与方差⎰+∞∞-=dx x xp E )(ξ22)()(ξξξE E D -=（3）几个常见的重要分布的期望与方差均匀分布：2ba E +=ξ，12)(2ab D -=ξ二项分布：λξ1=E ，21λξ=D普阿松分布（泊松分布）：μξ=E ，2σξ=D（4）实际问题中注意：密度函数（分布函数）的摸拟二、概率论模型实例1．报童问题一个报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。

§8 主成分分析的应用主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。

即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。

设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵(1)11121(2)21222()12m m n mn n n nm x x x x x x x x X x x x x ⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关这便是主成分分析。

主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。

可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。

称1/mi jj λλ=∑为主成分(1,2,,)Ti i y u x i m == 的贡献率，11/k mj jj j λλ==∑∑为主成分12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。

当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。

§2 随机存储模型模型一、销售量为随机的存储模型报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖出的报纸退回。

如果购进报纸太少不够卖，会少赚钱；如果购进太多买不完，将要赔钱。

报童应如何确定每天购进的报纸数量，以求获得最大的收入。

模型假设1、报纸每份购进价b ，零售价a ，退回价c ，且c b a >>2、市场需求量是随机的，报童已通过经验掌握了需求量r 的随机规律，r 视为连续随机变量，其概率密度函数)(r p 。

模型建立 记 n —每天购进量，报童每天的收入R 是n 的函数()()()()()⎩⎨⎧>----≤-=r n r n c b r b a r n n b a n R ,, 但目标函数不应是报童每天的收入，而应是他长期卖报的日平均收入。

从大数定律的观点看，这相当于每天收入的期望值，即日平均收入：()()()()[]()()()⎰⎰∞-+----=n n dr r p n b a dr r p r n c b r b a n G 0 ()()()()()()()()⎰⎰∞-+-----=n n dr r p b a n np b a dr r p c b n np b a dn dG 0()()()()⎰⎰∞-+--=n ndr r p b a dr r p c b 0 令0=dndG ，得到 ()()c b b a dr r p drr p n n--=⎰⎰∞又因为()10=⎰∞dr r p ，上式又可表示为 ()ca b a dr r p n--=⎰0 （1） 使报童平均日收入最大购进量n 由（1）确定评注 由()()c b b a dr r p dr r p nn --=⎰⎰∞0，()⎰=ndr r p p 01是卖不完的概率， ()⎰∞=n dr r p p 2是卖完的概率。

上式表明，购进的份数应使卖不完与卖完的概率之比等于卖出一份赚的钱b a -与退回一份赔的钱c b -之比。

第1章概率方法建模简介第2章数据统计描述和分析第3章方差分析第4章回归分析第5章马氏链模型第6章时间序列模型第7章主成分分析及应用第8章判别分析简介及应用主讲：山东大学数学学院陈建良2第1章概率方法建模简介随机性模型，是指研究的对象包含有随机因素的规律，以概率统计为基本数学工具，其结果通常也是在概率意义下表现出来。

随机因素的影响可以用概率、平均值（即数学期望）等的作用来体现。

自然界中的现象总的来说可以概括为两大现象：确定性现象和随机现象在确定性现象中可以忽略随机因素的影响，在随机现象中必须考虑随机因素的影响。

确定性离散模型，主要使用差分方程方法、层次分析方法以及比较简单的图的方法和逻辑方法等方法建立模型；确定性连续模型，主要使用微积分、微分方程及其稳定性、变分法等方法建立模型；§2 概率方法建模实例分析实例一、报童的策略问题1．问题描述报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完的报纸退回。

设每份报纸的批发价为b，零售价为a，退回价为c，且设a>b>c，因此报童每售出一份报纸赚(a-b)，退回一份赔(b-c)。

若批少了不够买就会少赚，若批多了买不完就赔钱，报童如何确定每天批发报纸的数量，才能获得最大收入？92. 分析显然应根据需求量来确定批发量。

一种报纸的需求量是一随机变量。

假定报童通过自己的实践经验或其它方式掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为X = x 份的概率为P(x)，则通过P(x) 和a, b, c 就可建立关于批发量的优化模型。

3．数学模型设每天批发量为n，因需求量x 是随机的，因此x可以小于、等于或大于n，从而报童每天的收入也是随机的，作为优化模型的目标函数，应考虑他长期（半年、一年等）卖报的日平均收入。

据概率论中的大数定律，这相当于报童每天收入的期望值（以下简称平均收入）。

1011设报童每天批发进n 份报纸时的平均收入为S (n )，若某天需求量x ≤n ，则他售出x 份，退回(n -x )份；若这天需求量x >n ，则n 份报纸全部卖出。