2018-2019学年度高三一轮复习理科数学周测卷(十八)(含解析)

专题测试二 三角函数、平面向量、复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设复数z ＝2－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为-z ，则在复平面内i -z 对应的点的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解析：选 C.∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i -z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.318 B ．1318 C.322D ．1322解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.3．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D ．25i 解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25. 4．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8B ．g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．g (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8D ．g (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 解析：选B.由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin 2x ，将函数f (x )的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，则g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 5．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．π，2－ 2 B ．π，0 C ．2π，0D ．2π，2－ 2解析：选A.y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.∵ω＝2，∴T ＝2π2＝π，则函数的最小正周期为π.令2x ＋π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－3π8(k ∈Z )时，y min ＝2－2，则函数的最小值为2－ 2. 6．在锐角三角形ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.由题意得12·AB ·AC ·sin A ＝3，即12×4×1×sin A ＝3，故sin A ＝32.因为A 为锐角，所以A ＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×cos 60°＝2.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4B ．15C ．3D ．17解析：选D.由题意求出cos C ，利用余弦定理求出c 即可．∵cos(A ＋B )＝13，∴cos C＝－13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，cos C ＝－13，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17，∴c ＝17.8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6 B ．π3C.π2D ．2π3解析：选B.∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，即b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理得cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ． (0，2]解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝13，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不符合题意，排除D ；令ω＝13⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，7π12，不符合题意，排除B ，C.故选A.法二：y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥2k π＋π2ωπ＋π4≤2k π＋3π2k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54＝2k －34＜0，k ∈Z 得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54，故选A. 10．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件．11．将奇函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )A ．6B ．3C ．4D ．2解析：选A.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，－π2<φ<π2是奇函数，得φ＝0，则将y ＝A sinωx ，ω>0的图象向左平移π6个单位得到y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋πω6，ω>0的图象．其图象关于原点对称，所以πω6＝k π，k ∈N *，ω＝6k ，k ∈N *，当k ＝1时，ω＝6 ，故选A.12．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A ．2 B ．1 C.12D ．13解析：选B.设AB 的中点为D ，∵OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴O 为中线CD 的中点，∴△AOC ，△AOD ，△BOD 的面积相等，∴△AOC 与△AOB 面积之比为1∶2，同理△BOC 与△AOB 的面积之比为1∶2，∴△AOC 是△ABC 面积的14，∴△AOC 的面积为1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在上的零点个数为 ．解析：∵T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由f (x )＝0，得2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π2＋π6，k ∈Z ；∴函数f (x )在上的零点有π6，23π，76π，53π共4个．答案：414．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 ．解析：因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，所以AD →·AB →＝22.答案：2215．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ．解析：由题意知π3为函数f (x )＝cos ωx (ω>0)周期的正整数倍，所以π3＝k ·2πω(k ∈N *)，ω＝6k ≥6，故ω的最小值为6.答案：616.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝ ．解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，即BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝152(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152×3＝156(m)．