怎样求圆的切点弦方程

圆的切点弦方程222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。

22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。

【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222ry x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆O 外时，1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为222y x r d +=,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2020∴r d <，故直线L 与圆O 相交.2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢? 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。

220r x =2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:211r y y x x =+，直线MB:222r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010220101ry y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程200r y y x x =+，由于两点确定一条直线∴直线AB 的方程为200r y y x x =+。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。

圆的切点弦方程之邯郸勺丸创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。

二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。

为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。

下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。

事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。

另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。

过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式在几何学中，我们经常需要求解过一点作圆的两条切线的切点所确定的弦的方程公式。

让我们来探讨一下这个问题。

设有一个圆，以O表示圆心，r表示半径。

选取圆上的一点P，且过P分别作圆的两条切线，与圆交于A和B两点。

我们的目标是求解弦AB的方程公式。

我们需要找到切点A和切点B的坐标。

由于A和B都是切点，所以AO和BO都是圆的半径，即长度为r。

设圆心O的坐标为(Ox, Oy)，点P的坐标为(Px, Py)。

根据切线的定义，切线与半径的夹角是直角。

因此，我们可以利用斜率来求解切线的方程。

通过在线段OP上选择另一点Q，我们可以计算出斜率K1。

然后，根据切线的性质，我们可以得知切线的斜率K2等于-K1的倒数。

已知点A的坐标为(Ax, Ay)，它位于切线的直线上，有斜率K2。

我们可以利用点斜式得到切线的方程：y - Ay = K2(x - Ax)同样地，点B的坐标为(Bx, By)，我们可以得到切线的另一个方程：y - By = K2(x - Bx)现在，我们可以尝试求解AB弦的方程了。

弦AB的中点坐标为(Mx, My)，它等于A和B坐标的平均值。

所以我们有：Mx = (Ax + Bx) / 2My = (Ay + By) / 2已知弦的中点坐标，我们可以得到弦的方程：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式为：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)希望以上内容能够满足任务名称描述的内容需求。

如有任何问题，请随时提问。

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程022=++++F Ey Dx y x 022=++++F Ey Dx y x 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。

2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。

二、题目 已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。

圆的切点弦公式在几何学中，圆的切点弦公式是指通过圆的切点的弦长与切点所在弦的两个弧的乘积相等的关系。

这个公式可以帮助我们计算圆的切点位置和相关的几何量。

下面我们将详细介绍圆的切点弦公式，并通过具体例子来说明其应用。

让我们来了解一下圆的基本概念。

圆是由一条固定点到平面上所有与该点的距离相等的点组成的图形。

圆上的每个点都可以看作是圆心到该点的半径的终点。

圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。

圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。

接下来，让我们来探讨圆的切点弦公式。

假设有一个圆，其中O表示圆心，AB是该圆上的一条弦，P是弦AB上的一个切点。

根据圆的性质，切线与半径垂直，因此OP与弦AB垂直。

设弦AB的长度为a，切点P到圆心O的距离为h，OP的长度为x。

根据圆的切点弦公式，我们可以得到以下等式：x * x = h * (2r - h)其中，r是圆的半径。

这个公式可以通过几何推导得到，但为了避免使用数学公式，我们在此不做详细介绍。

这个公式的含义是，通过圆的切点的弦长与切点所在弦的两个弧的乘积相等。

下面，我们通过一个具体的例子来说明圆的切点弦公式的应用。

假设有一个半径为5cm的圆，弦AB的长度为12cm，求切点P到圆心O的距离。

根据圆的切点弦公式，我们可以得到以下等式：x * x = h * (2r - h)代入已知条件，可以得到：x * x = h * (2 * 5 - h)x * x = h * (10 - h)由于弦AB的长度为12cm，根据圆的性质，弦的长度等于半径与切点到圆心距离之间的距离的两倍。

因此，我们可以得到以下等式：2 * x = 12x = 6将x = 6代入上述等式，可以得到：36 = h * (10 - h)通过解这个二次方程，我们可以得到h的值。

