圆的切线和切点弦方程

圆的切线方程与切点弦方程关系探究作者：杨福海来源：《黑河教育》2015年第10期解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，是数形结合思想的重要应用。

直线与圆的位置关系的判定中有几何法和代数法之分，几何法是通过圆心到直线的距离与圆的半径比大小，代数法是联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系。

通常情况下我们不探讨这两种方法之间的联系，特别是在学习直线与圆的位置关系时我们并不强调位置发生变化时直线方程之间有什么联系。

在课前预习时，学生遇到一道作业题，从中发现一个有趣的结论，却找不出所涉及知识的内在联系。

我也咨询了不少老师，但没有得到满意的答案，因此我尝试从另一个角度进行探讨。

作业题：已知圆C的方程为x2+y2=16 ，点P在直线X=8上，过p点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB 恒过定点。

学生的解法：∵PA，PB是圆C的两条切线，∵OA⊥AP，OB⊥BP。

∵A，B在以OP 为直径的圆上。

设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点Q坐标为4，。

∴以OP 为直径的圆Q方程为（x-4）2+y-2=42+2，b∈R。

化简得：x2+y2-8x-by=0，b∈R。

∵AB为圆Q和圆C的公共弦，∴直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，所以直线AB恒过定点（2，0）。

这个解法是我们平时教学中常用的方法，但是有个别学生发现了直线AB的方程8x+by=16，b∈R与过圆x2+y2=16上一点（x0，y0）的切线方程x0x+y0y=16完全雷同，于是提出了疑问：为什么定点P在圆上时过点P（x0，y0）切线方程与定点P在圆外时过点p（x0，y0）引圆的切线方程（切点为A，B，直线AB ）完全一样？在这里一条是切线一条是割线啊！为了解决这个问题，我们首先要了解，如果设P（x0，y0）为圆外一点，过P点引圆x2+y2=r2的两条切线PA，PB ，切点为A，B，则直线AB的方程称为切点弦方程。

高中数学探究活动课“圆的切线与切点弦”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第01期编者按：课堂是教学的主阵地。

优秀的教学设计能为教师提供经验与启示，帮助教师提高教学质量。

为此，2024年，本刊开设专栏《典型课例》。

在该栏目中，我们以“教学设计+点评”的形式，呈现一线教师学习、理解新课标，深化素养导向的课堂教学改革和育人方式转变的实践与思考。

我们主要呈现2023年江苏省优质课评比一等奖的教学设计，希望通过这些典型课例，引领教师关注教学细节，激发教学灵感，在实践中探索、总结和创新，不断提升教学质量。

【关键词】高中數学；数学探究；教学设计；圆的切线与切点弦【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）03-0043-04【作者简介】刘银，江苏省镇江第一中学（江苏镇江，212016）教师，数学学科中心教研组长，高级教师，镇江市数学学科带头人。

一、教学内容分析《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）指出：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。

［1］这种活动是运用数学知识解决数学问题的综合实践活动，是培养学生创新意识和能力的重要途径。

本节课的内容选自苏教版《普通高中教科书·数学》（选择性必修第一册）第2章《圆与方程》章末“问题与探究”，是本章知识的延伸和拓展，也是后续圆锥曲线相关内容学习的起点和基础。

本节课旨在引导学生运用数形结合、转化化归等多种思想方法，深化学生对“代数方法解决几何问题”的理解和认识。

本节课是通过研究点与直线的“对应组”和圆之间的位置关系，让学生深入体会点在圆上、点在圆外、点在圆内三种情况及三者之间相互递推的逻辑关联。

在类比联想、分类整合等过程中，让学生体会数学的简洁、统一、和谐、理性之美。

二、教学目标设置1.经历直观想象、画图试验、观察类比、猜想验证等探究过程，掌握过圆上一点的圆的切线方程的证明方法。

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程022=++++F Ey Dx y x 022=++++F Ey Dx y x 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。

