常见曲线的切点弦方程49165

圆锥曲线切点弦方程的推导针对中学生《探索圆锥曲线切点弦方程的奇妙之旅》同学们，今天咱们一起来研究一个超有趣的数学问题——圆锥曲线切点弦方程的推导！想象一下，有一个圆圆的椭圆，就像一个压扁的足球。

假设在这个椭圆上有一个点，咱们就叫它“切点”吧。

从这个切点出发，咱们可以画一条切线。

比如说，有一个椭圆方程是\(x^2/4 + y^2/3 = 1\)，在点\((1, \sqrt{3/2})\)处有一个切点。

那怎么求切线方程呢？咱们可以用一种巧妙的方法。

先对椭圆方程求导，得到一些关于斜率的信息，然后把切点的坐标代进去，就能求出切线的斜率啦。

求出切线后，再假设有另外一个点也在这条切线上，咱们就能得到切点弦方程啦！数学就是这么神奇，只要咱们用心去探索，就能发现其中的奥秘！《圆锥曲线切点弦方程：不再神秘》嘿，小伙伴们！咱们来聊聊圆锥曲线的切点弦方程，这可一点儿都不难！就拿抛物线来说吧，比如\(y^2 = 4x\)。

假如有个点\((1, 2)\)在上面是切点，那切线方程怎么来呢？其实啊，咱们可以先把抛物线方程变一变，变成\(y =2\sqrt{x}\)，然后求导，算出在\(x = 1\)处的导数，这就是切线的斜率。

知道了斜率，再用点斜式就能写出切线方程。

如果再有其他点也在这条线上，那这一堆点形成的直线方程就是切点弦方程啦。

比如说，又有个点\((2, 2\sqrt{2})\)也在这条切线上，那咱们就能确定切点弦方程了。

是不是挺简单的？数学就是这么有趣！《轻松搞定圆锥曲线切点弦方程》同学们，别害怕圆锥曲线的切点弦方程，跟着我一起轻松搞定它！比如说有个双曲线\(x^2 y^2 = 1\)，在点\((\sqrt{2}, 1)\)是切点。

咱们先把方程变形，然后求导。

求导就像是找一个密码，找到这个密码就能算出切线的斜率。

有了斜率，再用切点的坐标，就能写出切线方程。

如果还有好多点都在这条切线上，那这条线就是切点弦方程啦。

就像我们一起解谜一样，一步一步来，就能找到答案。

求切点弦所在直线方程的多种方法在学习平面解析几何“直线与圆的方程〞一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比拟多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

1：圆O ：x y r 222+=上一点M 〔x y 11,〕，那么以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

2：两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 2211112121040++++=+->()，圆O x y D x E y D E F 2222222222040：+++=+->()，那么两圆的公共弦所在的直线方程为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=例：点P 〔x y 00,〕为圆O ：x y r 222+=外一点，过点P 作圆的切线PM PM 12、，其中M M 12、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的直径，即圆O '：()()()x x y y x y -+-=+020*********即x y x x y y 22000+--=又M M 12为圆O 、圆O '2知，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r 1010220202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪, ∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程x x y y r 002+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

过一点求曲线的切线方程的三种类型过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明.1•已知曲线y f(x)上一点P(x o,f(x o))，求曲线在该点处的切线方程.这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型•其求法为：先求出函数f(x)的导数f (x)，再将x o代入f (x) 求出f (x o)，即得切线的斜率，后写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x x o)，并化简.例1 求曲线f(x) x3 3x2 3在点P(1,1)处的切线方程.解：由题设知点P在曲线上，J y 3x2 6x，二曲线在点P(1,1)处的切线斜率为f (1) 3，所求的切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 4 •2.已知曲线y f(x) 上一点A(X1, f(xj)，求过点A的曲线的切线方程.这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2,这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x o, f (x o))，先求出函数f (x)的导数f (x)，再将x o代入 f (x)求出f (x o)，即得切线的斜率(用x o表示)，写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x X o)，再将点A坐标(X1,yJ代入切线方程得y i f (X o ) = f(X o) (X i X o)，求出X o，最后将X o代入方程y f (X o) = f (X o) (X X o)求出切线方程.例2 求过曲线y X3 2X上的点(1,1)的切线方程.解：设切点为点(X o,X o32X o)，y 3X2 2，切线斜率为3x。

