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2016届高三理数周测(1.9)

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2016届高三上学期理科数学周测试题（1月9日）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 整理人：李辉1．若集合A={ x |（x ＋1）（3一x ）＞0}，集合B={ x |1一x ＞0｝，则A B 等于 A ．（1，3） B 、（一∞，一1） C ．（一1，3） D ．（一1，1） 2．设i 是虚数单位，则复数5(2)z i i =+的虚部为A ．一2B ．2C ．一1D ．一2i 3．已知1sin()23πθ+=，则22sin 2θ一1等于 A 、23 B 、－13 C 、13 D 、223±4．盒中装有8个零件，其中有2个次品．现从中随机抽取2个，则恰有1个次品的概率为 A 、17 B 、16 C 、37 D 、135．若以双曲线2222x y b-＝1（b ＞0）的左、右焦点和点（1，2）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于 A 、12B 、1C 、2D 、2 6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问 日织几何？’’意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她 5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 A ．2031 B 、35 C 、815 D ．237．如图是一个程序框图，则输出的n 的值是 A 、3 B ．5 C ．7D ．98、高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的A 、34 B 、14 C 、12 D 、389、命题p ：m R ∃∈使得函数()21x f x m =+ 有零点，命题q ：，则下列命题正确的是⌝⌝q ）10、若，则()f x =的最大值为11、过点A （－1,0）且斜率为k （k ＞0）的直线与抛物线24y x =相交于B ，C 两点，若｜AB ｜＝13｜BC ｜，则k 等于12、若函数在区间上单调递增，则实数c 的取值范围是二、填空题（20分）13、已知向量e 1，e 2不共线，，则实数m ＝14、的展开式的常数项为15、如果实数x ，y 满足条件的最小值为16、已知数列 ，数列的前n 项和为Sn ，则不等式Sn ＜20的解集为 三、解答题（70分）17.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，A B C 、、角所对的边分别为a b c 、、， 且cos cos 35sin 5a Bb A Cc +=（1）求cos C（2）若6a =，ABC ∆的面积为85，求c .18. （本小题满分12分）某技术公司新开发了A ，B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为整平，小鱼82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [70,76） [76,82） [82,88） [88,94） [94,100] 产品A 8 12 40 32 8 产品B71840296（1） 试分别估计产品A ，产品B 为正品的概率；（2） 生产一件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下。

记X 为生产一件产品A 和一件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望。

19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，//AB EF ,90EAB ︒∠=,2AB =，1AD AE EF ===，平面ABFE ⊥平面ABCD . （1）求证：AF ⊥平面FBC ；（2）求钝二面角B FC D --的大小20、（本小题满分12分）已知离心率为255的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2（O 为坐标原点）的中点分别为B 1，B 2，上顶点为A ，且△AB 1B 2是腰长为22的等腰三角形。

（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）过B 1点作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程。

21. （本小题满分12分）已知函数2()4ln(1),f x ax x a R =--∈ （1）若12a =，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）已知点(1,1)P 和函数()f x 图象上的动点(())M mf m ，对任意[]2,1m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

作答时请用2B 铅笔将所选题号后的方框涂黑，并在括号内写上该题号。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，点P 是圆O 直径AB 延长线上的一点，PC 切圆O 于点C ，直线PQ 平分∠APC ，分别交AC 、BC 于点M 、N 。

求证：（1）△CMN 为等腰三角形； （2）23. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点(0,0),(2,),(22,)24O A B ππ. （1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程； （2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|1||1|f x x x =++-，不等式()f x ＜4的解集为M 。