求解过程略去，在此不再详述。

最终解得h的值为4cm。

因此，切点P到圆心O的距离为4cm。

通过这个例子，我们可以看到，圆的切点弦公式可以帮助我们计算圆的切点位置和相关的几何量。

圆内一点代入切点弦方程当我们在学习圆的相关知识时，我们往往会遇到一个需要用到“圆内一点代入切点弦方程”的问题。

今天，我们就来探讨一下这个问题。

首先，我们需要知道什么是切点弦。

在圆的内部随机取一点，连接该点和圆心，并在圆上任取一点作为另一个端点，连接这两点所形成的弦就称为切点弦。

我们可以发现，圆的所有切点弦都会经过圆心。

现在，我们需要求解的是，在圆内某一点与圆相切时，切点弦的方程。

解决这个问题的关键在于找到圆的切点。

我们可以通过以下步骤来实现：1. 假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径；2. 假设点P(x1,y1)在圆内，且到圆心的距离为r；3. 根据两点之间的距离公式，我们可以列出方程：sqrt((x1-a)^2 + (y1-b)^2) = r；4. 将上式平方化简，得到(x1-a)^2 + (y1-b)^2 = r^2，即点P在圆上；5. 求出圆心到点P的斜率k = (y1-b)/(x1-a)；6. 我们已经知道切线的斜率为-k，通过点斜式可以得到切线方程为y-y1 = -k(x-x1)；7. 再次假设圆上某点为Q(x2,y2)，则切点弦的端点分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)；8. 利用两点式可以求出切点弦的方程为(y1-y2)x + (x2-x1)y + x1y2 - x2y1 = 0。

现在，我们已经得到了圆内某一点的切点弦方程，可以用它来解决一些实际问题，例如求解动点在圆内的轨迹问题等。

总的来说，“圆内一点代入切点弦方程”是圆的常见问题之一，它们的解决方法需要我们掌握点斜式、两点式等相关知识。

通过不断练习，我们不仅能够理解圆的相关概念，还能够熟练运用相关知识实现圆的求解。

一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）思路方法：1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x （C ）034=--y x（D ）034=-+y x解法1：用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得：0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论，用它做更简单﹒结论 过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为：()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得：2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得：2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ⨯+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

高中数学：求圆的切线方程的几种解法求经过点且与圆相切的切线方程并作图。

解1：利用过圆上一点的切线方程如图1，设过点的直线与圆相切于，根据过圆上一点求切线方程的公式，得圆的切线方程为（1）因为切线过点所以（2）又因为点在圆上所以（3）联立（2）（3）得代入（1）即得所求圆的切线方程为和。

解2：利用勾股定理设所求切线与已知圆相切于点，因为圆的方程为，所以圆心O的坐标为，连接，则，所以由勾股定理，得，即，所以又因为点在圆上，所以（2），联立（1）（2）得代入切线方程中，即得所求圆的切线方程为和。

解3：利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系。

设所求直线与圆相切于，则。

因为，所以，所以切线的方程为。

因为过点，所以代入上式得（1）而（2）以下同解2。

解4：利用圆锥曲线切线的定义设是圆上任意一点，作割线交圆于另一点，则，又因为两点都在圆上。

所以（2）得代入（1），得，当Q 与重合时，即当，时，割线的斜率就变成过圆上一点的切线的斜率，所以。

以下仿解3。

解5：利用点到直线的距离公式设过点且与圆相切的切线的斜率为k，则所求切线方程为，即。

因为圆心O 的坐标为，半径，所以由点到直线的距离公式，得，解得。

所以切线方程，即，再结合图形知另一条切线方程为。

解6：利用斜率为k的圆的切线方程因为圆的方程为，所以，故根据圆的切线方程，得。

（1）因为点在切线上，所以。

解得，将k值代入（1）即得所求切线的方程为，再结合图形知另一条切线方程为。

解7：利用切线与圆只有一个公共点的性质设所求圆的切线方程为代入中，整理得。

（2）因为直线和圆相切，它们只有一个公共点，所以方程（2）有两相等实数根，所以，即，所以（3）又因为切线过点，所以由（1）得（4）解（3）、（4），得代入（1）得，再结合图形知另一条切线方程为。

解8：利用参数方程设所求切线的参数方程为（为参数，）（1）代入方程中，消去x、y，整理得。

因为直线和圆相切所以，即。

因为，所以。

切点弦方程的推导方法主要有三种，分别是：方法一：利用切线性质和切线方程推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。

2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 + 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。

3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。

4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = r^2$。

方法二：利用切线性质和切点坐标推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。

2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 - 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。

3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。

4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。

方法三：利用切线性质和圆心坐标推导1. 设切点为 $P(x_1, y_1)$，切线方程为 $y - y_1 = k(x - x_1)$。

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。

222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。

+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。

求圆的切线方程的几种方法在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。

例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线的方程。

解法一：利用斜率求解同样适用。

在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M ...)(,.11200220202020000000000r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=⋅ 解法二：利用向量求解()...)(0PM OM ),(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）解法三：利用几何特征求解用。

