数学核心素养之数学建模教学案例

基于核心素养的数学建模课程的案例研究*———以奶制品的生产与销售模型为例王天松俞芳（昌吉学院数学系新疆昌吉831100）摘要：数学建模课程是高校数学专业的基础课程之一，本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学案例，最后针对案例给出相应的案例反思。

关键词：数学建模；教学案例；模型；反思中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1672-1578（2021)01-0001-03随着我国教育改革的不断发展，核心素养理念在高校教育改革中的地位愈显突出，逐渐成为目前高校教育改革的一项新的要求。

《数学建模》课程的开设和数学建模竞赛的开展促进了高校数学的教学教改，对学生综合素质的提高起到了积极、有效的作用[1-2]。

本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学设计，最后针对案例给出相应的案例反思[3-5]。

1奶制品的生产与销售模型的教学设计1.1教材分析数学建模是高校数学专业重要的一门专业课程，通过这门课程的学习，应使学生获得数学建模的系统知识、数学思想与思维方法。

对于数学专业学生深刻理解和灵活使用数学知识解决实际问题至关重要，其内容是初步进行科学研究的重要工具，在金融、经济、社会科学等方面有着广泛的应用。

事实上，本课程是学生进行毕业论文写作及科研的阶梯，也为深入理解高等数学打下必要的基础。

本节内容选自姜启源版《数学模型》第四章第一节奶制品的生产与销售，是数学规划模型章节中的第一讲，主要是通过分析两个实际问题讲解线性规划模型（简称LP模型）的建模方法和利用LINGO的求解方法。

这节内容将为后面的模型探索打下坚实的基础，同时为了解LINGO软件的使用提供很好的平台，因此本节内容在该章节中具有重要的地位。

1.2学情分析数学系大四的学生具有一定的数学理论基础，而且具备一定的思维能力、逻辑能力以及综合运用知识的能力。

探索篇•教学研究高中数学建模素养培育的教学案例研究方晓英（福建省龙海市榜山中学，福建龙海）摘要：以高中数学为例，分析探究了学生建模素养的培育。

以实际案例为研究细点，分析出通过“创设问题情境，启发建模意识；结合生活问题，深化建模思维”两种培育路径，引导学生学会数学建模的思想，将难以理解的数学问题转化为形象问题，锻炼学生的数学建模思维，增强学生分析和解决问题的能力，从而不断加强对学生数学建模素养的培养，充分激发学生学习数学的兴趣和内在动机，促使学生的数学核心素养和综合能力得到提升。

关键词：高中数学；建模；案例教学数学能力培养原来是培养学生的逻辑能力、计算能力、空间能力等，现在主要是培养学生提出、分析、解决问题的各种综合能力，让学生的创新、应用意识得以提升，帮助他们发展数学建模、探究等能力，并且转化成为实践学习能力。

所以高中数学教学中，培养学生的数学建模能力非常有意义。

高中数学教学中，需要让学生掌握数学的基础知识，同时也需要重视核心素养的培养。

其中，数学建模素养就是学生必备的核心素养之一。

可以说，面对高中抽象复杂的数学知识，如果学生学会数学建模的思想，将难以理解的数学问题转化为形象问题，就可以直观地看到问题和条件之间的联系，有助于找到解题的思路，能够更为轻松地解决实际问题，从而不仅帮助学生积累了丰富的数学知识经验，还增强了学生对数学学习的兴趣和动力，促使学生的数学水平和综合能力得到提升。

一、创设问题情境，启发建模意识高中数学的建模活动，通常情况下都是以小组的形式进行。

因此，在高中数学建模素养的培育阶段，需要学生具备良好的建模意识，能够在小组内合理分工，共同探讨并解决问题。

所以，数学教师可以根据具体的教学内容，为学生设置合理的问题，创设问题的情境，引导学生去探究和学习，帮助学生探寻到学习数学的趣味，能够从数学问题中逐渐抽象出数学模型[1]，让学生可以全身心感悟建模的全过程，达到培养建模素养的目的。

例如，在学习“三角函数模型的简单应用”（人教版）内容时，教师首先让学生学会从图像求解析式的各种方法，了解函数的周期性变化规律，以此更好地了解其中的数学建模思想，让学生的抽象概括、建模能力得到培养，让学生在学习过程中可以更好地感悟数学的建模过程。

从核心素养的视角㊀再谈高中数学建模以 三角函数的应用 教学片段为例徐德云(江苏省南菁高级中学ꎬ江苏江阴２１４４３７)摘㊀要:数学建模要立足于学生已有的知识与能力ꎬ以学生为本ꎬ以核心素养的培养为目标组织和实施课堂教学.要引导学生积极参与ꎬ通过观察分析ꎬ主动发现情景的本质属性和规律ꎬ要在模型的分析与建立ꎬ以及模型的应用与反思的教学过程中ꎬ引导学生会用数学的眼光观察和发现问题ꎬ会用数学的思维思考和分析问题ꎬ会用数学的语言表达和解决问题.关键词:数学核心素养ꎻ数学建模ꎻ三角函数的应用ꎻ教学设计中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０９－０００２－０３收稿日期:２０２２－１２－２５作者简介:徐德云(１９８８－)ꎬ女ꎬ江苏省连云港人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学建模一般包括问题分析㊁模型假设㊁模型建立㊁模型求解㊁模型分析㊁模型检验㊁模型应用七个步骤.数学建模的教学能更好地发挥数学的育人功能ꎬ在引导和培养 学生会用数学的眼光观察世界㊁会用数学的思维思考世界㊁会用数学的语言表达世界 上意义更加深远.本文拟结合高中数学(人教Ａ版)第一册第五章中的«三角函数的应用»的几个教学片断和大家交流这方面的实践与思考ꎬ不当之处还请批评指正[１].１模型的分析与建立首先从学生生活中熟悉的情景出发ꎬ引出要解决的问题ꎬ引导学生观察思考ꎬ教师结合前面学习过的三角函数知识来揭示探究的方向.教学片断１师:生活处处皆数学ꎬ数学无处不生活.正如法国著名的雕刻家奥古斯特罗丹所说: 生活中从不缺少美ꎬ而是缺少发现美的眼睛ꎬ数学亦是如此. 在我们的生活中有许多这样的现象:日出日落㊁春夏秋冬㊁潮汐潮落㊁天体运动等等ꎬ这些现象的共性是都具有周期性ꎬ我们已经知道三角函数是刻画周期性现象的一个重要模型ꎬ这不由得让我们产生这样的思考:可否借助于三角函数去研究这些周期现象ꎬ并进一步对现实中的一些实际问题做出决策㊁给出有参考价值的建议.师:同学们先来看一个动画(课件演示弹簧振子的运动).暂停动画后ꎬ大家想想ꎬ现在开始计时ꎬ怎样可以得出１０秒后弹簧振子离开平衡位置的距离?师:开始动画演示ꎬ继续观察一下这个弹簧振子的运动ꎬ发现有什么特点?生１:来回摆动.师:对ꎬ经过一段时间振子又回到原来的位置了ꎬ这种运动的特点是循环往复ꎬ具有周期性特征.师:既然这样ꎬ我们要解决刚刚提出的问题ꎬ同学们说说看要先解决什么问题?生２:先求出振子离开平衡位置与时间的关系式就好了.师:很好ꎬ我们要抓住其运动规律ꎬ也就是 函数关系式 ꎬ利用其规律来解决问题.师:(追问)你能求出这个函数关系式吗?还记２得函数的表示方法有哪些吗?生２:可以从演示开始ꎬ先采集一些数据ꎬ然后列表㊁描点ꎬ连线ꎬ师:好ꎬ我们一起来采集一些数据(呈现教材中提供的数据ꎬ如表１).表１大家观察一下ꎬ这些数据的变化有什么特征?生３:有正有负ꎬ先是随时间变化变大(增)ꎬ然后再变小(减)ꎬ再变大ꎬ生４:数据会重复的出现ꎬｔ＝０时位移是－２０ꎬｔ＝０.６秒时又变成－２０了ꎬ还有ｔ＝０.１５和ｔ＝０.４５的位移也是一样的ꎬ师:很好ꎬ接下来我们借助计算机ꎬ将其对应的散点图绘制出来.(师演示绘制散点图)师:通过散点图ꎬ我们能较为直观地感受到其运动变化的特点ꎬ现在把这些散点用线连起来ꎬ大家有什么发现?生５:与我们前面学习的三角函数图像 雷同 !师:散点图可以让我们直观地感知到位移和时间的变化特点ꎬ将这些点连线后可以观察到质点运动的一般规律ꎬ从而便于找到合适的模型来解决问题.设计意图㊀立足核心素养的培养目标ꎬ引导学生观察生活现象ꎬ观察数据㊁表格ꎬ观察散点图ꎬ让学生在观察中思考ꎬ在思考中观察ꎬ运用所学的知识去分析问题ꎬ运用所学的方法去探究问题.教学片断２师:实际上ꎬ这个运动在物理中叫简谐运动ꎬ我们来看一下物理中简谐运动的原理.教师播放动画 简谐运动的运动原理 和 单摆沙漏 .师:这些弹簧振动ꎬ单摆沙漏都是简谐运动ꎬ根据我们所学的物理知识ꎬ我们正是用三角函数来刻画其运动的位移和时间的关系.设计意图㊀借助情境中相关的物理知识ꎬ从理论和运动图像上简短地加以说明和验证用三角函数模型刻画周期性现象的可行性ꎬ从而验证了数学思维的正确性.师:物理中也给出其位移和时间的关系式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)ꎬ这里我们要做一点说明ꎬ在数学中ꎬ三角函数更一般地形式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)＋ｂꎬ因为我们这里的ｘ轴就是平衡位置ꎬ所以ｂ＝０ꎬ那么如何根据我们的数据来确定另外三个待定的系数呢?生６:观察知ꎬ最大的位移是２０ꎬ所以Ａ＝２０.师:那ω呢?求ω就要先求什么?生７:周期.师:对!那周期是多少呢?你是怎么得到的?生８:周期等于０.６ꎬ相邻两个最小值之间就是一个周期ꎬ所以ω＝１０３π.师:好ꎬ到这里就得到了解析式ｙ＝２０ｓｉｎ(１０３πｔ＋φ)ꎬ现在还有一个φ没有确定ꎬ同学们有办法吗?生９:选择一个点的坐标代入解析式.师:这样可以得到一个关于φ的三角方程ꎬ再通过解方程就可以求出φꎬ那么你选择了哪个点呢?生９:ｔ＝０时ｙ＝－２０.师:(板书过程)化简得ｓｉｎφ＝－１.我们知道这样的φ有很多个ꎬ可以统一表示为φ＝２ｋπ＋３２π(ｋɪＺ).为方便起见ꎬ我们可以在前面引入三角函数模型的时候ꎬ对其中的系数进行适当的规定ꎬ如｜φ｜<π.这里我们要做两点说明:第一点ｔ>０ꎬ因为我们是用函数模型去刻画实际问题ꎬ所以函数模型的定义域要受到实际问题限制ꎻ第二点求φ时ꎬ是将初始位置的数据代入得到的ꎬ这个点是函数的最小值点.㊀师:根据上述求解过程ꎬ你能总结一下由函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)的图像求解析式的基本思路吗?学生尝试总结后ꎬ教师总结基本思路:先观察得Ａꎻ再由周期得ωꎻ最后代入初始位置解三角方程得φ.师:现在再请同学们思考一个问题ꎬ能不能用ｙ＝Ａｃｏｓ(ωｔ＋φ)表示位移和时间的关系式?生１０:可以.师:为什么呢?３生１０:因为余弦函数和正弦函数的图像变化规律是一样的ꎬ它可以由ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)经过左㊁右平移得到.设计意图㊀立足核心素养:用数学的语言去表达世界.培养学生对已有知识和方法的运用能力ꎬ提升学生的数据分析与数学运算能力[２].２模型的应用与反思教学片断３师:(面向全体学生)现在同学们能不能回答本节课开始提出的问题?学生齐声回答可以.师:根据我们得到的位移和时间的变化关系ꎬ代入时间ｔ就可求解出相应的位移ꎬ即可以得到任何一个时刻的物体的近似位移.为什么说得到的是近似位移呢?请同学们思考ꎬ然后分组交流㊁讨论.教师可加入学生小组ꎬ聆听学生的讨论ꎬ根据讨论情况对预设的教学过程做出调整.师:(小结学生的发言)因为我们得到的函数模型是在遵循其特征的前提下的 理想模型 ꎬ由于受到诸多因素(如重力作用㊁数据采集误差)的影响ꎬ两者之间通常还有一定的误差ꎬ所以我们即使选择合适的㊁正确的数学模型ꎬ也只能近似地刻画实际问题ꎬ并不是完全地吻合ꎬ同学们会不会有这样的想法:这样的结果有实际应用价值吗?下一节课的学习会帮大家找到答案.师:一旦确定好适合的函数模型ꎬ我们就可以将问题放大ꎬ解决任何一个时刻的位移.这就是我们数学工具的作用ꎬ来源于生活ꎬ又回归应用于生活.师:大家来回忆一下我们解决这个周期性现象ꎬ经历了怎样的过程?学生齐声回答:观察ꎬ描点ꎬ画图ꎬ计算.师:一个物理运动ꎬ动态感知ꎬ收集数据ꎬ绘制图像ꎬ函数模型ꎬ解决实际.设计意图㊀数学建模的意义不仅仅是要让学生应用所学的数学知识和方法去刻画和解决生活中的实际问题ꎬ也不仅仅是要让学生感受数学来源于生活ꎬ又服务于生活的学科价值.我认为更重要的是将新课标的 三会 落实到我们的课堂中ꎬ这样才能更好地激发学生学习的潜能ꎬ才能让学生更爱数学ꎬ学好数学.师:三角函数模型中的系数实际上都有一定的物理意义.我们一起来看一下:Ａ就是这个简谐运动的振幅ꎬ它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离ꎻ这个简谐运动的周期是Ｔ＝２πωꎬ它是做简谐运功的物体往复运动一次所需要的时间ꎻ这个简谐运动的频率由公式ｆ＝１Ｔ＝ω２π给出ꎬ它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数ꎻωｘ＋φ称为相位ꎬｘ＝０的相位φ称为初相.师:了解了三角函数模型系数的相关物理意义之后我们就可以把它用于处理物理相关问题了.给出实例:交变电流问题.师:你们能不能解决这个问题呢?(让学生自己组织研究ꎬ并将解答的过程在黑板上呈现)设计意图㊀凸显应用问题来源于实际ꎬ最后回归于实际ꎬ真正体会建模的价值.从上面教学的过程中我们不难发现ꎬ在新课程标准明确要求转变教育理念ꎬ培养学生核心素养为教育目标的指引下ꎬ做为数学核心素养之一的数学建模ꎬ能够引导学生在实际情境中从数学的视角提出问题ꎬ用数学的思维思考分析问题ꎬ用数学的语言揭示表达问题ꎬ从而有效地培养和发展了学生的核心素养[３].参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.[２]徐梦园ꎬ初晓琳ꎬ赵宝江.浅谈中学生数学建模核心素养的培养[Ｊ].中外企业家ꎬ２０１９(１３):１８６－１８７.[３]陈凯.培养学生建模思想发展数学核心素养摭探[Ｊ].成才之路ꎬ２０１９(０６):４１.[责任编辑:李㊀璟]４。

