2020-2021学年高三数学周测卷(精品)

江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题第I 卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设全集为R,集合2{|0x A x x -=>B={x|x ≥1},则A ∩B 等于( ) A.{x|0<x ≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}2.复平面内表示复数622i zi +=-的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若0.131log ,72m n ==,4log 25,p =则m,n,p 的大小关系为() A.m>p>n B.p>n>m C.p>m>n D.n>p>m4. 在公比为q 的正项等比数列{}n a 中, a 4=1,则当2a 2 + a 6取得最小值时, log 2q 等于()1111 (4488)A B C D -- 5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别为棱AB,1CC 的中点,在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条6.在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且asin2B+bsinA=0,若a+c=2,则边b 的最小值为()A .B .CD 7.已知双曲线22221(0,x y a b a a -=>>0)的左､右焦点分别为1,F 2,F 过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若2211()0,F F F A F A +⋅=则此双曲线的标准方程可能为()2.743x y A -= 22.134x y B -= 22.1169x y C -= 22.1916x y D -=8.已知函数f(32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-,若,12121,[,2],()3()0x x f x g x ∀∈-≥,则实数a 的取值范围为()A.[4,+∞)B.[3,+∞)C.[2,+∞)D.[1,+∞) 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.将函数f(x)=sin3x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数g(x)的图象,则() A.g(x)在[0,]2π上的最小值为0 B.g(x)在[0,]2π上的最小值为-1 C.g(x)在[0,]2π上的最大值为0 D.g(x)在[0,]2π上的最大值为1 10.如图所示的函数图象,对应的函数解析式不可能是()2.21x A y x =--B.y=2xsinX .ln x C y x = 2.(2)x D y x x e =-11. 已知函数122cos 2,0,()log ,()2,0a x x f x x x g x x a x +≥⎧=+=⎨+<⎩(a ∈R ),若对任意X1∈[2, +∞),总存在x 2∈R ,使f(x 1)= g(x 2),则实数a 的值可以是( )17 (22)A B C -1D.2 12.在数列{a n }中,若22*1(2,.n n a a p n n -=≥∈-N p 为常数),则称{a n }为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{an}是等差数列,则{a n }是等方差数列 .{(1)}n B -}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则*}{(),kn a k ∈N k 为常数)也是等方差数列D.若{a n }既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩, 则使f(a)=-1成立的a 的值是______.14.已知2012(1)(1)(1)(n n n x a a x a x a x n *=+++++++∈N ）对任意x ∈R 恒成立,则a 0=____;若a 4+a 5=0,则n=________.(本题第一空2分,第二空3分)15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足:a 1=1,*2212,1(),n n n a s a a n ++=+=-∈N 不等式n nS a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是____.四､解答题(本大题共6小题,共70分)17. (10分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，a 1=25,且a 1, a 11,13a 成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)设(1),n n n b a =-求数列{}n b 前2020项的和.18. (12分)在△ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, bsinB+ csin C=asin sin ).sin B c A A +（ (1)求A 的大小;(2)若,3a B π==求△ABC 的面积.19.(12分)如图,在五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,△SBC 为边长为2的正三角形,将△SBC 沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD.上的射影恰好在AD 上｡(1)当AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD;(2)若AB=1,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值｡20.(12分)某工厂欲购买软件服务,有如下两种方案:方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元｡(1)设日收费为y 元,每天软件服务的次数为x,试写出两种方案中y 与x 的函数关系式;(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由｡21.(12分)(2020济南模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>焦距为 (1)求C 的方程;(2)若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点(点P,Q 均在第一象限),O 为坐标原点. 证明:直线OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列.22. (12 分)已知函数f(x)=lnx, g(x)=x -1.(1)当k 为何值时,直线y= g(x)是曲线y= kf(x)的切线;(2)若不等式:()g af x ≥在[1, e]上恒成立,求a 的取值范围.。

最新普通高中高三教学质量监测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l ．已知集合A ＝{x ｜y ，B ＝{x ｜2x －1＞0}，则A ∩B ＝A ．（－∞，－1）B ．[0，1）C ．（1，＋∞）D ．[0，＋∞）2．已知复数z ＝2＋i ，则221z z z －－＝A ．1322i ＋B ．1322i －－C ．1122i －－D ．1122i ＋ 3．下列结论中正确的是A ．n ∀∈N ﹡，2n 2＋5n ＋2能被2整除是真命题B ．n ∀∈N ﹡，2n 2＋5n ＋2不能被2整除是真命题C ．n ∃∈N ﹡，2n 2＋5n ＋2不能被2整除是真命题D ．n ∃∈N ﹡，2n 2＋5n ＋2能被2整除是假命题4．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，且经过点（2），则双曲线C 的标准方程为A ．22123x y －＝B ．22139x y －＝C ．22146x y －＝ D ．221x y －＝ 5．已知等差数列{n a }，满足a 1＋a 5＝6，a 2＋a 14＝26，则{n a }的前10项和S 10＝A ．40B ．120C ．100D ．806．已知定义在R 上的函数f （x ）在[1，＋∞）上单调递增，且f （x ＋1）为偶函数，则 A ．f （0）＜f （12） B ．f （－2）＞f （2） C ．f （－1）＜f （3） D ．f （－4）＝f （4） 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．56B ．36C ．54D ．648．设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≤－－≤≥，则z ＝｜2x ＋3y －2｜的取值范围是A ．[7，8]B ．[0,8]C ．[112，8] D ．[112，7] 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．8＋73π B ．8＋83πC ．8＋103πD ．8＋3π10．已知函数f （x ）＝1,02,0x x x x ππ⎧⎪⎨⎪⎩sin ≤cos2＞，其图象在区间[－a ，a]（a ＞0）上至少存在10对关于y 轴对称的点，则a 的值不可能．．．为 A ．92 B ．5 C ．112D ．6 11．已知抛物线2y px ＝2（p ＞0），直线l ：y ＝x －2p 与抛物线C 相交于点A ，B ，过A ，B 作直线x ＝4的垂线，垂足分别为C ，D ，且C ，D 在直线l 的右侧，若梯形ABDC 的面积为2p ＝ A ．23或2 B ．32 C ．23 D ．32或212．已知关于x 的不等式lnx －212ax ＋（1－a ）x ＋1≤b 恒成立，则ab 的最小值为 A ．1＋2e B ．12＋2e C ．1＋1e D ．12＋1e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