答案：156m三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0的最大值是2，其图象相邻对称轴之间的距离为π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (α)＝3，求α.解：(1)因为函数的最大值为2，所以A ＝2，又因为相邻对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)因为f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以2α－π6＝π3或2π3，解得α＝π4或5π12.18.(12分)如图，一建筑物AB 的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，求通信塔CD 的高．解：如图，过点A 作AN ⊥CD 于点N ，在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin （45°－30°）＝30－1036－24＝20 6.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°，在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD 的高为60 m.19．(12分)设向量m ＝(cos α，1)，n ＝(sin α，2)，且m ∥n ，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin α；(2)若sin(α－β)＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β.解：(1)∵m ∥n ，∴2cos α＝sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14sin 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＞0，∴sin α＝255.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2.∵sin(α－β)＝35，∴cos(α－β)＝45.又sin α＝255，∴cos α＝55.∴cos β＝cos＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×45＋255×35＝255. 20．(12分)三角形的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )∴2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )． ∴cos A ＝32，A ∈(0，π)，A ＝π6设CM ＝m ，则AC ＝2m .在△ACM 中，7＝4m 2＋m 2＋2m 2，∴m 2＝1，m ＝1，m ＝－1(舍去)， ∴AC ＝BC ＝2∴S △ABC ＝12CA ·CB ·sin 23π＝12×2×2×32＝ 3.21．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，cos x ＋sin x ，b ＝(1，cos x －sin x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos 2x －sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos 2x ＝cos 2x cosπ3＋sin 2x sin π3＋cos 2x ＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )． (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝12，因为A 为△ABC 的内角，由题意知0<A <23π，所以π3<2A ＋π3<53π，因此2A ＋π3＝56π，解得A ＝π4，又a ＝2，B ＝π3，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝ 6.由A ＝π4，B ＝π3，可得sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32.22．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .(1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解：(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab，又因为sin 2C ＝2sin A sin B ，则由正弦定理知c 2＝2ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝2ab 4ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3， 由已知，得2πω＝π，ω＝2，则f (A )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3， 因为sin 2C ＝2sin A sin B ，C ＝π3，所以2sin A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝34，整理得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝14. 因为0<A <2π3，所以－π6<2A －π6<7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝±154.f (A )＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－π6＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6×32－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6×12.当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝154时，f (A )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14×32－154×12＝3－358， 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－154时，f (A )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14×32＋154×12＝3＋358， 故f (A )的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－358，3＋358.。

1 2
，
1 2
，则下列结论正确的是
A． a = b %%
B．
a·b=
1 4
C． a∥b
D．（a-b）·b=0
6. 在各项均为正数的数列 ，an ，中，a1=2，an+21 -2an+1an-3a2n =0，Sn 为 ，an ，的前 n 项和，若 Sn=242，
则 n=
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
7.“α= π +2kπ，k∈Z”是“2cos2α+cosα-1=0”的 3
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
埸 埸 埸 埸 8. 已知实数 x，y 满足
1 2
x
>
1 2
y
，则下列结论一定成立的是
A. cosx<cosy
B.
1 x2+1
<
1 y2+1
16． 对于函数 （ f x），若存在区间 A=［m，n］，使得 y y=（ f x），x∈A =A，则称函数 （ f x）为“可等
域函数”，区间 A 为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：
①（ f x）= x ；
②（ f x）=2x2-1；
③（ f x）= 1-2x ；
④（ f x）=log（ 2 2x-2）．
C. ln（x2+2）<ln（y2+2）
D. x3<y3
9.
已知函数 （ f x）=cos2x+姨 3
sinxcos（π+x）-
1 2
，则函数 （ f x）的一个单调递减区间是

