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求切点弦所在直线方程的多种方法

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求切点弦所在直线方程的多种方法
在学习平面解析几何“直线与圆的方程”一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比较多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

为了解答的方便，先给出两个真命题：
命题1：已知圆O ：x y r 222+=上一点M （x y 11,），则以点M 为切点的圆的切线方程为
x x y y r 112
+=。

命题2：已知两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 221111212
1040++++=+->()， 圆O x y D x E y D E F 2222222
22
2040：+++=+->()，则两圆的公共弦所在的直线方程 为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=
例 已知点P （x y 00,）为圆O ：x y r 222+=外一点，过点P 作圆的切线PM PM 12、，其中M M 12
、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，
所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的 直径，即圆O '：()()(
)x x y y x y -
+-
=+02
02
020
222
2
2
,
即x y x x y y 22000+--=.又M M 12为圆O 、圆O '的公共弦，由命题2知，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法二：设M x y M x y 111222(,),(,)由命题1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为
x x y y r 222
+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r
10102
20202
+=+=⎧⎨⎪⎩⎪,
∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程x x y y r 002
+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002
+=。

解法三：如上图，设M x y M x y OP M M M 11122212(,),(,),⋂=,容易证明Rt OM P Rt OM P ∆∆12≅，从而M 为M M 12的中点。

∴⊥OP M M 12，M 坐标为(,
)x x y y 12
12
2
2++,直线M M 12的方程
为y y y x y x x x -
+=-
-
+12
00
12
2
2
()。

即x x y y x x x y y y 000120122
2
+=
++
+()
()
（*）
又由命题1得，PM 1方程为x x y y r PM 1122+=,方程为x x y y r 222
+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得
x x y y r x x y y r 10102
20
202
+=+=⎧⎨⎪⎩⎪,∴+++=x x x y y y r 0120122
22()(),代入（*）式得，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002
+=。

对同一个问题从不同的角度去摸索和思考，这对提高我们分析问题和解决问题的能力是很有好处的。

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切点弦方程_中学教育-中学课件

切点弦方程_中学教育-中学课件

切点弦方程问题1：过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程（直线称作切点弦）．解：如图所示，设切点的坐标为，切点的坐标为．因为圆的方程是①所以过圆上一点所作的切线的方程为②由于在直线上，所以③同理，根据点M在切线BM上，得④③④表明，点和点都在下面的直线上⑤因为过两点只有一条直线，所以⑤就是直线的方程．即点的切点弦方程为：．问题1解法的基本思想是设而不求．设了点和点的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用它们的形式，把最终的问题解决．从问题1中，我们不仅学习了切点弦方程，还学习了设而不求的解题思想．下面看一个与之相关的问题．问题2：设是圆内的一点，但不是圆心．过点任意作两条不通过圆心的弦和，分别过点、作圆的切线相交于点，过点、作圆的切线相交于点．求直线的方程．解：如图，设点的坐标为，点的坐标为．因为圆的方程是①、是过圆外一点所作圆的切线，、是切点，所以切点弦的方程为②同理切点弦的方程为③因为在直线上，所以④同理在直线上，所以⑤④⑤表明点，点和点都在下面的直线上⑥因为过两点只有一条直线，所以⑥就是直线的方程．不难看出，上述两个问题的紧密联系，同样是用设而不求的思想方法，问题2还运用了问题１的结论，更为有趣的是二者其实还是一个问题的两个方面，具体如下：一般地，已知圆和平面内的任意点，只要不是圆心（0，0），总可以作出对应的直线．这样得到的直线叫做点关于圆的极线（当在圆外时，也叫切点弦），点叫作直线的极点．问题1 是点在圆外时的情况，问题2是点在圆内时的情况，并且同时也给出了作相应极线的几何作图方法．当然，点在圆上时，它的极线就是过点的圆的切线．三种情况的极线方程都是，这种高度的统一性真是妙不可言．其实极点、极线的概念就是切点、切线概念的推广，它们还有很多重要的性质，高等几何里有详细研究．。

最新圆的切点弦方程

最新圆的切点弦方程

圆的切点弦方程222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。

22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。

【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222ry x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆O 外时，1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为222y x r d +=,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2020∴r d <，故直线L 与圆O 相交.2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢? 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。

220r x =2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:211r y y x x =+，直线MB:222r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010220101ry y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程200r y y x x =+，由于两点确定一条直线∴直线AB 的方程为200r y y x x =+。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。

(整理版)求切点弦所在直线方程的多种方法

(整理版)求切点弦所在直线方程的多种方法

求切点弦所在直线方程的多种方法在学习平面解析几何“直线与圆的方程〞一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比拟多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

1：圆O ：x y r 222+=上一点M 〔x y 11,〕，那么以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

2：两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 2211112121040++++=+->()，圆O x y D x E y D E F 2222222222040：+++=+->()，那么两圆的公共弦所在的直线方程为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=例：点P 〔x y 00,〕为圆O ：x y r 222+=外一点，过点P 作圆的切线PM PM 12、，其中M M 12、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的直径，即圆O '：()()()x x y y x y -+-=+020*********即x y x x y y 22000+--=又M M 12为圆O 、圆O '2知，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r 1010220202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪, ∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程x x y y r 002+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

求切线方程的三种类型

求切线方程的三种类型

求切线方程的三种类型切线是曲线上与该曲线在该点处相切的直线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

在求解切线方程的过程中，可以根据曲线的性质和方程的形式，将其分为三种类型：直线、圆和曲线。

第一种类型是求直线的切线方程。

直线是最简单的曲线，其方程一般具有形式y=ax+b，其中a和b为常数。

对于直线，任何一点的切线都与直线本身重合，即切线方程即为直线方程本身。

因此，直线的切线方程为y=ax+b。

第二种类型是求圆的切线方程。

圆是一个具有特殊性质的曲线，其方程一般具有形式(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

对于圆，可以通过计算切线与圆的交点来求解切线方程。

根据切线与圆的几何性质，切线与半径的夹角为直角。

因此，可以利用圆心、切点和切线方程斜率的关系，结合直线的点斜式，推导出圆的切线方程。

设切点坐标为(x₀,y₀)，圆心坐标为(a,b)，切线方程斜率为k，则由直线的点斜式可得：y-y₀=k(x-x₀)（1）根据圆的方程，可以得到切线通过圆心的直线方程：y-b=k(x-a)（2）由于切线与圆的交点即为切点，因此将切点坐标代入方程（2）即可得到切线方程。

进一步地，可以将方程（2）展开，得到切线方程的其他形式。

第三种类型是求曲线的切线方程。

曲线的方程形式较为复杂，通常需要使用微分学的知识来求解。

曲线的切线方程可以通过求取曲线上一点的导数来实现。

设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为连续可导函数。

对于曲线上的一点(x₀,y₀)，其切线的斜率k等于函数在该点处的导数f'(x₀)。

因此，切线方程可以写为：y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)（3）方程（3）即为曲线的切线方程，其中(x₀,y₀)为切点坐标，f'(x₀)为函数在该点处的导数。

注意到切点的选择是任意的，因此曲线上每一个点都有一个对应的切线。

而对于曲线上的垂直切线，即斜率不存在的情况，可以通过在曲线上求取该点的极限值来求解。