江苏省宝应中学2020-2021学年高三年级数学周测试卷（六）一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则 A ．B ．C ．D ．2．点 P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A ． (12-，32) B ． (-32，12-)C ． (12-，-3) D ． (-3,12)3．已知132a =，2log 0.3b =，b c a =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5. 已知,，则与的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．()0,()1cos 1cos x f x x x π∈=+-6.设，则函数( ).2A ⎡⎣ [].0,2B .2C ⎡⎣[).0,2D7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8 D ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.设平行于 x 轴的直线l 分别与函数 y = 2x 与 y = 2x +1 的图像相交于点 A , B ,若函数 y = 2x 的图像上存在点C ,使得∆ABC 为等边三角形，则这样的直线l （ ） A.不存在 B.有且只有一条 C.有且只有两条 D.有无数条二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分）9．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1C +的最小值为2D ．22m n +的最小值为210．若ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ，则下列结论不正确的( ) A ．2BOC π∠=B ．2AOB π∠=C ．54-=⋅CA OB D ．51-=⋅AB OC11．设函数()()sin 0g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称 B ．()f x 在()0,2π上有且只有3个极值大点，()f x 在()0,2π上有且只有2个极小值点 C ．()f x 在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将AMB △沿直线AM 翻折成1AB M △，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图,△ABC 为等边三角形,分别延长BA ,CB ,AC 到点D ,E ,F ,使得AD ＝BE ＝CF ．若BA 2AD =,且DE ＝13,则AF CE ⋅的值是_______．14.若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有 种(用数字填空)15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若︒=60A ，bc a =2，则=C B sin sin _______.16、设函数()()()2,142,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩. ①若1a =，则()f x 的最小值为_______；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）已知集合，求集合A ；若p ：，q ：，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（本题共12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①26AB AB BC +⋅=- ②2252b c += ③ABC △的面积为315在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，______．（1）求边a ； （2）求πcos 26C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．（本题共12分）已知函数323()(1)312f x x k x kx =-+++，其中k R ∈． （1）当3k =时，求函数()f x 在[0,5]上的值域；（2）若函数()f x 在[1,2]上的最小值为3，求实数k 的取值范围．20．（本题共12分）2019年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效．为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的200个乡镇，调查其2019年3月份的高科技企业投资额，得到如下数据：将投资额不低于70万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于70万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率．已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其髙科技企业投资额为35万元．（1）请根据上述表格中的数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．（2）经统计发现，这200个乡镇的高科技企业投资额X （单位：万元）近似地服从正态分布(,190)N μ，其中μ近似为样木平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）．若X落在区间(2,2)μσμσ-+外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”． ①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于μ的每年给予两次贷款机会，投资额不低于μ的每年给一次贷款机会．每次贷款金额ξ及对应的概率如下： 求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，其中,19013.8n a b c d =+++≈()20P K k0.10 0.025 0.005 0k2.7065.0247.87921、（本题共12分）如图，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，22BC AC ==，2AB DE =，且D 点在平面ABC 内的投影为AC 的中点H ，1DH =.（1）证明：面BCE ⊥面ABC ； （2）求BD 与面CDE 夹角的正弦值.22．（本题共12分）已知函数2()e ()xf x a x a =-∈R ． （1）若2a =，求函数()f x 在0x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 极值点的个数；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且212x x >，证明：10ln 2x <<．参考答案1-8 BCDB CDAB 9．ABD 10．AC 11．CD 12．BD12题【详解】解：对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则1//NE AB ，1//NF MB ， 如果1CN AB ⊥，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，则A 错误． 对于B ：如图1，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 由余弦定理可得2222cos MC NE EC NE EC NEC =+-∠， 所以NC 是定值，则B 正确．对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ， 由题意得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥， 从而AD MD =，由题意不成立，可得C 错误．对于D ：当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大， 由题意得AD 中点H 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心， 球半径为1，表面积是4π，则D 正确． 故选：BD ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属于中档题．13.【答案】92-【详解】易知△DEF 也为等边三角形,设AD ＝x ,则BD ＝3x , △BDE 中,由余弦定理得：()()221133232x x x x ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭,解得x ＝1, 故BD ＝3,则9AF CE 33cos1202⋅=⨯⨯︒=-．