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4、晶体的对称性

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晶体的对称性

晶体的对称性

对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用

晶体结构的对称性

晶体结构的对称性

滑移面—滑移反映操作：由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 一类轴线滑移面a(或b,c)：如图虚线所示，对应的 操作为反映后，再沿a(或b,c)轴方向平移a/2（或 b/2,c/2)；第二类对角 5 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别 4 a 3 是位于纸面的上方和 下方，且距离相等处。 对应的操作使反映后 a 2 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b/2,即 1' 1 b 反映后又平移a/2+b/2
分子对称性与警惕宏观对称性对照表
分子对称性 晶体宏观对称性
对称操作及 其符号 旋转L(a) 反映M 倒反I 对称元素及其 对称操作及其 对称元素及 符号 符号 其符号 旋转 对称轴C 旋转轴n 对称面s
n
反映 反演 旋转反映
反映面或镜 面m 对称中心i 反轴
对称中心i 象转轴Sn
旋转倒反 L(a)I
1.2 晶体结构的对称性
1.2.1 晶体的对称元素和对称操作
晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性，只有4种 类型的对称元素和对称操作。 （1）旋转轴—旋转操作； （2）镜面—反映操作； （3）对称中心—反演操作； （4）反轴—旋转反映操作。 晶体的点阵结构，包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作。
对同一晶体，在划分平行六面体时，由于选择 向量的大小和方向不同，有许多划分方法，也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 二类：素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素，任何晶体 均可划分为素晶胞。如图： 晶胞的基本要素：一个是晶胞的大小和形状， 可用晶胞参数（a,b,c,a,b,g）表示；另一个是晶 胞中原子的位置，通常用分数坐标（x,y,z)表示。 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据a,b,c,选择晶体的坐标轴X,Y,Z，使它们分别 和向量a,b,c平行。因此将a,b,c表示的方向也叫 晶轴。

晶体的对称性

晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name

07-2.3晶体的对称性

07-2.3晶体的对称性
2.3.2.1 点群
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____

晶体的对称性

晶体的对称性

晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。

这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。

晶体的对称性是晶体极其重要的性质。

中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。

应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。

由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。

晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。

这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。

晶体的对称性

晶体的对称性

21
c
开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花?
……从瓷砖铺 地的二维问题 来联想一下:
AB = 2acos = n a 由于-1cos1，所以，n = 0，±1，±2 所以，cos = 0，±1/2，±1； 得到基转角为90o，180º；60º，120º，360º 对应的旋转轴为 1，2，3，4，6对称轴。
晶体中存在3，6；不存在5，7，8
晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称 为晶体的宏观对称性.
32个晶体学点群
将宏观对称元素合理组合得到32个宏子点群与晶体点群的区别： 水 C2V 冰 D6h 苯 D6h 苯晶体 D2h
晶体结构的对称性
晶体结构的对称性
晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组 直线点阵平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 而 与一组直线点阵垂直.
2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 的轴次只有1、2、3、4、6.

晶体的对称性理论

晶体的对称性理论
1、旋转轴-旋转 对称要素：旋转轴，符号 n 对称动作：旋转 符号：L(α),α为基转角， n为旋转轴的轴次，即阶次，二者的关系 n=360°/α 特点：一条线不动，旋转能使相等图形重合，不能 使左右手重合。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。

晶体的对称性

晶体的对称性

（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平
移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是
轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面：若经过某面进 行镜象操作后，再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后，晶体能自身重合，
则称此面为滑移反映面。 T是平行
B1



A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
高 立 立方的 方 体对角 线方向
29

23 43,32 2 43,32,3m, i m3
432 43,34,62
43m 2 4
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点