数学核心素养之数学建模教学案例1引言: 新修订的高中数学课程提出, 数学核心素养是数学课程目标的集中体现, 是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。

高中数学核心素养主要包括: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。

其中, 对于数学建模, 详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象, 用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。

主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题, 分析问题、构建模型, 求解结论, 验证结果并改进模型, 最终解决实际问题。

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁, 是数学应用的重要形式。

数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段, 也是推动数学发展的动力。

在数学建模核心素养的形成过程中, 积累用数学解决实际问题的经验。

学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型, 并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力, 增强创新意识。

特级教师张思明提出“我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境, 为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。

近年来, 数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加, 可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念, 旨在引导学生关心社会、关心未来, 实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。

2.中学数学模型的教学2.1中学数学中常见的数学模型分类:（1）与函数的最值相关问题。

工程中的用料最省、利润最大, 列出所求量的函数解析式, 利用代数工具解函数最大值。

（2）线性回归直线、非线性回归直线；如中学生身高和体重的关系, 红铃虫产卵数与温度的关系。

（3）与周期有关的三角函数模型建立。

电路信号, 音频震动, 潮水涨落周期。

（4）线性规划问题。

关于求解含有多个约束条件的, 目标函数的最有解问题。

2019年第2期（下)中学数学研究31高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考一以“建立数列模型解决实际问题”教学为例广东省广州市番禺区石楼中学（511447) 梁振强数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型、用数学知识解决问题的素养，是 学生高中阶段必备的数学核心素养之一.《普通高中数学课 程标准P017年版）》明确指出：“数学核心素养是数学课程 目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中 阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数学分析.”其中,更是强化了数学建模 思想的核心地位,并以主题的形式要求学生参与数学建模活 动与数学探究活动的全过程，使学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用,提升实践能力、增强创新意 识和科学精神.笔者认为，要想提高学生核心素养，首先要提高学生数 学建模能力.如何在高中数学课堂教学中渗透数学模型核心 素养能力的培养，值得一线数学教师实践与思考.下面以“建 立数列模型解决实际问题”的教学为依托，浅谈一下学生核 心素养的根植与培养•一、教学内容与目标1.教材和学情分析本节课是对普通高中新课程标准实验教科书《数学5》(人教A版)第二章《数列》中2.2节一2.5节内容进行整合而 形成的一节实际应用课,主要内容是通过对日常生活中的两 个实例分析，得到等差、等比两种数列模型以及建立数列模 型的具体步骤.数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本数学模型，等差、等比数列又是数列中最特殊的两种 数列，在日常生活中有着广泛的应用.本节课是关于等差、等 比数列及其求和公式实际应用的一节整合课,是本章内容的 升华，目的是让学生感受这两种数列模型应用的广泛性，并 能够利用它们解决生活中的实际问题.学习本节课之前，学生已经对等差、等比数列的概念及 其前n项和公式有了较深的认识，这对建立这两种数列模型 做好了知识储备.从认知结构方面，大量的数学思维方法如 类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想等已为学生所 习知.但在分析问题的实际背景、明确问题的复杂条件等方 面还有一定的困难，尤其是用函数的背景和研究方法来认识、研究数列,还没有形成思维习惯，所以“建模”和“解模”两步对学生来说还是个难点.2.教学目标要解决日常生活中有关数列的问题，必须从实际情境中抽象出相应的数列模型，进而转化成数学问题求解.基于以上学情分析，本节课的教学目标如下：(1)学会解决有关等差数列模型的实际问题.⑶学会解决有关等比数列模型的实际问题.(3)明确建立数列模型的步骤.教学重点:建立数列模型的步骤，解决有关等差、等比数列模型的实际问题.教学难点：从生活背景中提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决.二、主体教学过程设计(—)回顾旧知问题1等差、等比数列相关知识的复习.问题2解决应用问题的思路.教师活动:提问与引导；设计意图让学生更加熟悉数列建模的必备知识并憧得数学知识的系统性与关联性.(二）实例情境1假设某市2013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2〇13为累计 第一年)将首次不少于4750万平方米？(2) 当年建造的中低价房的面积占建造住房面积的比例 首次大于85%?设计意图以实际生活实例让学生感受建立两种特殊数列模型的方法和步骤.问题1描述中低价房的关键信息是什么？它的数学实质是什么？如何把第（1)问转化为数学问题？32教师活动：多重设问引导学生提炼关键信息，板书建模 解模步骤；设计意图使学生很自然地从实际情境中抽象出等差数 列模型并明确“建模”步骤:设—建—解—答.问题2描述新建住房的关键信息是什么？它的数学实 质是什么？如何把第(2)问转化为数学问题？教师活动:提问并组织学生交流解题过程；设计意图培养学生从实际情境中抽象出等比数列模型 醜力.问题3解模中的不等式“n+ 4 > 6.8 x 1.08"-1”能否 用数形结合的方法？教师活动:用几何画板演示.设计意图通过数形结合的方法使学生进一步理解数列 是一种特殊函数.问题4 “每年新建住房面积平均比上一年增长8%”和 “中低价房的面积比上一年增加50万平方米”的数学实质是 什么？设计意图强化学生“识模”B U“抓关键信息”的能九总结建模的步骤:识模—建模—解模—答模，从而突出重点.(三） 实例情境2某家庭打算在2013年的年底花40万购一套商品房，为 此，计划从2007年初开始,每年初存入一笔购房专用款，使 这笔款到2013年底连本带息共有40万元.如果每年的存款 数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存人多少 钱？（1.027«1.1487)设计意图实践建模方法过程.问题5题目中的关键信息是什么？它的数学实质又是 什么？设计意图训练学生抓关键信息、分析关键信息的能力.问题6从2007年到2013年共存了几次钱？每次存的 万元到2013年底的本利和分别是多少？如何把这一问题 转化为数学问题？设计意图明确数列中的计数问题，亲历建立等比数列 模型的方法,重视解模答模的过程，从而突破难点.(四） 目标检测目标检测题1某市一家商场的新年最高促销奖设立了 两种领奖方式，获奖者可以选择2000元的奖金,或者从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天 领取的奖品的价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加 10元，哪种领奖方式获奖者受益更多？你会选择哪种方式？目标检测题2 —名体育爱好者为了观看2016年里约热 内卢奥运会，从2010年起,每年的5月1日到银行存人a元 一年期定期储蓄，假定年利率为P(利息税已扣除)且保持不2019年第2期（下）变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2016年5月1日将所有存款和利息全部取出，则可取出的钱的总数是（）A.-(1+p)7B.®[(l+p)6-(l+p)]P PC.^[(l+p)7-(l+p)]D.^(1+p)6设计1图了解建立等差数列、#比数列模型的达成情况.三、 教学思考数学建模素养作为主要的核心素养，加强其在平常教学中的渗透尤为重要.教师要善于发挥教学的主导和引领作用,促进数学建模素养的落实.新颁布的高中数学课程标准修订稿将数学建模素养划分为三个水平，并且有十分详细的描述,如了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义;能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用;能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题等.教师的教学活动应基于数学核心素养而进行，特别是针对三个水平展开对学生数学建模素养的培养•(一） 丰富课堂阅读材料，为学生的数学建模思想应用奠 基.教师应为学生提供丰富的阅读材料，让学生多接触实际生活中的数学问题，了解所熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，从而为学生用数学模型解决现实问题积累经验.(二） 组织学生开展数学建模活动，培养学生的数学能 力.通过开展数学建模活动，可以让学生经历发现问题、解决问题的过程，进而体会数学建模的思想和方法.在数学建模活动中，通过讨论式的教学方法，让学生参与到教学环节中，充分发挥学生的主体作用.(三：）从日常教学抓起,促进学生的综合发展.在教学中不断引导学生会学习、会思考、会应用,能够用数学的思维方式去观察、分析和表示实际问题中的各种度量关系和位置关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出数学信息并建立数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题和解决问题的习惯,在数学教学中进行主题式教学设计和实施，让数学建模素养真正落地.四、 结语重视培养学生数学建模的能力已成为数学教育界的共识，在新课程改革的稳步推进中，数学建模将逐步成为数学教育者关注的重点议题.通过数学模型教学案例探析教学活动，学生的数学运算、逻辑思维能力、数学分析等几个核心素养在模型建构中也会有充分的体现，应用数学的意识肯定能得到逐步增强•可以说六大核心素养是蕴含（下接第15页）中学数学研究中学数学研究15 2019年第2期（下）—、几点感悟1. 关注概念的获得过程.心理学研究成果表明，概念获得方式主要有两种：概念 的同化、概念的形成.数学概念的教学要经历“具体^象体”的认识过程，B卩“概念的外延分类念内涵的归纳、概括-«念的外延辨析”的认识过程，教学设计中要从具体的 角的分类和辨析，归纳得到圆周角的内涵，再通过具体圆周 角的辨析，完成概念的同化和形成过程.于本节课而言，明确 圆周角从那里来尤为重要.章建跃博士指出，“明数学之道，方能优教学之术圆周角首先是一个角，它有一个顶点、两条射线.圆周角,顾名思 义，自然与圆有关，与圆有怎样的关联呢？我们在引导的时候 要强调或解释的内容要点有：圆周角的顶点一定在圆上、并 且两边一定要截一段弧;在圆上，一个圆周角对应圆上一条 弧，圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆 心角，但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联 系，因此圆周角与它所对的弧有关，是圆上的一条“弧”维系 着圆心角的“一”与圆周角的“多可以说，圆周角、圆心角 都与它们所对的弧有联系，圆周角因圆而产生，它来源于圆 中的“弧在课堂中，教师利用几何画板，让图形由原来的“不动”变成了“多动”，学生真真实实地经历了观察、猜测、推理、验 证等活动.弥补了传统教学中获得方式的不足，极大地丰富 了学生获取知识的途径.2. 突出图形性质探究中的思维过程.几何探究的核心价值的实现需要通过具体问题的探究 任务来引导学生的探究活动，并使学生的几何直观和推理 能力（数学思维)得到发展.在圆周角性质的探究过程中，通 过从特殊到一般的过程获得性质，再通过演绎推理证明性 质,培养学生直觉思维和逻辑思维能力，符合几何学习的一 般规律,突出思维过程.在教学中，教师利用几何画板度量 ZAOS,得到ZAOS=80°,由此可验证同学们的猜想.并将 其从特殊到一般，在几何画板中改变弧A B的大小，然后再度 量乙40S与角乙4CB,我们同样得到= •乙40S,由此进一步验证同学们的猜想.3. 数学思想的渗透要符合学生的认知生成过程.在图形性质的探究过程中，渗透特殊到一般、分类讨论、化归等基本数学思想，要让学生在具体的探究活动中体验和 反思，形成自觉运用这些思想方法的习惯和能力，要符合学 生的认识规律，不能将思想方法的运用直接抛给学生，而忽 视学生的认知过程.在圆周角性质的探究中，若直接告知学 生分成三种类型，学生不理解要为什么要如此分？为什么首 先研究最特殊的情形？用思维的结果代替思维过程，不符合 学生的认知过程;通过对各种图形进行分析，自主选择研究 (当然也可以首先研究最特殊情形)，反思研究的几种类型，学生感悟到分成三种类型是必要的，明确分类的标准和方法, 完成性质定理的探究和证明，符合学生的“认知生成过程”.本课中，教师利用几何画板，当移动圆周角的顶点时,就出现 了圆心与圆周角的三种位置关系一圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部.较好地突破将 无数个圆周解分成三种位置类型这一难点，为证明作好铺垫.4.几何画板辅助教学要找准切入点，切忌花俏.“教之道在于度，学之道在于悟几何画板的辅助教学如何引导，何时介入，介入多少，这里便有个“度”的问题，要 处理好这个“度”的问题关键是找准切人点.几何画板与数学 课程的整合应整合在关键处,如难点的突破、认知的冲突、规 律的生成以及数学思想方法的呈现等.同时，在课件的设计上切忌花俏,几何画板辅助教学不 是功能展示课,课件的制作过于华丽、花俏，容易分散学生的 课堂注意力，几何画板的辅助教学应在是否体现新的教学思 想;是否体现新的数学思想;是否更简单直接突破教学的重、难点上下功夫.另外要注意的是在教学中,能用黑板或其它教具讲清楚 的问题，不一定要用多媒体，特别是例题或习题讲解时，切忌 用多媒体，要注意黑板的板书,因为板书是把思维过程呈现 给学生的一个重要载体.参考文献[1]胡滨.“圆周角”教学设计应特别关注的三个环节[J].中学数学月刊,2014(7).[2]张爱平.几何课程中体现“过程”的教学策略妨探[J].初中数学教与学，2〇13(1).[3]佘飞.有效设问激活数学课堂的活力[J].教师通讯，2015(2).(上接第32页）在模型建构教学的整个过程中的，因此应当重 视学生的数学建模能力，发展学生的应用意识，从而将学生 的数学核心素养落实到位.参考文献[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准(2017年版）[M]，人民教育出版社，2018.[2]牛伟强，张倜，熊斌，中国中小学数学建模研究的回顾与反思[J],数学教育学报，2017,（5): 66-70.[3]彭慧，高中数学核心素养之建模能力的培养[J],数学教学通讯，2017 (2) : 62-63.。

