勾股定理(4)

第二章勾股定理、平方根专题第_节勾股定理-、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。

）* 附：常见勾股数: 3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）;(2) 若c2= a2+ b2,则^ ABC是以Z C为直角的三角形；若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；若a2 + b2> c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的(3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。

(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

(3) 用于证明线段平方关系的问题。

(4) 利用勾股定理，作出长为际的线段二、平方根：(11——19的平方)1、平方根定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。

(也称为二次方根)，也就是说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。

板块一 勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

CAB cba勾股定理3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

板块一、勾股定理【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ； （2）如果68a b ==，，则c = ； （3）如果512a b ==，，则c = ； （4）如果1520a b ==，，则c = .【例3】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例4】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．【例5】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】 已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．【例7】 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20【例8】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例10】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例11】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例13】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例16】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例17】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】 设,,,a b c d 都是正数。

勾3股4定理公式大全勾股定理公式大全勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中的关系。

在三角学和几何学中，勾股定理的应用广泛且重要。

本文将为您提供勾股定理的公式大全，以帮助您深入理解和运用。

一、直角三角形及勾股定理概述在开始介绍公式之前，我们先来了解一下直角三角形和勾股定理的基本概念。

直角三角形是指其中一个角为直角（即90度），即一个角为90°的三角形。

在直角三角形中，有一条边与直角相邻，称为斜边；另外两条边称为直角边。

而勾股定理则是描述了直角三角形中三边之间的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。

二、勾股定理公式勾股定理的公式可以根据计算对象的不同进行分类。

下面将逐一介绍这些公式：1. 已知两直角边求斜边的长度在已知直角三角形的两条直角边的长度时，我们可以通过勾股定理求出斜边的长度。

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则公式如下：c² = a² + b²2. 已知斜边和一直角边求另一直角边的长度当我们已知直角三角形的斜边和其中一条直角边的长度时，可以通过勾股定理求出另一条直角边的长度。

假设直角三角形的斜边为c，已知直角边为a，则公式如下：a² = c² - b²3. 已知斜边和另一直角边求第三边的长度在已知直角三角形的斜边和另一条直角边的长度时，可以通过勾股定理求出第三边的长度。

假设直角三角形的斜边为c，已知直角边为b，则公式如下：b² = c² - a²4. 已知两直角边之比求每条直角边的长度当我们已知直角三角形的两直角边之比时，可以通过勾股定理求出每条直角边的长度。

假设直角三角形的两直角边之比为m:n，直角边的长度为ma和na，则公式如下：a = n * (√(m² + n²))b = m * (√(m² + n²))三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是理论上的数学公式，它在实际应用中也发挥着重要的作用。

勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中最基本的定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边的关系。

而勾三股四定理，则是一种推广的勾股定理，它描述了三个直角三角形的边长之间的比例关系。

以下是勾三股四定理的三个公式及其推导过程。

一、第一个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB^2=BC×AC这个公式可以通过勾股定理的推导得出。

根据勾股定理，有AC^2=AB^2+BC^2带入角C=90°，则有AB^2=AC^2-BC^2即AB^2=BC×AC。

二、第二个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠A=90°，则有AC^2=AB×BC这个公式可以通过将公式一中的AB和BC互换得出。

即将AB^2=BC×AC两边的AB和BC互换，得到AC^2=AB×BC。

三、第三个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠B=90°，则有BC^2=AB×AC这个公式可以通过将公式一中的AB和AC互换得出。

即将AB^2=BC×AC两边的AB和AC互换，得到BC^2=AB×AC。

ABCB，C在直角三角形ABC中，根据勾三股四定理公式一的推导过程，可以得到AB^2=BC×A C。

同理，根据勾三股四定理公式二和公式三的推导过程，可以得到AC^2=AB×BC以及BC^2=AB×AC。

勾三股四定理公式在解决问题时非常实用，它可以帮助我们在已知两条边后，快速求解剩余边的长度。

举个例子，假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm，我们需要求解AB的长度。

根据勾三股四定理公式一，我们有AB^2=BC×AC代入已知值，即可得到AB^2 = 12cm × 5cm计算得到AB^2 = 60 cm^2再开平方根，即可得到AB的长度，约为7.746cm。

勾3股4定理公式大全1.基本形式：在直角三角形中，设直角边分别为a，b，斜边为c，则有：c²=a²+b²。

这是最基本的勾股定理形式，也是最常见的应用形式。

根据该定理，我们可以利用已知的两条边求解第三条边的长度。

2.次对边形式：在直角三角形中，设直角边为a，斜边为c，另一边为b，则有：b²=c²-a²。

这个形式是基本形式的变形，通过给出直角边和斜边，求解另一直角边的长度。

3.正弦定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

正弦定理是三角形中的重要定理，可以用来求解三角形中的边长和角度。

它表示每个角的对边与正弦值的比例是相等的。

4.余弦定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：c² = a² + b² - 2abcos(C)。

余弦定理是另一个用于求解三角形中的边长和角度的重要定理。

它表示边的平方等于两边平方和减去两边的乘积与其夹角余弦的乘积。

5.正切定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：tan(A) = a/b，tan(B) = b/a。

