五年级奥数-平方数
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22=4，32＝9，52＝25…，像4、9、25…这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：
9，36，144，1600，275625。
解：9=32 36=22×32144=32×24
1600=26×52 275625=32×54×72
可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
如36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。
例4、已知2×2×3×A的积是一个平方数，那么A最小是，这个积是的平方。
练习1、已知2×2×3×5×A的积是B的平方，那么A最小是，B是。
练习2、已知12×A的积是B的平方，那么A最小是，B是。
练习3、已知36×A的积是B的平方，那么A最小是，B是。
练习4、一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。
练习6、一个自然数A与2100的积是B的平方，A最小是都是？这时B是多少？练习7、1176×a=b2，a、b都是自然数，求a的最小值，此时b是多少？
6、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。
8、AABB表示一个完全平方数，符合条件的四位数是。
AB8是一个完全平方数，这个完全平方数是。
已知五位数BA
10、把360表示成两个自然数的平方差有许多组，请尽可能多有写出来。
2016翔迪学校五年级第1学期专题（）：平方数
姓名：成绩：
1、判断下列各数，哪些数不可能是完全平方数？哪些可能是完全平方数？
ABC4
46B
AB6431 50
43
不可能是平方数的是。
可能是完全平方数的是。
2、□□1表示一个三位数，在方框上填上合适的数字，使它成为一个完全平方
数，符合条件的所有这样的三位数的总和是。
3、计算：
1+3+5+7+9+11+┅┅2001=
4、在括号中填上合适的自然数，使下面的等式成立。
( )2 + 73 = ( )2
5、从1—2016这2016个自然数中，完全平方数有个。
6、一个自然数a与2550的积是一个完全平方数，a最小是（）？
这个积是（）的平方？
7、两位数AB减去两位数BA的差为某自然数的平方，这样的两位数有（）个？
8、有80枚伍分硬币，把“伍分”字样面向上，编成1、2、3、4、5、6、7、┅
┅79、80这80个号码，小明作翻硬币游戏，第一次把凡是1的倍数的硬币翻动一次，第二次把凡是2的倍数的硬币翻动一次，第3次把凡是3的倍数的硬币翻动一次，┅┅第80次把凡是80的倍数的硬币翻动一次；这样翻动后，哪些编号的硬币“国徽”面朝上？
6、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。
8、AABB 表示一个完全平方数，符合条件的四位数是 。
已知五位数BA AB 8是一个完全平方数，这个完全平方数是 。
10、把360表示成两个自然数的平方差有许多组，请尽可能多有写出来。
5、平方数 解答：
一、解答题
1、 不可能是完全平方数是：43AB ，6431，50ABC 。
（1）完全平方数的末位数字之只能是：0、1、4、5、6、9。
所以43AB 不可能是完全平方数。
（2）奇数的平方个位数字是奇数，十位数字必是偶数，如果6431是完全平方数，则是奇数的平方，十位3不符合偶数要求。
（3）如果末位数字有0的完全平方数，则末位0的连续个数是偶数个。
所以50ABC 不是完全平方数。
446B 可以是完全平方数，当B=2时，4624=68×68。
2、 121+441+961+361+841＝2725
要求末位数字是1，必为□12或是□92。
□12有112=121 212=441 312=961
□92有192=361 292=841 所以121+441+961+361+841＝2725
3、 1002001
从1开始的连续奇数的和是它们个数的平方。
则1+3+5+7+9+11+┅┅2001==[（2001+1）÷2]2=10012=1002001
4、 362+73=372
a 2-
b 2=（a+b ）×（a-b ），所以连续两个数的平方之差是这两个数的和。
73=36+37 则372-3362=37+36=73
5、40804
AB8是一个倒序数，又因为101×101=10201，BA
AB8是完全平方数。
而BA
要求百位数字是8，把10201×22=40804=2022符合题目的要求。
6、15
13500=2×2×3×3×3×5×5×5=22×32×52×（3×5）
7、44个。
1~2002最大的平方数是442=1936，而452=2025>2002。
8、7744
A0，是11的倍数。
要使AABB是一个完全平方数，应因为AABB=11×B
是112=121的倍数，我们可以把121乘以一个数的平方去试验。
121×32=121×9=1089 121×42=121×16=1936
121×52=121×25=3025 121×62=121×36=4356
121×72=121×49=5929 121×82=121×64=7744
121×92=121×81=9801
其中只有121×82=121×64=7744是符合题目的意思。
二、解答题：
9、54、51、62、73、84、95。
两个两位数之差是完全平方数。
那么差可以是9、16、25、36、49、64、81。
而两数AB、BA除以9是同余，则它们的差还是9的倍数。
则差只能是9、36、81。
当差是9时，则A-B=1，AB=54。
当差是36时，则A-B=4，AB可以是51、62、73、、84、95。
当差是81时，则A-B=9，不存在这样的AB数。
10、360=912-892=472-432= 232-132 = 212-92=192-12
因为a2-b2=（a+b）×（a-b），其中a+b是这两个自然数的和，a-b是这两个自然数的差。
又因为这两个数都是奇数，则它们的和与差都有是偶数。
把360写成两个数相乘的形式可以得到这么几组。
360=1×360=2×180=3×120=4×90=5×72=6×60
=8×45=9×40=10×36=12×30=15×24=18×20
其中2×180，2是两个数的差，180是两个数和。
大数是（180+2）÷2=91，小数是91-2=89，得到一组答案：360=912-792 用同样的方法可以得到以下几组：4×90得到这一组：360=472-432 6×60得到这一组：360=332-272
10×36得到这一组：360=232-132 12×30得到这一组：360=212-92
18×20得到这一组：360=192-12
11、1、4、9、16、25、36、49、64
只用翻动奇数次的硬币才会是“国徽”面朝上。
每个硬币都在自身数码的约数的时候才翻动。
所以号码数是奇数个约数的硬币“国徽”面朝上，在80以内约数个数是奇数个的只有平方数。
为：1、4、9、16、25、36、49、64。
12、不能。
(1)因为没有连续两个自然数都是完全平方数。
所以不可能出现两个完全平方数相乘得到完全平方数的情况。
(2)如果两个数都不是完全平方数，这两个数必有不同的质因数，则它们的乘积不可能是完全平方数。
