3.1 正整数指数函数 教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一

1 正整数指数函数学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．知识点一 正整数指数函数的概念思考 定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置．梳理 正整数指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性 思考 比较12，(12)2，(12)3的大小，你有什么发现？梳理 函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0<a <1时，在定义域上递减． 知识点三 指数型函数思考 y ＝3·2x ，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？梳理形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．类型一正整数指数函数的概念命题角度1 判断是否为正整数指数函数例1 下列表达式是否为正整数指数函数？(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝e x(x∈N＋)．反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( )A ．y ＝－2x，x ∈N ＋ B ．y ＝2x，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈N ＋ D ．y ＝(12)x，x ∈N ＋命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数例2 已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)·a x，则f (2)等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．16反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件．跟踪训练2 函数y ＝(1－3a )x是正整数指数函数，则a 应满足________． 类型二 正整数指数函数的图像与性质例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质． (1)y ＝2x(x ∈N ＋)； (2)y ＝0.95x (x ∈N ＋)．反思与感悟 通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成． 跟踪训练3 作出下列函数(x ∈N ＋)的图像．(1)y ＝3x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .类型三正整数指数函数的应用例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．跟踪训练4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)1．下列函数：①y ＝3x 3(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x(a >3，x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．a <1 C ．a >1D ．a >23．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( ) A ．增加7.84% B ．减少7.84% C ．减少9.5%D ．不增不减4．函数y ＝(13)x(x ∈N ＋)的值域是( )A ．RB ．正实数C ．ND ．{13，132，133，…}5．正整数指数函数f (x )＝(a －2)(2a )x(x ∈N ＋)在定义域N ＋上是________的．(填“增加”或“减少”)1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集． 2．当a >1时是增函数． 3．当0<a <1时是减函数．4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝2x，x ∈N ＋，自变量在指数上． 知识点二思考 12>(12)2>(12)3，对于y ＝(12)x，x ∈N ＋，x 越大，y 越小．知识点三思考 不是，正整数指数函数的系数为1. 题型探究例1 解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y ＝3－x＝(13)x ，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．跟踪训练1 D [结合正整数指数函数的定义可知选D.] 例2 C [∵f (x )是正整数指数函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，a >0且a ≠1，∴a ＝3，f (x )＝3x.∴f (2)＝32＝9.]跟踪训练2 a <13，且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－3a >0，1－3a ≠1，解得a <13，且a ≠0.例3 解 列表比较如下：跟踪训练3 解 (1)(2)例4 解 (1)已知本金为a 元，利率为r ，则 1期后的本利和为y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )， 2期后的本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2，3期后的本利和为y ＝a (1＋r )3，x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋，即本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y ＝a (1＋r )x，x ∈N ＋. (2)将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式，得y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，即5期后本利和约为1 117.68元．跟踪训练4 解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL ，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.由题意知：0.3(1－50%)x≤0.08， (12)x ≤415.采用估算法， 当x ＝1时，(12)1＝12>415；当x ＝2时，(12)2＝14＝416<415.由于y ＝(12)x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2， 故至少过2小时驾驶员才能驾驶． 当堂训练1．B 2.D 3.B 4.D 5．增加解析 ∵f (x )＝(a －2)(2a )x是正整数指数函数， ∴a －2＝1，且2a >0,2a ≠1， ∴a ＝3，∴f (x )＝6x，x ∈N ＋. ∵6>1，∴f (x )在N ＋上是增加的．。

高中数学北师大版必修一导学案：3.1正整数指数函数【学习目标】1.知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；2 .过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊T一般T特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。

3 .情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

【学习重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。

【学习难点】函正整数指数数图像的特征。

【使用说明与学法指导】1. 通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。

2. 用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。

3.带*号的为选做题。

【自主探究】1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个,，，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：2. 某种商品的价格从今年起每年降低15%设原来的’价格为1, x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为_________________ ;3. 正整数指数函数的概念：一般地，函数________________________________ 叫作正整数指数函数，其中___________ 是自变量，定义域是__________________________ .说明：1 •正整数指数函数的图像是_______________ ,这是因为______________________ .【合作探究】1.判断下列函数是否为正整数指数:网数.⑴尸歹0<EN+)(2)尸了—盟”⑶尸2X爭据EN+)(4)尸症咨T+)(通过练习，让同学们巩固所学的概念)2. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低y随经过年数变化的函数关系式。

P%,写出成本3.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1 %,(A)6 次(B)7 次(C)8 次(D)9 次【巩固提高】1.某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为增长5 %，经过x年，森林面积为yhm2。

《指数函数》教学案例一、相关背景介绍指数函数是高中引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。

课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。

本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。

二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与x y a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a =(0,1a a >≠)叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩ 即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1x a ⋅；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3xy = ⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x x y +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭． [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线． [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3x y =是减函数． [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数x y a =在R 上是减函数，当1a >时，函数x y a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数x y a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <.当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论, 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称.[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺110- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x > ②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5x f x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为1.51>所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5x f x =.因为00.51<<所以() 1.5x f x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而1.200.80.81<= 所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了．例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；⑵已知0.225x <，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2x f x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数． ２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。

课题：正整数指数函数☆学生版☆
学习目标:(）结合实例，了解正整数指数函数的概念
（）能够求出正整数指数函数的解析式，计算一些正整数指数函数值。

（）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫
学习重点：正整数指数函数的定义及图像特征.
学习难点：正整数指数函数的解析式的确定.
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。

将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习
1、阅读课本第页问题，然后填空
从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是数，
而且是变量，取值为数，细胞个数与分裂次数之间的关系式为，细胞个数随着分裂次数的增多而逐渐。

2、阅读课本第页问题，然后填空
从本题中可以看出我们得到的臭氧含量都是数，而
且是变量，取值为数，臭氧含量近似满足关系式为，随着时间的增加，臭氧含量在逐渐。

3、正整数指数函数的定义：
一般地，函数叫做正整数指数函
数，其中是自变量，定义域是。

说明：（）正整数指数函数的图像是，这是因为。

（）在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数
三、合作探究
★探究一：根据正整数指数函数的定义判断下列函数是否为正整数指数函数
，，，，，.
（其中）
★★探究二：画出指数函数（其中）的图像，并归纳正整数指数函数的性质
★★★探究三：课本例题
小结：
四、课堂检测
、课本练习、
、某地区年底人口为万，人口平均每年增长率为，问年底该地区人口约为多少（单位：百万）？。