2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。

二、题目 已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。

圆的切点弦方程222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。

22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。

【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222ry x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆O 外时，1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为222y x r d +=,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2020∴r d <，故直线L 与圆O 相交.2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢? 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。

2222002200,r x y x y =++2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B,则直线MA:211r y y x x =+，直线MB:222r y y x x =+.∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010220101ry y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程200r y y x x =+，由于两点确定一条直线∴直线AB 的方程为200r y y x x =+。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

Ly x图1M(x 0 ,y 0)oAB【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ；在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。

2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。

二、题目 已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。

圆的切点弦方程
上篇圆的切线方程的小公式讲的是过圆上一点的切线
问题，现在说说过圆外一点的切线问题. 以下面这道题为例. 显然，点M在圆外部.我们利用d=r来建立方程求解. 如何设直线方程呢？已知点M，当然设点斜式啊.可是，斜率一定存在吗？所以我们应该首先考虑斜率不存在的情况.
然后再考虑斜率存在的情况.
这道题不难，但是容易漏掉第一种斜率不存在的情况. 检查的方法就是记住这一点：过圆外一点作圆的切线有2条.如果你计算正确且只解出一条切线来，一定是漏掉了斜率不存在的情况.
观察上图，从M出发的切线有两条，设切点分别为A和B，连接AB，我们称AB为圆的切点弦.顾名思义，切点弦就是连接两切点得到的弦. 切点弦所在的直线的方程是什么呢？我们作一个一般化的推导.
研究过程中用到了圆的切线方程的小公式中的结论.
大家发现，这个结论和圆的切线方程的小公式中的结论有些类似. 区别在于：
当然，如果圆心不在原点，类比圆的切线方程的小公式，有这样的结论.
如果圆的方程为一般式，同样类比圆的切线方程的小公
式，也有这样的结论.
我们现学现卖，练下面一道题，体会一下这个公式好不好用？
审完题，判断求解的是切点弦所在直线的方程，可以用上述公式.
最后来看一道浙江省高中数学竞赛题.
分析：PQ为切点弦，考虑使用切点弦所在的直线方程.垂直关系可翻译为向量的数量积为零.
小结：1.点在圆上，小公式对应的是切线方程；2.点在圆外，小公式对应的是切点弦所在的直线方程；3.小公式如何记忆：对称原则，即把圆方程中的x和y保留一半，替换一半.。