22 ,切线方程为y (X o32X o) (3X o22)(X x°) •又知切线过点(1, 1)，把它代入上述方程，得31 (X o 2X o) (3X o 2)(1 X o) •1解得X o 1，或X o •所求切线方程为y (1 2) (3 2)(X 1),或13 1 、y ( — 1) ( 2)(X-)，即X y 2 0 ,或5X 4y 1 0 •8 4 2上面所求出的两条直线中，直线X y 2 O是以(1, 1)为切点的切线，而切线5X 4y 1 O并不以(1, 1)为切点，实际上它是经过了点(1,1)且以(1,7)为切点的直线，如下图所示•这说明过曲线上一点2 8的切线，该点未必是切点.3.已知曲线y f(x)外一点A(X1, f(xj)，求过点A作的曲线的切线方程.这种类型的题目的解法同上面第二种类型.例3过原点0作曲线y x4 3x2 6的切线，求切线方程.(2009年全国卷I文21题改编)解：由题设知原点0不在曲线上，设切点坐标为P(X o,x。

曲线上一点的切线方程题目
曲线上一点的切线是数学中的重要概念。

在数学中，切线是指曲线上的一条直线，它与曲线相切于一个点。

切线的方程是指以切点为起点，斜率为曲线在该点的导数的直线方程。

设曲线为y=f(x)，其中f(x)在点x=a处可导。

点P(a, f(a))为曲线上一点，P处的切线方程为y=f(a)+f'(a)(x-a)。

例如，对于曲线y=x^2，当x=2时，点P(2,4)在曲线上。

此时，f'(x)=2x，在x=2处f'(2)=4。

因此，点P处的切线方程为y=4+4(x-2)，即y=4x-4。

切线方程在数学中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，切线方程可以用于描述物体在某一瞬间的运动情况。

在工程和建筑领域中，切线方程可以用于计算建筑物或桥梁的斜率和角度。

在经济学中，切线方程可以用于计算某个企业在某个时间点的增长率。

总之，曲线上一点的切线方程是数学中的重要概念。

它不仅仅是一种数学方法，也是一种实用工具。

无论在数学、物理、工程、建筑、经济等领域，都有着广泛的应用。

因此，学习和掌握曲线上一点的切线方程是非常有意义的。

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（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（ ）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。

圆锥曲线的切点弦方程及其应用摘要：切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一，是近几年高考的热点考题，切点弦涉及到的问题，难度较大，技巧性强，计算繁琐，学生遇到此类问题较为棘手，束手无策，这里通过类比推理，探究其规律，掌握其性质，触类旁通，化繁就简，降低难度，进一步提高学习效率。

关键词：圆锥曲线；弦方程；应用1.内容解析1.切点弦的概念：过曲线C（圆，椭圆，双曲线，抛物线）外一点（对非封闭曲线是开口外一点）引两条切线，可以得到两个切点，连接切点即为切点弦。

2.微专题概述：圆锥曲线的切点弦方程是平面解析几何中的一类难点问题，围绕切点弦命制的解析几何试题具有内涵深刻、灵活多变的特点。

本专题在讲解一道课本习题即“过圆上一点圆的切线问题”的求解方法的基础上，立足学生思维的“最近发展区”，通过设置环环紧扣的问题串，最后得出椭圆、双曲线、抛物线的切点弦的一般性结论。

本微专题坚持“以小见大、微中知著”，最终达到启迪学生思维、开阔数学视野、培养类比归纳能力的目的；另一方面，客观题中熟练掌握切点弦方程结论，可以帮助学生有效简化解题过程、提高解题速度。

1.本专题所蕴含的数学思想方法及教学策略分析思想方法：数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般的思想教学策略：讲授法、分组讨论法、引导启示法立足高三年级学生实际、对基本概念和知识点采取讲授的方法；通过设置环环相扣的问题串，让学生分组讨论，教师引导实现同类知识的的迁移和整合归纳；注重问题串的整体性，在问题串的引领下，引导启示学生进行系列、连续的思维活动，使学生思维达到新高度。

1.教学目标1.知识与技能（1）掌握圆锥曲线在某点处的切点弦方程；（2）会用切点弦方程解决一些实际问题；（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法首先，通过对过圆上一点的圆的切线的求法的研究，进而设置一些列有较强逻辑关系的问题串，采取学生小组讨论法、教师启发引导法从而完成教学目标。