（1）求M ；（2）若不等式()0f x a +<有解，求a 的取值范围。

2016届高三上学期理科数学复习测试题（1）整理人：李辉一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}023|2<+-=x x x M ，{}822|<<=x x N ，则（ ）A ．N M =B ．N M ⊆C ．N M ⊇D ．φ=N M 2．已知 i 为虚数单位，则复数iiz 21+=在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．=+070sin 160cos 110cos 20sin （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．以上均不正确 4．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形 运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图1，那么点P 所走的图形是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．若“R x ∈∀，0322≥-++m mx x ”为假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．) , 6[]2 , (∞+-∞ B ．) , 6()2 , (∞+-∞ C ．]6 , 2[ D ．)6 , 2(6．已知实数1，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+y mx 的焦距为（ ） A ．4 B ．22 C ．2或2 D ．22或47．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω，2||πϕ<）的最小正周期是π，若将其图像向右平移3π个单位长度后得到的图像关于原点对称，则函数)(x f 的图像（ ）A ．关于直线12π=x 对称B ．关于直线125π=x 对称C ．关于点)0 , 12(π对称D ．关于点)0 , 125(π对称8．点O 是ABC ∆所在平面内的一点（O 不在直线BC 上），若OC OB OA 233+=，则ABC ∆与OBC ∆的面积之比为（ ）A ．52B ．73C ．72D ．4O P OP O PO PO yx2l 图1图39．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线042=-+y x 相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C ．(625)π- D ．54π10．一个几何体的三视图如图2所示， 则此几何体的体积是（ ）A ．112B ．80C ．72D ．64 11．已知正项数列{}n a ，12-a 、3a 、7a 成等比数列，{}n a 前n 项和n S 满足4221++=+n S a n n ，则n S n )6(-的最小值为（ ）A ．26-B ．27-C ．28-D ．30-12．已知函数⎩⎨⎧><++=0, ln 0, )(2x x x a x x x f ，若函数)(x f 的图象在P 、Q 两点处的切线重合，则常数a 的取值范围为（ ）A ．)1 , 2(--B ．)2 , 1(C ．) , 2ln (∞+-D ．) , 1(∞+-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若奇．函数．．)(x f 满足对任意R x ∈都有0)2()2(=-++x f x f ，且9)1(=f ，则)2016()2015()2014(f f f ++的值为 ．14．已知抛物线281x y =与双曲线1222=-x ay （0>a ）有共同的焦点F ，则双曲线的渐近线方程为 ．15．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≥+04343x y x y x ，则x y 的最小值为 ．16．如图3，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到直线1CC 的距离为 ．俯视图4 4正视图侧视图43图2AB CD1A 1B 1C 图4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知{}n a 是一个等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，41=a ，213=S ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设数列{}n b 满足7161=b ，n an n b b 21=-+，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，bc a c b 23)(3222+=+． ⑴若C B cos 2sin =，求C tan ；⑵若ABC ∆的面积25=S ，求边长a 的最小值．19．（本小题满分12分）如图4，已知正三棱柱111C B A ABC -，延长BC 至D ，使C 为BD 的中点．⑴求证：平面⊥D AC 1平面B AA 1；⑵若2=AC ，41=AA ，求二面角B AD C --1的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为23，且3a b +=．⑴求椭圆C 的方程；⑵直线0=-+m y x （m 是正常数）与椭圆C 交于P 、Q 两点，当512=⋅OQ OP 时，求直线PQ 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数x xx m m x f -++=1ln )1()(，其中常数0>m ． ⑴当2=m 时，求)(x f 的极大值；⑵已知4≥m ，设))( , (11x f x A 、))( , (22x f x B 是曲线)(x f y =上的相异两点，1l 、2l 是曲线)(x f y =在A 、B 两点处的切线，若21//l l ，求21x x +的取值范围．2016届高三上学期理科数学复习测试题（1）参考答案一、选择题 BDAC BDBC ABCD二、填空题 9-，x y 3±=（只写一条直线给3分），1，35三、解答题17.解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，由已知得2122343=⨯+⨯d ……3分 解得3=d ……4分，{}n a 的通项公式为13+=n a n ……5分 ⑵由⑴得3112n n n b b ++-=……6分当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ ……8分∴43(1)32354313162[12]1612222(2)71277n n n n n b n ---+-=++++=+=⨯≥- ……11分1167b =满足31127n n b +=⨯，∴+∈∀N n ，31127n n b +=⨯……12分18.