故答案为：92-14．72 15．4316． -1 ； [)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】①若1a =，则2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 的最小值为-1.②当1a ≥时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足120a -≤，即2a ≥.所以2a ≥；当1a <时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足11220a a a <≤⎧⎨->⎩，解得112a ≤<.17.【答案】，，则，，．……………………4分，由可得：或，或，或．……………………6分，，且p 是q 的充分不必要条件，是B 的真子集，……………………7分或，或，……………………9分实数m 的取值范围是……………………10分18．解：方案一：选择条件①：（1）()2cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==- ∵1cos 4A =- ∴24bc =由242bc b c =⎧⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去）∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴8a =（2）222cos 2a b c C ab+-=643616286+-=⨯⨯78=∴sin C == ∴217cos 22cos 132C C =-=sin 22sin cos C C C ==∴πππcos 2cos 2cos sin 2sin 666C C C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭64=．方案二：选择条件②：（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩解得：64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去）∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴8a =． （2）同方案一 方案三：选择条件③：（1）∵1cos 4A =-∴sin 4A =1sin 28ABC S bc A ===△∴24bc =由242bc b c =⎧⎨-=⎩解得：64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍）∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴8a =． （2）同方案一 19．【答案】（1）3k =时，32()691f x x x x =-++， 则2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得121,3x x ==，列表由上表知函数()f x 值域为[1,21]． （2）解法一：2()33(1)33(1)()f x x k x k x x k '=-++=--，①当1k 时，[1,2],()0x f x '∀∈，函数()f x 在区间[1,2]单调递增，min 3()(1)1(1)3132f x f k k ∴==-+++=，即53k =（舍）；②当2k ≥时，[1,2],()0x f x '∀∈，函数()f x 在区间[1,2]单调递减，min ()(2)86(1)3213f x f k k ∴==-++⋅+=，符合题意；③当时12k <<时， 当[1,)x k ∈时，()0,()f x f x '<在区间[1,)k 单调递减； 当(,2]x k ∈时，()0,()f x f x '>在区间(,2]k 单调递减；322min 3()()(1)3132f x f k k k k k ∴==-+++=，化简得：32340k k -+=，即2(1)(2)0k k +-=， 所以1k =-或2k =（舍）； 综上所述，实数k 取值范围为2k ． 解法二：2()33(1)33(1)()f x x k x k x x k '=-++=--，①当2k 时，[1,2],()0x f x '∀∈，函数()f x 在区间[1,2]单调递减，所以min ()(2)86(1)3213f x f k k ==-++⋅+=，符合题意； ②当1k 时，[1,2],()0x f x '∀∈，函数()f x 在区间[1,2]单调递增，所以min ()(2)3f x f <=，不符合题意； ③当12k <<时，当[1,)x k ∈时，()0,()f x f x '<区间在[1,)k 单调递减，当(,2]x k ∈时，()0,()f x f x '>区间在(,2]k 单调递增，所以min ()()(2)3f x f k f =<=，不符合题意； 综上所述，实数k 取值范围为2k ．20．【答案】（1）填写22⨯列联表如下所示：22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关． ①调查的200个乡镇的投资额频率分布表如下：则350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为200个乡镇的高科技企业投资额X 近似地服从正态分布(,190)N μ， 所以2190,13.8σσ=≈，所以259.227.631.6n σ-≈-=， 因为甲乡锁的高科技企业投资额为35万元，大于31.6万元， 所以甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”．②由小问21-可知这200个乡镇的投资额的平均数为59.2万元，甲乡镇的投资额为35万元，低于59.2万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款，所得贷款总金额Y 的取值可以是800,1000,1200,1400,1600，(800)0.20.20.04P Y ==⨯=， (1000)20.20.50.2P Y ==⨯⨯=，(1200)0.50.520.20.30.37P Y ==⨯+⨯⨯=，(1400)20.30.50.3P Y ==⨯⨯=， (1600)0.30.30.09P Y ==⨯=，贷款总金额Y 的分布列为()8000.0410000.212000.3714000.3168000.091240E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．21、【解析】（1）取BC 的中点F ，连接EF ，HF . ∵H ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴//HF AB ，且2AB HF =. 又//DE AB ，2AB DE =， ∴//HF DE 且HF DE =， ∴四边形DEFH 为平行四边形. ∴//EF DH ，又D 点在平面ABC 内的投影为AC 的中点H ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∵EF ⊂面BCE ，∴面ECB ⊥面ABC . （2）∵DH ⊥平面ABC ，AC BC ⊥， ∴以C 为原点，建立空间直角坐标系， 则()0,2,0B ，1,0,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1E ， 设平面CDE 的法向量(),,n x y z =，1,0,12CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1CE =，则1020x z y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩取1y =，则2x =，1z =-.∴()2,1,1n =， ∵1,2,12BD ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴214cos ,21BD n BD n BD n⋅==， ∴BD 与面CDE 夹角的正弦值为21421.22．解：（1）当2a =时，2()2e x f x x =-，()2e 2xf x x '=-，所以(0)2f =，(0)2f '=，所以切线方程为220x y -+=．（2）()e 2xf x a x '=-，令()e 2xg x a x =-，则讨论函数()f x 的极值点的个数，转化为讨论()g x 的零点的情况．注意到()e 2xg x a '=-，e 0x >，可知当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递减，又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →-∞，此时()g x 有一个零点0x ，且当()0,x x ∈-∞时，()0g x >，()f x 单增，当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，()f x 单减，函数()f x 有一个极大值点0x ．当0a >时，令()e 20xg x a '=-=，解得2lnx a =．因为当2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭）时，()0g x '<，当2ln,+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以2ln x a =时，函数()g x 取得最小值222ln a -．当222ln0a -≥，即2ea ≥时，此时函数()0g x ≥，所以()0f x '≥，函数()f x 单调递增，无极值点． 