Pro/E 各种曲线方程集合: Pro/E 各种曲线方程集合1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图12.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))图2 3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*3图34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 8图45.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0图56.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t图67.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)图78.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20图89.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)图910.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360图11 12.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0图1314.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）图1415.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做图15 16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b图1617.4叶线（一个方程做的，没有复制）图1718.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图18 19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图2021.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)圖2122.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta)z=0图2223. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)图2324.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图25 26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图2627.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)图2829.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图29 30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x图3132.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图3233.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2图33 34.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图3435.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))图3536.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+1图3637.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0图3738.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t图3839.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0图3940.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*10图4041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)图4243.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^2图4344.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)图44 45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2图4546.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^2图4647.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^2图4748.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*12图48 49.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*16图49 50 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*10图50 51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图51 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*10图5253.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)图53 54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20图5455. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)图5556.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)图5657.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*10图5758.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24图58。

椭圆曲线“切点弦”的性质_本人通过对椭圆曲线性质的研究，得出椭圆曲线切点弦的一条有趣的性质，现把它的探索过程写出来，与大家分享。

为了方便，不防从抛物线进行探究，然后再推广到其他椭圆曲线。

y2=2px的准线l上任意一点p作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，我们把线段AB称为切点弦，则切点弦AB必过定点所以切点弦AB所在的直线方程是tp=p(x-，即为抛物线y2=2px 的焦点探究1：如果性质1中直线L非抛物线的准线l，而是直线l：x=-c(c0),那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢？自直线l：x=-c(c0)上任意一点p作抛物线y2=2px的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB必恒经过定点证明：设AB，P(c0)则经过点P的两条切线的方程是Ty1=p(x1-c)③,ty2=p(x2-c)④由③④得，显然AB都在直线ty=p(x-c)上，切点弦AB所在的直线的方程是ty=p(x-c)切点弦恒过定点显然性质1是性质2的特殊情形探究2：一般地，如果性质2中直线x=-c(c0)改为直线l：y=kx+b(其中k,b为常量)，且l与抛物线y2=2px没有公共点，那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢？若直线l：y=kx+b(其中k,b为常量)，且l与抛物线y2=2px没有公共点，自直线l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，那么切点弦AB恒过定点我们之所以假设直线l与抛物线没有公共点，是因为如果直线l 与抛物线相交，那么过l上任意一点并不总能作抛物线的切点；如果直线l与抛物线相切，那么切点弦显然恒过定点y=p(x+t)上，所以切点弦AB所在的直线的方程是y=p(x+t)k0，(y-k(p))=p(x-k(b))，所以切点弦AB恒过定点现在我们将抛物线切点弦的这条性质推广到椭圆和双曲线设直线l：y=kx+m(其中k,m为常量)与椭圆C：a2(x2)+b2(y2)=1没有公共点，直线l上任意一点p作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B则切点弦AB恒过定点，B，P(t,kt+m)同理可以得出：设直线l:y=kx+m(其中k,m为常量)与圆C：x2+y2=r2没有公共点，自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB恒过定点综上所述，我们得到椭圆曲线切点弦的性质如下：已知定直线l与椭圆曲线C没有公共点，自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB恒过定点。

高等数学曲线的切线方程
在高等数学中，曲线的切线方程是一个非常重要的概念，在数学理解中应被熟练掌握。

切线是平面曲线在特定点上的切线，也就是切线方程在该点处的解析式。

切线方程的求解需要掌握求导和一些基本的几何概念。

首先来看一下什么是切线。

在欧几里得空间中，对于一条平面曲线，点的切线是曲线在该点附近的近似直线。

在微积分中，我们知道一条曲线在某个点处的导数描述了曲线在该点处的局部特征，而切线就是此点处的导数所对应的直线。

这也就是说，我们可以通过求导来求解曲线在某个点的切线方程。

具体来讲，求解切线方程的方法是求出曲线在该点处的导数，然后通过点斜式或斜截式的形式表示出切线。

举个例子，如果我们要求解曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程，我们首先需要求出曲线在该点处的导数，即 $f'(1)=2$，然后可以利用点斜式得出切线方程为 $y-1=2(x-1)$。

这个方程描述了曲线在点 $(1,1)$ 上的切线的形式。

需要指出的是，不是所有曲线都具有切线。

只有在该点处曲线存在关于导数的极限时，曲线才会有切线。

这个概念可以在微积分的学习中深入理解。

总的来说，曲线的切线方程是高等数学中一个非常重要的概念，对于解决各种计算问题有很大的指导意义。

通过对切线方程的理解和
计算，我们可以更好地掌握曲线在特定点处的变化规律，也可以在实
际问题中能够更为准确地描述曲线的性质。

所以，在学习高等数学时，应该认真掌握曲线的切线方程这一知识点。