专题测试三 数列、不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：选C.∵数列{a n }是等比数列，S 3＝a 2＋10a 1且a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9， ∵a 1≠0，∴q 2＝9，a 1＝9q 4＝981＝19，故选C.2．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4B ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋14>lg aC ．a 2＋b 22≥a ＋b2D ．1a 2＋1b2＋ab ≥2 2解析：选B.a 2＋2ab ＋b 24＝a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立，C 恒成立；∵a >0，b >0，∴1a 2＋1b 2≥21a2·1b 2＝2ab ，当且仅当1a 2＝1b 2时等号成立，又2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，∴1a 2＋1b2＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号，D 恒成立．故选B.3．在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 2·a 9的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．36解析：选 C.∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 2＋a 9)＝30，∴a 2＋a 9＝6.∵a n ＞0，∴a 2·a 9≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922＝9，当且仅当a2＝a 9时取等号，则a 2·a 9的最大值等于9，故选C.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3解析：选B.因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3ab≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a＋3ab≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.5．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等方比数列．已知甲：{a n }是等方比数列，乙：{a n }为等比数列，则命题甲是命题乙的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C.由数列{a n }是等方比数列不能得知{a n }为等比数列，如取数列1，－1，1，－1，－1，易知该数列是等方比数列，显然不是等比数列；反过来，由{a n }为等比数列可得知a 2n ＋1a 2n＝p ，此时数列{a n }是等方比数列．综上所述，命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选C.6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤7x －y ≤－2x －1≥0，则目标函数z ＝yx的最大值为( )A.95 B ．3 C ．6D ．9解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可得，在点B (1，6)处目标函数取得最大值，且z max ＝61＝6.7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2解析：选 C.在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，选C.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．2n－1 C ．3n －1D ．12(3n－1) 解析：选C.由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即S n ＋1S n＝3.所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列，所以S n ＝3n －1，故选C.9．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 解析：选D.由c n ∥b n 得，na n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n，所以a n ＝na 1，故数列{a n }是等差数列，选D.10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n最小值为( )A.32 B ．53 C.256D ．不存在解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，因为a 7＝a 6＋2a 5，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1，因为数列{a n }每一项都为正项，所以q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝4a 1，所以2m ＋n＝64，即m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ·(m ＋n )＝16⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋n m ＋4m n ≥32，当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝2，n ＝4时，取等号，所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A.11．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n 1n n ＋1x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2 015＋x 2 016的值为( )A ．9 394B ．9 380C ．9 396D ．9 408解析：选D.由题意知x n ＋1＝f (x n )，则x 2＝f (x 1)＝f (2)＝4，x 3＝f (x 2)＝f (4)＝8，x 4＝f (x 3)＝f (8)＝2，x 5＝f (x 4)＝f (2)＝4，所以数列{x n }是周期为3的周期数列．所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2 015＋x 2 016＝672(x 1＋x 2＋x 3)＝672×(2＋4＋8)＝672×14＝9 408，所以选D.12．已知函数y ＝x 33＋mx 2＋（m ＋n ）x ＋12的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ，n )表示的平面区域为D ，若函数y＝log a (x ＋4)(a >1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．．答案：(－∞，7]15．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为 ．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据图形可知，只有直线z ＝x ＋y 在第一象限与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切时z 最大．根据|1＋1－z |2＝2，解得z ＝4(z ＝0舍去)，故所求的最大值为4.答案：416．下表给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 53＝ ．14 12，14 34，38，316 …解析：由题意可知第一列的首项为14，公差d ＝12－14＝14，第二列的首项为14，公差d ＝38－14＝18，所以a 51＝14＋4×14＝54，a 52＝14＋3×18＝58，所以第5行的公比为q ＝a 52a 51＝12，所以a 53＝a 52q ＝58×12＝516.