【小初高学习】高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值导数与函数的单调性教案2
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导数与函数的单调性（二）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定
教学难点：函数单调区间的求法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1．情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画．2．问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？
（二）、学生活动：结合一个单调函数的图象，思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号．
（三）、建构数学
如果函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数，那么对任意1x ，2x ∈(,)a b ，当1x <2x 时，12()()f x f x <，即1x -2x 与12()()f x f x -同号，从而
1212
()()0f x f x x x ->-，即0y x ∆>∆． 这表明，导数大于0与函数单调递增密切相关． 一般地，我们有下面的结论：设函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上()0f x '=，那么()f x 为该区间上的常数函数．
上述结论可以用下图来直观理解．
思考：试结合3y x =：如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '> 吗？ 说明：若()f x 为某区间上的增（减）函数，则在该区间上()0f x '>（()0f x '<）不一定成立．即如果在某区间上()0f x '>（()0f x '<）是()f x 在该区间上是增（减）函数的充分不必要条件．
（四）、知识运用
1、例题探析：例1、确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：()24f x x '=-．令()0f x '>，解得2x >．因此，在区间(2,)+∞内，()f x 是增函数．
同理可得，在区间(,2)-∞内，()f x 是减函数（如左图）．
例2、确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间内是增函数．
解：2()612f x x x '=-．令()0f x '>，解得0x <或2x >．
因此，在区间(,0)-∞内，()f x 是增函数；在区间(2,)+∞内，
()f x 也是增函数．
例3、确定函数()sin f x x =，[0,2]x π∈的单调减区间．
解：()cos f x x '=．令()0f x '<，即cos 0x <，又[0,2]x π∈，所以3(
,)22x ππ∈． 故区间3(,)22ππ
是函数()sin f x x =，[0,2]x π∈的单调减区间．注意：所求的单调区间必须在函数的定义域内．
例4、已知曲线323610y x x x =++-，（1）用导数证明此函数在R 上单调递增；（2）求曲线的切线l 的斜率的取值范围．（1）证明：
2223663(21)33(1)30y x x x x x '=++=+++=++>恒成立．
所以此函数在R 上递增．（2）解：由（１）可知2()3(1)33f x x '=++≥，所以l 的斜率的范围是3k ≥．
2、巩固练习：练习册1，2，3．
（五）．回顾小结：函数单调性与导数的关系：函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上()0f x '=，那么()f x 为该区间上的常数函数。
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f (x )的导数f ′(x )。
②令f ′(x ) ≥0解不等式，得x 的范围就是递增区间。
③令f ′
(x )≤0解不等式，得x 的范围，就是递减区间。
（六）、作业布置：1、已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间。
解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f 由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知
.23)(2c bx x x f ++='.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即
.3,0,32.121,623-==⎩
⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f
（Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令
解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数， 在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.
2、已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
解： 依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.5.
)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
五、教后反思：。