当222ln0a -<，即20e a <<时，因为2ln 0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，所以存在122lnx x a<<，使得()()120g x g x ==．当()1,x x ∈-∞时，()0g x >，()f x 单增，当()12,x x x ∈时，()0g x <，()f x 单减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()f x 单增．此时，()f x 存在极大值点1x 、极小值点2x ，共2个极值点．综上，当0a ≤时，函数()f x 有一个极大值点，当20ea <<时，函数()f x 存在1个极大值点、1个极小值点，当2e a ≥时，函数()f x 无极值点． （3）由题意可知，20ea <<，且11e 2xa x =，222x ae x =．因此210x x >>，且2121e 2x xx x -=>，并两边取自然对数可得2211ln x x x x -=， 令21x t x =，则1ln (2)1tx t t =>-， 令ln ()1t h t t =-，211ln ()(1)tt h t t --'=-，令1()1ln F t t t =--，则22111()t F t t t t-'=-=，当2t >时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，所以1()(2)ln 202F t F <=-<， 所以()0h t '<，函数()h t 单调递减，所以()ln 2h t <，即10ln 2x <<．。

最新度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =U ð（ ） A ．{}3 B ．{}4,5 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,4,52.已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=rr ，则b =r （ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()5,6D ．()2,0 3.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．2155i -- B ．2155i -+ C ．1255i - D ．1255i + 4.从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．235.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．34± 6.已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（R x ∈），下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数 C ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（ ）A ．132n -⎛⎫⎪⎝⎭B ．12n - C ．123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．111132n -⎛⎫-⎪⎝⎭8.执行如图1所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．43π B ．12π C ．24π D ．48π10.下列函数中，在()1,1-内有零点且单调递增的是（ ）A ．2log y x =B ．22y x =-C ．21x y =-D ．3y x =-11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,0x x f x g x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()7g f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-12.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．[]3,5B ．[]4,6C ．()3,5D ．()4,6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，3z x y m =++的最大值为4，则m 的值为．14.已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为．15.已知正项等比数列{}n a 的公比2q =，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为．16.下列有关命题中，正确命题的序号是．（1）命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”． （2）命题“R x ∃∈，210x x +-<”的否定是“R x ∀∈，210x x +->”． （3）命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题． （4）若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，b =1c =，3cos 4B =． （I ）求sinC 的值； （II ）求C ∆AB 的面积． 18.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =． （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ． 19.（本小题满分12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图3所示． （I ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（II ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．20.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =o ，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离．21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x a x x =-+-．（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11xf x a x a x<--+-+． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，已知PA 与O e 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B ，C 两点，弦CD//AP ，D A ，C B 相交于点E ，F 为C E 上一点，且2D F C E =E ⋅E ． （I ）求证：C F E⋅EB =E ⋅EP ；（II ）若C :3:2E BE =，D 3E =，F 2E =，求PA 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程是1223x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （I ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（II ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．（其中0ρ≥，02θπ≤<） 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式211x x a ---≤． （I ）当3a =时，求不等式的解集； （II ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分标准一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBCABDACBCDC11.()()()712-7-7log 3f f +==-=-，()()()()()3127333log 2g f g f f +⎡-⎤=-=-=-=-=-⎣⎦故选D. 12.()2f x x =在[10]-，单调递减，如图所示，易得1a >， 依题意得log 31log 51a a<⎧⎨>⎩，∴35a <<，故选C..二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．13. -4 14.31y x =+ 15.3216.⑷三、解答题：本大题共6小题，满分70解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由3cos 4B =且0B π<<，得7sin B =3分又由正弦定理：sin sin c bC B=得：14sin 8C =．……6分 （Ⅱ）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅得：232124a a =+-⋅， 即23102a a --=，解得2a =或1-2a =（舍去），………………4分所以，11sin 122244ABC S a c B =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=V 6分 18．