解：⑴ 2223()32b c a bc +=+，∴2221cos 23b c a A bc +-==……2分 又 0A π<<，∴222sin 1cos 3A A =-=……3分 sin 2cos B C =，∴sin()2cos A C C +=……4分∴221cos sin 2cos 33C C C +=，sin 2cos C C =，∴tan 2C =……6分 ⑵ 52S =，∴1sin 522bc A =……7分 22sin 3A =，∴15bc =……8分 222b c bc +≥，∴224233a bc bc bc ≥-=……10分∴220a ≥，25a ≥，即a 的最小值为25------12分19. ⑴证明：由已知ABC ∆是正三角形，60BAC BCA ∠=∠=，又 AC BC CD == ∴30CAD CDA ∠=∠=……1分∴306090BAD ∠=+= ，AB AD ⊥……2分又 1AA ABD ⊥底面，∴1AA AD ⊥……3分A AA AB =1 ，∴1AD AA B ⊥平面……4分又 1AD AC D ⊂平面 ∴平面1AC D ⊥平面1AA B ……5分⑵ 1AA ABD ⊥底面，AB AD ⊥，∴以A 为原点，建立空间直角坐标系……6分 如图，1(0,0,0),(23,0,0),(3,1,4)A D C ……7分1(23,0,0),(3,1,4)AD AC ==……8分设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =，则10,230,0,340,n AD x n AC x y z ⎧⎧⋅==⎪⎪⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩ 即……9分 所以04,x y z =⎧⎨=-⎩取1z =，则(0,4,1)n =- ……10分取平面ADB 的法向量为(0,0,1)m = ，则117cos ,17||||17n m n m n m ⋅<>===， 由图知二面角1C AD B --为锐角，所以二面角1C AD B --的余弦值为1717……12分 （方法二）取AD 的中点E ，连接CE 、C 1E ……6分AC BC CD ==，∴AD CE ⊥， ⊥1CC 底面A C D ，2211AC CC AC +=，2211DC CC DC +=，∴11DC AC =，AD E C ⊥1，1CEC ∠是二面角B AD C --1的平面角……8分2=AC ，030=∠CAD ，∴1=CE ……9分⊥1CC 底面ACD ，∴CE CC ⊥1，172211=+=CE CC E C ……11分二面角1C AD B --的余弦值为1717cos 11==∠E C CE EC C ……12分20.解：⑴由已知32c a =，∴32c a =……1分 ∴2212b ac a =-=， 3a b +=，∴2,1a b ==……3分∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=……4分 ⑵设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，把直线0=-+m y x 代入椭圆方程得224()40x x m +-+-=，即2258440x mx m -+-=……5分xyzA 1AC 1B 1BDC由0∆>得226420(44)0m m -->，即25m <， 0m >，∴05m <<……6分由根与系数之间的关系得1221285445m x x m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩……8分 125OP OQ ⋅= ，∴1212125x x y y +=……9分0=-+m y x ，y x m =-+，∴212121212()()()y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++……10分∴21212122()5x x m x x m -++=，222448122555m m m -⨯-+=……11分 解得24m =， 05m <<，∴2m =，PQ 的方程为20x y +-=……12分21.解：⑴当2m =时，51()ln 2f x x x x =+-，251'()1(0)2f x x x x=-->……1分 ∴2(2)(21)'()(0)2x x f x x x --=->……2分由'()0f x >得122x <<；由'()0f x <得1022x x <<>或……3分∴()f x 在122（，）上单调递增，在1022+∞（，）和（，）上单调递减……4分∴53()(2)ln 222f x f ==-极大……5分⑵211'()1(0)m m f x x x x +=-->……6分 由已知121212'()'()(,0)f x f x x x x x =>≠且得∴2211221111m m m m x x x x ++-=-，即12121()x x m x x m +=+⋅……7分∵12x x ≠，∴由不等式性质可得21212()2x x x x +⋅<恒成立， 又∵12,0x x >，0m >，∴212121()()2x x x x m m ++<+……8分 ∴1241x x m m +>+对4m ≥恒成立……9分令1()(4)g m m m m =+≥，则21'()1g m m=-∵4m ≥∴'()0g m >，∴1()g m m m =+在[4+)∞，递增 ∴17()(4)4g m g ≥=……10分 记)1)((1111)1()()(22/m x m x xx x m m x f x h ---=--+==，)12(1)1()(23/+-+-=m mx x m m x h ，)()(/x f x h =的符号与单调性为x )1 , 0(m m 1 )1 , 1(2+m m m 12+m m) , 1(2m m m+ m ) , (∞+m )(/x f 的符号－ 0 + + + 0 － )(/x f 的单调性↗↗最大值↘↘……11分若0)()(2/1/==x f x f ，则m x 11=，m x =2（以下均假设21x x <），1l 在2l 的下方，21//l l ；若0)()(2/1/<=x f x f ，则)1, 0(1m x ∈，) , (2∞+∈m x ，1l 、2l 在点))( , (m f m 的两侧，21//l l ；若0)()(2/1/>=x f x f ，则)1 , 1(21+∈m m m x ，) , 1(22m m mx +∈，1l 、2l 在点))1( , 1(22++m m f m m 的两侧，21//l l 。