晶体的对称性

晶体的对称性

点式操作组合定理
定理1：如果有一个二次轴2垂直N次轴n，则必有N个2垂直 n。 定理2：如果有一个对称面m包含n，则必有N个m包含n 定理3：如果有一个偶次轴垂直对称面m，则必在对称轴与 对称面的交点上产生一个对称中心。
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 三斜 1,`1 单斜 2,m,2/m 正交 2，m 四方 4,`4， 4/m 三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m 方向 第二位 可能对称 元素 无 2，m Y 无， 2，m X 方向 第三位 可能对称 元素 无 无 2，m Z 无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线 方向 1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m 点群(32个）
点群
八个基本对称操作
m, 2, 3, 4, 6, 1, 4, 6
那么，在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的 组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做 “对称群”。因为上述对称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时 总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群”。一 个晶体上可以同时存在多个对称要素，这些对称要素共存时一定要符合对 称要素组合定理，不能任意共存。 人们经过长期研究的结果，发现这八种对称元素共有32种组合方式，即 32种点群。这32种点群对应于晶体的32种宏观对称类型，就是说自然界 千千万万种晶体，可以归纳为32种宏观对称类型。
对称（ symmetry ）告诉我们原子所在乊处具有的对称元素。

晶体的对称性

晶体的对称性

x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23

a31
a32
a33

（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴

晶体对称性

晶体对称性

晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。

其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。

接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。

举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。

2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。

其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。

二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。

2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。

其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。

三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。

2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。

此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。

四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。

四方晶系对称特点

四方晶系对称特点

四方晶系对称特点
四方晶系是晶体学中常见的一种晶体结构类型，其特点主要如下： 1. 对称轴：四方晶系中存在4个对称轴，包括4条4倍轴，每
条轴相互垂直，交于晶体的中心。

2. 中心对称：四方晶系具有中心对称性，即晶体中心点是对称的，分子或原子在晶体中心点处有旋转对称性。

3. 等价性：四方晶系中所有的晶面和晶轴都是等效的，没有任
何一个方向优于其他方向。

4. 六重旋转轴：四方晶系中具有一个6倍轴，它垂直于其他4
条轴，并且与晶体中心重合。

5. 勒贝格点阵：四方晶系中的原子或分子排列成勒贝格点阵，
即晶体单元中的原子或分子排列方式相同。

总的来说，四方晶系具有高度的对称性和等价性，因此在材料科学、化学等领域中具有广泛的应用。

- 1 -。

晶体的对称性

晶体的对称性

点群的Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴； Sn ： n次旋转－反映轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面； d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
两点距离不变的变换： ⎛ x ' ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x ⎞
数学上可以写作：
⎜ ⎜⎜⎝
y z
' '
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
a21 a31
a22 a32
a23 a33
⎟⎟⎟⎠i⎜⎜⎜⎝
y z
⎟ ⎟⎟⎠
其中 Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis)
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对 称性。
其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实 空间的投影
黄昆书 47-48 陈长乐书 20-22
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数
边长有两种取值：1， 1+ 5 = 1.618
2
二十面体AlPdMn表面的STM图像
D2、C2V、D2h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C6、C3h、C6h、 D6、C6V、D3h、
D6h T、Th、Td
O、Oh
P、C P、C、I、
F R P、I
H

晶体化学(晶体对称性)

晶体化学(晶体对称性)

划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：

晶体的对称性

晶体的对称性

一个具有２１的图形
21所对应的对称操作群为：
L(π )T (t ),[ L(π )T (t )]2 = T (2t ),[ L(π )T (t )]3 = L(π )T (3t ) ⋅ ⋅ ⋅
τ = a = 2t 是基本向量。对称操作有无穷多个。 螺旋轴中的一些对称操作包括在平移群Ｔ内。
续表：
特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
对称 晶 性的 高低 系 四 方
4
a=b≠c α = β = γ = 90 o
D2d
c4 v
4 mm
42m 422 mmm
4 ,4 m
4 ,2 2 ,2 m
4 , 4 2 ,5 m , i
3 + i = 3, 3 + mh = 6
4
２．晶体的宏观对称元素的组合与３２个晶 体学点群
由上述的 8种独立的宏观对称元素按一定的规则 （即对称元素至少要通过一个公共点；组合时不能 出现 5次轴及大于6的对称轴）进行组合，总共有32 种组合形式，称为32个晶体学点群。晶体的宏观外 形不论形状如何，必属于这32个晶体学点群中的某 一个。
描述分子对称性与晶体宏观对称性所常用的对称 元素及相应的对称操作对照表
分子对称性 对称元素 符号 对称轴 Cn 对称面 对称操作 符号 晶体宏观对称性 对称元素 符号 旋转轴 n 反映面 或镜面 对称操作 符号 旋转 反映 倒反
ˆ 旋转 C
n
L(α )
M I
σ
反映 反演
ˆ σ
ˆ i
n
m
对称中心 i 象转轴
７．２ 晶体的对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称系之 分。前者是指晶体的外形对称性，后者指晶体微 观结构对称性。

