2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版

一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

知识框架完全平方数6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。

（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。

那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。

【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。

一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。

平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。

这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。

开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。

第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。

问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。

由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。

下面举例来讨论平方数的一些问题。

从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。

试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。

46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。

2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。

2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。

此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。

因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。

知识框架一、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2.余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．二、余数定理：欢迎关注：奥数轻松学三、余老师薇芯：690392701.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理余数性质a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。

一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。

3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。

4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。

2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數． 性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。

2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。

3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。

5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。

6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。

7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。

位值原理知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例1】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【巩固】将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的________倍。

(结果写成分数形式)【例2】一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。

知识框架一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.三、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.质数与合数（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号）所以12223=⨯⨯；四、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.部分特殊数的分解余老师薇芯：69039270111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.【例1】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。

第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。

例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。

解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。

（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。

特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。

例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。

解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。

五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。

（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。

那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。

练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。

数的整除、约数倍数“0”大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。

他们使用罗马数字。

罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。

在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。

而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。

他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。

过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。

当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。

教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。

就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。

但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。

后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。

知识框架一、常见数字的整除判定方法：1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；2.一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；3.一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；4.一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；5.一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；6.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.7.1001特征(家有三子7、11、13)一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数；一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数；或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以11的余数；一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除；【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a，且d｜c，那么ac｜bd；三、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.四、质因数与分解质因数1．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.2．唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.3.部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.4.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.五、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷= ；6003151285÷= ；315285130÷= ；28530915÷= ；301520÷= ；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270六、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,]a b a b ⨯=．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b 即为所求．例如：35[3,5]15[,412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦七、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

知识框架一、等积模型DCBA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图A C D B C DS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADES S AB AC AD AE=⨯⨯△△三、蝴蝶定理五大模型（二）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC B A梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270AB CDOb a S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型F E A BDA B C DEF ①AD AE DE AF AB AC BC AG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

完全平方数（二）知识纵横例1从360到630的自然数中，有奇数个因数的有多少个？只有3个因数的有多少个？试一试1在1～2000的自然数中，共有多少个平方数？例2一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？试一试2能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例3有2021盏灯，分别对应编号为1至2021的2021个开关。

现在有编号为1至2021的2021个人来按动这些开关，已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2021个人按的开关的编号是2021的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2021个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？试一试3某校2001年的学生人数是个完全平方数。

该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数也是完全平方数。

该校2002年学生人数是多少？已知__________ABCA 是一个四位数，若两位数_____AB 是一个素数，_____BC 是一个完全平方数，_____CA 是一个不为1的完全平方数之积，求满足条件的所有四位数。

有一些完全平方数的最后三位数码都相同且不为0，请问这些数中最小的是多少？考虑下列32个数：1！，2！，……，32！，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是多少？乘法算式1×2×3×······×15中至少要删除多少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数？例4试一试4例5试一试5例61²+2²+3²+······+2021²除以4的余数是多少？试一试6求一个四位完全平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同小练习1、44与非零自然数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少？2、从1～2015这2015个自然数中，最多能找出多少个数，使得这个数乘240所得的乘积是一个完全平方数？3、已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n 的最小值是多少？。

完全平方数相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。

性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,4 84,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。

此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。

因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。

1
完全平方数（一）一、完全平方数的定义：我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。

如02＝0，12＝1，22＝4，…，112＝121，122＝144，…其中0，1，4，…，121，144叫做完全平方数。

二、完全平方数表：
五年级应记住20以内自然数的平方，六年级应记住32以内自然数的平方。

32以内自然数的平方如下：三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。

做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下说：“5人一组分组还多2人。

”老师马上说：“你一定算错了。

”你知道老师这样说的根据吗？
性质2：完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
完全平方数除以16只可能余0、1、4或9；有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和。

请问这个三位数的最大值是多少？
2性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数；(反之也一样)
如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数；
如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个；
如果一个完全平方数的个位是奇数，那么它的十位一定是偶数；
有没有各位数字完全相同的完全平方数？(至少两位)
性质4：完全平方数做质因数分解后每个质因数的次数都是偶数；
从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有多少个？
求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数。

完全平方数的性质和应用数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。

含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。

例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。

不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。

1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。

其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。

性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。

2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。