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2016届高三诊断性大联考(一)数学(理)试卷(含解析)

2016届高三诊断性大联考(一)数学(理)试卷(含解析)

绝密★启用前数学 ( 理科）班级姓名注意事项：1. 本试卷分第 I 卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

考试时间 120 分钟，总合 150分。

2.答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。

3.回答第 I 卷时， 选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后 , 将试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷( 选择题共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合 题目要求的 .1. 已知会合 A ={X ∣X-1>0}, 会合 B={X ∣∣ X ∣≤ 2} ，则 A ∩ B= A. (-1,2)B.[-2,2]C. (1,2]D.[-2 ， +)2. 复数 Z 知足（ 1-2i)z =(1+i)2，则 z 对应复平面上的点的坐标为A.（-4 ，2）B.（-2 ，3 ）C.（4，-2）D.（2，3）555 555 553. 已知向量 a 、 b ，此中 a=（-2 ， -6 ），b=， a?b=-10，则 a 与 b 的夹角为0 C.-60 00 A.150 B.-30D.1204. 设 a ， b 表示两条不一样的直线，、 、表示三个不一样的平面，则以下命题中正确的是A. 若 a 丄 , 且 a 丄 b, 则 b ∥ aB. 若丄且丄,则∥C.若 a ∥ 且 a ∥ , 则∥D.若∥且∥,则∥5. 函数 f(x)=asin3x+bx 3+4, 此中 a ，b ∈R ，f'(x)为 f(x) 的导函数，则 f( 2014 )+f(-2014 )+f'( 2015 )-f'(-2015) =A. 0B.2014C. 8D. 20156. 已知右侧程序框图（如图） , 若输入 a 、 b 分别为 10、 4, 则输出的 a 的值为A.0B.2C.4D.147.在△ ABC中，角 A、 B、 C 所对应的边长分别为 a、 b、 c，若asinA+bsinB=2sinC, 则 cosC 的最小值为A. B.11 C. D. -228.有以下几种说法：①若 pVq 为真命题，则p、 q 均为真命题；②命题“x0≤ 0”的否认是Xx0∈ R， 2x∈ R,2 > 0；221的充足③直线 l:y=kx+l 与圆 O:x+y =1 订交于 A、 B 两点，则“ k=l ”是△ OAB的面积为2而不用要条件；④随机变量-N(0,1)，已知(-1.96)=0.025，则 P(∣ f ∣< 1.96 )=0.975.此中正确的为A. ①④B. ②③C.②③④D.②④9. 将函数 f(x)=Sin(2x+) 的图象向右平移个单位长度，获得函数y=g(x) 的图象，则32g(x)dxA. 0B.C.2D.110. 任取 k∈[-1 ， 1],直线 L:y=kx+3与圆 C:(x-2)2+(y-3)2 =4 订交于 M、N 两点，则∣ MN ∣≥的概率为A.33C.2D.1 B.32 3211. 已知函数1- ∣ x∣ ,x ≤ 1函数 g(x)=4-f(1-x), f （ x）=,(x-1)2 ,x > 15则函数 y=f(x)-g(x)的零点的个数为A.2B.3C.4D.512. 多面体的三视图以下图，则该多面体表面积为（单位cm2)A.28+B. 30+C. 28+D. 28+第Ⅱ卷 ( 非选择题共90 分）二、填空题 : 本大题共 4小题,每题 5分.13. 二项式 (2x+ 1) 6 的睁开式中的常数项是.x14. 实数 x 、 y 知足条件x-y+5 ≥ 0, ，则 ,z=-2x+y的最小值为.x+y ≥ 0,x ≤ 3,15. 已知 sina= 3，∈ (0,) ， tan= 1，则 tan(+))=.52416. 已知 AB 是圆 C:（ x+2) 2+(y-l)2=2的一条直径， 若楠圆 x 2+4y 2=4b 2(b ∈R)经过 A 、B 两5点，则该椭圆的方程是.三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.( 本小题满分 12 分）已知各项均为正数的等差数列2212{a n } ，且 a +b =20,a +a =64.(I) 求数列 {a n } 的通项公式；an ( Ⅱ ) 设 b n =, 求数列的前 n 项和 .2 X 4n18.( 本小题满分 12 分）如图，在四边形 ABCD 中，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，AD 丄 DC ，AD=DC ， E 、 F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE 丄平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD ，且 DF=1. (I) 若 AE 丄 CF ，求BE 的值；( Ⅱ ) 求当 BE 为什么值时，二面角 E -AC-F 的大小是 60°.19. ( 本小题满分 12 分）2015 年 10 月 4 日，强台风“彩虹”登岸广东省湛江市，“彩虹”是 1949 年以来登岸中国陆地的最强台风。