晶体结构的特点

晶体结构的特点

晶体结构的特点
晶体结构的特点包括：
1. 有序性：晶体的原子或分子按照一定的规律排列，形成有序的结构。

2. 重复性：晶体的结构单元（晶胞）在空间中周期性地重复出现，使得整个晶体具有无限的空间延伸。

3. 对称性：晶体具有各种对称性，包括旋转对称性、镜面对称性和反射对称性等。

这些对称性使得晶体在物理性质上呈现出一定的规律性。

4. 紧密堆积：晶体的原子或分子通常以紧密堆积的方式排列，以最大程度地填充空间。

5. 晶面和晶向：晶体的表面由一系列平行的晶面组成，而晶体内部有一些特定的方向，称为晶向。

6. 晶体的周期性：晶体的物理性质在晶体内部是呈现出周期性变化的，例如电子结构和光学性质等。

7. 晶体的各向同性：晶体的物理性质在各个方向上是相同的，即晶体的性质与其晶向无关。

8. 晶体的非均匀性：晶体内部的原子或分子的排列存在一定的偏差
和不规则性，使得晶体在微观上不是完全均匀的。

晶体宏观对称性

晶体宏观对称性

a=b=c
四
a = =
方
3
120 90
菱面体晶胞
a=bc
中
三 方
a = = 90 = 120
六方晶胞
点
序 熊夫里 号 斯记号
c4v
D2d
D4h
c3
13
c 14
3i
15 D3
c 16
3v
17
D3d
18
群
4mm
国4际2记m号 422 mmm
3 3 32 3m
3m2
对称元素
4,4m 4,22,2m 4,42,5m, i
a==180° cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+) =2 cosu=cos=0 u= =90 ° OC垂直两二次反轴，即OC垂直两对称 面旳法线OC平行于两对称面，OC是两对称面旳交线
定理四：经过二次旋转轴与对称面之交点并垂直 于该二次旋转轴旳对称面上旳直线恒为一倒转轴， 后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之 余角旳两倍。
总体来说，对称操作（涉及宏观和微观在 内），经研究得知，总共只有七种独立旳形式。
一、宏观对称元素
1）反演中心或对称中心（国际符号i）：为一假想 旳几何点，相应旳对称变换是对于这个点旳反演 （倒反，反伸）。
F1 1
C
2
F2
2）反应面或对称面（国际符号m）：为一假想旳 平面，相应旳对称操作为对此平面旳反应。
对称轴旳种类
名称
国际 符号
一次对称 1
二次对称 2
三次对称 3
四次对称 4
六次对称 6
基 转 角（） 轴 次（n）作图符号
360 °
1
180 °

晶体的对称性(4).

晶体的对称性(4).

学年论文题目：晶体的对称性学院：物理与电子工程学院专业：材料物理学生姓名：..............学号：.............指导教师：..............简短评语评定成绩：＿＿＿＿指导教师：＿＿＿＿＿晶体的对称性姓名：杨亚东指导老师：李金赟届别：2016 专业：材料物理班级：材料物理1班学号：201272040125摘要：对称性在物理研究的应用中非常广泛，从对称性的角度出发，可以研究许多物理问题。