2020年第8期 福建中学数学 45（2）如图17，//AB x 轴，点A 在函数2y x=上，点B 在函数8y x=上，则AOB ∆的面积是 ． 图本探究过程开门见山，让学生从问题情境中探究一个数学模型．教学中，通过设计有效的“问题串”，将教材中的“静态内容”激活，借助函数图象先从感性认识开始，设置研究模型的一个个小目标，通过计算让学生体会坐标与线段长的关系、比例系数k 与矩形面积S 的关系．学生能比较轻松的获得目标，再通过对比、归纳、猜想，抽象出结论，最后验证结论，实现从感性认识上升到理性认识的认知过程．整个教学过程引导学生，如何将数学问题与数学模型相结合，有利于他们用建模思想解决问题，不仅提升模型意识，也初步体验了数学建模的过程．4 在教学反思中，聚焦模型导学，把握建模悟教4.1 初中学生建模活动——心中有“向”数学模型思想的教学实践过程中，学生在教师的引导下，亲身经历了将实际问题转化成数学模型，计算结果，检验结果，改善方法等数学活动过程，在获得数学理解的同时，也为高中数学的学习奠定了经验基础．学生在遇到问题后，心中有方向，知道从何思考，如何解决，树立了数学学习自信心，在学习主动性、思维能力、数学核心素养等多方面得到进步和发展．4.2 初中教师建模教学——手中有“法”教师的教学不仅要将实际问题转化为数学问题，更要注重方法的提炼，强调用不同的数学模型解决同一实际问题、用同一数学模型解决不同的实际问题．为培养学生的学习兴趣，初中阶段可进行数学建模比赛或数学实验比赛，适时地鼓励学生进行自主探究，培养学生的自主学习能力，帮助他们将知识应用到实践过程中，提升学生的分析问题和解决问题的能力．4.3 初中建模课堂教学——实施有“度”数学建模的过程一般需要学生整合多门课程的知识，需要同伴的合作意识，需要查阅文献资料、收集信息、咨询专家等等．数学建模课堂教学要渗透“思维的灵活性、容错性和广泛性”，但对初中学生教学不能花太多时间，不能对全部学生作为普及性要求，防止把模型思想的教学与数学建模活动的教学要求一样，过于拔高初中学生对数学学习的要求，从而影响初中学生学习数学的信心和积极性．总之，在初中数学教学中应不断渗透模型思想，引导、帮助初中学生提高建模意识，逐步体会建立数学模型、参与模型的应用过程，这既有利于提升学生的数学思维，更能够促进他们分析问题和解决问题能力的提升，为今后高中学习数学建模及数学建模活动奠定基础．参考文献[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [2]黄英芬，颜宝平，龙红兰．从应用题到建模问题的回译 [J]．数学通报，2019，58（9）：34-37[3]王志俊，周圣武，韩苗，邵虎．高中数学建模能力训练 [J]．数学通报，2019，58（9）：38-42[4]邱宗如．高中数学微型探究教学的几点思考[J]．数学通报，2017，56（11）：29-36(本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《借助“互联网+”培养中学生数学建模能力的实践研究》（立项批准号：FJJKXB18-544）、福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《新高考背景下高中生学业成绩分化的归因研究》（立项批准号：FJJKXB18-508）的研究成果）基于数学核心素养的数学建模教学实践李子谦 福建省福州第一中学（350001）数学建模是连接现实世界与数学世界的桥梁，是数学应用的重要形式．《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）将数学建模作为6个数学学科核心素养之一，同时将数学建模活动与数学探究活动列入必修课程，作为必修课程的一个单元．数学建模越来越多地走入中学数学教师和中学生的视野．如何在现有学情、考情的情况下，开展数学建模教学，促进学生数学建模素养的形成与46 福建中学数学 2020年第8期发展，是我们必须面对与解决的问题．1 数学建模素养高中数学现有的学情与考情指向的侧重点在于考查学生在有限的时间内对于数学知识掌握的程度和解题过程中运用的熟练程度以及思维的严谨性，试题或问题的答案与解题方向指向性也比较明确，且大都具有唯一性，封闭性较强．虽然近年来增加了不少来源于现实世界的应用性问题，对学生的阅读理解能力也提出了较高的要求，但鉴于目前考试的特点以及条件的限制，此类问题更多关注的是学生解决模型的能力，其本质是考查学生的解决模型的能力，而不是真正意义上的数学建模能力．真正的数学建模问题是开放的，常常不具有唯一甚至正确的答案．正如统计学家George Box在《实验统计学》中关于工业实验设计经常被引用的观点：“我们从任何一个模型中最可期待的就是它可以为现实世界提供一个有用的近似值；所有的模型都是错的；但有些模型是有用的．”数学建模要解决的问题通常是现实问题，由于现实问题的缤纷复杂性，导致仅具备对数学知识的熟练运用是不足的，还需要具备能够将所学知识、方法整合、统筹的能力，具备将现实问题转化为数学问题的能力，即必须具有一定的建模素养．《课标》对数学建模素养的描述为：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”．同时《课标》指出：“数学建模过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”．《课标》既指出了数学建模素养的内涵，也为开展数学建模教学提供了路径．2 建模案例及分析2.1 传染病传播问题案例1 2020年甫一开始，新型冠状病毒肺炎疫情肆虐神州大地．试建立一个传染病传播模型以做相关的流行病学研究．诊断分析流行病学中的传染病传播模型有一些经典的模型，本案例适合直接讲解并引起学生的建模兴趣．流行病学模型中最简单的一种情况叫做SI模型．模型中人群分为两类，一是易感染者（Susceptible）也就是可能被感染的健康人，人数为S，二是感染者（Infected），也就是患者，人数为i．假设一个区域内总人口为N，这i个感染者每天走来走去，每个人会碰到r个人，其中易感者的比例是SN，有概率β把病毒传染给接触到的人，那么这几个量乘在一起就是每天新增的感染病例ddi r ist Nβ=．在SI模型中，没有考虑治愈问题，如果时间足够长，所有人都将被传染，全部变为感染者．如果加入了治愈条件，这就是在SI模型的基础上变为了SIS模型，每个人都会在感染者和易感染者之间反复，感染了会治好，治好了还会感染．假设感染者恢复健康的概率为γ，那要在刚才的方程里加上一项γi，每天增加的患者数要减掉这个量，ddi r isit Nβγ=−．现实生活中很多疾病，人在康复之后会产生抗体，就不会再得这个病了，他们康复后即不是易感者，也不是感染者，比如天花，流感等疾病，他们在治愈后就退出了感染系统，所以引入一个康复者（Removed）变量．这个模型称为SIR模型．易感者会不断被传染为感染者，而感染者又会不断治愈变成移出者并不再被感染，同样假设康复的概率是γ，dditr isiNβγ−，ddritγ=．新冠病毒更加复杂，易感者在感染后会先经历潜伏期，一段时间之后才会发病，这时候就又要向模型中引入潜伏期者（Exposed）．这个模型就叫做SEIR模型．潜伏期者以概率a转化为感染者，在实际意义中我们可以把他理解成潜伏期，可得方程deedr isat Nβ=−，d edia itγ=−，ddritγ=．解出以上微分方程就可以得到相应的感染人数与时间t的关系以做相关的流行病学研究．小结本案例由于切合热点，较容易激发学生兴趣．SI，SIS，SIR，SEIR都是流行病学模型中的经典模型．虽然限于微分方程的求解超出高中范围的要求，但仍不失为一个好的起始案例．初始的分析清晰易懂，假设的变量与列式合乎常规思路．并且在讲解过程中能够体会每一个模型的不完善性，可以亲身体会模型一步步完善的过程．在具体实践中，由于各种参数的具体数据缺乏，显然数据的收集、统计、整理必不可少，且可通过讲解后展示其函数解或图象解，来抓住学生的兴趣点，认识数学建模与现实的关系．2020年第8期 福建中学数学 47 2.2 汽车加油问题案例2 某人每天开车沿固定路线去上班，从家到公司的路线上，有几个加油站．不幸的是，在上班的固定路线上油价比较高．一位朋友告诉他，在距离常规路线几公里外的加油站加油，油价更便宜．那么，为了更便宜的油价而行驶额外的距离更合算吗？诊断分析 该问题是数学建模中的决策问题．首先需要确定，解决这个问题需要进行哪些量的比较．很明显，因为前往较远加油站加油存在路程油量的额外消耗，所以学生最容易想到的是对额外消耗的油的总价值与节约下来的花费进行比较．要计算这两个量，需要对相关数据进行收集、整理，然后构造出这两个量的计算公式，再进行大小比较，从而得出结果．其中，显而易见需要收集的数据有：油箱的容积、每公里耗油量、油站的距离、不同加油站的价格．以字母表示变量如下：p 表示常规加油站的价格；P 表示较远的加油站的价格；D 表示偏离常规路线的距离（往返需要2D ）； M 表示每公里的耗油量；T 表示购买的油量（因为不能保证每次加油油箱剩余油量为0，简化假设该值比油箱容积小5升）．从加满油箱的成本比较，2C TP DMP =+，这里所有的量非负，且常规加油站意味着0D =，此时最小化C 是我们的目标．具体应用时计算出不同变量的情况下C 的具体值，然后取C 最小的情况做决策．换一个角度，我们定义一个“可用汽油”的概念． 在常规加油站加油，因为日常会经过它，所以所有的汽油都是“可用”的；而较远的加油站加油并不都是“可用汽油”，整个油箱中扣除加油路上的消耗，剩下的部分才是“可用汽油”，比较“可用汽油”的价格，也可以作为决策的依据．满箱汽油的成本是TP ，其中“可用汽油”的量为2T DM −．所以“可用汽油”的单位成本为：2TPT DM−，那么我们得到了一个用来做决策的公式，当2TPp T DM<−的时候，我们去较远的加油站购买汽油．两个角度事实上建立了两个不同的模型，代入这样一组具体的数值，9p =，8.5P =，7D =，M = 0.1，25T =分别用两个模型计算．模型1中，C =224.4低于925225×=；在模型2中，“可用汽油”的成本为9.004高于常规油站的成本9元/升，也就是说，同一组数据在不同的模型中会得出不同的答案．因为在第二个模型中，可用的汽油随着额外的里程数增加而减少，但是在第一个模型中并不介意额外的里程数有多少．考虑一个极端的情况，加满油只够前往较远的加油站并返回，甚至加满油还不够往返，这种情况下，不论较远加油站的油有多便宜，也不应该去加油，因为加的油根本没有实际作用，甚至不够加油路上的消耗．而在第一个模型中，只要油足够便宜，计算出来的C 就会比常规油站加油计算出来的C 小，会得出一个不符合实际的结论．而第二个模型中，里程增加会导致“可用汽油”的减少，从而使结论更具有科学性．小结 决策问题常常需要对某些量进行比较，为了得出这些量也离不开数据的收集、整理、分析．分析中建立的两个模型都不够完善，因为还有时间成本等因素为考虑．而时间成本等因素不像价格这样有明显的量化指标，就需要对这些指标进行加权综合，如运用层次分析、综合评分等方法主观赋权或运用线性回归、主成分分析等方法客观赋权．本案例可以让学生经历较为系统的建模过程，理解类似问题的建模思路．这样，学生通过数据认识事物的思维品质得以形成，基于应用统计表达现实问题的意识得以加强，数据分析的核心素养得以提升．数学建模这一已经发展多年的数学活动，由于数学学科核心素养的提出，在中等教育的数学领域内被提到了一个前所未有的高度，然而由于传统思想和考试形式的制约，对于数学建模的教学方式与意义，相当多的同仁都有着各种各样的困惑．笔者认为，由于终身教育的存在，未来数学教育必然离不开数学建模．现今社会上充斥着数学无用论，而数学建模可以清晰的展示出数学在现实生活中的作用，学生学好数学建模，将终身受益．参考文献[1]陈德燕．中学数学建模教学行为探究[J]．福建中学数学，2019（12）：14-16[2]梁贯成，赖明治，乔中华，陈艳萍．数学建模教学与评估指南[M]．上海：上海大学出版社，2016[3]冷东梅，付文洁，陈璐，洪小娟．基于传染病模型的热点舆情事件情感迁移研究[J]．中国集体经济，2019（33）：69-71（本文系福建省中小学名师工作室专项课题《中学数学建模教学的理论与实践的研究》（项目编号：GZS191011）的阶段性研究成果）。