【走向高考】2016届高三数学一轮阶段性测试题9 立体几何(含解析)新人教B版

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阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2014·某某二中期中)已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下述命题中真命题的是( )A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b 或a ⊥bB ．若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC ．若a ⊂α，b ⊂β，c ⊂β，a ⊥b ，a ⊥c ，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ⊂β，a ∥b ，则α⊥β [答案] D[解析] 由a ⊥c ，b ⊥c 知，a 与b 可平行可相交，也可异面，故A 错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B 错；当α∩β＝l ，a ⊥l ，b ∥c ∥l 时，可满足C 的条件，故C 错；∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又b ⊂β，∴α⊥β，∴D 正确． 2．(2015·某某八校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3 B ．8π3 C ．4 3 D ．23π [答案] A[解析] 由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为3，顶点在底面射影为等腰直角三角形底边的中点D ，直观图如图，BD ⊥AC ，PD ⊥平面ABC ，DA ＝DB ＝DC ＝1，故球心O 在PD 上，设OP ＝R ，则(3－R)2＋12＝R2，∴R ＝233. ∴S 球＝4πR2＝16π3.3．(2015·某某二中统练)已知H 是球O 的直径AB 上的一点，AH HB ＝12，AH ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为( )A.9π4B.9π2C.9π8D.16π3[答案] B[解析] 如图，由题意平面α截球O 所得截面圆的面积为πr2＝π，∴r ＝1，由球的性质知，R2＝12＋(R －2R3)2， ∴R2＝98，∴球O 的表面积S ＝4πR2＝9π2.4．(2015·某某市十一高中阶段测试)如图，正三棱柱ABC －A1B1C1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为( )A ．16B ．2 3C ．4 3D ．8 3 [答案] D[解析] 依题意知，此正三棱柱底面是边长为4的正三角形，棱柱高为4，其侧视图为矩形，其一边长为23，另一边长为4，故其面积S ＝4×23＝83，故选D. 5．(2015·某某三县联考)平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行 [答案] D[解析] 当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，故A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D. 6．(文)(2015·某某五校协作体期中)设l 为直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β [答案] D[解析] 若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行、可能相交，故A 不正确；若α⊥β，l ∥α，则l ∥β，l ⊂β，l 与β相交都有可能，故B 不正确；若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故C 不正确；只有D 正确．所以选 D. (理)(2015·某某宁化一中阶段测试)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n [答案] D[解析] 当m ∥α，n ∥α时，m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故A 错；m ∥α，m ⊥n 时，n ∥α，n 与α相交，n ⊥α，n ⊂α都有可能，故B 错；m ⊥α，m ⊥n 时，可能有n ∥α，也可能n ⊂α，故C 错；由线面垂直的定义知D 正确． 7．(2014·某某工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C[解析] 若俯视图为A ，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V ＝1；若俯视图为B ，则该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其体积V ＝π·(12)2·1＝π4；若俯视图为D ，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的14，其体积V ＝14·π·12·1＝π4；若俯视图为C ，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V ＝(12×1×1)×1＝12，因此选C. 8．(2015·某某、某某、某某调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.103 B ．10 C ．30 D ．24＋2 5 [答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S 底＝12(2＋3)×2＝5，棱柱高为2，V ＝5×2＝10. 9．(2015·某某揭阳一中期中)下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 [答案] D[解析] 当直线l 在平面α内时可知D 错误． 10．(2015·某某市五校联考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233 B ．223C ．6D ．7 [答案] A[解析] 由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V ＝V 正方体－2V 三棱锥＝2×2×2－2×(13×12×1×1×1)＝233.11．(文)(2015·某某某某市长郡中学月考)一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6 3 [答案] A[解析] 画出其直观图如图，这是一个四棱锥，底面为直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝2，AB ⊥BC ，顶点P 在底面射影为AB 的中点E ，高PE ＝3，故体积V ＝13·[12(AD ＋BC)·AB]·PE ＝ 3.(理)(2015·某某某某六检)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92C.32 D ．3 [答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面为直角梯形，AB ∥CD ，AD ＝2，AB ＝1，CD ＝2，AB ⊥AD ，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝x ，依题意知13[12(AB ＋CD)·AD]·PD ＝3，∴PD ＝3，即x ＝3，故选D.12．(文)(2014·康杰中学、某某一中、某某一中、某某二中四校联考)已知不重合的两条直线l ，m 和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥m ，l ∥β，则m ∥β B ．α∩β＝m ，l ⊂α，则l ∥β C ．α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．l ⊥m ，m ⊥β，l ⊥α，则α⊥β [答案] D[解析] l ⊄β，l ∥m ，m ⊂β时，l ∥β，故A 错；α∩β＝m ，当l ⊂α且l ∥m 时，l ∥β，当l 与m 相交时，l 与β相交，故B 错；α⊥β，当l ⊂β，l 与α和β的交线垂直，l ⊥α时，但l ∥β不成立，故C 错；∵l ⊥m ，l ⊥α，∴m ⊂α或m ∥α，又m ⊥β， ∴α⊥β，故D 正确． (理)(2015·某某某某一中段测)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是( )A.3010 B ．12 C.3015D ．1510[答案] A[解析] 以A 为原点，直线AB 、AD 、AA1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则B(1,0,0)，E1(12，0,1)，F1(12，12，1)，∴AF1→＝(12，12，1)，BE1→＝(－12，0,1)．cos 〈AF1→，BE1→〉＝AF1→·BE1→|AF1→||BE1→|＝3452×62＝3010，故选A. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·某某市二测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________． [答案] 1－π6[解析] 由题意知球的半径为1，其体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V 正方体＝23＝8，则这一点不在球内的概率P ＝1－4π38＝1－π6.14．(2015·某某某某一中段测)若某几何体的三视图如下，该几何体的体积为2，则俯视图中的x ＝________.[答案] 2[解析] 由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形，面积S ＝12(1＋x)×2＝1＋x ，因此V ＝13Sh ＝13·(1＋x)·2＝2，解得x ＝2.15．(文)(2014·某某七中模拟)已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，点M 是BC1的中点，P 是BB1一动点，则(AP ＋MP)2的最小值为________． [答案] 52[解析] 将平面ABB1A1展开到与平面CBB1C1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP)2最小．