重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PMOM y x P y x M ...)()(),(),(220022020202000222020202022200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥图1图2解法四：用待定系数法求解1、 利用点到直线的距离求解程同样适用。

当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵化简整理得： 到切线的距离等于半径原点 ⑴即：则直线方程为：为设所求直线方程的斜率...202)(1)0,0(O 0),(,20022020202000002000220220202020022022000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-2、 利用直线与圆的位置关系求解：程同样适用。

圆的切点弦方程及其应用
圆的切点弦方程是指过圆的切点的直线方程。

设圆的方程为
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，过圆
的切点的直线方程为y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。

应用方面，圆的切点弦方程可以用于求解圆与直线的交点坐标，判断直线与圆的位置关系等。

下面以求解圆与直线的交点坐标为例展开解释。

设直线方程为y=mx+c，代入圆的方程得到：
(x-a)^2 + (mx+c-b)^2 = r^2
展开化简后得到关于x的二次方程：
(x^2 + (m^2+1)x + 2mc-2mb+ b^2 - r^2) = 0
对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为：
x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)
对于圆与直线的交点，代入上述公式即可求解出交点的x坐标，再代入直线方程求得对应的y坐标。

注意，若判别式b^2-4ac
为负数，则说明直线与圆无交点。

通过求解圆与直线的交点坐标，我们可以得到直线与圆相交的位置关系，如直线与圆相切或相离，交点的个数等。

圆的切点弦方程推导稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊圆的切点弦方程推导，准备好跟我一起探索这个有趣的数学世界了吗？想象一下，有一个圆乖乖地待在那。

咱们先随便在圆外找一个点，然后过这个点向圆引两条切线。

这两条切线和圆相切的那两个点，把它们连起来，这条线就是切点弦啦！那怎么推导它的方程呢？咱们先设圆的方程是$(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$，圆外的那个点是$(x_0, y_0)$。

然后呢，因为那两条切线都过点$(x_0, y_0)$，所以把这个点代入切线方程，就能得到两个式子。

把这两个式子相减，经过一番巧妙的化简，就能得出圆的切点弦方程啦！是不是感觉很神奇？数学的世界就是这样充满惊喜！好啦，今天关于圆的切点弦方程推导就讲到这，希望大家都能有所收获哦！稿子二嘿，朋友们！咱们又见面啦，今天来一起琢磨琢磨圆的切点弦方程推导。

先来讲讲什么是切点弦，其实就像是圆的两个小护卫，从圆外一点引两条切线，它们和圆接触的那两点连起来的线就是切点弦。

那怎么找出它的方程呢？假设圆的方程是$(x m)^2 + (y n)^2 = R^2$，圆外那个点设为$(x_2, y_2)$。

咱们先从简单的开始，想想圆上一点的切线方程怎么求。

这可得好好动脑筋，别怕，跟着我一步一步来。

经过一番捣鼓，求出切线方程后，因为这两条切线都过点$(x_2, y_2)$，所以把这个点代进去，就有了两个关系。

再接着，咱们对这两个关系动动手脚，就像变魔术一样，通过一些化简和运算，圆的切点弦方程就呼之欲出啦！怎么样，是不是觉得数学也没那么可怕，反而有点有趣呢？希望大家都能喜欢上这种推导的过程，感受数学的魅力！好啦，今天就聊到这，下次再见哟！。

如何求圆的切线方程圆的切线方程是指切点在圆上，与圆的切线相切的直线方程。

求圆的切线方程可以使用两种方法：一种是几何法，一种是解析几何法。

下面我将详细介绍这两种方法。

一、几何法：1.切点坐标的确定：设圆的方程为x^2+y^2=r^2，其中圆心坐标为（a,b），切点坐标为（x0,y0）。

首先，我们需要找到切线过圆的切点坐标。

切点坐标的确定有多种方法，其中一种常用方法是使用相似三角形：a）过切点（x0,y0）作圆的半径的垂直向量，与x轴的夹角为θ1，与y轴的夹角为θ2b）设此向量的x轴分量为r*cosθ1，y轴分量为r*sinθ2c）由于切线与半径垂直，切线的斜率为-k，其中k为半径的斜率，k=tanθ1=tan(π/2-θ2)=-cotθ2d）则切线的斜截式方程为：y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)2.斜率的确定：接下来，我们需要确定切线的斜率k。

a）过切点（x0,y0）作圆的切线，与$x^2+y^2=r^2$的导数成正交关系。

求导并求导数的负倒数可以得到斜率：k=(dy/dx)=-x0/y0b）根据切点坐标的确定部分，我们可以将切线的斜率表示为：k=-cotθ2=-x0/y03.切线方程的确定：根据斜截式方程以及确定切点坐标的部分，我们可以得到切线方程的最终形式：y=y0-x0/y0(x-x0)二、解析几何法：使用解析几何法，我们可以根据给定的圆的方程以及切点坐标的确定方法来求解切线方程。