三、基于数学核心素养的高中数 学建模活动实施策略
三、基于数学核心素养的高中数学建模活动实施策略
1、创设情境，引入课题：教师可以通过实际问题或生活案例等手段，创设情 境引入课题，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、基于数学核心素养的高中数学建模活动实施策略
2、分组合作，建立模型：将学生分成小组，让他们通过讨论和分析，建立合 适的数学模型。这个过程中，教师应该积极引导和鼓励学生，帮助他们形成正确 的数学思维和方法。
一、数学核心素养与数学建模
一、数学核心素养与数学建模
数学核心素养是指学生在掌握数学知识的基础上，运用数学思维和方法分析 问题、解决问题的能力。数学建模是数学核心素养的重要组成部分，它是一种将 实际问题转化为数学模型，通过数学计算和分析，得出结论并应用于实际问题的 过程。
一、数学核心素养与数学建模
在数学建模活动中，学生需要运用数学知识、数学思维和方法，通过观察、 分析、综合、归纳等步骤，将实际问题转化为数学模型，并进行求解和分析。这 种过程不仅可以帮助学生掌握数学知识，更可以培养他们的数学核心素养，提高 他们的创新思维和解决问题的能力。
二、基于数学核心素养的高中数 学建模活动设学建模活动的教学设计实例
1、创设情境：通过实际问题（如：某城市的房价与地段的关系、股票价格的 波动等）引导学生思考函数关系。
三、高中数学建模活动的教学设计实例
2、定义变量：引导学生明确问题中的变量（自变量和因变量），并建立函数 关系式。
3、模型建立：让学生根据函数关系式，尝试绘制函数图像，并解释图像的意 义（如：斜率、截距等）。
二、数学核心素养与数学建模
二、数学核心素养与数学建模
数学核心素养是指学生在数学学习过程中所应具备的素质和能力，包括数学 抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析等方面。其中，数 学建模是指运用数学语言、符号、公式等对现实问题进行抽象、简化，从而建立 数学模型的过程。在中学阶段，开展数学建模活动能够帮助学生更好地理解数学 知识的应用价值，提升学生解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。

数学核心素养的教学案例在教育领域，核心素养的培养已成为全球教育的重要目标。

其中，数学核心素养作为核心素养的重要组成部分，对于学生的全面发展具有重要意义。

本文将通过一个教学案例，探讨如何在数学教学中培养学生的核心素养。

案例描述：本案例以初中数学中的“一元二次方程”为例，通过以下四个方面来培养学生的数学核心素养：1、数学抽象能力：通过实际问题引出一元二次方程的概念，引导学生从实际问题中抽象出数学模型。

2、逻辑推理能力：通过例题的讲解和学生的自主探究，让学生掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特点进行分类讨论。

3、数学建模能力：将一元二次方程与实际生活相，让学生能够利用一元二次方程解决实际问题。

4、数学运算能力：通过练习和考试，让学生熟练掌握一元二次方程的运算技巧和方法。

具体实施过程：1、导入新课：通过实际问题“如何计算一个正方形面积的平方根？”引出一元二次方程的概念。

引导学生抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题。

2、讲解例题：通过例题的讲解，让学生掌握一元二次方程的解法。

同时，引导学生自主探究方程的特点和分类讨论的方法。

3、实际：将一元二次方程与实际生活相，如计算房屋价格、解决工程问题等。

让学生能够利用一元二次方程解决实际问题。

4、练习与考试：通过练习和考试，让学生熟练掌握一元二次方程的运算技巧和方法。

同时，引导学生进行自我评估和反思，提高其自主学习能力。

案例分析：本案例通过“一元二次方程”这一知识点，成功地培养了学生的数学核心素养。

具体表现在以下几个方面：1、数学抽象能力：学生能够从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学符号和语言进行表述。

这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

2、逻辑推理能力：学生通过自主探究和例题讲解，学会了分类讨论的方法和逻辑推理的步骤。

这有助于培养学生的逻辑推理能力和自主探究能力。

3、数学建模能力：学生能够将一元二次方程与实际生活相，并运用方程解决实际问题。

开展数学建模教学落实数学核心素养数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁，高中数学建模教学首先在北京、上海等发达地区展开实践，2003年数学建模首次被写进《普通高中数学课程标准（实验）》，这标志着数学建模成为高中生正式学习的内容，2018年初由教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017版）》把数学建模作为数学六大核心素养之一，要求数学建模作为课程内容主线，并安排了具体课时.本文将通过数学建模教学的实例分析，期待对数学建模教学有借鉴意义.1核心素养数学建模的内涵2007年，Blum提出建模七阶段循环过程，即把整个建模过程分为七个环节，六个状态：现实问题情景模型现实模型数学模型数学结果数学世界现实世界；主要为（1）理解“现实问题”构造“情景模型”；（2）简化“情景模型”构造“现实模型”；(3)数学化，即用数学的语言描述“现实模型”从而构造“数学模型”；（4）应用数学方法得到数学结果；（5）根据现实问题解释数学结果获得现实结果；（6）结合原来的情景验证结果，如果结果差强人意，则重新进行建模过程；（7）介绍问题解决方案，并与他人交流.数学建模是一个过程，而最重要也是学生感觉最困难的是“现实问题数学模型”这一过程，为了更好地提高学生的数学建模能力寻找好的数学建模问题是关键.2核心素养数学建模实例分析案例《体重与脉博问题》教学设计2.1教学内容及核心素养解析在生物学常识确定的模型假设下，科学分析数据建立函数模型描述对恒温动物睡眠状态下体重与脉博率之间的对应关系进行数学抽象.1）先在情境中抽象出问题，再用图形语言、符号语言分析和表述相关数据，并基于生物学常识形成的模型假设建立函数模型来阐释恒温动物体重与脉博率之间的内在联系，为完善数学模型，在检验和运用模型的基础上利用对数运算转化数据，将幂型函数转化为线性函数模型，从而增强了数据分析的直观性和科学性.2）在学生理解和认识基本初等函数模型（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数）的基础上，综合运用技术方法和跨学科知识创造性地建立数学模型描述自然规律、解决实际问题，为数学建模和数学探究活动奠定了基础.3）综合运用了数形结合、等价转化的数学思想，培养了跨学科（数学和生物）的逻辑推理以及数学抽象、数学建模、数据分析等数学素养，激发了学生应用数学的意识，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

