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勾股定理勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
古埃及人利用打结作RT三角形定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股模型》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图：设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
《周髀算经》简介青朱出入图《周髀算经》算经十书之一。
第04讲 勾股定理【学习目标】1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应的关系．3．能运用勾股定理进行有关的计算和解决实际问题．【基础知识】1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=． 2．勾股定理的证明 方法图形证明赵爽“勾股圆方图”因为大正方形的边长为c ，所以大正方形的面积为2c ．又大正方形的面积=()2142ab a b ⨯+-，所以222a b c +=bca伽菲尔德总统拼图设梯形面积为S ，则()()12S a b a b =++， 又2111222S ab ab c =++， 所以222a b c +=毕达哥拉斯拼图由图（1）得大正方形面积=2142c ab +⨯，由图（2）得大正方形面积=22142a b ab ++⨯，比较两式易得222a b c +=总结 以上证法都是通过拼摆图形，运用图形面积与代数恒等式的关系互相转化证明勾股定理3．勾股定理的应用 勾股定理的主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．【考点剖析】ccb baa（2）（1）ccbb a a考点一：运用勾股定理进行计算例1．在Rt ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，90C ∠=︒．（1）已知3a =，4b =，求c ； （2）已知13c =，5a =，求b ； （3）已知:3:4a b =，10c =，求b ． 【答案】（1）5；（2）12；（3）8 【解析】解：（1）因为90C ∠=︒，3a =，4b =， 所以222223425c a b =+=+=， 所以5c =．（2）因为90C ∠=︒，13c =，5a =， 所以22222135144b c a =-=-=， 所以12b =．（3）因为90C ∠=︒，:3:4a b =， 所以43b a =． 因为90C ∠=︒，10c =，43b a =， 所以2224103a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得6a =（负值舍去），所以8b =．考点二：运用勾股定理求面积例2．如图，已知直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个 图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作1S 、2S 、3S ． 结论Ⅰ：1S 、2S 、3S 满足123S S S +=只有（4）； 结论Ⅱ：∵a b c +＞，∴123S S S +＞的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．Ⅰ对Ⅱ不对B ．Ⅰ不对Ⅱ对C ．Ⅰ和Ⅱ都对D ．Ⅰ和Ⅱ都不对【答案】D 【解析】解：∵直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ， ∴222a b c +=，图1中，21133224S a a a =⨯⨯=，2234S b =，2334S =， 则)22123S S a b +=+，233S =， ∴123S S S +=，同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：123S S S +=， 故选：D ．考点三：勾股定理的简单应用例3．如图，为测量河宽BC ，某人选择从点C 处横渡，由于受水流的影响，实际上岸地点A 与欲到达地点B 相距50米，结果发现AC 比河宽BC 多10米，求该河的宽度BC ．（两岸可近似看作平行）【答案】120米 【解析】解：根据题意可知50AB =米，10AC BC =+米， 设BC x =cm ，由勾股定理得222AC AB BC =+，即()2221050x x +=+，解得120x =．答：该河的宽度BC 为120米． 考点四：运用勾股定理解决折叠问题例4．如图，在长方形ABCD 中，点E 在DC 上，将长方形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若3AB =，5BC =，求EC 的长．【答案】43【解析】解：∵四边形ABCD 为长方形， ∴5AD BC ==，3AB CD ==，∵长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处， ∴5AF AD ==，EF DE =， 在Rt ABF 中，2222534BF AF AB -=-=，∴541CF BC BF =-=-=，设CE x =，则3DE EF x ==-， 在Rt ECF 中，∵222CE FC EF +=， ∴()22213x x +=-，解得43x =， 故EC 的长为43． 考点五：会画长度为无理数的线段例5. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为 ．51 【解析】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：22125+=即点A 到表示15 那么点A 到原点的距离为)51个单位，∵点A 在原点的右侧，∴点A 51， 51．考点六：运用勾股定理求最短路径例6. 如图，圆柱的底面周长为24cm ，AC 是底面圆的直径，高6BC =cm ，点P 是BC 上一点，且5PC BP =，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是___________．【答案】13cm 【解析】解：如图展开，连接AP ，则线段AP 的长是从A 点出发沿着圆柱的表面爬行到点P 的最短距离，∵6cm BC =，56PC BC =， ∴5cm PC =，∵圆柱的底面周长为24cm ， ∴12cm AC =，在Rt ACP 中，由勾股定理得：222212513cm AP AC PC =+=+=【真题演练】1．如图，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，AD 是ABC 的中线，则AD 长为（ ）A ．22B ．6C ．8D ．261【答案】C 【解析】解：∵12BC =，AD 是ABC 的中线， ∴6BD CD ==， ∵10AB AC ==， ∴AD BC ⊥， ∴22221068AD AB BD =-=-=．