AM2＝AB2＋BM2－2AB×BMcos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52.(理)(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC1和BB1的中点，则直线DE 与平面BB1C1C 所成的角为________．[答案] π6[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ， ∴BF 与平面BB1C1C 所成的角为所求，∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB1，∴AB ⊥平面BCC1B1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC1B1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC1B1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12， ∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.16．(文)(2014·某某市二诊)如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面积为________．[答案] 2π[解析] 由侧视图知圆锥的母线长l ＝2，底半径r ＝1，∴侧面积S 侧＝πrl ＝2π. (理)(2014·东北三省三校二模) P 为正方体ABCD －A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1(λ∈(0,1))．下面结论： ①A1D ⊥C1P ；②若BD1⊥平面PAC ，则λ＝13；③若△PAC 为钝角三角形，则λ∈(0，12)； ④若λ∈(23，1)，则△PAC 为锐角三角形．其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①②④[解析] 在正方体中，易证A1D ⊥平面AD1C1B ，又C1P ⊂平面AD1C1B ，所以A1D ⊥C1P ，∴①正确；若BD1⊥平面PAC ，则点P 为平面ACB1与体对角线BD1的交点，利用等体积法可得BP ＝13BD1，即λ＝13，②正确；以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1所在射线分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，又BP ＝λBD1，所以P(1－λ，1－λ，λ)，若△PAC 为钝角三角形，只能是∠APC 是钝角，所以PA →·PC →＝(λ，λ－1，－λ)·(λ－1，λ，－λ)＝3λ2－2λ<0，解得λ∈(0，23)，所以③错误；由③可知若λ∈(23，1)，则△PAC 为锐角三角形，④正确，所以正确的结论序号为①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·某某五校协作体期中)如图，四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AA1＝2.(1)证明：AA1⊥BD ；(2)证明：平面A1BD ∥平面CD1B1； (3)求三棱柱ABD －A1B1D1的体积．[解析] (1)证明：∵底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， 又∵A1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A1O ⊥BD ， 又∵A1O ∩AC ＝O ，A1O ⊂平面A1AC ，AC ⊂平面A1AC ， ∴BD ⊥平面A1AC ，∵AA1⊂平面A1AC ， ∴AA1⊥BD.(2)∵A1B1∥AB ，AB ∥CD ，∴A1B1∥CD ，又A1B1＝CD ，∴四边形A1B1CD 是平行四边形，∴A1D ∥B1C ，同理A1B ∥CD1，∵A1B ⊂平面A1BD ，A1D ⊂平面A1BD ，CD1⊂平面CD1B1，B1C ⊂平面CD1B ， 且A1B ∩A1D ＝A1，CD1∩B1C ＝C ， ∴平面A1BD ∥平面CD1B1.(3)∵A1O ⊥平面ABCD ，∴A1O 是三棱柱A1B1D1－ABD 的高．在正方形ABCD 中，AO ＝1，在Rt △A1OA 中，AA1＝2，AO ＝1，∴A1O ＝3，∴V 三棱柱＝S△ABD·A1O ＝12·(2)2·3＝ 3. 所以，三棱柱ABD －A1B1D1的体积为 3. 18．(本小题满分12分)(2015·石光中学月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (3)求四棱锥P －ABCD 的体积． [解析] (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点，∴对角线AC 经过F 点，又点E 为PC 的中点， ∴EF 为△PAC 的中位线，∴EF ∥PA.又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD.又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD. (3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高， 又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a2.∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD·PG ＝13×a2×a 2＝16a3.19．(本小题满分12分)(文)(2015·某某三县联考)如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22，ABCD 是矩形．AD ⊥平面ABEF ，其中Q ，M 分别是AC ，EF 的中点，P 是BM 中点．(1)求证：PQ ∥平面BCE ；(2)求证：AM ⊥平面BCM ； (3)求点F 到平面BCE 的距离．[解析] (1)因为AB ∥EM ，且AB ＝EM ，所以四边形ABEM 为平行四边形． 连接AE ，则AE 过点P ，且P 为AE 中点，又Q 为AC 中点， 所以PQ 是△ACE 的中位线，于是PQ ∥CE. ∵CE ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE.(2)AD ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥AM.在等腰梯形ABEF 中，由AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22， 可得∠BEF ＝45°，BM ＝AM ＝2， ∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM ⊥BM. 又BC ∩BM ＝B ，∴AM ⊥平面BCM.(3)解法一：点F 到平面BCE 的距离是M 到平面BCE 的距离的2倍， ∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB ⊥BE ， ∵MB ⊥BC ，BC ∩BE ＝B ，∴MB ⊥平面BCE ，∴d ＝2MB ＝4. 解法二：VC －BEF ＝13S △BEF·BC ＝43BC ， VF －BCE ＝13S △BCE·d ＝d 3BC.∵VC －BEF ＝VF －BCE ，∴d ＝4. (理)(2014·某某某某实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC －A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC ＝90°，点D 是棱B1C1的中点． (1)求证：A1D ⊥平面BB1C1C ； (2)求证：AB1∥平面A1DC ；(3)求二面角D －A1C －A 的余弦值．[解析] (1)证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形， 所以AA1⊥AC ，AA1⊥AB ，所以AA1⊥平面ABC ， 所以AA1⊥平面A1B1C1.因为A1D ⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1D ， 又因为CC1∥AA1，所以CC1⊥A1D ， 又因为A1B1＝A1C1，D 为B1C1中点， 所以A1D ⊥B1C1.因为CC1∩B1C1＝C1，所以A1D ⊥平面BB1C1C. (2)证明：连结AC1，交A1C 于点O ，连结OD ， 因为ACC1A1为正方形，所以O 为AC1中点， 又D 为B1C1中点，所以OD 为△AB1C1中位线， 所以AB1∥OD ，因为OD ⊂平面A1DC ，AB1⊄平面A1DC ， 所以AB1∥平面A1DC.(3)因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC ＝90°，所以AB ，AC ，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A －xyz. 设AB ＝1，则C(0,1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，D(12，12，1)．A1D →＝(12，12，0)，A1C →＝(0,1，－1)，设平面A1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n·A1D →＝0，n·A1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．又因为AB ⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为AB →＝(1,0,0)， 设二面角D －A1C －A 的平面角为θ，则θ＝π－〈n ，AB →〉， ∴cosθ＝cos(π－〈n ，AB →〉) ＝－n·AB →|n|·|AB →|＝－13＝－33， 所以，二面角D －A1C －A 的余弦值为－33.20．(本小题满分12分)(文)(2014·某某二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1＝AC ＝2AB ＝2，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D 是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E －ABC1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A1B1C1中，有A1A ⊥平面ABC.