1.切点坐标的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切点的坐标。

2.切线斜率的确定：根据几何法中的部分，我们可以确定切线的斜率。

3.切线方程的确定：使用点斜式，我们可以得到切线方程的最终形式。

y-y0=-k(x-x0)y=y0-k(x-x0)需要注意的是，如果圆的方程不是以原点为圆心，可以通过平移变换将其变换到以原点为圆心的方程形式。

然后使用上述方法求解切线方程。

希望上述内容对于你理解如何求圆的切线方程有所帮助。

切线方程与切点弦方程一、圆的切线方程一、圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r²1. 已知：圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆上一点P(x0, y0)。

求过点P的切线方程解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式)展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0²- y0²= 0 (1)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：(x0 - a)²+ (y0 - b)²= r²化简: x0²- 2ax0 + a²+ y0²- 2by0 + b²= r²移项: - x0²- y0²= -2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²(2)由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb- by0 + b²) = r²整理：(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆外一点P(x0, y0)二、对于圆的一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.2.已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)解：圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0²- y0²= 0 (3)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F = 0移项: - x0²- y0²= Dx0 + Ey0 + F (4)由(4)代入(3), 得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0变式-2 已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0) 二、圆的切点弦方程三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程设P(x0, y0)是圆锥曲线上（外）一点，过点P引曲线的两条切线，切点为A , B两点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。

切线方程与切点弦方程、圆的切线方程、圆的方程为:(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 1. 已知：圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r2, 圆上一点P(x0, y0)。

求过点P 的切线方程解：圆心C(a, b);直线CP 的斜率：k i = ( y o- b)/( x o- a)因为直线CP与切线垂直，所以切线的斜率：k2 = -1/k i = - (x o - a) / (y o - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y o = k2 (x - x o)y - y o = [- (x o - a) / (y o - b)] (x - x o)整理得：(x - x o)(x o - a) + (y - y o)(y o - b) = o (切线方程公式)展开后: x o x - ax + ax o + y o y - by + by o - x o2 - y o2 = o (1)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程：(x o - a)2 + (y o - b)2 = r2化简: x o2 - 2ax o + a2 + y o2 - 2by o + b2 = r2移项: - x o2 - y o2 = -2ax o - 2by o + a2 + b2 - r2 (2)由(2)代入(1), 得：x o x - ax + ax o + y o y - by + by o + (-2ax o - 2by o + a2 + b2 - r2) = o 化简：(x o x - ax - ax o + a2) + (y o y - yb- by o + b2) = r2 整理：(x o - a)(x - a) + (y o - b)(y - b) = r 2变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 圆外一点P(x o, y o)二、对于圆的一般方程:x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 过圆上的点的切线方程.2.已知:圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 圆上一点P(x o, y o)解：圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP 的斜率:k i = (y o + E/2) / (x o + D/2)因为直线CP与切线垂直,所以切线的斜率：k2 = -1/k i = - (x o + D/2) / (y o + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程：y - y o = k2 (x - x o)y - y o = [- (x o + D/2) / (y o + E/2)] (x - x o)整理得：x o x + y o y + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Ey o/2 -x o2 - y o2 = o (3)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程:x o2 + y o2 + Dx o + Ey o + F = o 移项： - x o2 - y o2 = Dx o + Ey o + F由(4)代入(3),得：x o x + y o y + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Ey o/2 + Dx o + Ey o + F = 0(4)整理,x o x + y o y + D(x + x o)/2 + E(y + y o)/2 + F = 0变式-2 已知：圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x o, y o)二、圆的切点弦方程证明：遼尸h ,y0) 工—鼠辻点P柞圖4?的妁两卷切虬切点是召，卿直戏拙的牙裂足…+ i'0i-十乏t D-如!空E十F■ 0一UW：点平肴叮于—识晶壮一洼应逼耳C 屛只匚於衽说兮虽齢酋詢相畫艺.以P.C为宝.疵肚血韵芭的左;丄更-(.t + -^a)亠Q' * f)〔F -l-'c) = o.■ *即x1+ r* + (半-x c)x + (y ~Jt3)y -~^t-yj( 一0............. ①^x'+ t J + Z>.t + + 7" = 0................................................... 怎三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程设P(x o, y o)是圆锥曲线上(外)一点，过点P引曲线的两条切线, 切点为A , B两点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。