故选：C ．2．线段AB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()1,4A -，()5,1B -，线段AB 的长为（ ）A ．5B ．42C ．4D ．3【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，22435AB +=， 故选：A ．3．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角 线AC 长为半在作弧交数轴正半轴于点M ，则点M 所表示的数为（ ）A 10B 101C 101D ．2【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 是长方形，1AD =，∴1BC AD ==，90ABC ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，1BC =，3AB =， ∴223110AC =+= ∴10AM AC ==∴点M 101．故选：B ．4．如图，在ABC 中，20AB =，15AC =，7BC =，则点A 到BC 的距离是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥交BC 的延长线于点D ，在Rt ABD 与Rt ACD 中，由勾股定理得，22222AB BD AD AC CD -==-，即()222220715CD CD -+=-，∴9CD =， ∴2212AD AC CD -=，即点A 到BC 的距离是12，故选：C ．5．一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，则它所爬行的最 短路线的长是（ ）A ．10B ．14C 130D ．8【答案】A【解析】解：将长方体展开，分两种情况，第一种展开方式如下图：∴226810AB +=，第二种展开方式如下图： ∴22311130AB +=∵10130＜∴A 点沿纸箱爬到B 点，所爬行的最短路线的长是10，故选：A ．6．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ．若 10cm AB =，6cm AC =，则BE 的长为 cm ．【答案】4cm【解析】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，90C ∠=︒，即AC CD ⊥，∴CD DE =．在Rt ACD 与Rt AED 中，CD ED AD AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACD Rt AED HL ≌．∴AC AE =．又10cm AB =，6cm AC =，∴()4cm BE AB AE AB AC =-=-=．故答案是：4cm ．7．已知x ，y 分别为直角三角形的两边长，并且满足()()()22230x y y ---=，则第三边长度为 ．【答案】2或135【解析】解：∵()()()22230x y y -+--=，∴20x -=，()()230y y --=，∴2x =，2y =或3y =；（1）当2x =，2y =时，x 、y 为直角边长，斜边长222222+=；（2）当2x =，3y =时，分两种情况：①y 为直角边长时，斜边长222313+=②y 为斜边时，第三边长22325-=综上所述：第三边的长为22135故答案为：21358．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、 D 的面积依次为4、6、20，则正方形B 的面积为 ．【答案】10【解析】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，∴A B D C S S S S +=-正方形正方形正方形正方形．∵正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、20，∴4206B S +=-正方形，∴10B S =正方形．故答案为：10．9．等腰三角形的两条边长为4和6，则这个等腰三角形的面积为 ． 【答案】237【解析】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4，如图，过顶点A 作底边BC 的垂线AD ，垂足为点D ，则6AB AC ==，4BC =，∵AD BC ⊥，∴2BD CD ==， ∴22226242AD AB BD -=-=， ∴三角形的面积为1442=822⨯⨯； ②6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4，如图，过顶点A 作底边BC 的垂线AD ，垂足为点D ，则4AB AC ==，6BC =，∵AD BC ⊥，∴3BD CD ==， ∴2222437AD AB BD -=-= ∴三角形的面积为167=372⨯ 综上所述，三角形的面积为8237 故答案为：23710．有一个小朋友拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着 放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，求竹竿高．解：设竹竿高为x 尺，则门高 尺．（用x 的代数式表示）根据题意，可列关于x 的方程： ．解得：x ＝ ．答：【答案】()1x -，()22214x x -+=，8.5【解析】解：设竹竿高为x 尺，则门高()1x -尺．根据题意，得：()22214x x -+=，解得：8.5x =，答：竹竿高为8.5尺．故答案为：()1x -，()22214x x -+=，8.5．11．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图， 火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AEFG 的位置，连接CF ，此时90FAC ∠=︒，AB a =，BC b =，AC c =．请利用直角梯形BCFG 的面积证明勾股定理：222a b c +=．【答案】见解析【解析】 证明：∵2211112222AFG AFC ACB BCFG S S S S ab ab c ab c =++=++=+梯形， ()()()2211112222BCFG S FG BC BG a b a b a ab b =⋅+⋅=++=++梯形， ∴222111222ab c a ab b +=++， 整理得：222a b c +=．12．八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE ， 他们进行了如下操作：①测得9BD =米；（注：BD CE ⊥）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线15BC =米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE ．【答案】13.6米【解析】解：在Rt CDB 中，由勾股定理得，22222159144CD BC BD =-=-=，所以，12CD =±（负值舍去），所以，12 1.613.6CE CD DE =+=+=米，答：风筝的高度CE 为13.6米．【过关检测】1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．7C ．5或7D ．7或25【答案】D【解析】解：当边长为4的边为斜边时，第三边的平方为22437-=；当边长为4的边为直角边时，第三边的平方为224325+=；故选：D ．2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若 图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积 （ ）A ．144B ．64C ．49D ．25【答案】C【解析】解：由题意可得：小正方形的边长2213557-=，∴小正方形的面积为7749⨯=，故选：C ．3．如图，ABC 中，10AB AC ==，12BC =，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于点E ， 则DE 的长为（ ）A ．125 B ．8C ．245D 5【答案】C【解析】解：如图，连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，162BD BC ==，在Rt ABD 中，由勾股定理得，22221068AD AB BD -=-=，∵DE AB ⊥， ∴1122ABD S AB DE BD AD =⋅=⋅，∴6824105BD AD DE AB ⋅⨯===， 故选：C ．4．一直角三角形的两直角边分别是8和6，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长24B ．三角形的周长是25C ．三角形的面积为48D ．斜边长10【答案】D【解析】解：∵直角三角形的两直角边分别是8和6， ∴斜边长228610=+=，三角形的面积=186=242⨯⨯， 三角形的周长=6810++=24，∴选项D 正确，选项A 、B 、C 错误，故选：D ．5．如图，Rt ABC 的直角边AB 在数轴上，点A 表示的实数为0，以A 为圆心，AC 的长 为半径作弧交数轴的负半轴于点D ．若1CB =，2AB =，则点D 表示的实数为 ．【答案】5【解析】解：2222215AC AB BC =+=+= 则5AD =∵A 点表示0，∴D 点表示的数为：5- 故答案为：56．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，9AB =，6BC =，则BD 的长 为 ．【答案】4【解析】解：在Rt ABC 中，由勾股定理得，22229635AC AB BC =--=， ∵1122ABC S AB CD BC AC =⋅=⋅， ∴63525BC AC CD AB ⋅⨯=== 在Rt ACD 中，由勾股定理得，2245205AD AC CD -=-=，∴954BD AB AD =-=-=，故答案为：4．7．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且 荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．【答案】3.75【解析】解：若设湖水的深度x 尺．则荷花的长是()0.5x +米．在直角三角形中，根据勾股定理， 得：()2220.52x x +=+，解之得： 3.75x =，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．8．如图所示，一棵18m 高的树被风刮断了，树顶落在离树根12m 处，则折断处的高度AB 为 m ．【答案】5【解析】解：由题意得：12m BC =，18m AC AB +=，90ABC ∠=︒，∴222AB BC AC +=，设m AB x =，则()18m AC x =-，由勾股定理得：222AB BC AC +=，即()2221218x x +=-，解得：5x =，∴ 2.5AB =米，∴折断处的高度AB 为5m ．故答案为：5．9．如图，圆柱的底面周长是10cm ，圆柱高为12cm ，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下 底面点A 爬到与之相对的上底面点B ，那么它爬行的最短路程为 ．【答案】13cm【解析】解：把圆柱沿母线AC 剪开后展开，点B 展开后的对应点为B '，则蚂蚁爬行的最短路径为AB '，如图，12AC =，5CB '=，在Rt ACB '，2251213AB '=+=，所以它爬行的最短路程为13cm ．故答案为：13cm ．10．阅读与思考两点之间的距离公式如果数轴上的点1A ，2A 分别表示实数1x ，2x ，两点 1A ，2A 间的距离记作12A A ，那么1221A x x =-．对于平面上的两点1A ，2A 间的距离是否有类似的结论呢？运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．（1）如图1，已知平面上两点()0,4A ，()3,0B ，求A ，B 两点之间的距离AB ；（2）如图2，已知平面上两点()1,2A ，()5,5B ，求这两点之间的距离AB ；（3）一般地，设平面上任意两点()11,A x y 和()22,B x y ，如图3，如何计算A ，B 两点之间的距离AB ？对于问题3，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足分别为点A '，B '；作AA y ''⊥轴，垂足为点A ''；作BC AA '⊥，垂足为点C ，且延长BC 与y 轴交于点B ''，则四边形BB A C ''，ACB A ''''是长方形． ∵CA = ，CB = ， ∴222AB CB CA =+= ． ∴()()222121AB x x y y =-+-这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：()1,2A -，()2,1B -．【答案】（1）5；（2）5；（3）12y y -，21x x -，()()221221y y x x -+-；（4）32【解析】解：（1）∵()0,4A ，()3,0B ， ∴4OA =，3OB =， 由勾股定理得22345AB =+=；（2）∵()1,2A ，()5,5B ， ∴4AC =，3BC =，由（1）同理得，5AB =；（3）∵12AC y y =-，21CB x x =-， ∴()()222221221AB CB CA y y x x =+=-+-， ∴()()222121AB x x y y =-+-．故答案为：12y y -，21x x -，()()221221y y x x -+-；（4）由两点间距离公式得： ()()22211232AB =++--=。