∴A1A ⊥AC ，又A1A ＝AC ，∴A1C ⊥AC1.又BC1⊥A1C ，∴A1C ⊥平面ABC1，∵A1C ⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1CC1. (2)存在，E 为BB1的中点．取A1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC1， ∴平面EFD ∥平面ABC1，则有ED ∥平面ABC1.当E 为BB1的中点时，VE －ABC1＝VC1－ABE ＝13×2×12×1×1＝13.(理)(2014·某某市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，∠DAB ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝BC ＝3，梯形上底AD ＝1.(1)求证：BC ⊥平面PAB ；(2)在PC 上是否存在一点E ，使得DE ∥平面PAB ？若存在，请找出；若不存在，说明理由；(3)求平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的正切值． [解析] (1)证明：∵BC ∥AD 且∠DAB ＝90°， ∴BC ⊥AB ，又PA ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PA ， 而PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB.(2)延长BA 、CD 相交于Q 点，假若在PC 上存在点E ，满足DE ∥平面PAB ，则由平面PCQ 经过DE 与平面PAB 相交于PQ 知DE ∥PQ ，∵AD ∥BC 且AD ＝1，BC ＝3，∴PE CP ＝QD CQ ＝AD BC ＝13， 故E 为CP 的三等分点，PE ＝12CE.(3)过A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，连DH ， 由(1)及AD ∥BC 知：AD ⊥平面PAQ ，∴AD ⊥PQ ，又AH ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面HAD ，∴PQ ⊥HD.∴∠AHD 是平面PCD 与平面PBA 所成的二面角的平面角． 易知AQ ＝32，PQ ＝352，∴AH ＝AQ·PA PQ ＝355，∴tan ∠AHD ＝AD AH ＝53， 所以平面PCD 与平面PAB 所成二面角的正切值为53.21．(本小题满分12分)(文)(2015·某某市二十中期中)如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC. (1)当BE ＝1时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，指出P 点位置，若不存在，说明理由；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A －CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．[解析] (1)存在点P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时AP AD ＝35. 证明如下：AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有MP FD ＝35，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．(2)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC. 由已知BE ＝x ，所以AF ＝x(0<x<4)，FD ＝6－x.故VA －CDF ＝13·(12DF·EF)·AF ＝13·12·2·(6－x)·x ＝13(6x －x2)＝13[－(x －3)2＋9]＝－13(x －3)2＋3. 所以，当x ＝3时，VA －CDF 有最大值，最大值为3. (理)(2014·某某某某中学期中)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(折起后的点A 记作点P)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB.(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，∴EF ⊥平面PEB. 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB. (2)解法一：∵EF ⊥平面PEB ，EF ⊂平面BCFE ，∴平面PEB ⊥平面BCFE ，过P 作PQ ⊥BE 于点Q ，垂足为Q ，则PQ ⊥平面BCFE ，过Q 作QH ⊥FC ，垂足为H.则∠PHQ 即为所求二面角的平面角． 设PE ＝x ，则EQ ＝12x ，PQ ＝32x ， QH ＝(PE ＋EQ)sin π4＝324x ， 故tan ∠PHQ ＝PQ QH ＝63，cos ∠PHQ ＝155，即二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155.解法二：在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD.∴PD ⊥平面BCFE.在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE.以B 点为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 设PE ＝x(0＜x ＜4)又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x ，在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，∴PD ＝32x ，DE ＝12x ， ∴BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，∴C(4,0,0)，F(x,4－x,0)，P(0,4－32x ，32x)． 从而CF →＝(x －4,4－x,0)，CP →＝(－4,4－32x ，32x)． 设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF 的一个法向量，则 n1·CF →＝0，n1·CP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0x －4＋y04－x ＝0，－4x0＋4－32x y0＋32xz0＝0，∴⎩⎨⎧x0－y0＝0，3x0－z0＝0，取y0＝1，得，n1＝(1,1，3)．又平面BCF 的一个法向量为n2＝(0,0,1)． 设二面角P －FC －B 的平面角为α，则 cosα＝|cos 〈n1，n2〉|＝155.因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155.22．(本小题满分14分)(文)(2015·某某省某某市二中月考)已知几何体A －BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A －BCED 的体积为16. (1)某某数a 的值；(2)将直角三角形△ABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．[解析] (1)由该几何体的三视图知AC ⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝a ，体积V ＝13×4×a ＋4×42＝16，∴a ＝2. (2)在Rt △ABD 中，AB ＝42，BD ＝2，∴AD ＝6， 过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H ，易得BH ＝423，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH ＝423，所以圆锥底面周长为C ＝2π·423＝82π3，两个圆锥的母线长分别为42和2， 故该旋转体的表面积为S ＝12×82π3(2＋42)＝32＋82π3. (理)(2014·某某南开区二模)如图，直四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面为正方形，P 、O 分别是上、下底面的中心，E 是AB 的中点，AB ＝kAA1.(1)求证：A1E ∥平面PBC ；(2)当k ＝2时，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(3)当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？[解析] 以点O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB ＝22，则得A1(2,0，22k )、E(1,1,0)、P(0,0，22k )、B(0,2,0)、C(－2，0,0)、A(2,0,0)， (1)由上得A1E →＝(－1,1，－22k )、BC →＝(－2，－2,0)、PB →＝(0,2，－22k )， 设平面PBC 的法向量为n ＝(1，α，β)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n·BC →＝0，n·PB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－2α＝0，2α－22k β＝0， ∴n ＝(1，－1，－22k)， ∵A1E →·n ＝0， 又A1E ⊄平面PBC ， ∴A1E ∥平面PBC.(2)当k ＝2时，由(Ⅰ)知平面PBC 的法向量为n ＝(1，－1，－1)，PA →＝(2,0，－2)， cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →|·|n|＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63.(3)由(1)知△PBC 的重心G 为(－23，23，223k )，则OG →＝(－23，23，223k )，若O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心，则有⎩⎪⎨⎪⎧OG →·BC →＝0，OG →·PB →＝0，解得k ＝2，∴当k ＝2时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心．。