专题36 切线与切点弦问题【方法技巧与总结】1、点()00 M x y ，在圆222x y r +=上，过点M 作圆的切线方程为200x x y y r +=．2、点()00 M x y ，在圆222x y r +=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为200x x y y r +=．3、点()00 M x y ，在圆222x y r +=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y r +=．4、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=上，过点M 作圆的切线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．5、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．6、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．7、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b +=1(0)a b >>上，过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=．8、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b +=1(0)a b >>外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=． 9、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过A B ，作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线02x x a +021y yb=． 10、点()00 M x y ，在双曲线2222x y a b -=1(0 0)a b >>，上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．11、点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=． 12、点()00 M x y ，在双曲线22x a -221(0 0)y a b b =>>，内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过 A B ，作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00221x x y ya b-=． 13、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >上，过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+．14、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+．15、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过 A B ，作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()00y y p x x =+．【题型归纳目录】 题型一：切线问题 题型二：切点弦过定点问题题型三：利用切点弦结论解决定值问题 题型四：利用切点弦结论解决最值问题 题型五：利用切点弦结论解决范围问题 【典例例题】 题型一：切线问题例1．已知平面直角坐标系中，点(4,0)到抛物线21:2(0)C y px p =>准线的距离等于5，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点． （1）求1C ，2C 的方程；（2）如图，过点(E m ，0)(2)m >作椭圆2C 的切线交1C 于A ，B 两点，在x 轴上取点G ，使得AGE BGE ∠=∠，试解决以下问题：①证明：点G 与点E 关于原点中心对称；②若已知ABG ∆的面积是椭圆2C 四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB 的方程．【解析】（1）解：因为点(4,0)到抛物线1C 的准线2px =-的距离等于5， 所以452p +=，解得2p =，所以抛物线1C 的方程为24y x =； 因为椭圆2C，且过点，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=；（2）①证明：因为2m >，且直线AB 与椭圆2C 相切， 所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-， 联立22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(41)8440k x k mx k m +-+-=， 因为直线AB 与椭圆2C 相切，所以△42222644(41)(44)0k m k k m =-+-=，即2214k m =-，联立2()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩，得2440ky y km --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12124,4y y y y m k+==-；设(,0)G t ，因为AGE BGE ∠=∠，所以0AG BG k k +=， 则12120y yx t x t+=--，即211212()0x y x y t y y +-+=， 即121212()()04y y y y t y y +-+=，又120y y +≠，所以124y y t m ==-，即(,0)G m -， 即点G 与点E 关于原点中心对称；②解：椭圆2C 四个顶点所围成菱形面积为122242S a b ab =⨯⨯==，所以ABG ∆的面积为16464⨯=，则1211||||222ABG S GE y y ∆=-=⨯==，令64，即22(4)256m m m -+=， 即42342560m m m -+-=，即42(256)(4)0m m m -+-=， 即22(4)[(16)(4)]0m m m m -+++=， 即32(4)(51664)0m m m m -+++=，因为2m >，所以4m =，2211412k m ==-，k =所以直线AB 的方程为4)y x =-． 例2．某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>在任意一点0(M x ，0)y 处的切线方程为00221xx yy a b+=．现给定椭圆22:143x y C +=，过C 的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作C 的两条切线，两切线相交于点G ． （1）求点G 的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于M ，N 两点，证明：11||||PQ MN +为定值．【解析】（1）解：设直线PQ 为1x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 易得在P 点处切线为11143x x y y +=，在Q 点处切线为22143x x y y+=， 由11221,431,43x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2112214()y y x x y x y -=-，又111x ty =+，221x ty =+，可得4x =，故点G 的轨迹方程4x =．