Key words: mathematical core literacy; Mathematics modeling teaching; Mathematical modeling literacy level test
数学建模活动作为《普通高中数学课程标准 （2017 年版）》[1（] 以下简称为《标准》）课程内容之
（1.黔南民族师范学院 数学与统计学院， 贵州 都匀 558000 2.贵州省都匀二中， 贵州 都匀 558000）
摘 要：数学建模是高中数学六大核心素养之一，通过数学建模教学活动，可以提高学生分析问题、
解决实际问题的能力，促进学生思维品质发展。以三角函数模型为为例，依托“货船进出港时间问题”，对
数学建模教学按照数学建模的基本流程进行了精心设计，试图通过本模型对数学建模的教学一般过程和特
征进行分析，达到培养学生数学建模素养的目的。同时依据数学建模素养水平划分对数学建模的评价做
了说明，并提出了以下启示：“数学建模教学的关键在于科学选取素材；建模活动要凸显数学核心素养培
育；根据数学建模素养水平划分，建立科学评价体系”。
关键词：数学核心素养；数学建模教学；数学建模素养水平测试
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1009—0673（2019）02—074—08
A Teaching Case Analysis of the Mathematical Modeling Literacy Cultivation in Senior
High Schools———Taking the Example of the Trigonometric Function Model in PEP（A）

ematical modeling, it can improve students 'ability to analyze problems, solve practical problems, and promote the development of stu-

基于“数学建模”课，提升学生的数学核心素养—以《等比数列》为例【摘要】在教学课堂如何落实新课标理念、发展学生学科核心素养可谓是现如今数学教学急需解决的问题。

建模能力本就是学生数学核心素养重要构成，也是一项极具创造力的思维活动，教师若能在高中数学教学过程中基于“数学建模”来优化教学，不仅能够促进新课标理念落实，还有助于学生数学核心素养提升。

鉴于此，本文也以《等比数列》为例来为学生构建“数学建模”，希望借此来有效提升学生数学核心素养。

【关键词】数学建模；核心素养；高中数学引言《普通高中数学课程标准修订》专题报告之中有明确提到，要在高中数学教学过程中，加强对学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养的培育。

这一报告的提出，为高中数学课改革指明了方向，高中生数学学习也因此而获得了全新的机遇及挑战，所以在高中数学教学过程中，如何有效提升学生数学核心素养也成为教师教学思考要点。

“数学建模”课提出的目的则是为了更好地解决上述问题，并且让学生数学核心素养在“数学建模”课上得到发展，因此笔者也就此展开了如下讨论：一、高中“数学建模”课的作用（一）契合高中生认知及发展规律在实际生活过程中我们会遇到不少的抽象问题，若直接解决的话会消耗大量的时间及精力，“数学建模”课构建的目的就是让高中生在数学学习过程中，学会将这些现实生活中的抽象问题借助抽象思维来转化成为一些较容易理解的数学模型，之后再借助所学数学知识来对其进行分析与解决[1]。

高中生数学建模思维无法在一朝一夕中实现，其需要学生在掌握相应数学基础的同时，在不断地思考与验证中得以提升，而这一过程就是学生学习数学知识的过程。

从这一点来分析的话，“数学建模”课十分契合高中生认知发展规律，对于提升学生数学核心素养也起着较为显著的作用。

（二）提高学生问题分析及解决能力高中生在数学学习过程中，需要学习不少的数学知识，如数学概念、公式、运算等多方面，另外新课改的深入还要求学生真正学会应用所学知识解决实际问题。

高中数学建模实际教学案例分析【摘要】随着教育的进步和发展，教育的本质越来越清晰，以人为本、因材施教的教育理念已经渗透到实际教学工作中，个性化教学和德育教学也成为教育的重要组成部分，教育的大环境是健康的，但受传统教育模式影响，许多教师的教学方式仍旧陈旧、枯燥和单一，教学效果不理想，现阶段教育的基本理念是全面促进学生的内在核心素养能力发展，而核心素养能力中就包含创新思维能力、自主探究能力等，这些内在核心能力对于学生的知识学习起到重要辅助作用。

在教育的各个阶段中，高中阶段作为学习压力较大的阶段，正是培养数学思维的最佳时期，而数学建模基于需求应运而生，本文就高中数学建模实际教学案例为课题进行深入探究，期望得出一些具有帮助性的想法和建议。

【关键词】数学建模；实际教学；案例分析随着教育的不断发展，对学生思维能力的培养越来越重视，在教育的各个阶段中，高中阶段是学习压力大并且接触较为深化学科知识的重要时期，在所有学科中，数学学科是学生比较头疼的学科，因为数学学科要求学生具备比较高的逻辑思维能力，对于实际问题能够用抽象模型化的思维进行多角度思考，并最终找到解决问题的方式。

我国是应试教育制度，高考可以说是学生十年寒窗证明自己的关键，在这样的教育环境下，教师和学生产生了一切学习以高考为主的教学和学习态度，从短时间的效果看，这种态度能够在一定程度上提高学习效率，但我国近年来实行的素质教育，让教育的本质越来越清晰，教育的根本目的是为了全面提升学生的内在核心素养，而不是成为考试的机器，所以作为高中数学教师，应该本着开发学生数学思维的教学目的从根本上，引导学生真正掌握数学学习的方法，而不是依靠机械的套用公式和大量的刷题来被动学习，在数学各种课堂教学模式中，数学建模是基于数学学科特征的一种有效方法，数学建模将现实生活中的实际问题，用符号化代表，采用定量、定性的数学结构进行数学表达，结合数学学科狭义的说就是通过各个变量之间的关系进行特定的数学表达。

基于数学建模素养的高中数学教学案例1. 引言1.1 背景介绍随着社会对人才的需求不断增加，高等院校和企业对具有数学建模素养的人才需求也越来越大。

高中数学教师有责任培养学生的数学建模素养，使他们能够适应未来社会的发展需求。

本文将从数学建模素养的概念出发，探讨基于数学建模的高中数学教学设计，并通过案例分析、教学效果评价和教学反思来探究数学建模在高中教学中的重要性，培养学生的数学建模素养的实践意义，以及展望未来数学建模在高中教育中的发展方向。

1.2 研究意义数学建模是数学与现实问题相结合的一门新兴学科，通过数学建模可以在解决实际问题中运用数学知识进行分析和研究。

在当前高中数学教学中，数学建模素养作为重要的一环，对学生的数学学习能力和实际问题解决能力有着积极的促进作用。

数学建模可以帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的数学应用能力。

通过实际问题的建模和求解过程，学生可以更加深入地理解数学知识的实际应用，培养他们运用数学方法解决实际问题的能力。

数学建模素养的培养可以锻炼学生的思维能力和创新意识。

在数学建模过程中，学生需要从复杂的实际问题中提取并抽象出数学模型，这种过程可以激发学生的创造力和发散思维，培养他们解决问题的独立思考能力。

数学建模素养的培养也可以促进学生的团队合作和沟通能力的发展。

在数学建模过程中，学生需要与同学共同探讨问题、提出建议并共同解决问题，这种合作能力在今后学习和工作中都具有重要意义。

研究高中数学教学中数学建模素养的培养意义重大，有助于提高学生的数学应用能力、思维能力和团队合作能力，为学生的综合素质培养打下坚实基础。

1.3 研究目的研究目的是为了探讨基于数学建模素养的高中数学教学方法，提高学生的数学建模能力和素养。

通过研究，我们希望能够深入了解数学建模在教学中的重要性，探讨如何有效地设计基于数学建模的教学活动，分析实际案例并评价教学效果，最终为高中数学教学提供有针对性的指导和建议。