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列26222a a a ∴=即()()()21115+21a d a d a d +=+即13d a =①……………1分又由46a a +=26得12+826a d =②……………………2分 由①②解得1=13a d =，32n a n ∴=-……………………3分324b a ∴== 即214b q =，5616b a ==又 即4116b q =；24q ∴=………………5分又q 为正数2q ∴=，1b =12n n b -∴=……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1322n n na b n -=-……………………1分()021*********n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-L ……………………2分 ()232124272322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-L ……………………3分()()()()2161213232323221322352512n n n n n n T n n n --∴-=+⨯+⨯++⨯--=+--=--⨯--L ()3525n n T n ∴=-⨯+……………………6分19．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解:（Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f ，21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………3分第4组的频率为0.02100.2⨯=…………………………4分 所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为1P =0.350.20.55+= ………………………6分（Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………1分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y ，随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ， 123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………4分其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种………5分所以至少有两名女性的概率为2164205P ==………………………………………………6分20．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分） 解：（Ⅰ）记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .Q 直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,115MA MA MC MC ∴=====……2分因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥ ， C A ME 1⊥， ……4分 又11AC A C E =I 从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分 （Ⅱ）过点Ａ作1AH A C ⊥于点H ，由（Ⅰ）平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC I 平面111AAC C AC =， 而AH ⊥平面11AAC C ……2分∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离． ……3分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，116AA AC AC ===，1134AA AC AH AC ⋅∴===即点A 到平面1A MC……6分 21．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）由题知()()()2'2110a a x x f x x x-+-+=>……………………1分当1a ≠-时，由()'0f x =得()221+1=0a a x x +-且=9+8a ∆，12x x ==……………2分 ①当1a =-时，所以)(x f 在()0,1上单调递增在()1,+∞上单调递减………………3分②当1->a 时， )(x f 在()20,x 上单调递增； 在上()2,+x ∞上单调递减 ………4分③当98a ≤-时，)(x f 在()0,+∞上单调递增……………5分④当918a -<<-时，)(x f 在()()120,,x x +∞和上单调递增； 在上()12,x x 上单调递减……………………6分 （Ⅱ）当1<a 时，要证()()2ln 11xf x a x a x<--+-+在），（∞+0上恒成立, 只需证ln ln1xx x a x-<--+在），（∞+0上恒成立, ……………………1分 令a xxx g x x x F -+--=-=1ln )(,ln ）（， 因为xxx x F -=-=111)(', 易得)(x F 在)1,0(上递增，在),1(∞+上递减，故1)1()(-=≤F x F ,……………2分由a x xx g -+-=1ln )(得21ln ()x g x x -'=-=2ln 1(0)x x x ->, 当e x <<0时，0)('<x g ； 当e x >时，0)('>x g .所以)(x g 在),0(e 上递减，在),(+∞e 上递增, ………………3分所以a e e g x g -+-=≥11)()(,……………………4分 又1<a ，1111->->-+-∴e a e ，即min max )()(x g x F <,……………………5分所以)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立, 故当1<a 时，对任意的），（∞+∈0x ，)1(ln )(+--<x a xxx f 恒成立………………6分22．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分)解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠ ……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴EDEPEF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE∴ 29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（Ⅰ）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………2分 ∴415=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………5分 23．（本小题满分10分）(注：第(1)问4分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，0y --=，……………………2分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分（Ⅱ）方法一：曲线C 的普通方程为2240x y x +-=.………………2分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4分所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………2分得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………4分所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分 24．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解: （Ⅰ）由题意可得：3112≤---x x ，当21≤x 时，3,3112-≥≤-++-x x x ，即213≤≤-x ； ……………………2分 当121<<x 时，3112≤-+-x x ，即35≤x 即121<<x ；……………………3分当1≥x 时，3112≤+--x x ，即13x ≤≤……………………4分∴该不等式解集为{}33≤≤-x x . …………5分（Ⅱ）令112)(---=x x x f ，有题意可知：min ()af x ≥……………………2分若要功夫深，铁杵磨成针！又1,21()32,12,1x xf x x xx x⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩21min)(-=∴xf，……………………4分1-2a∴≥. ……………………5分。