本文则主要是从几个不同的方面对晶体的对称性进行论述。

首先，介绍国内外有关晶体对称性的历史发展过程；其次，从宏观对称性和微观对称性对晶体的对称性做进一步的阐述和说明。

简述对称元素和点对称操作、对称性的基本原理、32种空间点群以及7个晶系和14种布拉菲格子的简单证明。

关键词：晶体的对称性；对称元素；晶系；布拉菲格子；空间群1 晶体对称性的发展历史晶体学属于近代科学，尽管在遥远的古代具有规则多面体的矿物晶体就已引起人们的极大的兴趣和注意，然而在人类的蒙昧时期，瑰丽多彩的晶体却被具有魔力的神话和荒诞不经的迷信所统治，晶体学自17世纪中叶诞生，时至今日已有三百余年的历史。

作为晶体学基础的对称理论的进展更令世人刮目相看。

晶体对称性的历史发展过程可以从两个阶段来系统综述【1】。

1.1 17世纪中叶—19世纪末有关晶体的知识自遥远的古代即有之，“晶体”一词源于希腊文“κρμξταλλσδ”意亦“因冷而凝结的”，即“冰”。

拉丁文为“crystallum”，后转化为“crystal”。

人类对晶体的兴趣最早是从具有各种各样多面体形态开始的，如六角形的雪、八面体的晶刚石等。

晶体知识作为一门科学出现，科学界公认为17世纪中叶，丹麦学者斯丹诺（Nicklaus steno ，1638-1686）率先奠立了第一块基石。

1669年，斯丹诺在对石英和镜铁矿晶体观察之后，首先发现了晶体的面角守恒定律（即斯丹诺定律）。

由于这一定律的发现，人们才在千变万化的晶体外形上找到初步的规律，从而奠定晶体学，特别是几何结晶学的基础。

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(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x

x22

x32

x~
'x'

x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'

x3'

x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
存在2度、3度、4度和6度对称轴。
第 22 页
§1.6晶体的对称性 分别用数字2、3、4、6或符号 ▲ ■ 代表一个n度转轴。 n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。
x1' x1
( x1 , x2, x3 ) ( x1' , x2' , x3' )
x
' 2

r
cos(
)