数学核心素养解读数学建模活动与数学探究活动在当今的数学教育中，核心素养的培养已成为重要的教学目标。

数学核心素养不仅体现了学生对数学知识的掌握程度，更体现了学生运用数学思维解决实际问题的能力。

其中，数学建模活动与数学探究活动是培养数学核心素养的重要手段。

数学建模活动是一种通过建立数学模型来解释现实问题的学习方法。

它帮助学生将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决。

在这个过程中，学生需要理解和掌握数学模型的基本原理和方法，并通过实践运用提高自己的建模能力。

数学建模活动有助于提高学生的数学应用能力。

在建模过程中，学生需要将实际问题转化为数学问题，这需要他们深入分析问题的本质和规律，并运用数学知识进行建模。

这个过程不仅需要学生掌握基本的数学知识，还需要他们具备一定的应用能力。

通过不断的建模实践，学生的应用能力会得到逐步提高。

数学建模活动有助于培养学生的创新思维。

在建模过程中，学生需要发挥自己的想象力和创造力，寻找解决问题的新思路和新方法。

这需要他们不断尝试和探索，通过反复推敲和调整模型参数来优化解决方案。

在这个过程中，学生的创新思维会得到锻炼和提高。

数学建模活动有助于培养学生的团队协作能力。

建模活动通常需要小组合作完成，小组成员需要相互配合、分工合作，共同解决问题。

这需要他们相互沟通、协调，并就问题进行分析和讨论。

在这个过程中，学生的团队协作能力会得到锻炼和提高。

数学建模活动是一种有效的教学方法，它有助于提高学生的数学应用能力、创新思维和团队协作能力。

而数学探究活动则是一种通过引导学生自主探究数学知识来提高其数学素养的学习方法。

它帮助学生深入了解数学知识的本质和规律，并培养其自主探究的能力。

随着教育的进步和课程改革的深入，高中数学教育已经从传统的知识传授转向了核心素养的培养。

其中，数学建模作为数学核心素养的重要部分，对于培养学生的创新思维和解决问题的能力具有不可替代的作用。

本文将探讨如何基于数学核心素养，开展高中数学建模活动，提高学生的数学应用能力和创新精神。

核心素养导向下的高中数学建模教学设计—以《三角函数模型的简单应用》一课为例广东省广州市真光中学(510380)钟三明摘要在课堂中如何落实《新课标》的基本理念,如何发展学生的“学科核心素养”是当前课堂教学需要解决的问题.本文提供了一份数学建模与数学探究活动的完整教学设计,提出一是要创设真实问题情境,强化情感驱动;其次是要渗透“实践与创新”理念,培养高阶思维;三是要加强学科内和学科间的知识整合,突出思辨思维;四是要注重信息技术与数学课程的深度融合,提高教学的实效性.关键词核心素养;数学建模;三角函数模型;教学设计如何将核心素养的培养落到实处,无论是在课程要求,教学评价上,还是对学生的学习方式、教师的教学方式,都需要进行变革,其中心环节就是学生的学习方式和教师的教学方式的转变.那么,基于核心素养的教学方式有哪些特征?什么样的教学方式才是基于核心素养的教学?如何进行教学设计才是基于核心素养的教学设计?笔者针对这些问题,以“三角函数模型的简单应用”教学设计为例探讨在发展学生数学核心素养的视域下,给数学建模与数学探究活动教学设计的内容和启示.1、教学分析1.1现行教材地位分析“三角函数模型的简单应用”内容归属如下:必修课程数学4:第一章:三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质1.5函数y=A sin(ωx+φ)+b图像1.6三角函数模型的简单应用现行教材中,三角函数是按照刻画客观世界中的周期性变化规律的一类函数数学模型进行编排的.该章下属6节的内容安排基本上是按照三角函数的定义、性质和作用的逻辑顺序展开的.“三角函数模型的简单应用”主要围绕“解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用”这个问题进行研究的.计划分两个课时,本课为第1课时,主要通过3个问题研究如何根据三角函数图像求解析式、如何从实际问题中抽象出三角函数模型,如何通过拟合的方法建立三角函数模型,让学生体验一些具有周期变化规律的实际问题的全过程.1.2《新课标》地位分析在《新课标》中,本课内容归属如下:(一)必修课程主题一预备知识主题二函数1.函数概念与性质2.幂函数、指数函数、对数函数3.三角函数(1)角与弧度(2)三角函数概念与性质(3)同角三角函数的基本关系式(4)三角恒等变换(5)三角函数的应用从中可以看出,在《新课标》中,三角函数是在函数这一大主线上进行操作的,并将“三角函数的应用”放在了“三角恒等变换”之后,而不是现行教材的分模块设置并只是“简单应用”.这样的调整,更强调了三角函数的函数属性,一方面,三角函数的研究实际上就是函数研究的一个特例,是数形结合思想良好的典范;另一方面,在实际应用中,三角函数的应用确实经常会涉及到三角函数变换和其他的函数知识.2、学情分析学生通过前期的三角函数的定义和性质的学习,地理课的学习,网络、电视、报刊及真实体验,对“函数图像”“三角函数”“数学建模模型”“港口”“潮汐”“摩天轮”等概念均不陌生;且从学生水平来看,他们应该已经形成了相关的前概念,需要完善的地方主要是能够利用函数图像的直观性,通过观察图像而获得对函数性质的认识,能够从复杂的实际背景中抽取基本的数量关系,调动相关学科知识来帮助理解问题.同时,由于设计中提供了一个真实的与学生个体密切相关的情境,可以很好地吸引学生的注意力.因此在调动学生参与研究的积极性、主动性、提高学习兴趣方面发挥主要作用,也有助于体现三角函数在实际问题中应用的广泛性.选择案例注意选择能表现三角函数在刻画周期变化规律,预测其未来等方面发挥作用的例子,引导学生运用前概念及学习后新建构的数学建模理念去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.3、教学目标教学目标核心素养素养水平及描述1通过分析问题1,观察具体图形,写出函数解析式,并通过解析式求解实际问题直观想象水平一:能够通过图形直观认识数学问题;体会图形与数量的关系;体会数形结合.数学运算水平一:能够体会运算法则的意义和作用,在交流的过程中,能够用运算的结果说明问题.2分析问题2中的摩天轮问题,体会如何分析实际问题并建立三角函数模型的全过程,领会数学在解决实际问题中的价值和作用.逻辑推理水平二:能够理解相关概念、命题之间的逻辑关系,能在关联的情境中发现并提出问题,用数学语言予以表达.直观想象水平二:能够通过直观想象提出问题,能够用图形探索数学问题的思路.数学建模水平二:能够用数学语言表述数学建模中的问题以及解决问题的过程和结果.3分析问题3中的货船进出港口问题,体会拟合法建立函数模型的全过程,领会数学在解决实际问题中的价值和作用.直观想象水平二:能够借助图形性质探索数学规律,解决实际问题或数学问题;数学建模水平二:能够在关联的情景中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义;数学运算水平二:能够在关联的情景中确定运算对象,合理选择运算方法、设计运算程序,解决问题.数据分析水平一:掌握描述、刻画、分析数据的基本方法,解决问题.4、教学过程环节师生活动设计说明创设情境引出课题[投影显示]2018年11月13日,世界城市研究机构之一GaWC 发布了2018年世界级城市名册.结果显示,广州的排名再次上升到Alpha 级别,在世界一线城市中排名第27位.师:下面让我们一起深入了解我们生活的广州(播放广州城市宣传片网址:.c-n/gzgov/csxcp/201704/34b9b0e526a04b82b40b6e34b710122d.shtml).广州有如下特点:一是气候宜人,和谐宜居;二是经济发达,商场鳞次栉比;三是交通便利,为21世纪“海上丝绸之路”新枢纽.学生交流生活中遇到的和三角函数有关的实际问题,师生共同分享.融入“立德树人”理念,让学生感受数学来源于生活,服务于生活,激发学生的学习兴趣.[投影显示](一)气候宜人,和谐宜居[投影显示]问题1:如图,广州某天6至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin (ωx +φ)+b(1)求这一天6至14时的最大温差?(2)请写出这段曲线的函数解析式.学生做题,教师引导学生分析图形,推算函数解析式;组织学生讨论并展示过程和总结解决问题的方法与步骤.让学生暴露知识结构,考察上节课学习的情况并为下面建模问题做准备.问题探究体验模型[投影显示](二)经济发达,商场鳞次栉比[投影显示]播放“广州塔”“广州之眼”视频(画外音)小蛮腰(广州塔)毫无质疑是当代广州面向全国和世界一张靓丽的城市名片,它拥有全球最高的横向摩天轮.此外,广州将在广州南站建设广州唯一水上摩天轮(设计高度88米,命名”广州之眼”),建设城市发展新地标.假设“广州之眼”建成,同学们希望知道自己在乘坐“广州之眼”时离地面的高度吗?[投影显示]问题2:如图,假设“广州之眼”摩天轮逆时针匀速旋转,其中心O 距地面44.5m,半径44m.若从最低点处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,3min 后到达最高点,以你登上摩天轮的时间开始计时,解答以下问题.(1)你能求出你与地面的距离y 与时间t 的函数解析式吗?(2)当你登上摩天轮8min 后,你与地面的距离是多少?[投影显示]探究1:你的位置变化是由什么变化所引起的?探究2:设你的位置为P ,探究∠AOP 与时间t (min)的函数关系式.探究3:如何用∠AOP 的三角函数来表示你与地面的距离y .探究4:写出你与地面的距离y 与时间t 的函数解析式.[投影显示](三)交通便利,为21世纪“海上丝绸之路”新枢纽.[投影显示]播放“广州南沙港区”视频(画外音)广州港南沙港区得天时、地利、人和,为广东新一轮经济和社会发展助力.南沙港区作为广州市南拓战略前哨,将建成珠江西岸大型深水码头区,为珠三角西部区域集装箱运输和现代物流发展服务.[投影显示]问题3:货船一般在涨潮靠近码头卸货,在落潮时开回海洋.下面为某港口时刻与水深关系表:学生思考,小组合作探究,得出解决方案,分享交流;师生共同总结解决问题的步骤和方法.学生独立思考2分钟,让一位学生借助“GeoGebra ”软件模型表述解决这一问题的想法.利用展示台,小组派代表上台进行讲解.学生边进行讲解边利用“GeoGebra ”软件进行动态演示.让学生完整经历用三角函数建立数学模型的全过程,提高学生数学建模的素养.从不同的背景资料中抽象出不同的模型,领会数学知识应用的广泛性.处理问题2时,教师通过一系列探究问题启发诱导学生合作探究,分散难点,让学生充分体会建立三角函数模型的全过程.通过学生利用“GeoGebra ”软件的动态演示,直观体验函数模型的生成过程.让学生持续意识到问题从生活中来,而又服务于生活.问题探究体验模型(1)观察数据,画出散点图.选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系.(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.75米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某货船的吃水深度为4.75米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的海域?探究1:什么是潮汐现象?你见过潮汐现象吗?能否用语言简单描述你所见过的潮汐现象?探究2:为什么船要在涨潮时靠近码头卸货,在落潮时返回海洋?探究3:大约什么时间港口的水最深?深度约是多少?大约什么时间港口的水最浅?深度约是多少?探究4:在什么时间范围内,港口的水深增长?在什么时间范围内,港口的水深减少?探究5:试用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情况.探究6:怎样根据数据作出散点图,观察图形,求解本例中的(1)?探究7:请根据所得的函数模型,求解本例中的(2).探究8:所求出的进港时间是否符合实际情况?如果不符合,应如何修改?探究9:在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢?探究10:求货船停止卸货,将船驶向深水域的时间含义是什么?探究11:你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗?学生阅读,教师巡视.探究1:一位同学回答潮汐现象.探究6:学生在坐标纸上画图,并用展示台展示.探究7:学生小组探究,选派代表展示研究结果.探究8:通过软件作图进一步分析解决,把三角函数的解答还原到实际问题中.探究9:师生通过“GeoGebra”软件画出函数图象,求出交点横坐标;教师引导学生从数、形两个角度进行分析,同时引导学生使用二分法思想解决方程近似解得问题.组织学生讨论,归纳概括出建模的基本步骤.通过设置一系列的问题串,让学生自然习得分析实际问题的方式和方法,分散教学难点.通过让学生在坐标纸上画散点图,画拟合曲线,再通过“GeoGebra”软件实际操作,绘制三角函数和一次函数的图象.培养学生利用信息技术解决问题的能力通过小组探究,构建学习共同体,让学生亲身体验拟合法建立函数模型的全过程,提高学生将实际问题转化为数学问题的能力,理解数学建模的思想.合作讨论回顾与反思[投影显示]完善数学建模的流程图,说说有哪些收获和感想.学生分享收获和感悟.培养学生归纳和概括能力,提升学生逻辑推理素养.优化小结方法总结组织学生思考表达,随后教师补充完善教师总结数学建模的思想方法和步骤.给学生示范总结的方法,让学生在比较中提高.迁移转化完善认知课题作业1.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速运动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮放入坐标系中,后轮中心为坐标系的原点,轮胎按逆时针方向以角速度2rad/s作圆周运动,P0是气针的初始位置,气针P到原点O的距离是30cm,你能确定点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式吗?点P的运动周期和频率分别是多少?2.书本P66,4学生课后合作解答,形成数学建模报告.让学生学以致用,进一步体会数学与生活的密切联系.5、教学反思在发展数学学科核心素养的视域下,数学建模活动与数学探究活动的教学设计应精选教学内容,处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系,强调数学与生活以及其他学科的联系,提升学生应用数学解决实际问题的能力,同时注重数学文化的渗透.5.1创设真实问题情境,强化情感驱动数学知识是数学学科核心素养的载体,只有将数学知识和技能置于真实情境中,通过解决复杂问题所形成的的能力才是数学学科核心素养.基于核心素养的教学应该强调创设真实的情境,让学生通过解决特定的情境任务,提升学生的核心素养.教师要把什么样的教学情境及教学活动有利于学生哪些数学学科核心素养的养成作为教学设计思考的重要方面.本节课通过“广州在著名城市研究机构排名中列世界一线城市中排名第27位”这一事件出发,然后通过广州的自然气候、商业环境、港口建设等一线串珠,引出三个典型的三角函数应用问题,情境真实,让学生体验到数学来源于生活,认识到习得的知识和技能在未来的学习和生活中的价值,从而在学生与问题情境的有效互动中发展了学习的间接兴趣,提升了学生的数学学科核心素养,培养了学生“会用数学眼光观察世界”这一能力.5.2渗透“实践与创新”理念,培养高阶思维充分发挥数学建模活动与数学探究活动的功能.数学建模活动与数学探究活动具有问题性、情境性、综合性、开放性、实践性、创造性等特征,在数学学科核心素养的培养上,它们更契合数学学科核心素养的本质属性.本课选取的三个问题都是三角函数模型的典型问题,通过设置探究问题串,把抽象的知识主线具体化、有序化、开放化,让学生体验数学建模的全过程.在引导学生主动建构数学知识的同时,多处对学生进行数学文化的熏陶,将建立函数模型的思想暗线贯穿于课堂始终,培养学生实践能力,也培养了学生“问题解决、批判性思维、开放性视野和创新能力”这些被国际公认的21世纪高阶思维能力.5.3加强学科内和学科间的知识整合,突出思辨思维数学建模过程是真实的解决问题的过程,因此在解决问题的过程中会用到学科内多个模块的知识.本课在设计中,除了通过三角函数解决问题外,还涉及到了函数拟合知识、二分法知识、数据处理知识等,体现知识应用的广泛性.“真实情境和非常规思维、高阶智商的认知和开发、跨学科主题学习是21世纪人才的三大核心功能”.数学建模的教学设计要积极探索实施跨学科的主题式学习.本课的设计以气候、商业、港口为背景,要求学生结合情境,开展跨学科的主题性项目学习,学生完成整个学习需要涉及到地理、政治、历史、数学等多个学科的知识,需经历一个真实的探究过程,多个学科的教师参与其中,直接或间接的指导学生.在问题3的设计中设置一系列的问题串,让学生通过(下接第10页)多角度地理解立方根的概念,将零散的知识及时整合.平方根和立方根是奇次方根和偶次方根的典型代表,通过第二问题将立方根和平方根概念进行横向比较,一方面与已有的概念建立广泛的联系,扩展对新概念的理解;另一方面,学生在解决当下的问题后,还能由此提出新的问题(即第三个问题),并用类似的数学方法和活动经验去解决,形成自己的经验系统(如图1),实现概念的扩展和应用.3、若干反思3.1立足现实,自然引出概念章建跃先生曾指出,对“从现实引入”的更全面认识,应从数学知识的发生发展过程需要来考虑,这个“现实”既可以是“生活的现实”,也可以是“数学的现实”.[3]生活现实往往从一些实际情境引入,再抽象出数学对象,而数学现实则是在数学知识发展过程中自然而然提出的问题.当然,我们应立足学生的最近发展区来选择合适的方法,以便“跳一跳能摘到桃”.上述案例的引入中,我们选择基于“数学现实”,将新旧概念的联系点设计成问题链,引导学生建立起新旧知识间的联系,使旧知识有延伸的活力、新知识有生长的根基[4].3.2类比旧知,自主建构概念建构主义学习理论中的“以问题为中心”的探究性学习,就是学习者通过发现问题和解决问题而建构知识的过程.而问题链是一连串具有脉络的问题,学生需按照“发现问题—解决问题”这个模式循环往复的进行知识建构,旨在将课本上静态的知识转化为动态的思维活动.每个问题的设计不流于形式,而是实实在在地引发学习认知冲突、产生思维碰撞.立方根概念的建构过程,主要利用类比和一般化的思想,在知识、方法和视角的关联基础上来设计问题链.知识上,两者的定义,开立方和开平方的运算,符号表征等都是通过问题链类比得到;方法上,两者都采用“观察,举例,归纳,总结”等,设置了探究型的问题链.如问题8,推动学生多层次的反复思考立方根符号的双重作用.研究视角上,两者都是按照“定义—开方运算—性质—符号—运算”的思考框架进行,所以设置了递进式的问题1—问题3:先回顾平方根的研究框架,然后类比建构立方根的研究框架.3.3重视反思,提升思维品质郑毓信先生认为:“在课堂的各个环节,不只是‘课尾’,我们都应注意引导学生不断做出新的思考,包括对原先的问题与实际的解题过程作出必要的回顾与总结,及我们又如何依据新的‘形势’提出另外一些值得深入研究的问题.”[5]作为教师需明白的是,仅仅教给学生数学知识是不够的.因为在有限的时间内,学生能学到的知识、解决的问题是有限的.学生在学习知识的过程中通过不断反思,才能获得能力的提升与思维习惯的养成.立方根教学中,除了课尾明显的反思性问题外,反思活动其实贯穿于概念学习的每一个环节.因为学生经历“发现问题—解决问题”的循环模式,反思是后一个环节得以产生并顺利实施的关键.本文是以问题链为载体开展数学概念教学的一个案例.从中可以看到问题链在学生概念学习中的一些价值.但这方面的研究还比较少,有待进一步深入的分析与更多的实践探索.参考文献[1]唐恒钧,Hazel TAN,徐元根,等.基于问题链的中学数学有效教学研究[J].数学教育学报,2018,27(3):30-34.[2]陈惠勇.数学史观下的数学概念教学新模式[J].高等数学研究,2007,10(5):58-59.[3]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报,2013,52(6):7-9.[4]童玉峰.初中数学常用概念问题链教学的课例探究[J].吉林教育,20l5(25):59-60.[5]郑毓信.用研究的精神从事教学——聚焦“学生发现与提出问题能力的培养”[J].教学月刊,2018.(4):4-9.(上接第27页)讨论辨析实际问题情境的解答与数学问题的解答之间的关系,突出思维的思辨性.5.4注重信息技术与数学课程的深度融合,提高教学的实效性事实上,数学课程中运用信息技术已成为当今世界各国数学课程改革的重要方向.利用信息技术更形象直观地显示概念的本质属性和特征;运用计算机的数据处理和计算功能,揭示数学变化规律,进行数学实验,猜想命题结论,引导学生利用计算机探寻解决问题的途径.本课中利用信息技术进行数据的计算和拟合,将抽象的问题转化为具象的问题;通过“GeoGebra”软件绘图功能,进行数形结合意识的培养,解决实际问题,并探寻合理的解决方案,直观,思维可视化,拓宽了数学课堂空间,学生的学习方式由原来的纸笔探究拓展为人机互动探究,提高了教学的实效性.参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准:2017年版[M].北京:人民教育出版社,2018.1.[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准(2017版)解读[M].北京:高等教育出版社,2018.5.[3]皮连生主编.教育心理学[M].上海:上海教育出版社,2011.4.[4]孙宏安.谈数学建模[J].中学数学教学参考,2018(4)上::2-6,17.[5]章建跃.核心素养统领下的数学教育变革[J].数学通报,2017,56(4):1-4.。