正切定理表示两角的正切值相等，可以用来求解三角形中的角度。

6.角平分线定理：在任意三角形中，设三角形的内角A，内角的角平分线与边的交点与另一边的交点分别为B和C，则有：AB/AC=BD/DC。

角平分线定理表示角平分线与两边的比例相等，可以用来求解三角形中的边的比例。

7.海伦公式：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，半周长为s，则有：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。

海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，通过已知三边长度和半周长，可以求解三角形的面积。

以上是勾股定理及相关公式的简要介绍。

这些定理及公式在解决直角三角形和任意三角形的问题时非常有用，可以通过简单的数值运算求得所需的结果。

典中点勾股定理专训4 巧用勾股定理判定直角的六种方法◐名师点金◑说明垂直的方法：1.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条.2.等腰三角形中“三线合一”.3.直角三角形的判定.在几何中,我们常常先说明垂直,再利用垂直的性质来解相关问题。

典例剖析：某校把一块三角形的废地开辟为植物园,如图,测得AC=80m,BC=60m,AB=100m 。

(1)若人口E 在边AB 上,且与A,B 的距离相等.求从入口E 到出口C 的最短路线的长(提示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);(2)若线段CD 是一条水渠,且点D 在边AB 上,点D 距点A 多远时,水渠最短?解题秘方:解实际生活中的问题,需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题,再利用数学知识进行解答.本题中:已知△ABC 中,AC=80m,BC=60m ，AB=100m 。

(1)若AE=EB,求CE 的长； (2)若CD ⊥AB,求AD 的长。

方法1：利用三边的数量关系证明直角1.如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点,且CE=41BC ，求证:∠AFE 是直角.方法2：利用转化为三角形法构造直角三角形2.如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13.求ABCD S 四边形.方法3：利用倍长中线法构造直角三角形3.如图,在△ABC 中,D 为边BC 的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证AB ⊥AD方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形4.如图,在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状。

方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形5. 如图,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,M,N 分别为AC,BC 上的点,且DM ⊥DN.求证:22CN CM 2AB ）（+=方法6：利用轴对称的性质构造直角三角形6.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC 折叠,使点B 恰好落在边AC 上,与点B'重合,AM 为折痕,则MB'的长为多少?。

勾3股4定理公式大全【原创实用版】目录1.勾股定理的概述2.勾股定理的公式3.勾股定理的证明方法4.勾股定理的应用实例正文1.勾股定理的概述勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是一个关于直角三角形的数学定理。

它指出：在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

即 a + b = c。

这个定理在我国古代称为“勾三股四定理”，其中 a、b、c 分别代表直角三角形的三条边，a 和 b 为直角边，c 为斜边。

2.勾股定理的公式勾股定理的公式如下：a +b = c其中，a、b 为直角边，c 为斜边。

该公式描述了直角三角形的一个重要性质，即直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

3.勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法有很多，如几何证明、代数证明、相似三角形证明等。

以下介绍一种简单的几何证明方法：假设有一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°，AC 为一条直角边，BC 为另一条直角边，AB 为斜边。

作 CD⊥AB 于 D，连接 AD、BD。

则有：AD + BD = AB因为∠C = 90°，所以∠ADC + ∠BDA = 90°。

根据三角形内角和定理，得到∠ADC + ∠BDA + ∠C = 180°，即∠ADC + ∠BDA = 90°。

因此，三角形 ADC 与三角形 BDA 都是直角三角形。

根据直角三角形的性质，有：AD = AC - CDBD = BC - CD将上述两式代入 AD + BD = AB，得到：AC - CD + BC - CD = AB即：AC + BC = AB这就证明了勾股定理。

4.勾股定理的应用实例勾股定理在实际生活和科学研究中有广泛的应用。

例如，在测量建筑物的高度、计算三角形的面积、解决几何问题等方面都会用到勾股定理。

勾股定理必背10个公式勾股定理是数学中非常重要的定理，它描述了直角三角形中两条边的关系。

在学习勾股定理时，掌握一些相关的公式可以方便我们求解各种三角形的边长和角度。

以下是十个与勾股定理相关的公式。

1.勾股定理（直角三角形的边长关系）：如果一个三角形的两条边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，且满足a²+b²=c²，则称这个三角形为直角三角形。