重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B.-1C. 2D.-2 2．已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1-e3．已知集合{|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4．复数z 满足| z -1|=1,则| z |的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1, 2,3, 4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186．如图1,在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为P C 的中点，则异面直线P D 与BE 所成角的余弦值为 A.35B.3010 C.1010D.310107．科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243 B.43243C.163243 D.398．已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于g ( x ) 下列说法正确的是 A ．定义域为( 0 ,+∞) B ．值域为(0, +∞) C ．g (x )为减函数 D ．g (x )为奇函数10．已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．2π为f (x )的周期C ．f ( x )的值域为[ -2,2]D ．f (x )的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有A. 三棱锥P –A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12．设a >0, b >0, a +b = 1, 则A ．a 2 +b 2的最小值为12B ．4a +1b的范围为[ 9 , +∞)C ．ab的最小值为2 2 D ．若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．二项式5()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额y (万元)的几组对应数据如下表所示:x 1 2 3 4 y356ac15．已知双曲线()222:10y C x b b-=>左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =16．在在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b ,c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b =, a +2c 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．( 本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[ 50, 60) , [ 60,70) , [ 70,80) , [ 80 ,90) , [ 90,100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示. （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．( 本小题满分 12 分） 在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②3sin =c a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积，若. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为2 , 求△ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；的（2）S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .20．( 本小题满分 12 分） 已知函数f ( x ) = ax 2-2ln x .（1）当 a = 1时，求y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； （2）若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21．( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且∠B =π3，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于l .（1）求证：l //MN ;（2）P 为l 上的一个动点，求平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22． ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A , B ,且AB ⊥OB ，O 坐标原点． （1）求椭圆的离心率e ;（2）若b =l ，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P , Q 两点，( i ) 求k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值．重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBAD BBBC二、多选题ABC BC BCD ABD三、填空题37．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，故面积之差为214827⎛⎫=⎪⎝⎭，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2k x x=+有唯一解，令()23cos2h x x x=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k ＝1，故选C．11．A选项111111326P A BD A PBDV V--===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C2B选项正确；由等体积法知：点P到平面A1BD，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈⎣⎦，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的球心为B1D锥P-A1BD，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122a ba b++=≥，当且仅当12a b==时取等，知A正确；B选项：()41414559b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭≥，当且仅当223a b==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C11a b++==121219412222+=+=，C选项不正确；D选项：()2223314224a a ba a bab ab b a+++-=-=+≥．当且仅当b＝2a，13a=，23b=时取等，()231112414811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+-++⎪--⎝⎭≥≥，当且仅当32c =时取等，选项D 正确，故选ABD ． 17．解：（1）（0.012＋0.024＋0.04＋a ＋0.008）×10＝1，∴a ＝0.016，∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，100]共0.008×10×50＝4（人）． ∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人． ξ的取值为0，1，2．()3436C 10C 5P ξ===，()214236C C 31C 5P ξ===，()124236C C 12C 5P ξ===，∴()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，∵由正弦定理得a b cb c b a+=--， ∴a （b-a ）＝（b ＋c ）（b-c ），即a 2＋b 2-c 2＝ab ，∴1cos 2C =，∵C ∈（0，π），∴π3C =．选②：由正弦定理得sin sin C A =cos 1C C =+， π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵C ∈（0，π），∴ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ66C -=，∴π3C =．选③：2S CB =⋅，sin cos ab C C ，∴tan C C ∈（0，π），∴π3C =． （2）在△BCD 中，由余弦定理知a 2＋（2b ）2-2×a×2b×cos60°＝22， ∴a 2＋4b 2-2ab ＝4≥2·a·2b -2ab ＝2ab ，∴ab≤2，当且仅当a ＝2b ， 即a ＝2，b ＝1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积1sin 2S ab C ==． 19．（1）解：2n a ，12n a +，22n a +构成等比数列，∴()122222n n n a a a ++=⋅，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是一个等差数列，由a 2＝2，a 5＝5，3d ＝a 5-a 2，∴d ＝1，a 1＝1，a n ＝a 1＋（n-1）d ＝n ．（2）证明：22n a n =，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴()12122212n n n S +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴1223341221111111112222222222222222n n n n b b b ++++++=-+-++-=-<-------． 