（2）证明：联立l 的方程与C 的方程221,1,43x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690t y ty ++-=．由韦达定理，得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，所以2212(1)||34t PQ t +==+， 因为PQ MN ⊥，将t 用1t -代，得222112(1)12(1)||13434t t MN t t ++==+⋅+， 所以22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++． 例3．已知圆222:(0)O x y r r +=>．（1）求证：过圆O 上点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=．类比前面的结论，写出过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点0(N x ，0)y 的切线方程（不用证明）． （2）已知椭圆22:143x y C +=，Q 为直线4x =上任一点，过点Q 作椭圆C 的切线，切点分别为A 、B ，求证：直线AB 恒过定点．【解析】（1）证明：因为圆222:O x y r +=， 故圆心(0,0)O ，半径为r ， 又0(M x ，0)y ， 所以0OM y k x =， 因为0(M x ，0)y 在圆上， 所以过M 的圆的切线斜率0x k y =-，所以过M 的圆的切线方程为0000()x y y x x y -=--，① 又因为22200x y r +=，② 由①②整理得，为200x x y y r +=．所以过圆O 上点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点0(N x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=；（2）设(4,)Q t ，()t R ∈，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由（1），则直线QA 的方程11143x x y y +=， 因为Q 在QA 上，所以1113ty x +=，① 同理可得2213ty x +=，② 由①②可得直线AB 的方程为13tx y +=，令0y =，得1x =， 所以直线AB 恒过点(1,0)．变式1．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||4PA PB +=，P 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知圆222x y R +=上任意一点0(P x ，0)y 处的切线方程为：200x x y y R +=，类比可知椭圆：22221x y a b+=上任意一点0(P x ，0)y 处的切线方程为：00221x x y ya b+=．记1l 为曲线C 在任意一点P 处的切线，过点B 作BP 的垂线2l ，设1l 与2l 交于Q ，试问动点Q 是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的定义知P 点的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为2222:1x y a b +=，则241a c =⎧⎨=⎩，∴2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩曲线C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设0(P x ，0)y ，由题知直线1l 的方程为00:143x x y y+=， 当01x ≠时，001PB y k x =-，2l ∴的斜率为0201x k y -=，0201:(1)x l y x y -=-，1l 与2l 的方程联立00001(1)143x y x y x x y y -⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得000034(1)(1)120(4)4(4)x x x x x x x +---=⇒-=-， 4x ∴=．动点Q 在定直线4x =上， 当01x =时，032y =±，1:142x yl ±=， 2:0l y =，(4,0)Q ，Q 在直线4x =．综上所述，动点Q 在定直线4x =上.变式2．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．（1）圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为 ．理由如下： ．（2）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点0(x ，0)y 处的切线方程为 ；（3）(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB的方程是 ．这是因为在1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x xy y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；（4）问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=， 化简得△0=得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ． （5）抛物线22(0)y px p =>上一点0(x ，0)y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上． 【解析】解：（1）圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为200y y x x r +=． 理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则001OM OM k k y k x⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以0x k y =-， 又过点0(M x ，0)y ， 由点斜式可得，0000()x y y x x y -=--， 化简可得，220000y y x x x y +=+， 又22200x y r +=，所以切线的方程为200y y x x r +=； ②若切线的斜率不存在，则(,0)M r ±， 此时切线方程为x r =±．