2.边长比例公式：在一个直角三角形中，如果两边的长度分别为a和b，而斜边的长度为c，则有以下比例关系（其中m和n为正整数）：a:b=m:na:c=n:mb:c=n:m3.余弦定理：在一个三角形中，如果三边的长度分别为a、b和c，而夹角A对应边a，夹角B对应边b，夹角C对应边c，则有以下关系：a² = b² + c² - 2bc cos Ab² = a² + c² - 2ac cos Bc² = a² + b² - 2ab cos C4.正弦定理：在一个三角形中，如果三边的长度分别为a、b和c，而夹角A对应边a，夹角B对应边b，夹角C对应边c，则有以下关系：sin A/a = sin B/b = sin C/c5.余切定理：在一个三角形中，如果三边的长度分别为a、b和c，而夹角A对应边a，夹角B对应边b，夹角C对应边c，则有以下关系：cot A = (b² + c² - a²)/(4Δ), 其中Δ为三角形的面积6.加法定理：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bcos(A ± B) = cos A cos B - sin A sin B7.二倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²Atan2A = 2tanA/(1-tan²A)8.三倍角公式：sin3A = 3sinA - 4sin³Acos3A = 4cos³A - 3cosAtan3A = (3tanA - tan³A)/(1 - 3tan²A)9.半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2]tan(A/2) = sinA/(1 + cosA)10.平滑公式：sin(A + B)sin(A - B) = sin²A - sin²Bcos(A + B)cos(A - B) = cos²A - sin²Btan(A + B)tan(A - B) = (tanA + tanB)/(1 - tanA tanB)这些公式对于求解各种与勾股定理相关的三角形问题非常有用。

第四讲 勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。

例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。

初中数学试卷课题：19.9（4）勾股定理一、教学目标1、勾股定理及逆定理的综合运用；2、经历探索、运用的过程，培养学生的发散性思维能力；3、通过学习如何分析问题、解决问题，激励学生进行科学研究.二、教学重点、难点重点：勾股定理及逆定理的综合运用.难点：添加合适的辅助线.三、教学方法讲解法.四、教具准备多媒体课件.五、教学过程（一）创设情境，引入新课1.选择题:在三边分别为下列长度的三角形中,不是直角三角形是( )(A)9,12,15; (B)2,3,5; (C)1,2,3; (D)4,7,5.2.下列命题中是假命题的是( )(A)三个内角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形.(B)三个内角的度数之比为1:3:2的三角形是直角三角形.(C)三边长度之比为1:3:2的三角形是直角三角形.(D)三边长度之比为2:2:2的三角形是直角三角形.【说明：】复习勾股定理逆定理（二）合作交流，探索新知1、依据,可以根据直角三角形两边长,求第三边长;2、依据,可以根据三边的情况,判定这个三角形是否是直角三角形.【说明：】复习勾股定理及勾股定理的逆定理（三）应用新知，尝试练习1、例题讲解（1）已知:如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,D是边AB上的中点;点E、F分别在边BC,AC上,DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.求证:(1)GB⊥BC.(2)22BE2EF+AF=.2、尝试练习 .1.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点,AB=15,AC=13,AD=12,CD=5. 求BC的长.【说明：】如何添加辅助线，提高发散性思维能力。

（四）归纳总结，形成体系勾股定理和它的逆定理的有关应用1、求直角三角形斜边上的高。

2、构造三角形。

（五）布置作业，巩固提高练习册《19.9（4）》习题六、教学后记：。

勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=。

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直 角边的平方和等于斜边的平方。

２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+，大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c +=.方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证。

３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形来说就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a 。

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。

《勾股定理》模型（四）——风吹树折模型“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x ）尺.由勾股定理得 x2＋32=（10—x ）2，解得 x= 4.55.答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x ，通过勾股定理建立方程，求出答案.典例1☆☆☆☆☆由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8 m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是（ ）A.8mB.10 mC.16 mD.18 m【答案】C【解析】如图，根据勾股定理得 AB==10（m ），所以大树的高度是 10＋6=16（m ）.故选 C.模型讲解典例秒杀典例2 ☆☆☆☆☆如图，已知一根长8m 的竹竿在离地面3 m 处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部______m.【答案】4【解析】设竹竿顶部距离底部 x m ，则 32＋x ²=（8-3）2，解得 x ＝ 4.故竹竿顶部距离底部 4 m.1（★★☆☆☆）如图，一旗杆在离地面6 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 m 处，则旗杆折断之前的高度是 _______ m.2.（★★★☆☆）一阵大风把一棵高为9m 的树在离地 4 m 的 B 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 的 D 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗?为什么?1. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”题意是∶一根竹子原高1丈 小试牛刀直击中考（1丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答∶折断处离地面_______尺高。

勾股定理一、知识概述1、勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2＋股2=弦2．（2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径．（3）勾股定理的证明常用面积法证明，读者可根据下图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理．（4）勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理，它有着悠久的历史，蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”．勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边）的三边关系，即c 2=a 2＋b 2．它的变形为c 2－a 2=b 2或c 2－b 2=a 2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm ，4cm ，求第三边长． 因为该题没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论． 当两直角边分别为3cm ，4cm 时，由勾股定理有斜边为=5cm ；当斜边为4cm ，一直角边为3cm 时，则另一直角边为．故第三边为5cm 或cm ．2、直角三角形的几个性质 （1）两锐角互余； （2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a ）等于斜边的一半，三边长的关系为a ，，2a ；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a ）三边长的关系为a ，a ，；（5）面积等于两直角边乘积的一半． 3、勾股数组①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、专题讲解：专题1 已知两边，求第三边（222a b c +=）例1（1）在直角△ABC 中， ∠C=90°，a=5，b=12，则c= 。