20．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2-2lnx ，f （1）＝1，()2'2f x x x=-，k ＝f′（1）＝0，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝1．（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()2212'2ax f x ax x x-=-=．①当a≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在[1，3]上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴a≤0；②当a＞0时，f′（x ）＞0，x >，∴f （x ）在⎛⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， 1，a≥1时，f （x ）在[1，3]上单增，()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去；3，109a <≤时，f （x ）在[1，3]上单减，()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤；（ⅲ）当13<<，119a <<时，f （x ）在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()11,413,4f f ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤14a ≤，∴1194a <≤， 综上，14a ≤．法二：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，212ln 4xa x +≤，令()212ln 4x g x x+=，()334ln 2'x g x x -=，g′（x ）＞0，381e x <<， ∴g （x ）在[1，38e ]上单增，[38e ，3]上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x =≤． 21．（1）证明：∵EM ENEC ED=，∴MN ∥CD ， ∵MN ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，∵平面AMN 与平面ACD 相交于l ，MN ⊂平面AMN ，∴l ∥MN ．（2）解：AB ∥CD ，由（1）可得MN ∥CD ，∴AB ∥CD ，∴A ，B ，M ，N 四点共面， 平面AMN∩平面ACD ＝AB ＝l ，∴P 在AB 上，如图，取AC 的中点为O ，π3B ∠=，则BO ⊥AC ，EO ⊥AC ，平面EMC ⊥平面ACD ， 平面EAC∩平面ACD ＝AC ， ∴EO ⊥平面ACD ．法一：以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，-1，0），B0，0），C （0，1，0），D（0，0），E （0，0设AP AB λ=，),1,0Pλ-，则(0,1,EC =，()3,2,0CP λλ=-，平面EPD 的法向量(),,n ab c =，则()0,320,EC n b CP n a b λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令c ＝λ，则a ＝2-λ，b =， ()2,n λλ=-，平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，∴cos ,n m <>=，∵平面PEC 与平面ACD 所成角为锐二面角，令λ＞0，∴1cos ,2n m <>===， 当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角有最小值π3． 法二：EO ⊥平面ACD，且EO =O 作OF ⊥PC 于F ，连接EF ， 则EF ⊥PC ，∴∠EFO 为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴tan EO OF θ==，当OF 最大时，θ最小， ∵OF ⊥FC ，∴F 在以OC 为直径的圆上，当F 与C 重合时，|OF|max ＝1，∴tan OE OF θ==， ∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a ，||2a OB =，π6BAF ∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225a b=，a =，∴2c b =，∴c e a =． （2）（i ）由（1）可得b ＝1，a C ：2215x y +=，设直线l：2x =+，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 3，y 3）． ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立直线l 与椭圆C的方程：222,55,x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810y +-=，Δ＞0恒成立，12y y +=，1218y y =-，∴))12121212522348x x y y y y =++=+++=， ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设NM NQ λ=，()01NM NQ λλ=<<，1133,22x y NM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2323,NQ x x y y =--，()()13231323,2,2x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴()()123123221,221,x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()31231212,2112,21x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴221155x y +=，222255x y +=，223355x y +=，()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+=--，∴()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由（ⅰ）可知x 1x 2＋5y 1y 2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38λ=， ∴38NM NQ =．。

2021年高三上学期周练（7.8）数学试题含答案一、选择题：共12题每题5分共60分1．已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O三点，且．关于的方程的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形2．已知，若，则实数（）A． B．3 C．6 D．83．函数是定义在上的奇函数，当时，则方程在上的所有实根之和为（）A．0 B．2 C．4 D．64．已知直线与双曲线（）的渐近线交于两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值（）A． B． C． D．5．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．326．已知，又若满足的有四个，则的取值范围为（）A． B．C． D．7．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（）A．2 B． C．3 D．8．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的（）A． B．C． D．9．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．10．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．11．已知函数，且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或12．过双曲线左支上一点作相互垂直的两条直线分别经过两焦点,其中一条与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点，，则直线的斜率为．14．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则____________. 15．已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .16．已知函数，若存在，，当时，，则的取值范围是．三、解答题：共8题共70分17．已知函数．（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数，均有1＋＋…＋≥（e为自然对数的底数）．18．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。