综上所述，圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为200y y x x r +=． （3）在1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x xy y +=， 因为两切线都过P 点(,)m n ， 所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=， 由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程为13mxny +=； （4）问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-， 由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，可得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=， 由△0=，可得222(3)210(*)m k mnk n -++-=， 因为PA PB ⊥， 则1PA PB k k ⋅=-，所以(*)式中关于k 的二次方程有两个解且其乘积为1-，则2122113n k k m-⋅==--， 可得224m n +=，所以圆的半径为2，且过原点，其方程为224x y +=． 故答案为：（1）200y y x x r +=，理由见解析； （3）13mxny +=； （4）224x y +=．题型二：切点弦过定点问题例4．定义：若点0(P x ，0)y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，则以P 为切点的切线方程为：00221x x y ya b+=．已知椭圆22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点( ) A ．11(,)23-B ．11(,)23-C ．12(,)23-D ．12(,)23-【解析】解：因为M 在直线260x y --=上，则可设点M 的坐标为(26,)t t +，t R ∈， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以直线MA ，MB 的方程分别为： 11221,13232x x y y x x y y +=+=，显然点M 的坐标适合两个方程， 代入可得：1122(26)132(26)132x t y tx t y t +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，则直线AB 的方程为：(26)132x t yt++=，即2(26)360t x yt ++-=， 即(43)612x y t x +=-，令4306120x y x +=⎧⎨-=⎩，解得12,23x y ==-，所以直线AB 过定点12(,)23-，故选：C ．例5．已知经过圆2221:C x y r +=上点0(x ，0)y 的切线方程是200x x y y r +=．（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点0(x ，0)y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A 、B ，①求证：直线AB 过定点． ②当点P 到直线AB时，求三角形PAB 的外接圆方程． 【解析】解：（1）切线方程为：00221x x y ya b+=． （2）设切点为1(A x ，2)y ，2(B x ，2)y ，点(3,)P t ，由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩，A ∴，B 满足方程：12x ty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩即直线AB 恒过点(2,0)．又已知点(3,)P t 到直线AB．∴22|354t t t-=+ 425410t t ⇒--=，22(51)(1)0t t +-=，1t ∴=±．当1t =时，点(3,1)P ，直线AB 的方程为：220x y +-=． 2222066x y x y +-=⎧⎨+=⎩求得交点121(0,1),(,),(3,1)55A B P -． 设PAB ∆的外接圆方程为：220x y Dx Ey F ++++=，代入得131012529E F D E F D E F +=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，解得：PAB ∆的外接圆方程为223210x y x y +--+= 即PAB ∆的外接圆方程为：2239()(1)24x y -+-=．例6．已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，抛物线上一点(A m ，2)(0)m >到F 的距离为3． （1）求抛物线C 的方程和点A 的坐标；（2）设直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为1l ，2l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，证明：直线l 恒过定点． 【解析】（1）解：由题意知232p +=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． 将点(A m ，2)(0)m >代入24xy =，得m =，所以点A 的坐标为．（2）证明：设221212(,),(,)44x x D x E x ，由题意知．直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx n =+， 联立方程24y kx nx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx n --=，所以△216160k n =+>，124x x k +=，124x x n =-，24x y =，即24x y =， 则2xy '=，所以抛物线C 在点D 处的切线1l 的方程为2111()24x x y x x =-+，化简得21124x x y x =-，同理直线2l 的方程为22224x x y x =-，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1224x x =-，即128x x =-． 所以1248x x n =-=-．解得2n =．故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点(0,2)．题型三：利用切点弦结论解决定值问题例7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n+为定值 【解析】解：（1）由题意得：1c =，所以221a b =+，又因为点P 在椭圆C 上，所以223314a b+=， 可解得24a =，23b =，所以椭圆标准方程为22143x y +=．（2）证明：由题意：2213:144x y C +=，设点1(Q x ，1)y ，2(M x ，2)y ，3(N x ，3)y ，因为M ，N 不在坐标轴上，所以1QM OMk k =-，直线QM 的方程为2222()x y y x x y -=-， 化简得：2243x x y y +=，① 同理可得直线QN 的方程为3343x x y y +=，② 把Q 点的坐标代入①、②得212131314343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线MN 的方程为1143x x y y +=---------------③， 令0y =，得143m x =，令0x =得143n y =，所以143x m=，143y n =，又点Q 在椭圆1C 上，所以2244()3()433m n+=， 即22113m n+为定值． 例8．