答案：516三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b .(1)当不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)＜0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f (x )＞0即－3x 2＋a (5－a )x ＋b ＞0， ∴3x 2－a (5－a )x －b ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋a （5－a ）－b ＝027－3a （5－a ）－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)f (2)＜0，即－12＋2a (5－a )＋b ＜0， 则2a 2－10a ＋(12－b )＞0对任意实数a 恒成立， ∴Δ＝100－8(12－b )＜0，∴b ＜－12.∴实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 18．(12分)设数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，数列{b n }满足b n ＝1（n ＋1）log 2a n＋n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4. 由S n ＝2n ＋1得S n －1＝2n(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n(n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)当n ＝1时，b 1＝12log 24＋1＝54，∴T 1＝54.当n ≥2时，b n ＝1（n ＋1）log 22n ＋n ＝1n （n ＋1）＋n ＝1n －1n ＋1＋n ， T n ＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n －1n ＋1 ＋(2＋3＋4＋…＋n )＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n －1n ＋1＋(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝34－1n ＋1＋n （n ＋1）2， 上式对于n ＝1时也成立，∴T n ＝34－1n ＋1＋n （n ＋1）2.19．(12分)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(12分)已知数列{a n }满足S n ＝n2a n (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 2＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n （n 为奇数）a 2n （n 为偶数），求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)由题意S n ＝n 2a n 得S n ＋1＝n ＋12a n ＋1，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即(n －1)a n ＋1＝na n ，∴n ≥2时，(n －2)a n ＝(n －1)a n －1， 得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n . 即n ≥2时，a n ＋1＋a n －1＝2a n ， ∴{a n }为等差数列．由S n ＝n2a n 可得a 1＝0，又a 2＝2，∴a n ＝2(n －1)．(2)由条件b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n （n 为奇数）a 2n （n 为偶数）知，当n 为奇数时，b n ＝a n ＝2(n －1)，当n 为偶数时，b n ＝a 2n ＝2(2n －1)＝2n ＋1－2.∴T 2n ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝2＋(23＋25＋…＋22n ＋1)－2n＝2n 2－2n ＋22n ＋33－83－2n ＝22n ＋3＋6n 2－12n －83.21．(12分)已知f (x )＝x 2－px ＋q ，其中p ＞0，q ＞0. (1)当p ＞q 时，证明f （q ）p ＜f （p ）q； (2)若f (x )＝0在区间(0，1)，(1，2)内各有一个根，求p ＋q 的取值范围；解：(1)证明：f （q ）p ＝q 2－pq ＋q p ＝q 2＋q p －q ，f （p ）q ＝p 2－p 2＋qq ＝1，∴f （q ）p －f （p ）q ＝q 2＋q p －q －1＝（q ＋1）（q －p ）p，∵p ＞q ＞0，∴（q ＋1）（q －p ）p ＜0，即f （q ）p －f （p ）q＜0，∴f （q ）p ＜f （p ）q. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0f （1）＜0f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＞01－p ＋q ＜04－2p ＋q ＞0，又p ＞0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由线性规划的知识可知，1＜p ＋q ＜5.22．(12分)(2015·高考安徽卷)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .解：(1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 所以数列{x n }的通项公式x n ＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2＞（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n ， 所以T n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得，对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n .。

[ ] ( ) [ ) ( ) 3
A. 1,2
3
B. 1,2
C.
(−∞,1) ∪
3
2, + ∞
D.
(−∞,1) ∪
3
2, + ∞
【答案】A
{1
【解析】因为p:1 ≤ x ≤ 1,q:a−1 ≤ x ≤ a，所以由题意可得： a−1 ≤ 2⇒1 ≤ a ≤ 3，应选答案 A。
2
a≥1
2
10. 已知命题p:∀x ∈ [1,2],x2−a ≥ 0，命题q:∃x ∈ R,x2 + 2ax + 2−a = 0.若命题p且q是真命题，则实数a的取值
2
点集，所以A ∩ B = Φ；当B = Φ时，则A ∩ B = Φ；由于{y|y = log2( - x2 + 2x + 1)} = R，所以A ∩ B ≠ Φ，
应选答案 D。 9. 设p: 2x−1 ≤ 1,q:(x−a)[x−(a−1)] ≤ 0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
D. ∃x20 ≥ 1,x0 ≥ 1
【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以¬p为∃x20 < 1,x0 < 1，应选答案 B。
4. 已知集合A = {x|x−x2 ≥ 0},B = {x|y = lg(2x−1)}，则集合A ∩ B = （ ）
[ ) ( ] ( ) 1
A. 0,2
1
B. [0,1] C. 2,1
范围为（ ）
A. (−∞,−2] ∪ {1} B. (−∞,−2] ∪ [1,2] C. [1, + ∞) D. [−2,1]
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，命题p: ∀x ∈ [1,2],x2−a ≥ 0为真命题时，及∀x ∈ [1,2],a ≤ x2恒成立，所以a ≤ 1；命题q: ∃x ∈ R,x2 + 2ax + 2−a = 0为真命题，则Δ = (2a)2−4(2−a) ≥ 0，解得a ≥ 1或a ≤ −2，所以若命题“p ∧ q”是真命题，实数a的取值范围是(−∞,−2] ∪ {1}，故选 A．