2021年高三上学期第三次周考（理）数学试题含答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．2.已知复数（为虚数单位），则等于（）A． B． C． D．3.设是等差数列，若，则等于（）A．6 B．8 C．9 D．164.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编辑为（）A．2 B．3 C．3 D．55．已知向量，且与共线，那么的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A．3 B．-6 C．10 D．128．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．9．函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是（）A． B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线的斜率分别为，则等于（）A． B． C．1 D．212．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分）13.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．14.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据，因书写不清，只记得是内的任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．（残差=真实值-预测值）．15.数列的通项为，前项和为，则________．16.设为的导函数，是的导函数，如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递增，在区间单调递减，则称为的“上趋拐点”；如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递减，在区间单调递增．则称为的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是_______．（只写出正确结论的序号）①0为的“下趋拐点”；②在定义域内存在“上趋拐点”；③在上存在“下趋拐点”，则的取值范围为；④是的“下趋拐点”，则的必要条件是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分）17.（本小题满分12分）已知向量,若函数，（1）求时，函数的值域；（2）在中，分别是角的对边，若，且，求边上中线长的最大值．18.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分，现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为，设为坐标原点，点的坐标为，记．（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．19.如图，在直角梯形中，平面，．（1）求证：平面；（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．20.已知两点,动点与两点连线的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21.已知函数，；（取为2.8，取为0.7，取），（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：．22.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由．23.（本小题满分10分）已知，（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：．参考答案1～12． BAAB DCCA ABBA13． 14． 15．200 16．①③④17．试题解析：（1），值域； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．试题分析：（1）∵可能的取值为1、2、3，∴，（2）的所有取值为0，1，2，5．∵时，只有这一种情况，时，有1,12,12,33,3x y x y x y x y ========或或或四种情况，时，有两种情况．∴142(0),(1),(2),999P P P ξξξ====== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则随机变量的分布列为：1 12 5因此，数学期望，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列及期望．19．解：（1）如图，作，连接交于，连接，∵且，∴，即点在平面内．由平面，知．∴四边形为正方形，四边形为平行四边形，∴为的中点，为的中点．∴，∵平面，平面，∴平面．（2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 则，设，∴，设平面的一个法向量为，则，令，得，∴．又∵平面，∴为平面的一个法向量， ∴2023cos ,cos 621(2)14n AE y π===⨯-++，解得， ∴在直线上存在点，且，即二面角的余弦值是．考点：线面垂直、二面角20.试题解析：（1）设点的坐标为，则，依题意，所以，化简得，所以动点的轨迹的方程为．注：如果未说明（或注），扣1分．（2）设能构成等腰直角，其中为，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，（不妨设），则所在直线的方程为联立方程，消去整理得，解得，将代入可得，故点的坐标为．所以2814HM k==+， 同理可得，由，得，所以，整理得，解得或，当斜率时，斜率-1；当斜率时，斜率；当斜率时，斜率，综上所述，符合条件的三角形有3个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：圆锥曲线的综合应用．21．解析：（1）由，得；∵在上递增，∴对，都有，（求出导数给1分）即对，都有，∵，∴；故实数的取值范围是．（2）设切点，则切线方程为：， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即， 令，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---； 令，则．当时，在上递减；当时在上递增，∴，故的最小值为-1．（3）由题意知：，，两式相加得：，两式相减得：，即， ∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即， 不妨令，记，令，则．∴在上递增，则，∴，则，∴，又1212121212122()ln ln lnx xx x x x x xx x+-<-==∴，即，令，则时，，∴在上单调递增，又1ln210.8512e=+-=<，∴1lnG=>>∴，即．22．试题解析：解：（1），，（2）消得，，所以无公共点考点：参数方程化为普通方程，直线与抛物线位置关系23．（1），（2）∵，∴只需证明：，成立即可；，333422m n m n≤---=--=，∴，故要证明的不等式成立．32676 7FA4 群K32845 804D 聍G24277 5ED5 廕33291 820B 舋 39542 9A76 驶31505 7B11 笑930081 7581 疁._H。

2021年高三上学期数学周练试卷（文科）（12.8）含答案一、选择题1、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间（）A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内2、已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.3、下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )①有两个不同的零点②是偶函数③④A．①②B．①④C．③④ D．②③4、已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（）A． B． C．4D．35．已知a＝，b＝，，则a，b，c三者的大小关系是( )A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a6、若，则的值为（）A． B． C．D．7、△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，且B＝30°，△ABC的面积为，那么b为( )A．1＋B．3＋C. D．2＋8、已知数列的前项和为，且，则 ( )A．－16 B．16 C．31 D．32 9、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A． B． C． D．10、下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时,g(1)=0且＞0,则不等式g (x)f(x) >0的解集是（）A. (-1, 0)∪(0,1)B. (-1, 0)∪(1,+ ∞)C.(-∞, -1)∪(1,+ ∞)D.(-∞, -1)∪（0,1)12、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形; ②四边形BFD1E有可能为菱形; ③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形; ④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D;⑤四边形BFD1E面积的最小值为. 其中正确的是( )(A)①②③④ (B)②③④⑤ (C)①③④⑤ (D)①②④⑤二。