已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，且||AB =l 的方程； （3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点Q ，作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，那么2212m n +是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】解：（1）椭圆C 的右焦点2F 的坐标为(1,0)，∴椭圆C 的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=，2a ∴=a ∴=，22a =由题意可得1c =，即2221b a c =-=，即椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）直线l 与椭圆C 的两个交点坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， ①当直线l 垂直x轴时，易得||AB = ②当直线l 不垂直x 轴时，设直线:(1)l y k x =-联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得，2222(12)4220k x k x k +-+-=，①则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，222222222121222224228(1)||(1)[()4](1)[()24]2121(21)k k k AB k x x x x k k k k -+∴=++-=+-⨯==+++，解得1k =±，∴直线方程l 的方程为10x y --=或10x y +-=（Ⅲ）设点0(Q x ，0)y ，3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，连接OM ，ON ， 0M MQ ⊥，ON NQ ⊥，M ，N 不在坐标轴上，303M y k x ∴=，404N y k x =-， ∴直线MQ 的方程为3333()y y y x x x -=-，即331xx yy +=，⋯① 同理直线NQ 的方程为441xx yy +=，⋯②， 将点Q 代入①②，得0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，显然3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y 满足方程001xx yy +=，∴直线MN 的方程为001xx yy +=，分别令0x =，0y =，得到01n x =，01m y =． 01y m ∴=，01x n=， 0(Q x ，0)y 满足2212x y +=；∴221112m n+=，即22122m n +=题型四：利用切点弦结论解决最值问题例9．已知抛物线22x py =上一点0(M x ，1)到其焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．【解析】解：（1）由||122pMF =+=，得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． （2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由12y x '=可得在P 处的切线方程为2111()42x x y x x -=-，整理可得112()x x y y =+，同理在Q 处的切线方程为222()x x y y =+，又因为两切线都过(,2)A t -，∴11222(2)2(2)tx y tx y =-⎧⎨=-⎩，即可得直线PQ 的方程为2(2)tx y =-，所以直线过点(0,2)，即(0,2)N ， 又1(2x B ，0)，2(2xC ，0)， ∴四边形ABNC 的面积122||||ABC NBC S S S BC x x ∆∆=+==-，联立122()4tx y y x y =+⎧⎨=⎩，可得2280x tx --=，122x x t ∴+=，128x x =-所以12||3242S x x =-．（当0t =时取等号），∴四边形ABNC 面积的最小值为例10．已知(,1)T m 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，且||2TF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过圆22:(2)1E x y ++=上任意一点G ，作抛物线C 的两条切线1l ，2l ，与抛物线相切于点M ，N ，与x 轴分别交于点A ，B ，求四边形ABNM 面积的最大值．【解析】解：（1）||2TF =，由抛物线定义知，122p +=，2p ∴=，24x y ∴=． （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，0(G x ，0)y ，0[3y ∈-，1]-， 切线11:2()AM x x y y =+，因此：11122A y x x x ==， 切线22:2()AN x x y y =+，因此：22222B y x x x ==， 另一方面，点0(G x ，0)y 在两切线上，从而满足：011020202()2()x x y y x x y y =+⎧⎨=+⎩，因此切点弦MN 的方程为：002()x x y y =+，直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立：200240x x x y -+=， 从而1202x x x +=，1204x x y =，且||MN ==， ABMN GMN GAB S S S ∆∆=-212011||||2222x x y =⋅-33222220001200111[(4)||](4)242x y y x x x y =---=-2200000(4)(73)x y y y y =-+=---， 当0[3y ∈-，1]-1323=， 2200073773[()]924y y y ---=-++，∴93ABMN S ，当且仅当03y =-时，取到最大值．题型五：利用切点弦结论解决范围问题例11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，C 上一点M 关于原点O 的对称点为N ，F 为C 的右焦点，若MF NF ⊥，设MNF α∠=，且3sin()44πα+=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过圆22:10O x y+=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，求AOB ∆面积的取值范围．【解析】解：（1）由26a =，即3a =，又22122cos 2sin )4c c e a c c πααα====++所以c =2221b a c =-=，则椭圆的方程为2219x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则直线PA 的方程为1119x x y y +=，直线PB 的方程为2219x xy y +=， 因为0(P x ，0)y 在直线PA ，PB 上， 所以101019x x y y +=，202019x x y y +=，所以直线AB 的方程为0019x xy y +=， 由00221999x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去y ，结合220010x y +=，和220010x y =-，可得22200(810)1881810y x x x y +-+-=， △242018(8)y y =+，120|||AB x x -=0=202018108y y +=+，又点O 到直线AB的距离为d ==，2020018119||922108y S AB d y +=⋅=⋅=+，又2010y，记[1t ，9]，所以9[6t t +∈，10]， 所以9[10S ∈，3]2．