r ( cos
cos

sin
sin )
x2 cos x3 sin ,
x3' r sin( ) r(cos sin sin cos )
因此，立方体有三个4度轴，六个2度轴和四个3度轴。 （c）表示硅钼酸鉀晶体的6度及2度转轴。
第 24 页
§1.6晶体的对称性 (b) 中心反演
使坐标r变成-r的操作称对原点的中心反演。 经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i 代表。
( x1, x2, x3 ) ( x1, x2 , x3 )
第 31 页
§1.6晶体的对称性
第 32 页
§1.6晶体的对称性
对称素 名称
对称操作（48） 每个对称元素的操作 数目
三条4次轴＜100＞
旋转90,180,270
9
四条3次轴＜111＞
旋转120,240
8
六条2次轴＜110＞
旋转180
6
i 对称心
不动
1
立方对称的48个对称操作
以上操作加反演
24
称为立方点群Oh
第 38 页
§1.6晶体的对称性
应当说明的是,对于宏观晶体而言: n度螺旋轴与n度旋转轴是等价的 滑移面与镜面也是等价的，
因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。
第 39 页
§1.6晶体的对称性
将32种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作, 结 合起来就可以导出230种微观空间群。
第2页
§1.6晶体的对称性
按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8种)
组合而成 对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。 如果基本对称操作中不包括平移，则组成32种宏观对称类型，称为 点群 如果包括平移，就构成230种微观的对称性，称为空间群。 能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。
第 20 页
§1.6晶体的对称性
由几何关系得知A‘B’｜｜AB；
因而，晶体周期性必然要求A‘B’为AB的整数倍，因为AB为此方向上格点 排列的周期。
但从图可见
A'B' AB 2ABcos( ) AB(1 2cos )
因此 1－2cosφ＝m
式中m为整数。由于｜cosφ｜≤ 1，可得到当m为－1、0、1、2、3时， φ
第3页
线性变换
§1.6晶体的对称性
晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质
在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离
如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换
设经过某个操作，把晶格中任一点X变为X’，这操作可表示为线性
变换：
x'j a jk xk , j, k 1,2,3 (1)
第 33 页
§1.6晶体的对称性
2、包括平移的基本对称操作 从微观结构上看，如按照操作后使晶体与自身重合的定
义，晶体中还有螺旋轴与滑移面两类对称性。 在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点
存在，因而它们不属于点群操作。
第 34 页
(1)n度螺旋轴
§1.6晶体的对称性
复合操作:如经绕某轴作n度旋转 + 再沿转轴方向平移t
第1页
§1.6晶体的对称性
在晶格这个物理系统中，一种对称性，是指某些要素互 相等价，而互相等价的要素就是晶格中的几何形体：点、线、 面。 为了清楚地显示出某一种点阵对称性，需要进行相应的 对称操作。 点阵对称操作：假设在某一个操作过后，点阵不变，也 就是每个格点的位置都得到重复，那么这个平移、旋转或镜 反射操作就叫一个点阵对称操作。
变为 ( x1 , x2 , x3 )
1 0 A 0 1
0 0 A 1
0 0 1
我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保 持两点距离不变的变换）。
如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一 个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。
因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必 然受到宏观对称性的制约。 晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果 是只能有32种点群对称。 反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对 称性的限制的结果是只能存在14种布喇菲格子（原胞）。
晶体与自身重合,称此复合操作为n度螺旋轴。
t T l n
T为转轴方向的晶格周期，l为某小于n的整数。晶体只能 有1度、2度、3度、4度、6度螺旋轴。
第 35 页
金刚石结构具有4度螺
旋轴对称
0
§1.6晶体的对称性
1/2
0
取原胞（如图）上下底 面心到该面一个棱的垂线的 中点，联接这两中点的直线 1/2 就是个4度螺旋轴；
§1.6晶体的对称性
第 16 页
§1.6晶体的对称性
第 17 页
§1.6晶体的对称性
第 18 页
§1.6晶体的对称性
第 19 页
§1.6晶体的对称性
四、基本的对称操作 1、不包括平移的基本对称操作 (a)n度旋转对称轴 假设纸面上有一列格点，通过A点有一垂直于纸面的对称轴，当晶 体绕其转动φ 后与自身重合。 在此对称操作作用下，B点转至B‘位置。 由于晶格的周期性，B点应与A点等价，因此在B点必须也存在一转 角为φ的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（－φ）角也必然是一对称操 作。在此操作作用下，A点变至A’点。
第9页
§1.6晶体的对称性
山和水在玩镜面操作
第 10 页
§1.6晶体的对称性
小猫在研究镜面操作
第 11 页
§1.6晶体的对称性
山和水在玩镜面操作
第 12 页
§1.6晶体的对称性
人和牛在玩投影
第 13 页
§1.6晶体的对称性
存在一定变化与对比的对称
第 14 页
§1.6晶体的对称性
第 15 页
它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于 一种特殊的晶格结构。
晶体之星 /
第 40 页
§1.6晶体的对称性
第 41 页
§1.6晶体的对称性
第 42 页
§1.6晶体的对称性
第 43 页
§1.6晶体的对称性
第 44 页
§1.6晶体的对称性
晶体绕该轴转90度后， 再沿该轴平移a/4，能自相 0 重合。
3/4 0
1/4 1/2
1/4 1/2
3/4 0
第 36 页
§1.6晶体的对称性
金刚石结构具有4度螺旋轴对称
第 37 页
(2)滑移反映面
§1.6晶体的对称性
这是对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向 平移T/n周期的对称操作。（T是该方向上的周期矢量，n为2 或4），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。
对称轴度数的符号表
对称轴的度数 2
3
4
6
符号
第 23 页
§1.6晶体的对称性
例如：（a）表示方解石(晶体属 三方晶系的碳酸盐矿物)菱面体的 3度转轴；
（b）表示岩盐立方体的4 度、3度及2度转轴。对于立方 体而言，对面中心的连线为4度 轴，不在同一立方面上的平行 棱边中点的连线为2度轴，而体 对角线为3度轴。
式中
x ix1 jx2 kx3
x'
ix1'
jx
' 2
kx3'