通过包装彩绳问题教学落实数学建模核心素养发布时间：2021-03-26T15:44:57.913Z 来源：《教育研究》2020年12月作者：黄高湧[导读] 数学建模要用真实情境，让学生体验到数学来源于生活，认识到知识和技能在未来的学习和生活中的价值，从而在数学与问题情境的有效互动中激发学习数学的兴趣，提升了学生的数学核心素养，培养了学生用数学建模解决实际问题能力.龙湾区教师发展中心黄高湧 3250241 数学建模《包装彩绳问题》教学内容《包装彩绳问题》选自《普通高中数学课程标准（2017年版）》的附录2教学与评价案例，属于对数学建模素养评价不同水平表现的一个案例.内容包括购买礼盒的生活场景，售货员的捆扎方式，以及他提出这样的捆扎不仅漂亮而且比一般的十字捆扎包装更节省彩绳.（如图）这是立体几何中线段长度问题，往往需要借助直观才能论证的问题，学生对售货员观点的验证的两种处理方法反映数学建模素养的不同水平；2 数学建模《包装彩绳问题》教学设计2.1教学基本流程实际问题数学问题数学模型求解模型检验模型模型应用2.2留意身边的数学问题问题1 买一份精美的礼物，售货员用“彩绳”对礼盒做了两种方式“捆扎”,如图，请问你熟悉这两种捆扎方式吗？测量这两种捆扎方式的彩绳长度并进行比较.设计意图：（1）让学生感知生活中实际问题，数学建模的核心是来源于生活，又用数学思想方法解决问题，最终回归现实生活.（2）数学实验活动中非常重要的过程就是学生动手实践，通过动手捆扎礼盒亲身体会并测量两种捆扎的绳长，让学生通过实验捆扎探究彩绳长度问题更加直观的感受空间的彩绳，只有直观上的充分认识才能建立合理的空间想象，从而为建立数学模型做好铺垫.同时获得数据为引出问题、归纳、猜想做好材料准备.（3）学会收集生活中的数据信息，并学会用数学思维去分析数据，获得数学问题，通过设问将特殊长方体的结论推广到一般长方体，使得问题更加数学化.2.3将包装彩绳问题转化为数学问题问题2 对任意一个长方体礼盒，同一组对面上的“对角”捆扎和“十字”捆扎哪一种捆扎用绳更短？设计意图：数据从实验中来，而且对于任意一个长方体已经不是能全部实验能够完成的，必须经过数学严格的证明，从而把社会问题转化为数学问题，这里最核心的就是用数学语言表示问题，也就是要建立数学模型。