例12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(F 0)，点Q 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点． （ⅰ）求证：0OM ON +=； （ⅱ）求OAB ∆的面积的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得c =221314a b+=，222a b c =+，解得24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；（Ⅱ）()i 证明：设0(P x ，0)y ，①当直线PA ，PB 的斜率都存在时，设过P 与椭圆相切的直线方程为00()y k x x y =-+， 联立直线与椭圆的方程0022()440y k x x y x y =-+⎧⎨+-=⎩， 整理可得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，△2222000064()4(14)[4()4]k y kx k y kx =--+--，由题意可得△0=，整理可得222000(4)210x k x y k y -++-=， 设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以20122014y k k x -=-，又2205x y +=，所以220022001(5)4144x x x x ---==---， 所以PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径，所以0OM ON +=； ②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设(2,1)P ， 则直线PA 的方程为2x =，所以(2,1)M -，(2,1)N -，也满足0OM ON +=； ()ii 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为：111()y k x x y =-+，联立直线PA 与椭圆的方程11122()440y k x x y x y =-+⎧⎨+-=⎩，消y 可得2221111111(14)8()4()40k x k y k x x y k x ++-+--=，△22221111111164()4(14)[4()4]k y k x k y k x =--+--， 由题意△0=，整理可得222111111(4)210x k x y k y -++-=， 则11111122111444x y x y x k x y y -=-==--， 所以直线PA 的方程为：1111()4x y x x y y =--+， 化简可得22111144x x y y y x +=+， 即1114x xy y +=， 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=，同理可得直线PB 的方程2214x xy y +=， 因为0(P x ，0)y 在直线PA ，PB 上，所以101020201414x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以可得直线AB 的方程为0014x x y y +=，而P 在圆225x y +=上，所以22005x y +=， 联立直线AB 与椭圆的方程为00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，整理可得22200(35)816160y x x x y +-+-=， 020853A B x x x y +=+，2020161653A B y x x y -=+， 所以O 到直线AB的距离d =，弦长0|||A B AB x x - 又点O 到直线AB的距离d ==，令t ，[1t ∈，4]，则2144||424OAB t S d AB t t t∆=⋅==++，而4[4t t+∈，5]，所以OAB ∆的面积的取值范围是4[5，1]．例13．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y轴正半轴交于点Q ，122QF F S =．（1）求曲线C 的方程；（2）过椭圆C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，直线CD 与椭圆C 交于E 、G 两点，O 为坐标原点，求OEG ∆的面积S 的取值范围．【解析】解：（1）椭圆与y轴正半轴交于点Q ，122QF F S=．可得121222QF F b Sc b bc ==⨯⨯==，∴2c a ==， ∴椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(P x ，0)y ，线段OP 的中点为00(,)22x y ，22222000001,2(1)24242x y x x y +==-=-，2004x <， 以OP以OP 为直径的圆的方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=，即00()()0x x x y y y -+-=，又圆22:1O x y +=， 两式相减00:1CD x x y y +=，由0022124x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得22220000(2)4240x y x x x y +-+-=， ∴22222220000000164(2)(24)8(412)x x y y y x y =-+-=-+22222000008[41(4)]24(1)y x x y x =-+-=+，0000||EG ==O EG d -=∴200000001||2222S EG d x =⋅====+-=由于2004x <，所以20115x +<，2011x +<对于函数211()3(15),()30h t t t h t tt '=+<=->，()h t在上递增.(1)4,h h ===所以20431x +<1114<，62<，∴62S <．S ∈． 变式3．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得01290F PF ∠=的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F的距离的最大值为2+（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||ABCD的取值范围．【解析】解：（1）动点P 在椭圆上，且使得01290F PF ∠=的点P 恰有两个，b c ∴=， 动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+∴2a c +=+可得2a =，b c =所以椭圆1C 的方程为：22142x y +=；（2）圆2C 的方程为224x y +=，设直线x =-T 的坐标为)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AT 的方程为114x x y y +=，直线BT 的方程为224x x y y +=，又)T t 在直线AT 和BT上，即112244ty ty ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，故直线AB 的方程为4ty -+=．