东莞市2016届高三第一学期调研测试(理数)

东莞市2016届高三第一学期调研测试(理数)

东莞市2016届高三第一学期调研测试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。

第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知i 是虚数单位，若2a i i +-是纯虚数，则1||22a ii++-＝ （A ）12 （B）2（C ）1 （D（2）已知全集U ＝R ，集合A ＝{}|lg 0x x <，B ＝{}2|230y y y --≤，则下图中阴影部分表示的区间的是 （A ）（0,1） （B ）（1,3］ （C ）［1,3］ （D ）［－1,0］ ［1,3］（3）已知命题:p m R ∃∈，使得函数32()(1)2f x x m x =+--是奇函数，命题q ：向量1122(,),(,)a x y b x y == ，则“1122x y x y =”是“a b ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）()()p q ⌝∧⌝（4）高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选拔出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（A ）864种 （B ）432种 （C ）288种 （D ）144种（5）已知圆22()4x m y -+=上存在两点关于直线20x y --=的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为 （A ）1 （B（C ）（D ）4（6）已知一个几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（A ）103（B ）4 C ）6 （D ）10（7）已知随机变量2N 3ξδ-（，），且cos (3)P ϕξ=>（其中ϕ为锐角）， 若函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距 离为π，则函数()f x 的一条对称轴方程为 (A)12x π=(B)6x π=(C)3x π=(D)2x π=（8）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，||5,2015120AB aBC bCA cAB =++=，2BP PA =，则CP AB 的值为（A ）233 （B ）72- （C ）－233（D ）－8（9）已知各项为正的数列{}n a 的前n 项的乘积为n T ，点（2,15)n T n n -在函数12log y x =的图象上，则数列{}2log n a 的前10项和为（A ）－140 （B ）100 （C ）124 （D ）156（10）执行如右图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（A ）n ＞6？ （B ）n ＞7？ （C ）n ＞8？ （D ）n ＞9？（11）已知直线l 过抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点F 且与x 轴垂直，l 与E 所围成的封闭图形的面积为24，若点P 为抛物线E 上任意一点，A （4,1），则｜PA ｜＋｜PF ｜的最小值为（A ）6 （B ）4＋（C ）7 （D ）4＋(12)对任意[1,1]x ∈-，不等式243||4x x a -≤+-≤恒成立，则实数a 的取值范围为 (A)22[,]33-(B)11[,]33- (C)2[0,]3(D)[0,1] 第II 卷本卷包括必考题与选考题两部分，第（13）至（21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（22）至（24）是选考题，考生根据要求做答。

2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)

2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则AB =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）31,2⎛⎫⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设 (1 + i)x = 1 + y i ，其中y x ,是实数，则|x + y i| = （A ）1（B ）2（C ）3（D ）23．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10 = 8，则a 100 = （A ）100（B ）99（C ）98（D ）974．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值 范围是（A ）()1,3-（B ）(-（C ）()0,3（D ）(6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π （C ）20π（D ）28π7．函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为8．若101a b c >><<，,则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba < （C ）a log b c ＜ b log a c（D ）log log a b c c <9．执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x , y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x =（D ）5y x =是 否ny y n x x =-+=,213622≥+y x输入n y x ,,输出y x ,开始 结束1+=n n10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）811．平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, α ∩平面ABCD = m , α ∩平面AB B 1A 1 = n ,则m 、n 所成角的正弦值为（A ）2（B ）2（C ）3（D ）1312. 已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π= 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。