核心素养视角下高中数学建模的教学实践研究杨晓芳(常州市北郊高级中学ꎬ江苏常州２１３０００)摘㊀要:数学建模就是运用数学符号㊁式子㊁图形等对实际问题进行抽象而又简洁的刻画ꎬ以此解释问题㊁预测问题㊁解决问题.本文立足高中数学ꎬ结合教学实际ꎬ从兴趣培养㊁思维启迪㊁信息融入㊁类型归纳㊁丰富形式等方面ꎬ提出可行性的教学实践策略ꎬ促进学生发展ꎬ落实核心素养.关键词:数学建模ꎻ高中数学ꎻ教学实践ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０６－００３２－０３收稿日期:２０２３－１１－２５作者简介:杨晓芳(１９８０.１２－)ꎬ女ꎬ江苏省常州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系２０２１度江苏省中小学教学研究课题 核心素养视角下高中数学建模的教学实践研究 的研究成果(课题立项号:２０２１ＪＹ１４－Ｌ５６)㊀㊀数学建模是沟通现实世界与数学领域的重要桥梁ꎬ更是高中阶段重要的教学内容之一ꎬ它能够启迪学生解决问题的思路ꎬ使学生实现从 盲目无知 到 自我认知 的转变.高中阶段要重视数学建模教学内容ꎬ结合实际的考情㊁教情与学情ꎬ发展学生的数学核心素养ꎬ落实数学建模育人目标[１].１激发兴趣ꎬ结合生活调动学生建模意愿皮亚杰曾说过: 所有智力方面的工作都要依赖于兴趣. 数学建模与生活紧密相连ꎬ这更有利于激发学生学习数学的兴趣ꎬ为学生认知数学建模㊁学习数学建模增强引导与提供动力.数学概念高度抽象ꎬ不便于学生理解ꎬ课堂相对就显得枯燥ꎬ即便是高中生ꎬ其课堂学习的注意力也很难保持长时间集中.因此ꎬ教师要梳理数学概念中的变量关系ꎬ结合学生的实际生活ꎬ再联系学生的当前的认知水平ꎬ将实际生活变成数学问题抛给学生ꎬ引导帮助学生运用课堂所学的数学知识ꎬ建立模型去解决身边的实际问题.边学习ꎬ边建模ꎬ边应用ꎬ在问题解决的过程中感受数学的独特魅力与学习意义ꎬ激发学生 我想学 的兴趣与 我要学 的意愿ꎬ让学生在兴趣的带动下始终保持数学学习的主动性与积极性.如ꎬ现在一些农商为了增加蔬菜的产量ꎬ让蔬菜有个好看的外观ꎬ都会打很多的药物助力蔬菜生长ꎬ即使多次清洗ꎬ仍会有药物残留.我们要如何用一定量的水去清洗蔬菜ꎬ才能安心食用呢?笔者将这一问题抛出后ꎬ学生七嘴八舌地发表意见ꎬ有的说要清洗两次ꎬ有的说要清洗不少于三次.笔者引领学生建立数学模型去分析问题ꎬ解决问题.笔者将这一生活问题转化为一般性数学问题.假设我们要用１０斤的水去清洗蔬菜ꎬ每次清洗后蔬菜上还会残留１斤的水ꎬ那么我们仅清洗一次.那么药物的残留量就是原来的１１１.如果清洗两次ꎬ第一次３斤水ꎬ第二次７斤水ꎬ那么药物的残留量就是原来的１４ˑ８＝１３２.如果平均两次ꎬ每次５斤水ꎬ那么药物的残留量就是原来的１６ˑ６＝１３６ꎬ效果更好.可见多次清洗㊁平均分配清洗的水量ꎬ蔬菜药物残留最少.同时ꎬ笔者又提出现实的问题ꎬ我们不可能用１０斤的水去清洗蔬菜ꎬ浪费水资源.每次清洗蔬菜也不可能２３剩１斤的水ꎬ不符合实情.笔者将一般问题转化为数学思考ꎬ引导学生去运用代数的方式ꎬ建立数学模型去解决生活中的实际问题.２立足教材ꎬ精选案例启迪学生建模思想 数学建模 是数学学科核心素养之一ꎬ在高中教材中主要有两方面的作用.一方面ꎬ是用函数模型来反映现实中的常见问题[２]ꎻ另一方面ꎬ是通过数学模型创设情境ꎬ引导新的教学内容.课本教材中的案例存在普遍的共性问题ꎬ就是被精心加工过ꎬ优化了条件与过程ꎬ重点放在各个变量之间的逻辑关系ꎬ结构良好ꎬ数学性强.但弱化了真实情境的假设ꎬ偏离了学生实际生活ꎬ生活性弱ꎬ学生体验感不强.与此同时ꎬ发展学生核心素养的教学与启迪学生思想的教学并没有本质上的区别.如ꎬ现实生活中 １ 并不存在ꎬ我们需要假借生活真切存在的事物ꎬ一斤水ꎬ一筐蔬菜等才会感知 １ 的存在.因此ꎬ数学建模也要有迹可循ꎬ结合具体事情的具体问题引导学生ꎬ才会让学生感受到抽象的数学概念.因此ꎬ在学生初学数学建模时ꎬ教师要精选生活案例ꎬ立足考情㊁教情与学情ꎬ按着建模的基本步骤ꎬ引导学生认识数学建模㊁学习数学建模ꎬ让学生感受数学建模在现实世界的重要意义ꎬ鼓舞学生学习与应用数学建模的动力ꎬ帮助学生知识迁移ꎬ建立起严谨的数学思维逻辑.如 函数模型及其应用 一课教学中ꎬ笔者提出假设ꎬ老师现在有一笔资金ꎬ现在有三种投资方案.方案一是每天回报４００元ꎻ方案二是第一天回报１００元ꎬ以后每天前一天多回报１００元ꎻ方案三是每天回报４元ꎬ以后每天的回报比之前翻一番.请学生帮忙做出选择.首先ꎬ教师要带领学生共同分析问题.这是学生所熟悉的 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 ꎬ问题相对简单ꎬ学生很容易找到问题之间的数量关系.其次ꎬ教师要帮助学生进行模型分析.这里的变量是天数ꎬ用ｘ表示ꎬ且ｘ为大于０的自然数ꎬ用数学符号表示则为ｘɪＮ＋.再次ꎬ教师引导学生建立数学模型.此投资回报存在两个变量ꎬ一个是ｘ(时间)ꎬ一个是ｙ(金额)ꎬ那么方案一可用一次函数模型表示为ｙ１＝４００ｘꎻ方案二可用函数模型表示ｙ２＝(１＋ｘ)ｘ２１００ꎻ方案三可以指数函数模型表示ｙ３＝４ˑ２ｘ－１.最后ꎬ教师与学生共同求解模型.学生如何帮助教师选择投资方案ꎬ转化为数学问题就是比较ｙ１㊁ｙ２㊁ｙ３之间的大小ꎬ通过函数图象的比较ꎬ给出教师正确的选择方式.笔者通过背景分析㊁模型分析㊁建立模型㊁解决问题四个步骤ꎬ将生活问题转化为数学模型ꎬ呈现了用数学符号与语言解决生活问题的全部过程ꎬ让学生真切感受到数学模型在生活中的重要性.３分门别类ꎬ数学模型分类形成系统认知孔子曰: 学而不思则罔. 任何知识的学习ꎬ都是在大量的吸收后进行归纳与总结ꎬ找到知识一般性的规律ꎬ进而了解知识的本质特征ꎬ加快知识学习的速度与实际应用迁移能力.因此ꎬ在高中数学模型教学中ꎬ教师要帮助与引导学生能够对各类数学模型进行有效的分类ꎬ掌握数学模型的一般性规律.以建模的思维去思考问题ꎬ以建模的能力去解决问题ꎬ使学生的数学建模能力得到切实的提高.高中教学中的数学模型涵盖面较浅ꎬ依照模型所使用的数学工具来分ꎬ大致可以分为:函数模型㊁几何模型㊁复数模型㊁三角模型等.由于高中数学模型是优化后较为理想的模型ꎬ与实际中的数学建模还存在一定的差异性ꎬ因此ꎬ教师在教学中除了教授学生构造数学模型去解决实际生活问题外ꎬ还应该引导学生利用数学建模的思想ꎬ来解决理论性的 纯 数学问题.一方面ꎬ提高学生的解题能力ꎬ使学生的数学成绩有一个质的飞跃ꎻ另一方面ꎬ让学生熟知数学建模的一般性过程ꎬ使学生逐渐形成数学建模的表达能力㊁应用能力㊁逻辑能力及数学与生活的连接能力ꎬ真切将数学知识应用到生活之中ꎬ用建模思维去解决生活中遇到的各类难题ꎬ使学生的数学核心素养得以发展[３].如ꎬ数学中常见的 最值 问题ꎬ就函数ｙ＝ｘ２＋９＋(５－ｘ)２＋４的最小值.通过观察上述 纯 数学问题的特征ꎬ发现这属于 几何模型 类型.因此ꎬ上述函数可变形为ｙ＝(ｘ－０)２＋(０＋３)２＋ ３３(５－ｘ)２＋(２－０)２ꎬ变成两点之间的距离公式.那么ꎬ函数ｙ的几何意义也就变成了点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬ点Ａ(０ꎬ－３)与点Ｂ(５ꎬ２)之间的关系ꎬ也就是｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜取最小值ꎬ即ＰꎬＡꎬＢ三点共线.上述问题就是 纯 数学问题ꎬ学生通过建立数学模型ꎬ能够使复杂的问题浅显化ꎬ启迪解题思路ꎬ从而解决问题.而这些就需要学生在脑海中有完善的数学知识结构ꎬ知道这个问题属于哪一类ꎬ用哪一种方式去解决.这是学生熟知各类数学模型后ꎬ将不同概念㊁性质的知识在脑海中产生联结ꎬ举一反三㊁触类旁通的结果.因此ꎬ教师在教学中ꎬ帮助与引导学生对数学模型进行分类是十分有必要ꎬ也是十分重要的教学内容.这能够使学生在遇到问题后ꎬ明确解决问题的方法与手段ꎬ也能够使学生将各种数学知识融会贯通ꎬ熟练掌握与使用ꎬ即让学生用建模去解决问题ꎬ也使学生具备建模化的思维逻辑.４多元教学ꎬ基于教情开展多样教学形式数学建模课与其他数学知识授课有很大的不同.因为数学是极度抽象的形式学科ꎬ有特定的数学语言㊁符号㊁定理㊁公式等ꎬ是虚无缥缈的 理论研究 ꎬ因此实践性较差.而数学建模课ꎬ就是用 模型 将现实世界与理论研究连接起来ꎬ让学生在实践中经历用数学建模去解决实际问题的过程ꎬ将学生已学过的知识㊁已具备的数学能力调动起来ꎬ进而培养学生缜密的数学思维和严谨的数学逻辑.因此ꎬ数学建模课更需要学生积极㊁主动地参与进来ꎬ教师引导为主ꎬ开设多样的教学形式来调动学生的学习热情[４].其一ꎬ结合一般教学形式ꎬ找准数学建模课的 切入点 .数学建模课与其他数学知识授课存在着一定的联系ꎬ教师在其他数学知识授课中ꎬ如概念课㊁复习课㊁讲评课等ꎬ讲到与数学建模联系紧密的知识点时ꎬ可以无声渗透数学建模知识.一方面ꎬ可以加深学生对数学建模的理解与认知ꎬ强化学生数学模型的应用意识ꎻ另一方面ꎬ纯粹的数学建模课学时有限ꎬ可以缓解 内容多ꎬ课时少 的教学压力.其二ꎬ学情导向教学形式ꎬ攻克学生学习建模的 困难点 .多数教师在数学建模课中只讲授建模与求解这两个环节ꎬ简化数学建模的问题分析㊁条件及模型检验等环节.但学情不同ꎬ学生对于建模各环节的掌握情况也不尽相同.同时ꎬ不同的教学内容㊁各数学建模步骤的重要程度也不尽相同.因此ꎬ教师应找准数学建模课的重点与难点ꎬ结合学情需要具体分析.其三ꎬ欣赏学习教学形式ꎬ带领学生学习优秀建模案例.高中阶段的数学知识较浅ꎬ数学模型也就有着很大的局限性ꎬ距离真正意义上的数学建模有着一定的差距.尽管如此ꎬ学生高考之中可能用不到这样的数学建模知识ꎬ但教师也十分有必要让学生了解数学建模的真实面ꎬ带领学生了解更为复杂的数学模型案例.如国家年度粮食产量预测㊁长江水流量预测㊁大学排名问题㊁交巡警服务平台的设置与调度问题等ꎬ开阔学生的眼界ꎬ提高学生的认知ꎬ真正用建模贯通 数学 与 生活 的桥梁ꎬ体现数学的价值ꎬ让学生对数学学科有更高层次的认识㊁更深层次的热爱.５结束语教师要基于学情ꎬ以学生的情趣为出发点ꎬ调动学生学习数学建模的热情ꎻ基于教情ꎬ精选并优化教材中的案例ꎬ启迪学生数学建模的思想ꎻ基于考情ꎬ帮助与引导学生对数学模型进行分类ꎻ再基于数学建模课的特点ꎬ开展多样的教学形式ꎬ切实提高学生的数学建模能力ꎬ使学生的数学核心素养得以发展.参考文献:[１]康文山.核心素养下高中生数学建模能力锻炼与培养[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２２(１１):１１６－１１８. [２]狄闻于.高中数学建模与核心素养的分析和探究[Ｊ].中学数学(高中版)ꎬ２０２２(１０):９２－９３.[３]杨惠凯.基于学科核心素养的高中数学建模案例[Ｊ].天津教育ꎬ２０２２(１９):８７－８９. [４]王淑萍.核心素养背景下高中生数学建模能力培养研究[Ｊ].学周刊ꎬ２０２２(３２):５１－５３.[责任编辑:李㊀璟] ４３。