由原点O 到直线AB的距离d =得||AB =联立224142ty x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(16)8160t y yt +--=，设3(C x ，3)y ，4(D x，4)y ，则343422816,1616t y y y y t t -+==++，从而222(8)16t CD t +==+记28(8)t m m +=，则||AB CD =11(0)8y y m =<，则||AB CD =11(0)8y y m =<，所以||AB CD3()112256f y y y =+-， 所以由2()127680f y y y '=-=得18y =， 所以3()112256f y y y =+-在1(0,]8上单调递增，()(1f y ∴∈，2]即||ABCD∈． 变式4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．【解析】解：()I 由使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个可得,b c a ==；动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+2a c +=2,a c ==所以椭圆1C 的方程是22142x y +=⋯（4分）()II 圆2C 的方程为224x y +=，设直线x =-T 的坐标为()t -设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AT的方程为114x x y y+=，直线BT的方程为224x x y y+=，又()t-在直线AT和BT上，即112244tyty⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，故直线AB的方程为4ty-+=⋯（6分）联立224142tyx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得22(16)8160t y yt+--=，设3(C x，3)y，4(D x，4)y．则343422816,1616ty y y yt t-+==++，⋯（8分）从而21224(8)|||(16)tCD y yt+=-=⋯+（10分）232416t-=++，又21616t +，从而2322016t--<+，所以||[2CD∈，4)⋯（12分）变式5．已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，且直线1:1x yla b+=被椭圆1C截得的弦长为．()I求椭圆1C的方程；()II以椭圆1C的长轴为直径作圆2C，过直线2:4l y=上的动点M作圆2C的两条切线，设切点为A，B，若直线AB与椭圆1C 交于不同的两点C，D，求||||CD AB的取值范围．【解析】解：()I线1:1x yla b+=，经过点(,0)a，(0,)b，被椭圆1C227a b+=．又12ca=，222a b c=+，解得：24a=，23b=，1c=．∴椭圆1C的方程为22143x y+=．()II由()I可得：圆2C的方程为：224x y+=．设(2,4)M t，则以OM为直径的圆的方程为：222()(2)4x t y t-+-=+．与224x y+=联立可得：直线AB的方程为：2440tx y+-=，设1(C x，1)y，2(D x，2)y，联立222440143tx yx y+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22(3)480t x tx+--=，则12243tx xt+=+，12283x xt-=+，2236||43tCDt+==+．又圆心O到直线AB的距离d==||AB∴===，22222364||||243t tAB CD tt t+∴=+⨯=+令233t m+=，则||||8AB CD=3m，可得3233m-<，可得：2||||83AB CD<变式6．如图，已知点P在半圆22:(2)4(2)Q x y y++=-上一点，过点P作抛物线2:2(0)C x py p=>的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记TNB∆的面积为1S，TMA∆的面积为2S．（Ⅰ）若抛物线C的焦点坐标为(0,2)，求p的值和抛物线C的准线方程；（Ⅱ）若存在点P，使得128SS=，求p的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）22p=，4p=．准线方程为直线2y=-．（Ⅱ）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，过点A的切线方程11:()Al x x p y y=+，于是1(,0)2xM；过点B的切线方程22:()Bl x x p y y=+，于是2(,0)2xN；点(P x，)y在两条切线上，所以10012002()()x x p y yx x p y y=+⎧⎨=+⎩，可得点P坐标为1212(,)22x x x xPp+．1212:()22ABx x x xl x p yp+=+，于是12112112121212()(,0).||||||22()x x x x x x x xT TMx x x x x x-=-=+++，2222121212()||||||22()x x x x x x TN x x x x -=-=++， 而23122111||||2||81||||2TN y S x S x TM y ⋅===⋅，所以212x x =-． 于是点211(,)2x x P p --，点P 的轨迹方程为24px y =-，问题转化为抛物线24p x y =-与半圆22:(2)4(2)Q x y y ++=-有交点． 记24()f x x p =-，则4(2)42f p=-⨯-，又因为0p >， 解得：08p <．所以p 的取值范围为(0，8]．变式7．如图，设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，且直线PA 、PB 分别交y 轴于点M 、N ． （Ⅰ）证明：FM PA ⊥； （Ⅱ）求||||FM FN ⋅的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设点P 的坐标为0(x ，0)y ，直线PA 方程为00()(0)x m y y x m =-+≠．令0x =，可知点M 的坐标为00(0,)x y m-． 由，消去x 得2004440y my my mx -+-=． 因为直线与抛物线只有一个交点， 故△0=，即2000m y m x -+=． 因为点F 的坐标为(1,0)， 故00(1,)x FM y m =--，00(,)xPM x m=--．则20002()0x FM PM m y m x m⋅=-+=． 因此FM PM ⊥，亦即FM PA ⊥．（Ⅱ）设直线PB 的方程为00()(0)x n y y x n =-+≠． 由（1）可知，n 满足方程2000n y n x -+=．故m ，n 是关于t 的方程2000t y t x -+=的两个不同的实根． 所以．由（1）可知：FM PA ⊥，同理可得FN PB ⊥． 故||FM ||FN =．则||||FM FN ⋅= 因为22001(0)4y x x +=<．因此，||||FM FN ⋅的取值范围是．。

同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。

[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。